CC BY
13
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 2
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ INFORMATICS, COMPUTER ENGINEERING AND CONTROL
УДК 004.942: 621.3.082.7 DOI: 10.17213/0321-2653-2018-2-7-13
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ НЕУПОРЯДОЧЕННОГО S-I-S КОНТАКТА СО СЛУЧАЙНЫМИ КВАНТОВЫМИ ЗАКОРОТКАМИ В I-СЛОЕ
© 2018 г. Н.В. Кирпиченкова, К.В. Крыжановский
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия
MATHEMATICAL MODEL OF THE ELECTRODYNAMICS OF THE DISORDERED S-I-S CONTACT WITH STOCHASTIC QUANTUM
SHORTING IN THE I-LAYER
N.V. Kirpichenkova, K.V. Kryzhanovskiy
Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia
Кирпиченкова Наталья Валерьевна - д-р физ.-мат. наук, доцент, директор института фундаментального инженерного образования, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: wkirpich@rambler.ru
Крыжановский Константин Викторович - математик, системный программист. E-mail: ccxq@ya.ru
Kirpichenkova Natalya Valeryevna - Doctor of Physics and Mathematics Sciences, assistant professor, Director of the Institute of Fundamental Engineering Education, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: wkirpich@rambler.ru
Kryzhanovskiy Konstantin Viktorovich - Mathematician, system programmer. E-mail: ccxq@ya.ru
Сформулирована математическая модель для исследования электродинамических процессов в неупорядоченном S-I-S контакте (S - сверхпроводник, I - изолятор). Основное уравнение математической модели вихревых токов в неупорядоченном S-I-S контакте представляет собой стохастически возмущенное случайными квантовыми закоротками нестационарное уравнение sin-Gordon. Для низкоомного и высокоомного неупорядоченных контактов приведены результаты численного расчета резонансов средней туннельной проводимости и интенсивности пространственного «шума» туннельной проводимости, обусловленных квантовыми закоротками в I-слое таких контактов.
Ключевые слова: математическая модель; вихретоковые процессы; неупорядоченный контакт; случайные квантовые закоротки; туннельная проводимость; пространственный «шум» туннельной проводимости.
A mathematical model for the investigation of electrodynamic processes in a disordered S-I-S contact (S-superconductor, I-insulator) is formulated. The basic equation of the mathematical model of eddy currents in a disordered S-I-S contact is a nonstationary sin-Gordon equation stochastically perturbed by random quantum shortcuts. For low-resistance and high-resistance unordered contacts, the results of a numerical calculation of the resonances of the average tunneling conductivity and the intensity of the spatial «noise» of tunneling conduction due to quantum short-circuits in the I layer of such contacts are presented.
Keywords: mathematical model; eddy current processes; disordered contact stochastic quantum shorting; tunneling conductivity; spatial «noise» of tunneling conduction.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE.
2018. No 2
Введение
Физическая модель рассматриваемого в данной работе длинного неупорядоченного S-I-S туннельного контакта [1 - 4] состоит в следующем (рис. 1). Контакт находится при температуре T = 0 во внешнем магнитном поле (о, Hy ,0).
