CC BY
16
УДК 538.945
К ВОПРОСУ О НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКЕ УЕДИНЕННОГО ВИХРЯ АБРИКОСОВА-ДЖОЗЕФСОНА, ДВИЖУЩЕГОСЯ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ТОКА
А. В. Зверев
Аналитически получено решение уравнений нелокальной резистивной джозефсоновской электродинамики, соответствующее движению уединенного вихря Абрикосова Джозефсона под воздействием тока, плотность которого определенным образом, периодически зависит от времени, причем амплитуда этой зависимости больше критической плотности тока. Изложен метод нахождения установившегося периодического решения. Последнее позволило рассмотреть зависимость работы тока над вихрем от амплитуды и частоты.
Электродинамика джозефсоновских туннельных переходов оказывается существенно нелокальной в случае, когда относительно велико значение критической плотности тока
Не2
где ]с - критическая плотность тока, |е| - заряд электрона, Н - постоянная Планка, с - скорость света, а А - лондоновская длина. При этом необходимо использовать нелокальное уравнение, рассматриваемое в [1, 2, 3]. И тогда особенно результативным оказывается так называемое приближение резистивной модели, когда выполнено неравенство
с*« г^Щ' <2>
где Фо - квант магнитного потока, - сопротивление единицы площади перехода, С5 емкость единицы площади перехода. В указанных выше условиях (1) и (2) основное уравнение нелокальной джозефсоновской электродинамики принимает вид
Оно определяет разность фаз у? волновых функций куперовских пар по разные стороны перехода. Во всех ограниченных выражениях принимается N — оо, в оценках можно считать N /. В уравнении (3) t0 = Фо/27гcRsjc - время релаксации, I = сФо/167Г2Л2_;с - характерный масштаб изменения 7(t) = j(t)/jc — безразмерный ток.
В работах [1,3-6] рассмотрено решение уравнения (3), являющееся решением со-литонного типа, которое отличается от обычного джозефсоновского вихря локальной джозефсоновской электродинамики. Оно имеет вид
Это решение получило название вихря Абрикосова-Джозефсона (АД) [3]. Оно предста вляет собой 27г-кинк, имеющий размер / и движущийся со скоростью и.
В работе (4) обсуждается динамика уединенного вихря АД, движущегося под воз действием постоянного тока, а также тока, меняющегося во времени по гармоническом} закону. В первом случае рассмотрение было точным, а во втором получено лишь при ближенное решение.
В [6] было рассмотрено поведение вихря под действием периодического тока в виде прямоугольных, меняющих свой знак импульсов. Простота этой зависимости позволяет получить точное решение задачи. При этом, рассмотренная в [6] картина является неполной, так как амплитуда плотности тока предполагалась меньше критической плотности тока. В данном сообщении также будет рассмотрена задача об эволюции вихря под действием тока с указанной выше зависимостью плотности тока от времени, однако в отличие от работы [6] амплитуда этой зависимости предполагается большей критической плотности тока; при этом особое внимание будет уделяться моментам, объединяющим данное сообщение с работой [6].
Итак, рассмотрим решение уравнения (6), предложенное в [4]
(3)
-N
(4)
Подстановка (5) в (3) дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений
Точка обозначает производную по безразмерному времени т = В соотношении (5) р(1) имеет смысл размера вихря, а г0(2) - его положения. Система уравнений (6), (7), (8) полностью описывает динамику вихря, находящегося под воздействием переменного тока. Будет рассматриваться периодическая зависимость 7 от ( вида
При этом 70 > 1.
Первым шагом в исследовании динамики вихря должно быть решение уравнения (6). Для того, чтобы найти 0(т) необходимо сшить решения уравнений
в точках г = пТ¡10 и г = пГ/^о +
Однако прежде необходимо сделать несколько замечаний относительно решений уравнений (10). Эти решения представляют собой монотонно возрастающие (убыва-
ющие для —70) функции, содержащие периодичность с периодом Т7 = 27г^о/у7о — 1-Поэтому в случае, когда Т совпадает с этим периодом или кратно ему, возникают резон ансы. В дальнейшем будет анализироваться зависимость от величины х = 1гТ/2Т1. Тогда резонансы возникают при х = 7гТУ/2, N — 1,2,3,....
