Об исключительных множествах в Lp-ТЕОРИИ потенциала Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь-март, 1999, Том 1, Выпуск 1

УДК 517.5+517.956.224

ОБ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ МНОЖЕСТВАХ В Lp-ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

Н. О. Белова

Развитая в работах [1-10] Lp-теория потенциала — это естественное распространение идей и методов линейной теории потенциала [11, 12], возникшее в связи с решением ряда принципиальных задач теории функций и дифференциальных уравнений с частными производными, В перечисленных работах приведена подробная библиография, отражающая эволюцию теории.

Здесь мы используем подход работы [9], систематически обобщающей основные факты теории как для ядер с нестепенными особенностями, так и для достаточно широкого класса пространств, встречающихся в анализе. Основные объекты, исследуемые в настоящей статье, — это разреженные множества, квазинепрерывные функции и множества единственности для потенциалов.

Понятие разреженного множества возникло в [13], где был получен критерий иррегулярности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в граничной точке, и является фундаментальным для теории потенциала, см,, например [11, 12, 14], и приведенную там библиографию. Отметим работы [15-21], в которых получены аналоги критерия Винера для различных дифференциальных уравнений. Теорема Шоке о разреженных множествах в нелинейной теории потенциала [4] — это ключевой результат в решении задачи о спектральном синтезе [22, 23],

Здесь (§2) получен весовой вариант теоремы Шоке и свойства Келлога на пространствах однородного типа, содержащий в качестве частного случая результаты работы [9],

В § 3 доказано, что свойство тонкой непрерывности функции эквивалентно ее квазинепрерывности, Это результат обобщает соответствующие утверждения работ [14, 24].

Множество единственности для риссовых потенциалов на евклидовом пространстве Rn, исследовано в работе [25], В § 4 получен аналог этого результата в пространствах весовых потенциалов.

Остановимся на основных понятиях из [9], используемых в работе.

Пространством однородного muña (G,r,u>) называется множество G. на котором заданы нетривиальная мера ш и псевдометрика г : G х G —>• [0, оо] со свойствами:

1) г(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;

2) г(х, у) = г(у,х);

3) r(x, у) c(r(x, z) + r(z, у)),

где постоянная с не зависит от выбора точек x,y,z G G. Предполагается, что все шары В(х,р) = {у G G : r(x,y) < р} измеримы, что равномерно непрерывные в метрике г функции плотны в Li(w), и что мера ш удовлетворяет условия удвоения:

0 < ш(В(х, 2р)) < Сш(В(х, р)), р > 0, æ G G, (1)

© 1999 Белова Н. О.

для некоторой постоянной С, не зависящей от ж и р.

Примеры пространств однородного типа см,, например, [26-28],

Определяя, если необходимо, на пространстве Є эквивалентную метрику [27, 29], предполагаем в дальнейшем выполнение следующего свойства: если у Є В(х,Р) и О < р < 2сР, то для некоторой ПОСТОЯННОЙ С\

ш(В(у, р) П В(х, Р)) > СМВ(У, р)). (2)

Весовые функции. Будем говорить, что неотрицательная, почти всюду конечная функция т, определенная на пространстве О, удовлетворяет Ар-условию Макен-хаупта [24, 30] (или просто т Є Ар), 1 < р < оо, если

р— 1

sup

ш(В) J J \ ш(В)

в / \ в

wdoo] \ —— wll(i~p) duo I < оо, (3)

где верхняя грань берется по всем шарам В а О. При р = 1 определение класса принимает вид Мт(х) си;(ж), где

Mf(x) = sup ^ ш(В(х,р)) 1 J \f\du):p>0

В(хур)

— максимальная функция.

Говорят, что вес w удовлетворяет условию удвоения, если существует такая постоянная со, что для любого шара В С G выполнено w(B*) < cqw(B), где В* — шар с тем же центром, что и В, и радиусом, большим исходного, в два раза. Вес w Є (w-Aqo), если существуют постоянные /3 и S такие, что для любых шара В С би измеримого множества Е С В верно

w(E)/w(B*) < Р(ш(Е)/ш(В))5. (4)

Другие характеристики класса (w^qq) в Rn см. в [31].