Одинаковые S-берега контакта разделены I-слоем с характерными размерами: длина Lx » X j (длинный контакт), который в рамках рассматриваемой модели в теоретических формулах формально может считаться бесконечным: Lx =ю, ширина Ly «X J (узкий контакт) Xj -
джозефсоновская глубина проникновения магнитного поля в контакт, толщина Lz ~ 10 a, где
a ~ 10_1° м - межатомное расстояние. Высота потенциального барьера (для туннелирующих электронов) I-слоя: Uо = const. Внутри I-слоя случайно распределены одинаковые притягивающие электроны примеси, на которых происходит рассеяние туннелирующих через I-слой электронов. TV »1 — полное число примесей в I-слое, Г^ = , 72,..., TN } - их случайная пространственная конфигурация в I-слое, r - координаты примесей. Ео - энергия локального электронного уровня на примеси,
а"1 =
= [lm(Uо - Ео )/h 2 J
И/2
характерный ради-
ус локализации электронной волновой функции на уровне Е0, где т - масса электрона, % - постоянная Планка. Примеси распределены макроскопически однородно по объему V = ЬхЬуЬ2 I-
слоя с безразмерной концентрацией с = па-3 <<1, (п = ) - модель слабого структурного беспорядка. Уровень Ферми контакта ц< и о находится в ближайшей окрестности уровня Е0 - внутри энергетического спектра туннельных резонансов, ассоциированных с квантовыми резонансно-перколяционными траекториями (КРПТ) [5]. При этом наибольший интерес представляет область энергий - Ео | < у, Л < у << ц, где у - характерная энергетическая ширина существенных туннельных резонансов, А - энергетическая щель сверхпроводящего конденсата (электронных куперов-ских пар) в ^-берегах контакта. Волновая функция сверхпроводящего конденсата в ^-берегах имеет вид: у12 = у^ехр^'ф^), где ф1 и ф2 - фазы этой волновой функции в каждом из ^-берегов
[6, 7]. Модуль этой волновой функции, как обычно в таких задачах, считается постоянным Уо = const, не возмущенным слабой туннельной связью через I-слой между S-берегами [1, 8], а возмущается лишь разность фаз ф = ф1 - ф2 между S-берегами.
L7
Рис. 1. Физическая модель джозефсоновского контакта с
примесями в I-слое, помещенного в параллельное плоскости контакта магнитное поле (0, Hy, 0), большее нижнего критического XJ — характерный размер джозефсоновского вихря. Точки в I-слое символизируют
примеси / Fig. 1. The physical model of the Josephson junction with impurities in the I-layer, placed in a magnetic field parallel to the plane of contact (0, Hy, 0), is greater than
the lower critical one XJ - is the characteristic size of a Josephson vortex. Points in the I-layer symbolize impurities
Математическая модель
Основное уравнение математической модели вихревых токов в длинном S-I-S контакте, находящемся в магнитном поле, следует из уравнения Максвелла
т? - dD
rotH = j +-,
dt
которое для рассматриваемой геометрии контакта и магнитного поля (рис. 1) принимает вид [1]:
3Hy _y
д x
- = Jz +£ о s"
дЕ,
dt
(1)
где ]2 - плотность туннельного тока в 1-слое контакта, 80 - диэлектрическая проницаемость вакуума, 8 - относительная диэлектрическая проницаемость 1-слоя, Е2 = V/Ьг - напряженность электрического поля в 1-слое, V - электрическое напряжение на контакте. Отметим, что в условиях длинного (Ьх »X J ) и узкого (ьу <<Х J )
контакта, зависимостью всех физических полей в контакте от пространственной переменной у можно пренебречь [1, 8].
Плотность тока включает в себя два слагаемых
Л = Л + ]п, (2)
где - плотность сверхтока через контакт, ]п - плотность нормального тока через контакт.
0
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 2
Плотность нормального тока равна V 1 й дф
Jn =
RT (V) RT (V) 2e dt '
(3)
Js = Jcsin ф ;
v=h ^ •
(4)
2е дt
н - й •дф
у 2ц о ed дх
где е - заряд электрона; ц о - магнитная проницаемость вакуума; d = + 2Х 1, Xь - лондо-новская глубина проникновения магнитного
поля в ^-берега контакта, ]с = g — критиче-
2е
ская плотность сверхтока через /-слой, g — не зависящая от температуры туннельная проводимость контакта в нормальном состоянии.
Кроме того, при исследовании динамики джозефсоновского вихря в рассматриваемом неупорядоченном контакте в правую часть уравнения (1) будет включаться еще создаваемая внешним источником равномерно распределенная вдоль контакта плотность тока ]г, компенсирующая радиационные потери, обусловленные рассеянием вихря на квантовых закоротках (плотность тока «смещения» [1, 2, 4]), и тем самым обеспечивающая возможность его равномерного движения в неупорядоченном контакте. При этом для того, чтобы выделить в чистом виде радиационные потери, обусловленные рассеянием вихря, именно на квантовых закоротках, мы не будем учитывать омические потери в контакте (]п = о) и ту часть тока «смещения», которая компенсирует эти потери [2].
