CC BY
9
УДК 538.945
О ВОЗДЕЙСТВИИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ТОКА НА ДВИЖУЩИЙСЯ ВИХРЬ В ДЖОЗЕФСОНОВСКОМ
ПЕРЕХОДЕ
И. В. Кузора, В. П. Силин
Для специальной периодической зависимости тока от времени в виде прямоугольных меняющих свой знак импульсов дано точное решение резистивной модели джо-зефсоновского перехода с большой критической плотностью тока. Обсуждены возникающие при этом диссипа-тивные потери.
Теория флуксонов в джозефсоновских туннельных переходах представляет собой важный раздел современной нелинейной физики. В последние годы получила определенное развитие теория вихрей Абрикосова-Джозефсона (АД) в переходах со сравнительно большой плотностью критического тока когда выполнено неравенство [1] ]с ^ За = 16^ф|А3 ~ 104А-3 [А/см2]. Здесь А - лондоновская длина в микронах, Н постоянная Планка, с - скорость света, е - заряд электрона. При этом особенно результативной оказывается широко применимая недалеко от критической температуры резистивная модель, в которой емкость единицы площади перехода С3 оказывается достаточно малой [2]: С3 <С фо/2тгцсВ.1, где Л3 - сопротивление единицы площади туннельного перехода, фо = 7гГгс/|е| = 2,05- Ю-' Э • см2 - квант магнитного потока. В таких условиях для разности фаз <р волновых функций куперовских пар по разные стороны перехода может быть использовано следующее интегродифференциальное уравнение (см., напр., [3]):
д<р(гЛ) I ¿г' д<р{г'Л) . , .
-ы
где ¿о = фо^ксНаЗс - релаксационное время, I = сф0/ 16тг2\21 с - характерный размер вихрей АД, 7(<) = ](1)/]с - безразмерный ток закоротки перехода. Интегральный оператор
в уравнении (1) отвечает преобразованию Гильберта. Во всех ограниченных выражениях принимается N = оо. В оценках, во всяком случае, N /.
В работе [4] было получено стационарное решение этого уравнения, описывающее покоящийся уединенный вихрь. Для нас полезен результат работы [5]
<p(z,t) = 0(f) + 7Г + 2arctg
- ~o(t)
(2)
P(t)
описывающий бегущий под действием тока закоротки уединенный вихрь АД. Подстановка (2) в (1) при использовании соотношения
+оо
ах 7Г у
/
(1+®а)(у-х) 1+2/2
приводит, согласно [5], к системе уравнений
0 + sin0 = 7(¿), (3)
р + р cos 0 = /, (4)
¿ + /9 sin 0 = 0. (5)
Здесь точка означает производную по безразмерному времени г = ¿/¿о-
На основе соотношений (2) - (5) в работе [5] было рассмотрено воздействие на вихрь АД постоянного во времени тока закоротки и тока, меняющегося во времени по гармоническому закону с частотой из. В первом случае рассмотрение было точным, а в случае периодического тока было получено лишь приближенное описание.
В настоящем сообщении излагаются в резистивном приближении (1) результаты точного решения для нелинейного поведения вихря АД под действием периодического тока закоротки, изменяющегося по закону
7(0 = (-1)"7о = 7», ^ < * < Ц1^ (6)
(см. рис. 1) с периодом Т = 2n/Q, где 70 = const. Для получения интересующего нас описания полезно, прежде всего, записать решение, отвечающее случаю y(t) = const, подобное использованному в работе [5], но при произвольных начальных условиях:
0<Г) = 2a,Ctgl-7tgl0(r = O)/21 + /(x,7V
Yo
"Yo
Т/2
ЗТ/2
2Т
Рис. 1. Прямоугольная форма тока (6), допускающая точное аналитическое решение уравнений (3) - (5).
Т т т
р(т) = р{т = 0) ехр(— J dr' cos 0(т')) + IJ dr' exp(- J dr" cos 0(r")),
0 Or'
r
г0(т) = го(r = 0) - J dr' sin O(r'), (9)
где
f(r, J2) = yjl — 72cth(^/l — 72r/2).
