Конечно-разностная схема для стохастически возмущенного линеаризованного уравнения sin-Gordon Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.942: 621.3.082.7 DOI: 10.17213/0321-2653-2017-1-32-36

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИ ВОЗМУЩЕННОГО ЛИНЕАРИЗОВАННОГО УРАВНЕНИЯ SIN-GORDON

FINITE-DIFFERENCE SCHEME FOR STOCHASTICALLY PERTURBED LINEARIZED EQUATION SIN-GORDON

© 2017 г. Н.В. Кирпиченкова, В.Я. Кирпиченкова, A.A. Пухлова

Кирпиченкова Наталья Валерьевна - д-р физ.-мат. наук, доцент, директор института фундаментального инженерного образования, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: [email protected]

Кирпиченкова Валентина Яковлевна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Производственный и инновационный менеджмент», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: [email protected]

Пухлова Анастасия Александровна - помощник проректора организационного отдела, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: od.npi@ rambler.ru

Kirpichenkova Natalya Valeryevna - Doctor of Physics and Mathematics Sciences, assistant professor, Director of the Institute of Fundamental Engineering Education, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]

Kirpichenkova Valentina Yakovlevna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Industrial and Innovation Management», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]

Puhlova Anastasia Aleksandrovna - assistant prorector; Organization department, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]

В реальных джозефсоновских контактах присутствуют различные искажения в слое изолятора этого контакта, в частности, случайные квантовые закоротки. Наличие случайных квантовых зако-роток приводит к необходимости рассматривать стохастически возмущенное уравнение sin-Gordon в качестве математической модели вихретоковых процессов в реальных джозефсоновских контактах. Математическая сложность и «многопараметричность» этой модели делают весьма затруднительным её достаточно точное аналитическое исследование в широкой области параметров модели, что приводит к необходимости разработки численных методов и основанных на них компьютерных моделей, предназначенных для анализа электродинамики вихретоковых процессов в таком контакте. В этой связи здесь получена усредненная конечно-разностная схема для численного решения стохастически возмущенного линеаризованного уравнения sin-Gordon, предназначенная для математического моделирования вихретоковых процессов малой амплитуды в неупорядоченных джозефсоновских контактах.

Ключевые слова: математическое моделирование; конечно-разностная схема; вихретоковые процессы; стохастически возмущенное линеаризованное уравнение sin-Gordon; неупорядоченный контакт; квантовые закоротки.

In real Josephson junctions are present in the various distortions of the contact layer of the insulator, in particular, random quantum shorting. The presence of quantum stochastic short-circuiting leads to the need to consider a stochastically perturbed equation sin-Gordon as a mathematical model of eddy current processes in real Josephson junctions. The mathematical complexity and many parameters dependence of this model makes it very difficult to sufficiently accurate analytical study a broad range of model parameters, which leads to the need for numerical methods and computer-based models are designed for the analysis of eddy current electrodynamic processes in such contact. In this regard, there is obtained averaged finite-difference scheme

for the numerical solution of stochastic perturbed linearized equation sin-Gordon, is designed for mathematical modeling of eddy current processes of small amplitude in disordered Josephson junctions.

Keywords: mathematical modeling; finite-difference scheme; eddy current processes; stochastically perturbed linearized equation sin-Gordon; disordered contact; quantum shorting.

Введение

Электродинамике джозефсоновских S-I-S контактов посвящено огромное число публикаций, эта тематика отражена в многочисленных обзорах, монографиях и учебниках, что обусловлено как фундаментальностью самой проблемы, так и уже широким спектром применения скви-дов (SQUID - Superconducting QUantum Interference Device) - устройств на основе джозефсо-новских контактов в различных областях науки и техники. В качестве перспективных исследуются, например, возможности создания элементной базы квантовых суперкомпьютеров на базе джо-зефсоновских контактов. В этой связи следует отметить фундаментальную монографию А. Бароне и Дж. Патерно [1].