Подставляя теперь соотношения (2) - (4) в уравнение (1), получаем уравнение для разности фаз ф = ф(х, ?) [2]:
52ф
dx2
1 d^ 2 .
= kJ sin Ф + 0Г
c02 dt2
(5)
-да < x < да, t > 0
где Ят (V) — некоторое, зависящее от температуры Т сопротивление (на единицу поверхности) контакта. При Т ^ 0 сопротивление Ят (V) ^ да для напряжений V < 2Л/е [8], а ]п ^ 0 .
Плотность сверхтока напряжение V и напряженность магнитного поля Ну связаны с разностью фаз макроскопической волновой функции сверхпроводящего конденсата ф = ф! - ф2 в
^-берегах контакта соотношениями Джозефсона [!]:
(
где Со = харта -
\
Ц о в о Bd
2
'О
= С
в d
2
— скорость Сви-
уг-и~0 у увd У скорость распространения электромаг-
нитных волн вдоль контакта, с
, С = (ц ов о) 12 —
скорость света в вакууме,
kj =
лц о d А
Й
g,0r =
2ц о ed Й
Jr
(6)
здесь X ^ - случайная джозефсоновская глубина проникновения магнитного поля в 8-1-Б контакт.
Уравнение (5) должно дополняться соответствующими начальными и граничными условиями, зависящими от постановки конкретной задачи. Это уравнение, вместе с соотношениями
(4), является основным уравнением математической модели для исследования электродинамики вихретоковых процессов в 8-1-Б контакте, находящемся в магнитном поле. Схематически это исследование выглядит так: сначала решается уравнение (5), а затем на основе этого решения с помощью соотношений (4) исследуется электродинамика.
Существенным отличием рассматриваемой здесь модели от других моделей вихревых токов в 8-1-Б контактах является случайный характер туннельной проводимости контакта g , обусловленный упругим рассеянием туннелирующих через /-слой электронов на случайно расположенных в этом слое примесях. Причем в рассматриваемой области параметров контакта случайная туннельная проводимость g определяется случайными КРПТ (случайными квантовыми закоротками), возникающими в неупорядоченном (с примесями в /-слое) туннельном контакте
[5]. Случайный характер туннельной проводимости g определяет статистические свойства случайного параметра (6), входящего в правую часть основного уравнения математической модели (5). Представим этот случайный параметр в следующем виде:
' — (7)
kj = (kj2) [1 + v(x)],
где (...) - символ усреднения по ансамблю случайных примесных конфигураций |Г N },
1
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 2
r,2\ =
к
(x) =
яц о d Л
g-
g (x)-g
g
(8) (9)
- средняя туннельная проводимость неупорядоченного /-слоя; у(х) - случайная функция -относительное отклонение случайной туннельной проводимости неупорядоченного /-слоя от своего среднего значения - пространственный «шум» туннельной проводимости /-слоя.
Подставляя (7) в (5), запишем последнее в виде [2]:
д2 ф б^ф-/ л -2 dx2 c2 dt2 -<х>< x <<х>, t > 0.