(10)
В рассмотренном в работе [5] случае постоянного тока решение (7) релаксирует к значению 0(т = оо) = aгcsin7. В нашей ситуации нас будет интересовать установившееся решение с периодичностью (6). Для этого прежде всего сошьем два решения вида (7), отвечающих противоположным значениям 7 = 70 и 7 = —70 для соседних полупериодов, и подчиним общее решение условию периодичности. В результате получаем:
в(т) = 2arctg¿(г), ^ < г <
(П)
где
При этом
с, ч р /и , т \п7о + £о[/(т ~ пТ/'Ир, 7р) — 1] «г) = ¿.(г) = (-1) 1_7о6 + /(т_пГ/2^7о2).
£о = -{/(Г/2^о,7о2) ± /Р(Г/2^о,7о2)+7о2}-7о
(12)
(13)
Далее мы ограничимся обсуждением следствий, связанных с решением, отвечающим нижнему знаку формулы (13), которое в пределе Т 2<0 близко к стационарному пределу решения (7) 0 = агсзш7. Следует отметить, что за половину периода £(т) меняет знак.
Решение уравнения (4) в замкнутой форме можно представить в виде р(т) = Щ£(т)). При этом:
то=0)+
1+? 1 + Й-2^О/7О
+
/[1 + ^2-2е/7(г)] (1-72)(И-Г)
2(1-£/7(т)) 2(1
[1 + £2-2£/7(т) 1+^-2^/70
(14)
7
\/1 - 7'
:1П
[7(т)£ -1 + у/1- 72(г)][7о(о -1 + ^/1-7^ Ь(г)( ~ 1 - ^/1-72(т)]ЫО - 1 - \Л - 7о]
где
/ вЬагсЬа; — £7д ~ 72 5Ь.тУсЬ2.т - 7о '
(15)
где ж = VI — 12{Т/И0).
Остановимся теперь на зависимости от времени скорости перемещения вихря ¿о, для которой, согласно (5), (11), можно записать соотношение:
2£
*о = ~ттёт- (16)
В среднем по периоду скорость перемещения вихря равна нулю. При этом она меняет знак в моменты времени £п, определяющиеся уравнением
/((/„ - пТ/2)/<о,7о2) = 1 + \Д - 7о2с1Ьх + х/(1-7о2)сиа2х + 7о2
(17)
и отвечающие обращению в нуль Поскольку для функции 2о(г) = Z(£(т)) уравнение (16) дает
^ _ (18) (1+£2)[7(1 + £2)-2£Г 1 ;
то очевидно, что в конце каждого полупериода абсолютная величина скорости достигает максимального значения
7о/ яЬ.г-сЬ.т - 7д.г |2°и" " ^ _ 72 • 1191
Расмотрим теперь изменение во времени энергии джозефсоновского перехода Е, отнесенной к единице поверхности. Прежде всего, отметим, что
<ЕЕ щ +со (И
2|е| У
(20)
где интеграл понимается в смысле главного значения. В частности, верхний и нижний пределы отвечают и —N, которые стремятся к бесконечности. Первое слагаемое под интегралом (20) отвечает мощности тока закоротки, передаваемой вихрю, второе - диссипации, обусловленной сопротивлением контакта. Очевидно, что в среднем за период эти два вклада компенсируют друг друга. В этом можно убедиться и непосредственным вычислением.
Определим далее усредненную по периоду передаваемую вихрю мощность тока.
1 1 О -оо
Подстановка в правую часть (21) выражения (2) и элементарное интегрирование дает:
Q = Ql + <Э2, (22)
= -(8^/|е|Т)ЛГа1ч^о, (23)
= (2*ПЦ\е\Т)Щ1о) - ¿(-6.)], (24)
где 7 - амплитуда тока в контакте. В пределе N—>00 формула (23) отвечает той части передаваемой мощности тока, которая соответствует первому независящему от координат слагаемому правой части формулы (2) и сохраняющемуся в пределе 1 = 0, когда пространственная неоднородность, обусловленная вихрем АД, несущественна.