Производя указанную выше сшивку, можно найти значение исследуемого решения в точке пТ/^о + Т/Ьо, зная его значение в точке пТ/2<о
О + вш 0 = 7(г), р + р соэ О = /, г + О = 0.
(6)
(7)
(8)
(9)
О + этО = ±70,
(10)
0 ((п + 1)-) = 2Агс1ё
о
\
/
/
\
= (11)
где х = — 1Т/Ы0. Функция / выражает зависимость значения 0(2 = пТ/10 + Т/¿о) от значения в начале периода 0(/ = пТ/^). Поскольку уравнение (б) с зависимостью 7(/,), выражаемой (9), инвариантно относительно преобразования 2 —» I + Т, можно утверждать, что 0((п + 2)Г/<0) = Д6((п + 1)Г/*0)) = /(/(0(пГ/*о))). В связи с этим удобно ввести функцию
= ЛЛ-Л®)-))-
ЛГ—раз
Используя определенную в (12) функцию, можно написать
где 0О = 0(0).
(12)
(13)
Рис. 1. График зависимости /(0).
График функции /(0) приведен на рис. 1. Из него явствует, что если все решения характеризовать параметром 0о = 0(0), то среди всего множества решений уравнения (6) имеются два периодических, характеризующихся параметрами 0о;1,2
1„ _ ^/то - 1 ± ^7о2 - 1 + 7о^2*
^ё ® 0;1,2 =
(14)
Это следует из уравнения 0о;1,2 = /(0оа.г)- При этом, для всех остальных решений имеет место соотношение
lim ©„ = lim 0 С4-) = lim fN[Q0 Ф ©о, 2] = { > ° (15)
N—+oo " N^oo \ 2 t0J N^ooJ 1 0,1'2J \©O;2tgX<0. k '
Определим величину ©o;o посредством соотношения
1гл , ti\ V^7o - 1 + sgn(tgx)^702 - 1 + 7o2tg2x Г 0O;1tgx > О
tg^0o;o 7o, T) = --; 0O;o = < _ ^ n 16)
2 7otgX [ 0O;2tgX <0.
При этом из (15) следует, что lim©w = ©о;о Для любых решений, отвечающих параметрам О(О) ф Oo;i2- Тогда можно утверждать, что решение Qycm.(i)i отвечающее условию Оуст.(0) = 0О;о(7о,Г), определяет единственный установившийся периодический режим для любых 70 и Т. То есть, любое решение со временем релаксирует к Qycm.{t)- Oycm.(0 можно записать как
©¡,cm. = 2Arctg£,
i = (-l)n-^=-7ГГ7-Г-тттт^-Г-- (")
¿П + tg^B (t - f) - Toiotg^l (« - f)
В этой формуле используются обозначения
^ _ у/То ~ 1 + ggn(tgg)/ro ~ 1 + 7ptg2*
Все приводимые ниже результаты будут относиться к решению 0,cm.(f). Зависимость от времени размера вихря р определяется из уравнения (10). Для его решения произведем замену переменных, при которой t заменяется на £(i), £ = tgOycm.(i)/2. При этом р(т) = /?(£(£)). Тогда уравнение (10) принимает вид
dR , 2(1 -П „ 21
dt(\+e2)(±7o(i+е) - 20 (±7o(i + е) - ю ■
Знак «±» означет, что это уравнение имеет различный вид в зависимости от временного интервала, в котором рассматривается R. «+» берется, если t G [nT; (2n + l)T/2] ('y(f) = 7о); «-» берется, если t Е [(2тг + 1)Г/2; (п + 1)Г] (7(t) — —70). Решение уравнения (7) имеет вид
~ 1 + е2 (1 + Й)70 — 2^о 7(0(7О2 - 1)
х
(19)
где Я есть значение размера вихря в начале некоторого периода. Далее разумно подчинить указанное решение р^,Я) — ./?(£(<)) условию периодичности подобно тому, как это было сделано с 6(2). Однако из-за наличия третьего слагаемого в скобке, /?(£, Я) за период Г7 приобретает положительную добавку, равную АЯ^ = 2^/7^/(7^ — I)2, как на первом полупериоде (7 = 70), так и на втором (7 = —7о)- Следовательно, если Т > Т-,, то за период Т функция И) увеличивается. Поэтому Я) можно подчинить условию периодичности только в случае Т < Т7 (х < 7г/2). При этом для периодичности оказывается необходимо
Здесь и далее аг^^(ж)) рассматривается как периодическая функция, с периодом 7г такая, что аг^^^)) = х при х 6 [—7г/2, 7г/2] и + 7г)) = агс1§^(£)).