= (х j2^ [l + v( x)] sin ф + 5г,
(10)
Для завершения формулировки математической модели необходимо иметь выражения: для средней туннельной проводимости неупорядоченного /-слоя , определяющей параметр
(х ^ (8), среднего значения случайной функции
(у(х)) (9) и корреляционной функции (у(х)-у(х')) , которые даются их выражениями,
полученными в рамках теории КРПТ, развитой для неупорядоченных /-слоев [3, 5]:
g =
%e
N ж , ч 2 С \ о Z J pm (u)e у(и) du + gо
m=1 L/m
j(v(x)> = 0,
{(v(x)v(x')} = wS(x-x'),
, 2(ц- go )2
(ц-go )2
a
w =
2
%e
Щ
, (11)
(12)
aar
L
^ / \ 2/ \ Z J Pm (u) e ) du, (13)
1 m=1 L/m
2 2 a к
an =
77 \ 2 2m
= ~T(Uo -go), к =тг
я 4 (a 2 +к 2 )2' 2m
a
/ \ 2Й 2-1 -u
y(u) =-a u e
m
туннельного резонанса для КРПТ с безразмерным шагом и = а- 2у, где 2у - расстояние между соседними примесями вдоль КРПТ, = аЬу -безразмерная ширина /-слоя,
2 0 2 (m, u )]m 1
вероят-
„ ( \ 2 т -стл и3
/>т (и) = а с е
ность возникновения (в расчете на единицу площади неупорядоченного /-слоя) га-примесной КРПТ с безразмерным шагом и, б(т, и) - угол, характеризующий
g0 = 4я3а0a2L 1e 2L
извилистость КРПТ, - туннельная прозрачность «пустого» (без примесей) /-слоя, Ь = аЬ2 -безразмерная толщина /-слоя.
Соотношения (10) - (13) вместе с соответствующими начальными и граничными условиями представляют собой математическую модель неупорядоченного 8-/-8 контакта с квантовыми закоротками в /-слое.
Туннельная проводимость неупорядоченного /-слоя
На рис. 2, 3 в качестве примера приведены результаты численного расчета обусловленных квантовыми закоротками резонансов средней туннельной проводимости неупорядочен-
ного контакта (в логарифмическом масштабе) на плоскости (ц — Ео, с) для низкоомного контакта. Более узкий и высокий пик туннельной проводимости учитывает вклад однопримесных туннельных резонансов, ассоциированных с КРПТ, проходящих через одну примесь.
s"3 Е0, эВ
энергетическая ширина
Рис. 2. Поверхность туннельных резонансов проводимости неупорядоченного контакта над плоскостью (ц - Е0, с), ц = 5 эВ. Случай низкоомного контакта (е)0 = 3 • 108 Ом-1 м- / Fig. 2. The surface of the tunnel resonances of the conductivity of a disordered contact above the plane (ц - Е0, с), ц = 5 эВ. Low-resistance contact <g)0 = 3 • 108 Ом-1 м-2
Увеличение туннельной проводимости в максимуме однопримесного резонанса по сравнению со случаем «пустого» контакта примерно полтора порядка, а его энергетическая ширина у1~10- эВ. Более низкий и широкий пик учиты-
Й
Й
2
Ц
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 2
вает вклад двупримесных туннельных резонан-сов, ассоциированных с КРПТ, проходящими через две примеси. Увеличение проводимости в максимуме двупримесного резонанса примерно на порядок, а его характерная ширина у2~10-2 эВ. Резонансы, соответствующие га-примесным КРПТ (т > 3), не проявляются вследствие весьма малой вероятности их реализации.
0,0227 0,0199 0,0170 0,0142 0,0114
0,0085 0,0057 0,0028 0 / i / V 2 Е0, эВ
8
4,89 4,9 4,9 4,97 4,9 5,0 5,05 5,07 5,10
с
0,005 0,00438 0,00375 0,00313-= 0,0025 0,001870,00125 6,25-10-4 0
4,995
4,999
5 5,001 б
5,004
Е0, эВ
Рис. 3. Резонансы туннельной проводимости неупорядоченного I-слоя. Линии уровня для вклада: а - двупримесных резонансов; б - однопримесных
туннельных резонансов. Случай низкоомного контакта (g)0 = 3 - 108 Ом-1 м-2 / Fig. 3. Resonances of the tunneling conductivity of a disordered I-layer. Level lines for the contribution: а - of two-impurity resonances; б - of single-impurity tunnel resonances. The case of a low-resistance contact (g)0 = 3 - 108 Ом-1 м-2
На рис. 4, 5 приведены результаты аналогичного расчета для высокоомного контакта. Обратим внимание на чрезвычайно малую энергетическую ширину однопримесного резонанса
Yj ~ 10"5 эВ, что на два порядка меньше характерной ширины «сверхпроводящей» энергетической щели, используемой в дальнейших расчетах: Д = 10"3 эВ.