Одним из направлений электродинамики джозефсоновских S-I-S контактов является исследование вихревых токов и, в том числе, уединенных джозефсоновских вихрей, появляющихся в контактах, находящихся в параллельном плоскости контакта внешнем магнитном поле, превышающем нижнее критическое значение. Джо-зефсоновский вихрь (флуксон) несет квант магнитного потока и может перемещаться вдоль контакта при приложении к этому контакту внешнего напряжения. Это направление исследований связано, в частности, и с практически важной задачей изучения транспорта информации (один бит = один флуксон) вдоль длинных джозефсоновских контактов - джозефсоновских линий связи, соединяющих логические элементы в перспективных компьютерах, основанных на джозефсоновской технологии [1].

Электродинамика вихревых токов в длинных идеальных джозефсоновских контактах давно и хорошо изучена на основе математической модели, основанной на нелинейном уравнении sin-Gordon [1]. Вместе с тем, в реальных джозеф-соновских контактах присутствуют различные искажения в слое изолятора этого контакта, в частности, случайные квантовые закоротки, обнаруженные и исследованные в [2]. Наличие случайных квантовых закороток приводит к необходимости рассматривать стохастически возмущенное уравнение sin-Gordon [3 - 9] в качестве математической модели вихретоковых процессов в реальных джозефсоновских контактах.

Вместе с тем математическая сложность и «многопараметричность» этой модели неупорядоченного джозефсоновского контакта со случайными квантовыми закоротками, большие массивы входных и выходных данных делают весьма затруднительным её достаточно детальное и точное аналитическое исследование в широкой области параметров модели, что приводит к необходимости разработки численных методов и основанных на них компьютерных моделей, предназначенных для анализа электродинамики джозефсоновского вихря в таком контакте.

Постановка задачи

Численное решение основного уравнения математической модели вихретоковых процессов в неупорядоченном S-I-S (S - сверхпроводник, I -изолятор) контакте со случайными квантовыми закоротками в I-слое - стохастического уравнения sin-Gordon — сильно осложняется случайным характером туннельной проводимости неупорядоченного I-слоя, обусловленным наличием хаотически распределенных по этому слою примесей со случайной конфигурацией примесей Г N = {1, r2,..., rN }, где ri — координаты примесей

в I-слое. В таких задачах, в первую очередь, необходимо искать усредненное по стохастическому ансамблю {Гn } решение этого уравнения и

дисперсию решения, с помощью которых затем исследуются представляющие физический интерес электродинамические параметры и процессы в таких контактах.

Для нахождения усредненного решения численными методами теоретически возможен путь, основанный на параллельных вычислениях, когда уравнение численно решается для каждой конкретной реализации стохастического ансамбля {ГN}, т.е. для каждого случайного

распределения координат примесей в I-слое. Затем на основе полученных таким образом решений (для каждой реализации) можно найти усредненное решение путем численного усреднения по всем реализациям ансамбля {ГN}. Однако

этот путь практически нереализуем, поскольку требует огромных вычислительных мощностей. Действительно, например, для джозефсоновского

контакта с характерными размерами I-слоя Lx х Ly х Lz =106 a х103 a x10a , где а ~ 10_10м -межатомное расстояние, при концентрации примеси c = 10"2 (одна примесь на 100 атомов) число примесных атомов Nimp =10 , и они могут

равновероятно распределяться по N = 1010 позициям (полное число атомов в I-слое). Таким образом, полное число различных конфигураций примесей в таком I-слое, т.е. полное число элементов стохастического ансамбля {Гn } по порядку величины оценивается как

Np = C$ >1024°\

Задача с таким огромным количеством вариантов оказывается невычислимой для современных классических (не квантовых) компьютеров даже при параллельных вычислениях на всех суперкомпьютерах за любой разумный промежуток времени.