Ядра и их свойства. Пусть полунепрерывная снизу функция к : (0, +оо) ^ (0, +оо) обладает свойствами:

kl. Функция к : (0,+оо) —>• (0,+оо) не возрастает.

Т

к2. Для любого т > 0 ак(т)т < f k(t) dt ^ Ьк(т)т, где числа 1<а^Ь<ооне

о

зависят от т,

кЗ, Если w — весовая функция, то для любого числа т > 0 и любой точки х Є G выполняется соотношение

ОО

dt

k(t)qw1~q(B(x,t)) — < оо.

Функция к определяет полунепрерывное снизу ядро К : Сг х (0, оо) —>• (0, оо) по правилу

К(х, р) = к(ш(В(х, р))). (5)

Будем предполагать для ядра К выполнение следующих свойств:

К1, При каждом фиксированном х € О функция К(х, рх(ш)) : (0, оо) —>• (0, оо) не возрастает и абсолютно непрерывна по ш (здесь рх(ш) однозначно определяется из условия ш(В(х, рх(ш))) = ш).

Т

К2. аК(х,т)ш(В(х,т)) К(х,1)йш(В(х,1)) 4 ЬК(х,т)ш(В(х,т)), где 1 < а 4 Ь <

о

оо не зависят от х € О и т > О,

„ЙГЗ, Для любого р > 0 верно К(х, р/2) 4 СК(х,р), где С — постоянная из условия удвоения (1),

К 4, При каждом жеб верно Нт К(х, р)ш(В(х, р)) = О,

р-¥ О

КЪ. При каждом жеб произведение К(х, р)ш(В(х, р)) не убывает на (0, оо).

Кб. Для всех р > 0 (1 — 1 /а)К(х,р) 4 —К^(х, р)ш(В(х, р)) 4 (1 — 1 /Ь)К(х,р), где к1>{х,р) = [К'ш(-,рх(ш))](х,ш(В(х,р))).

К7. Для всех т > 0 верно —

К'ш(х^)ш{В(х^))йш{В(х^)) 4 (Ь — \)К{х, т)ш(В(х, т)). о

К8. Существуют положительные числа ,4 | и ,4 2 такие, что для всех х £ Сг, р £ (О, оо) и у £ В(х,р) выполняется

О < Л]. ^ К(х,р)/К(у,р) 4, А2 < оо.

Можно положить ,4| С'|. ,4-2 1 /, где Сх — постоянная из (2).

Пусть еще К(х,у) = К(х,г(х,у)). Для ядра К(х,у) имеем свойство

К9. Для всех г,|/ е (?, I ^ |/, верно А\ 4 К(х,у)/К(у,х) 4 А2, где А\ и А2 из

К8.

В дальнейшем термин «ядро», отнесенный к пространству однородного типа, означает полунепрерывную снизу функцию К : О х (0, оо) —>• (0, оо), обладающую, кроме К1-К9, свойством:

СЮ

К10. Для любого х £ Сг и т > 0 интеграл / К(х, М конечен.

Т

Для ядер, зависящих от точки ж, будем предполагать в специально оговоренных случаях выполнение следующих свойств:

К12. Для произвольного ограниченного измеримого множества В аО

Нт / \К(х,г) — К(у,г)\<ко(г) =§,

в

где точка у £ О произвольна.

К12'. Для произвольных чисел п. I таких, что 0 < а < /3 < оо,

Нт / \К(х,р) — К (у, р)\ (1р{г) = 0,

ж-и/

где точка у £ О произвольна.

Нелинейные потенциалы, энергия и емкость.

Фиксируем ядро К, удовлетворяющее условиям К1-К10. Пусть еще р £ (1, оо) — произвольное число. Потенциалом борелевской меры ц в О относительно ядра К называется функция

К(р,,у) = ! К(х, у) йц(х), с

а ее весовой (К, р) -энергией — величина

£*>РМ = / К{ц,уУт Цу)(1ш(у)

с

где рд = р + д и функция го : С? —[О, оо] почти всюду конечна и положительна. Выражение

ик,р1Ф) = I К{х.,у)^иГ1{у) I К{г.1у)йц{г)^ йш{у) (6)

в с

называется весовым II-потенциалом меры ц (относительно ядра К).