it )
„™ -L-' ! I
ты. ' - ■ - 1
Еп, эВ
Рис. 4. Поверхность туннельных резонансов проводимости неупорядоченного контакта над плоскостью (ц - Е0, с), ц = 5 эВ. Случай низкоомного контакта (g)0 = 3 • 105 Ом-1 м-2 / Fig. 4. The surface of the tunnel resonances of the conductivity of a disordered contact above the plane (ц - Е0, с), ц = 5 эВ. Low-resistance contact <g)0 = 3 • 105 Ом-1 м-2
с
0,014 0,0123 0,0105 0,0088 0,007 0,0053 0,0035 0,0018
0 4,97
Е0, эВ
4,985
5,015
5,03
с
0,00135
4,9997 4,99985
Ш
5
6
Е0, эВ
5,00015 5,0003
Рис. 5. Резонансы туннельной проводимости неупорядоченного I-слоя. Линии уровня для вклада: а - двупримесных резонансов; б - однопримесных
туннельных резонансов. Случай высокоомного контакта (е)0 = 3 - 105 Ом-1 м- / Fig. 5. Resonances of the tunneling conductivity of a disordered I-layer. Level lines for the contribution: а - of two-impurity resonances; б - of single-impurity tunnel resonances. The case of a high-resistance contact (g)0 = 3 - 105 Ом-1 м-2
а
5
а
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 2
Поэтому в рамках рассматриваемой математической модели, где требуется Л < у , этот резонанс «не работает», и учитываются лишь двупримесные резонансы. Как и в случае низкоомного контакта га-примесные (га > 3) туннельные резонансы не проявляются на фоне проводимости «пустого» I-слоя.
На рис. 6, 7 для случая низкоомного контакта приведены результаты численных расчетов для относительных среднеквадратичных флук-туаций - интенсивности пространственного «шума» туннельной проводимости неупорядоченного контакта, усредненного на характерном масштабе решаемых задач - джозефсоновской
длине: v =(v
1/2
W X
2
12
, где w - пара-
метр корреляционной функции (13).
М1(ц - Eo, с)
Е0, эВ
0,015'
0,01
0,005
4,95
5,05
Е0, эВ
0,004'
0,002.
1 Е0, эВ
4,996 4,998 5
б
5,002 5,004
Рис. 7. Интенсивность пространственного «шума» туннельной проводимости неупорядоченного контакта. Линии уровня для вклада: а - двупримесных резонансов; б - однопримесных
туннельных резонансов. Случай низкоомного контакта / Fig. 7. The intensity of the spatial «noise» of the tunneling conductivity of a disordered contact. Level lines for the contribution: а - of two-impurity resonances; б - of single-impurity tunnel resonances. The case of a low-resistance contact
с
0
5
а
с
J
0
Рис. 6. Интенсивность пространственного «шума»
туннельной проводимости низкоомного неупорядоченного контакта / Fig. 6. The intensity of the spatial «noise» of the tunneling conductivity of a low-resistance disordered contact
Результаты расчетов показывают, что эти флуктуации малы: ||v|| ~ 10 2 . Таким образом, средняя туннельная проводимость (g рассматриваемого неупорядоченного контакта является хорошо определенной величиной на характерных пространственных масштабах решаемых задач.
На рис. 8, 9 приведены аналогичные результаты численных расчетов для высокоомного контакта.