Используя явное выражение (13), формулу (23) можно представить в следующем виде:
8ЯУ \/с\х2х - 7о2 - у/1 - 7о2сЬ.т
Я1 = N —— аг^--, (25)
| е\1 7озп.т
где снова х = ^Д — 7о(Т/4£о)-В пределе малых ж, когда
•г' < \Л -7о или Г « 4«0, (26)
формула (25) сводится к
<2х = (27)
что отвечает обычному выражению для омических потерь пространственно однородного тока. В противоположном пределе
х > 1, (28)
формула (25) дает:
Р
8Й; Зс-у/]?^, Чг= N Т— агс^-:-. (29)
Мг з
<.1
Выражение под арктангенсом, вообще говоря, не мало. В пределе] <С ]с из (29) получаем
(30>
Выражения (29), (30) не зависят от омического сопротивления, поскольку предел (28) отвечает пределу —* 0 или, что то же самое, Д, —> оо. Поэтому в (29), (30) определяется сверхпроводящим током через контакт. Отметим, что в [5] вклад в мощность работы, совершаемой током, не обсуждался. Подчеркнем, что в пределе Т = оо выражения (29), (30) обращаются в нуль при конечной длине N перехода. Обратимся теперь к выражению (24). Согласно формуле (1в)
= . (во
Подстановка в правую часть (31) выражения (14) и интегрирование дают:
27п/ хсЬж — вЬ-т
(32)
Это позволяет записать
.тсЬа: — вЬя
В пределе малых х (26) отсюда, в частности, получаем
о-й"*'(¡У1 <34>
что составляет малую поправку к выражению (27). В противоположном пределе больших х (28) из формулы (33) следует:
<22 = 2жт, , (35)
что при ] < (т.е. 70 <С 1) отвечает омическим потерям на участке порядка размера вихря АД ~ 27г/. Из формулы (35) видно, что при —> возрастает по закону (]2 —
рс у1/2. Это отвечает квазистационарному решению уравнений (3), (4), когда в пределе Т £ о пренебрегается производными 0. р. Подобный случай разобран в статье [5] для гармонического тока. Однако детальное рассмотрение показывает, что пренебрежение производными в (3), (4) справедливо лишь при
о7о/(1-7о), (36)
что нарушается при 70 —► 1. Общая формула (33) дает конечные значения $2 (при ] —» ]с) при больших, но конечных Т.
Отношение (35) к (29) имеет вид:
(¿1 с2 КВТ
-1
,2
и - \1з2с - Р
arctg-—.-
3
(37)
«1 64А2 " фТ^
В формуле (37) множитель, зависящий от ], минимален и равен 2 при ] <С зс- Таким образом, для любых ]
Q2/QO
Q2/Q0
Рис. 2. Зависимость мощности Q2, обусловленной диссипацией вихря, от безразмерной амплитуды тока 7о (формула (39)) для значений периода тока закоротки Т — 8t0 (1), 16<о(2) иТ оо (3).
Рис. 3. Зависимость мощности вихревой диссипации Qo от безразмерного периода тока T/t0 (формула (39)) для = 0,5(1), 0,8(2), 09(3).
£2 с2 Я3Т
д^шгг'
и для достаточно большого отношения периода Т осциллирующего тока к не слишком большой длине 2АГ джозефсоновского перехода потери, определяющиеся передачей мощности тока закоротки пространственно неоднородному вихрю, оказываются основными. Такому случаю соответствует пренебрежение статьи [5] вкладом в мощность работы тока.
Итак, при помощи выбора удобной периодической зависимости тока от времени мы описали поведение вихря АД при произвольных периодах сигнала и амплитудах, вплоть
до ]с. Среднепериодическое значение мощности, диссипируемой вихрем в этом случае, описано формулой (33), которую также можно записать в виде:
Зависимость (^2 от параметров сигнала Т и ] показана на рис. 2, 3. Она может быть полезна для дальнейшего теоретического исследования вихрей АД в резистивной модели с большой критической плотностью тока. Так как генерация прямоугольных импульсов тока не представляет большой сложности, полученный результат может быть использован и при экспериментальных исследованиях вихрей в джозефсоновских структурах.
Работа выполнена при частичной поддержке Научного совета ВТСП (проект N 95008) и РФФИ (проект N 96-02-17303) и государственной поддержке ведущих научных школ (проект N 96-15-96750).
[1] А 1 i е v Yu. М., А 1 f i ш о v G. L., О v с h i n n i k о v K. N. et al. Low Temp. Phys., 22 (6), 477 (1996).
[2] L i k h a r e v К. K. Rev. Mod. Phys., 51 (1), 101 (1979).
[3] С и л и н В. П. ЖЭТФ, 112 (4), 1396 (1997).
[4] Куприянов М. Ю., Лихарев К. К., Семенов А. К. Физика низких температур, 2 (6), 706 (1976).
[5] Gurevic h A. Physica, С243, 191 (1995).
4i0 7о axh.x — shrc
(39)
где
Qo = 7rhjcl/\e\t0.
(40)
ЛИТЕРАТУРА
Поступила в редакцию 2 марта 1998 г.