Для борелевской меры /I в пространстве Ст определим функцию

СЮ

уу%фр(х) = I К(х,р)(1ц(В(х,р))(1-1^ (7)

о о

называемую весовым Ш-потенциалом.

Обозначим символом М+(е) множество борелевских мер сосредоточенных на е, а ||/и || — полную вариацию меры ц.

Рассмотрим топологические локально-компактные пространства X и У. Пусть у — неотрицательная мера, определенная на ст-алгебре всех борелевских множеств пространства У. Пусть еще к : X х У —>• И — неотрицательная борелевская функция такая, что для всякой неотрицательной функции / £ £Р(У, и) функция

к(х,^= ( к(х,у)1(у)^(у)

полунепрерывна снизу на X. Для п £ (1, оо) определим функциональное пространство к(Ьр(У,!/)) = {д = к(х,Л : / € £р(5»}

Емкость компакта е £ X в пространстве к(Ьр(У,ь>)) равна

П(е;к(Ьр(У,и)) = /(у)р(1и(у) : / > 0 и кЦх) > 1 на е| (8)

Емкость может быть найдена также и другим способом:

П(е;А;(£р(У,1/)))1/р = вир{||^|| 1/1|А;(^, •) | Ьч{у) || : ц £ М+(е)} (9)

где pq = р + q. Более того, для компакта е существует борелевская мера це, сосредоточенная на е, такая что

ll^elli = r\(e-,k(Lp(Y,is))) = J k(fie,y)q dv{y), ‘ (10)

UkPe{x) = k(x^k(pe^-)q~1v) ^ 1 для квазивсех x € e, (11)

UkHe(x) 4 1 для всех x € sup^e, (12)

Экстремальная мера называется емкостной мерой множества е, Из (10)—(12) легко получить, что для любого компакта е верно

П(е; k(Lp(Y, v))) = sup{||/u||i : ц € М+(е ) и Ukn{x) < 1 на sup^t}, (13)

Рассмотрим пространство весовых потенциалов К (Lp(w)), соответствующих мере dvi{y) = w(y)du> на G и ядру к±(х,у) = К(х,у) * w(y)~1, определенному на декартовом произведении G х G, где пространство G и ядро К описаны выше. Пространство ki(Lp(G.lvi)) состоит в этом случае из функций д = f K(x,y)f(y)dw(y), где / € Lp(oo) = Lp(G,vi), и обозначается в дальнейшем символом K(Lp(w)), Емкость П(е; K(Lp(w))) определяется из (8),

Пусть X = G, Y = G х (0, оо). Введем еще одно пространство потенциалов,

задаваемое ядром 1:2 : I х F 4 (0, оо), где

h(x, (y,t)) = XB(x,t)(y)K(y,t),

и мерой dv2 = w1~q(y) (1ш(у)^- (Для быстроубывающих ядер см, [9, § 4]), Пространство потенциалов обозначим через k2(Lp(v2)) = {д = k2f : / € (Lp(Y,v2)). В работе [9, §§2-4] получены следующие соотношения, которые нам потребуются ниже: (i) Для веса wx~9 G (wA*,).

£к,Р(^ = J W%jPn(x)dn(x),

G

П(е; К(Ьр(,ю))) = П(е; Ы)), (14)

^рДе(ж) > 1/С2 > 0 (15)

квазивсюду на е, где — экстремальная мера из (10), найденная по ядру к2.

(11) Для любой меры ¡1 € М+(е) и и;1-9 £ (шЛ^) справедлива оценка

П({ж G G : ^рд(ж) > A}; ir(LPH)) < cA-p£fjP(^), где А > 0, а постоянная с не зависит от выбора меры ц.

1. Разреженные множества в весовой теории потенциала для произвольных ядер на пространствах однородного типа

Рассмотрим пространство G однородного типа и полунепрерывное снизу ядро К(х,р) со свойствами К1-К10, К12, Символом w обозначим весовую функцию на G.

Множество Е С G называется (К, p,w)-разреженным в точке х Є G, если

і

K(x,p)q^ J w1~qSj— = oo, (16)

0 В(х,р)

1

П(В(х,р) П Е] (Lp(w)))q~1 К(х, p)q ^ J — < оо, (17)

0 В(х,р)

В случае G = Rn, г = || • ||, К(х,р) = р1_п, р = 2, w Є А2 приведенное определение разреженности согласуется с определением, данным в работе [19]. Положим е^-р(Е) = {х Є G : Е — разреженное в точке х}. Будем говорить, что свойство выполнено квазивсюду, если оно выполнено всюду за исключением множества нулевой емкости.