В случае Т > Т7 />(2, Я) не является периодической и Я для каждого следующего полупериода Т/2 определяется, исходя из значения р в конце предыдущего. Но все же из всех таких решений можно выбрать установившееся, подобно тому как это было сделано для 0. Для этих установившихся решений Я = Я(£о) + т*АЯ\ (т = 1,2...). Обсуждаемые решения описывают расползание вихря. Для такого нестационарного вихря магнитное поле имеет вид
I ^х + — 1|
(20)
где С — 0.557 - постоянная Эйлера.
Рассматриваемая аналогично г(2) = Z(£(t)), получаем
где
¿Vх т '»о^чло;___
(1+^)70-2^0 7(*)(7О2-1)
2(1+4/
х
х| . + ,7°.6,7°"' + 21
,7о(1+Й)-2& - 1 ) 1(1)(7,;-1)Г
Для вычисления работы в дальнейшем понадобится величина
- гыо) = 4Ц-
7о ~~ 1
— аг^^х)
у/^2х + То2 - 1
(22)
Пусть (5 - усредненная по периоду мощность работы тока над вихрем
1 ' О -оо
В соответствии с [2] можно представить в виде
<2 = С?1 + Яг, (24)
С?1 = -^АГАг^о, (25)
\е\Т
& = Т^Иб) - (26)
В таком представлении отдельно выделена важная величина - работа, связанная с неоднородностью вихревого состояния <5г- В работе [6] обсуждается поведение фьСЬ » зависимости от параметров Т, 70; при этом рассматривалось поведение при 70 —► 1 Однако в [2] рассмотрение было неполным, так как предел рассматривался лишь слева (7о -> 7о < !)• Мы рассмотрим такой предел справа, а также общее поведение фг при 70 > 1.
Итак, из формул (25) и (11) следует
= "ад" 61-^-] • (27)
Это выражение разумно записывать через аг^, то есть, преобразовать это выражение таким образом, чтобы выделялась отдельно монотонная часть, а также однозначная периодическая составляющая
_ 8JhN I í /-7(^х1ё§ + 8ёп(1ёх)^721ё2х + 7о - 1 - \/то ~ Л х)
Ц\ = , < aгctg - -. - + - V . (28)
В этой формуле первое слагаемое в фигурных скобках ограничено числом порядка единицы, поэтому при х 1 можно написать
N0. 7 /-
= (29)
и, в частности, при 70 1
= (30)
что, как и следует ожидать, соответствует омическим потерям. График зависимости (З1 от параметра х приведен на рис. 2; при этом на оси ординат отложены значения (¿1(х = 7гп/2), обозначенные
$2 =
2тг%] 270/ \е\Т 7о - 1
аг^^х) — tgx
у/^х + 7о2 - 1
(31)
= <?0
7о
7о2 " 1 Г
aгctg(tgx) — tgx ^721ё2х + 7о2 - 1
\e\to ,
Р,
Рис. 2. График зависимости мощности от безразмерного параметра х.