Второй путь получения усредненного численного решения основан на том, что в рассматриваемой здесь области энергий туннельных резонансов при рассматриваемых концентрациях примесей подавляющий вклад в туннельную проводимость неупорядоченного I-слоя дают случайные квантовые закоротки, которые и определяют статистику туннельной проводимости в рассматриваемой модели. Поэтому можно аналитически произвести статистическое усреднение по ансамблю {ГN} уже на уровне конечно-

разностных схем, применяемых для решения уравнения, используя статистику случайных квантовых закороток [10], и в дальнейшем численно решать только одно — усредненное уравнение. Именно этот путь и реализуется в настоящей работе.

Метод стохастического усреднения конечно-разностной схемы

Рассмотрим метод усреднения конечно-разностной схемы по стохастическому ансамблю {Г n } на примере линеаризованного стохастически возмущенного уравнения sin-Gordon.

Стационарное уравнение для вихретоковых процессов в рассматриваемом здесь неупорядоченном S-I-S контакте имеет следующий вид [10]:

= k(l+v(x))sinф, -<х><х<<х>,

dx

(1)

где ф=ф(х, Гы) - случайная разность фаз сверхпроводящих параметров порядка в ^-берегах контакта; у(х) = у(х,Гн) - случайные флуктуации туннельной проводимости неупорядоченного /-слоя, обусловленные присутствием квантовых

закороток в этом слое; k = (А/

случайная

джозефсоновская глубина проникновения магнитного поля в неупорядоченный S-I-S контакт,

^ J J (Г# ) ;

v( х))=0;

(v( x)v( х')) = wö( х — х'),

(2)

здесь w - известный параметр корреляционной функции; — символ усреднения по стохастическому ансамблю {Гм } .

Сначала рассмотрим наиболее простой вариант - вихретоковые процессы малой амплитуды: ф<<1. Тогда линеаризованное уравнение (1) примет вид

d 2ф dx 2

= k [l + v( х)]ф,

—< < х < < .

(3)

Трехточечная конечно-разностная схема для уравнения (3) имеет вид

ф,+1—2ф+ф—1 = k [i+v; ]ф,

(4)

где ф, = ф(х, ,Гн ) , V, = V (х, ,Гн ) — случайные сеточные функции, х, = й (, = 0,±1,±2,.); h —

шаг равномерной сетки.

Усредняя конечно-разностное уравнение (4) по стохастическому ансамблю {Г н }, получим конечно-разностное уравнение для усредненной функции ^ф), :

/г+1

' 2{ф' = k <ф, + % ф,). (5)

Дальнейшая задача состоит в нахождении выражения для коррелятора (V, ф,) = ^(х, )ф(х, ^

через ^ф,) с целью получения «замкнутой» конечно-разностной схемы.

Для вычисления этого коррелятора запишем уравнение (1) в виде соответствующего ин-

тегрального уравнения, для чего сначала перепишем его в виде

- kф=k v( х)ф.

dx

(6)

нию

d 2G (x - x')

dx 2

и имеющая вид

- kG (x - x') = -5(x - x')

G (x - x') = -^ e"^- x'l 2v k

(8)

Для нахождения искомого коррелятора умножим (7) на х) и результат усредним по

{Г * }:

(у( х)ф( х)) = (Ц х)фо ( х)) —

да

—Т | G (х - х')(у(х)у(х')ф(х')) dx'. (9)

—да

Учитывая, что фо (х) — неслучайная функция, с учетом (2) получаем:

(V (х) фо (х)) = (V (х)) фо (х) = 0.

Далее проведем «расцепление» тройного коррелятора в подынтегральном выражении (9). Учитывая, что в рассматриваемых условиях [10] стохастическая норма ||^|<<1, учтем при этом

члены ~ IV!2, отбрасывая члены более высокого порядка:

НхМX')ф(х')) = ^(x)v(х'))(ф(х')) + о(|Н|3) .