Рис. 8. Интенсивность пространственного «шума» туннельной проводимости высокоомного неупорядоченного контакта / Fig. 8. The intensity of the «noise» of the tunneling conductivity of a high-resistance disordered contact
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 2
0,015
0,01
0,005
8-10"4
6-10
4-10 2-10
Е0, эВ
4,998 4,99
5,01 5,0 22
б
Рис. 9. Интенсивность пространственного «шума» туннельной проводимости неупорядоченного контакта. Линии уровня для вклада: а - двупримесных резонансов; б - однопримесных
туннельных резонансов. Случай высокоомного контакта / Fig. 9. The intensity of the spatial «noise» of the tunneling conductivity of a disordered contact. Level lines for the contribution: а - of two-impurity resonances; б - of single-impurity tunnel resonances. The case of a high-resistance contact
Таким образом, основное уравнение математической модели (10) представляет собой нестационарное нелинейное стохастическое уравнение sin-Gordon, статистические свойства которого определяются соотношениями (11) - (13).
Литература
1. Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. Физика и применение. М.: Мир. 1984. 639 с.
2. Минеев М.Е., Фейгельман М.В., Шмидт В.В. Движение
джозефсоновского вихря в поле случайного потенциала // ЖЭТФ. 1981. Т. 81. С. 290 - 298.
3. Кирпиченков В.Я. Влияние квантовых резонансно-перколяционных траекторий на параметры джозефсоновского вихря // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. С. 294 - 296.
4. Кирпиченков В.Я. Теория стохастического туннелирова-ния в неупорядоченных наноструктурах. М.: Экономическое образование, 2006. 193 с.
5. Лифшиц И.М, Кирпиченков В.Я. О туннельной прозрачности неупорядоченных систем // ЖЭТФ. 1979. Т. 77. С. 989-1016.
6. Абрикосов А.А. Основы теории металлов. М.: Наука,
1987. 520 с.
7. Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников: 2-е изд. М.: Наука, 2000. 397 с.
8. Кулик И.О., Янсон И.К. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах. М.: Наука, 1970. 272 с.
с
c
5
References
1. Barone A., Paterno Dzh. Effekt Dzhozefsona. Fizika i primenenie [Physics and Applications of the Josephson Effect]. Moscow: Mir, 1984. 639 p.
2. Mineev M.E., Feigel'man M.V., Shmidt V.V. Dvizhenie dzhozefso-novskogo vikhrya v pole sluchainogo potentsiala [The motion of a Josephson vortex in the field of a random potential ]. ZhETF= Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1981, Vol. 81, pp. 290 - 298. (In Russ.)
3. Kirpichenkov V.Ya. Vliyanie kvantovykh rezonansno-perkolyatsionnykh traektorii na parametry dzhozefsonovskogo vikhrya [Influence of quantum resonant-percolation trajectories on the parameters of a Josephson vortex ]. ZhETF= Journal of Experimental and TheoreticalPhysics,2007, Vol. 132, pp. 294 - 296. (In Russ.)
4. Kirpichenkov V.Ya. Teoriya stokhasticheskogo tunnelirovaniya v neupo-ryadochennykh nanostrukturakh [The theory of stochastic tunneling in disordered nanostructures]. Moscow: Ekonomicheskoe obrazovanie, 2006, 193 p.
5. Lifshits I.M, Kirpichenkov V.Ya. O tunnel'noi prozrachnosti neupo-ryadochennykh system [Tunnel transparency of disordered systems ]. ZhETF= Journal of Experimental and Theoretical Physics ,1979, Vol. 77, pp. 989 - 1016. (In Russ.)
6. Abrikosov A.A. Osnovy teorii metallov [Fundamentals of the theory of metals]. Moscow: Nauka, 1987, 520 p.
7. Shmidt V.V. Vvedenie v fiziku sverkhprovodnikov [The physics of superconductors]. Moscow: Nauka, 2000, 397 p.
8. Kulik I.O., Yanson I.K. Effekt Dzhozefsona v sverkhprovodyashchikh tunnel'nykh strukturakh [The Josephson Effect in Superconductive Tunnel-ing Structures]. Moscow: Nauka, 1970, 272 p.
Поступила в редакцию /Receive 13 февраля 2018 г. /February 13, 2018