Графики зависимости от величины безразмерной плотности тока, текущего через контакт, а также от безразмерного периода Т/4£0, приведены соответственно на рис. 3 и 4. На оси абсцисс рис. 3 отложены резонансные значения параметра 70, обозначенные
-уо,к:1 которые отвечают Т = пГ7(п = 1,2,...). На оси абсцисс рис. 4 отложены резонансные значения параметра Т, равные пТ7. Видно, что зависимость ф2(70) представляет собой своего рода "гребенку" с набором пиков, находящихся в точках
7о
7Г
/4*0
1Т1 +1
1/2
(32)
где к - положительное целое число, нумерующее пики. Значение фг в этих точках уменьшается с ростом к.
02(У0Л>
<32(У0.з)
С?2(У0.5)
О
В
1 Уо.1 Уо2 Уо.З Уо.4 Уо.5 Уо.б
Уо
Рис. 3. График зависимости мощности от величины амплитуды плотности тока, текущего через контакт.
При всем этом имеются также точки, в которых $2 = 0:
70= ((**)> (^Ч.)"2,
(33)
где к - опять любое положительное целое число. Эти точки отвечают ситуации нестационарного расползающегося вихря с Я = т*АПу(т — 1,2,...).
Все вышеуказанные свойства относятся также и к зависимости (32 от Т/г0 рис. (3).
В конце остановимся на зависимости от 70 вблизи точки 70 = 1, объединяющую данное исследование с [6]. Для этого рассмотрим ближайший к точке 70 = 1 пик, находящийся в точке
При этом в этой точке
Ычъ 1
7о = +
2д0 Л , г2 \1/2_
(34)
= — 1 +
7Г
4тг2*2
I 3
02,1-
(35)
Из формул (34) и (35) следует, что с увеличением Т/20, рассматриваемый пик смещается к точке 70 = 1, одновременно возрастая.
СЬ.СГу) (}2(ЗТу)
<}2(5Ту)
1
!
/ 1
У V У \ / V. ^Д.
Ту 2Ту ЗТу 4Ту Т
Рис. 4. График зависимости мощности от периода плотности тока, текущего через контакт.
При этом, если в случае больших периодов Т ¿о
<?о Т
<?2,1 =
7Г2 ¿о'
(36)
в обратном случае Т <С 2о
Подводя итог всему вышеизложенному, можно утверждать, что по сравнению с работами [4, 6] сделан следующий шаг в рассмотрении нелинейного воздействия периодического тока на вихрь Абрикосова-Джозефсона. Именно, сформулирован подход, описывающий такое воздействие периодического тока, амплитуда плотности которого превышает критическую плотность тока Джозефсона.
В заключение я хотел бы выразить признательность моему научному руководителю В. П. Силину за неоценимую помощь и поддержку.
Работа выполнена в рамках комплексного проекта "Исследование особенностей высокотемпературных и других сверхпроводников с высокими критическими параметрами (изучение микроскопической природы электродинамического поведения сверхпроводящих сред и выработка рекомендаций по расширению области их практического использования)" секции "Исследование природы и основных свойств сверхпроводников'' Научного совета по сверхпроводимости подпрограммы "Актуальные направления в физике конденсированных сред".
ЛИТЕРАТУРА
[1] J1 а п и р Г. М., Лихарев К. К., Маслова Л. А., Семенов В. К. ФНТ, 1 (10), 1235 (1975).
[2] Алиев Ю. М., Силин В. П., У р ю п и н С. А. Сверхпроводимость: физика, химия, техника, 5 (2), 228 (1992).
[3] G u г е v i с h A. Phys. Rev. В 46, 3187 (1992).
[4] G u г е v i с h A. Physica С 243, 191 (1995).
[5] С и л и н В. П. ЖЭТФ, 112, 1336 (1997).
[6] К у з о р а И. В., Силин В. П. Краткие сообщения по физике ФИАН. N 4, 44 (1998).
Поступила в редакцию 8 октября 1999 г.