Тогда, учитывая (2), с требуемой точностью имеем для тройного коррелятора:

v(x)v(x>(x')) = w5(x-x')^ф(x')). (10)

Подставляя теперь (10) , (8) в (9), имеем после вычисления интеграла с 5 -функцией:

v (x) ф( x)) = -kG (0) w ( ф( x)),

где, как видно из (8),

G (0) =

2yfk'

Соответствующее этому дифференциальному уравнению интегральное уравнение имеет вид

да

ф(х) = ф0(х)—k | G(х—x')v(x')ф(x')dx', (7)

—да

где ф0 (х) — решение однородного (при v(х) = 0) уравнения (6) - неслучайная функция; G (х — х')

— функция Грина (неслучайная) оператора левой части уравнения (6), удовлетворяющая уравне-

Таким образом, в конечно-разностной схеме (5) имеем:

=—^тЧ ф) г.

Тогда с учетом этого результата явная конечно-разностная схема (5) приобретает вид

2+k

^ y/kw^ 1--

h 2

- (

г-1. (11)

Для «запуска» этой схемы должны задаваться соответствующие граничные условия, определяемые постановкой конкретной задачи.

Таким образом, конечно-разностная схема (11) может быть использована при численном моделировании вихретоковых процессов малой амплитуды в джозефсоновских контактах с квантовыми закоротками.

Литература

1. Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. Физика и применение. М.: Мир, 1984. 639 с.

2. Лифшиц И.М, Кирпиченков В.Я.. О туннельной прозрачности неупорядоченных систем // ЖЭТФ. 1979. Т. 77, С. 989 — 1016.

3. Кирпиченков В.Я. Влияние квантовых резонансно-перколяционных траекторий на параметры джозефсо-новского вихря // ЖЭТФ. 2007. Т. 132, С. 294 — 296.

4. Кирпиченков В.Я., Кирпиченкова Н.В., Лозин О.И. Нижнее критическое поле длинного джозефсоновского S-I-S-туннельного контакта с квантовыми закоротками в 1-слое // Изв. РАН. Серия физическая. 2009. Т. 73, № 7. С. 1018 -1020.

5. Кирпиченков В.Я., Кирпиченкова Н.В., Лозин О.И. Влияние туннельных резонансов на радиационные потери флуксона в длинном S-I-S-туннельном контакте со слабым структурным беспорядком в 1-слое // Изв. РАН. Серия физическая. 2009. Т. 73, № 8. С. 1135 - 1137.

6. Кирпиченков В.Я., Кирпиченкова Н.В., Лозин О.И. Влияние квантовых резонансно-перколяционных траекторий в неупорядоченном 1-слое на критический ток джозефсоновского S-I-S-контакта // Изв. РАН. Серия физическая. 2011. Т. 75, № 5. С. 767 - 769.

7. Кирпиченкова Н.В., Шавров В.Г. Джозефсоновские плазмоны в длинном S-I-S туннельном контакте с квантовыми закоротками в неупорядоченном 1-слое // Изв. РАН. Серия физическая. 2012. Т. 76, № 7. С. 838 - 839.

8. Кирпиченков В.Я., Кирпиченкова Н.В., Лозин О.И. Влияние двупримесных туннельных резонансов на нижнее критическое поле длинного S-I-S туннельного

1

2

контакта со слабым структурным беспорядком в 1-слое // Изв. РАН. Серия физическая. 2014. Т. 78, № 4. С. 508.

9. Рассеяние джозефсоновских плазмонов на случайных квантовых закоротках в неупорядоченном 1-слое S-I-S контакта / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова,

О.И. Лозин, А.А. Постников // Изв. РАН. Серия физическая. 2016. Т. 80, № 5. С. 590 - 592.

10. Кирпиченков В.Я. Теория стохастического туннелирова-ния в неупорядоченных наноструктурах. М.: Экономическое образование, 2006. 193 с.

References

1. Barone A., Paterno Dzh. Effekt Dzhozefsona. Fizika i primenenie [Physics and Applications of the Josephson Effect]. Moscow, 1984, 639 p.

2. Lifshits I.M, Kirpichenkov V.Ya. O tunnel'noi prozrachnosti neuporyadochennykh sistem [Tunnel transparency of disordered systems]. ZhETF, 1979, vol. 50, pp. 499-511. [In Russ.]

3. Kirpichenkov V.Ya. Vliyanie kvantovykh rezonansno-perkolyatsionnykh traektorii na parametry dzhozefsonovskogo vikhrya [Influence of quantum resonant-percolation trajectories on the parameters of a Josephson vortex]. ZhETF, 2007, vol. 132, pp. 294-296. [In Russ.]

4. Kirpichenkov V.Ya., Kirpichenkova N.V., Lozin O.I. Nizhnee kriticheskoe pole dlinnogo dzhozefsonovskogo S-I-S-tunnel'nogo kontakta s kvantovymi zakorotkami v I-sloe [Lower Critical Field of a Long Josephson S-I-S Tunnel Junction with Quantum Jumpers in I-Layer]. Izvestiya RAN. Seriyafizicheskaya, 2009, vol. 73, no. 7, pp. 962-964. [In Russ.]

5. Kirpichenkov V.Ya., Kirpichenkova N.V., Lozin O.I. Vliyanie tunnel'nykh rezonansov na radiatsionnye poteri fluksona v dlin-nom S-I-S-tunnel'nom kontakte so slabym strukturnym besporyadkom v I-sloe [Effect of Tunnel Resonances on Fluxon Radiation Loss in a Long S-I-S Tunnel Junction with Weak Structural Disorder in the I-Layer]. Izvestiya RAN. Seriya fizicheskaya, 2009, vol. 73, no. 8, pp. 1073-1075. [In Russ.]

6. Kirpichenkov V.Ya., Kirpichenkova N.V., Lozin O.I. Vliyanie kvantovykh rezonansno-perkolyatsionnykh traektorii v neupory-adochennom I-sloe na kriticheskii tok dzhozefsonovskogo S-I-S-kontakta [Influence of Quantum Resonance-Percolation Trajectories in a Disordered I-Layer on the Critical Current of a Josephson S-I-S Junction]. Izvestiya RAN. Seriya fizicheskaya, 2011, vol. 75, no. 5, pp. 725-727. [In Russ.]

7. Kirpichenkova N.V., Shavrov V.G. Dzhozefsonovskie plazmony v dlinnom S-I-S tunnel'nom kontakte s kvantovymi zakorotkami v neuporyadochennom I-sloe [Josephson plasmons in a long S-I-S tunnel junction with quantum jumpers in a disordered I layer]. Izvestiya RAN. Seriya fizicheskaya, 2012, vol. 76, no 7, pp. 749-750. [In Russ.]

8. Kirpichenkov V.Ya., Kirpichenkova N.V., Lozin O.I. Vliyanie dvuprimesnykh tunnel'nykh rezonansov na nizhnee kriticheskoe pole dlinnogo S-I-S tunnel'nogo kontakta so slabym strukturnym besporyadkom v I-sloe [Effect of Two-Impurity Resonance on the Lower Critical Field of a Long S-I-S Tunneling Contact with Weak Structural Disorder in the I Layer]. Izvestiya RAN. Seriya fizicheskaya, 2014, vol. 78, no. 4, pp. 333-336. [In Russ.]

9. Kirpichenkov V.Ya., Kirpichenkova N.V., Lozin O.I., Postnikov A.A. Rasseyanie dzhozefsonovskikh plazmonov na sluchainykh kvantovykh zakorotkakh v neuporyadochennom I-sloe S-I-S kontakta [Scattering of Josephson Plasmons on Random Quantum Jumpers in a Disordered I-Layer of an S-I-S Junction]. Izvestiya RAN. Seriya fizicheskaya, 2016, vol. 80, no. 5, pp. 533-535. [In Russ.]

10. Kirpichenkov V.Ya. Teoriya stokhasticheskogo tunnelirovaniya v neuporyadochennykh nanostrukturakh [The theory of stochastic tunneling in disordered nanostructures]. Moscow, 2006, 193 p.

Поступила в редакцию 20 февраля 2017 г.