Предложение 1. Пусть вес її'1 4 (г (w Л ч ) удовлетворяет условию удвоения, для ядра К выполнено К12', и в некоторой точке xq Є G выполняется соотношение (16). Пусть множество Е С G. Если существует мера р Є М+ такая, что

Wlpp(xo) < lim W^^p(x), (18)

* х—*

жЄ-Б\{жо}

то множество Е (К,р, w)-разреженно в точке xq.

Доказательство. Пусть х є G, Е с G, и предположим, что существует мера /і Є М+ такая, что

lim WK,pß{x) — W"K,pß{xо) = г/ > 0,

х—їхо ' '

хЄЕ\{х о}

Покажем, что из этого утверждения вытекает (К,р, ии)-разреженность Е в точке

xq, т, е, выполнено условие (17), Для этого мы докажем существование меры

7 Є M+(B(xq1 р)) такой, что рj(xq) < є и lim pj(x) > 1, В самом де* X^-Xq 1

хЄЕ\{х о}

ле, для р > 0 определим меру рр как сужение меры р на замкнутый шар В(хо,р). Для любой точки х Є В(хо, р/2с) и числа 8 4 р/2с имеем рр(В(х,8)) = р(В(х, р)). Поэтому в силу конечности И^-потенциала в точке xq, свойств ядра К8 и 12', а также условия удвоения для iü1-g разность

р/ 2с

lim W^ pPp(x)—W^ pPp(xo) = lim f K(x, т)чр(В(х, r))i_1 ( f wq~1 X^-Xo ’ ’ X^-Xo J \ J

жЄВ\{жо} жЄ-Є\{жо} 0 В(х,т)

р/2с

— J K(xq, T)qp,(B(xo, r))i_1 ^ J — = lim W]l pp(x) — W]l pp(x^) = 'q.

0 В(хоут) жЄ-Б\{жо}

С другой стороны, по [9, лемма 2] /ир(жо) —>• 0 при р —>• 0, Следовательно, р можно выбрать таким, чтобы ррр(хо) < г)£. В качестве меры 7 возьмем г)1~р/лр.

Для т < р положим 7Г = 7 |_в(ж0,т)5 7 = 7т + 7т- В этих обозначениях для любой точки х £ В(хо,т/2с) имеем оценки

q— 1

w

1-ї

т/2с

B(x,S)

К(х, S)qj(B(x, ô))

q-1

ffi1-« ) y + ,UV

го

K,p

dô_

~5

l{Xo);

t/2c

B(x,S)

где иостоянная ^4 зависит только от константы из ^словия удВОения дЛЯ веса wi-q и свойства ядра if8, Учитывая включение B(x,S) С B(xq,2cS) при S > т/2с, получаем оценку Wjç ру'т(х) 4 AWjç ру(хо) 4 А\є для всех точек х G B(xq,t/2с), где постоянная Ai зависит еще от свойства К3, Так как ру(х) 4 А2 (W^ рут(х) + W% р7т(х)), т0 на пересечении B(xq,t/2c) П Е имеют место соотношения

Wk,p7т(х) > A^W^^ix) - W%^piT{x) > ^А2 - АіЄ > ^А2,

если т и є достаточно малы, В силу [9, предложение 4] верна оценка Cï(B(xq,t/2c) П E-,K(Lp(w))) 4 A(4A2)p~1j(B(xq,t)), откуда получаем неравенства

і /

K(x0,T)q П (В(х0,т/2с) П Е\ KiLpiwW-1 '

о

\

W

1 -я

1 (

^ aJ Х(ж0,т)?7(Я(ж0,т))?-1

о

W

\В(х0,т) \

1 -«

7

dr

т

\В(х0,т)

(ІТ

— Лє, т

Следствие 1. Пусть вес w G Лр, множество U открыто, ц — борелевская мера на G и ядро К удовлетворяет условию К12'. Если для некоторой положительной постоянной a неравенство рр(х) ^ a выполняется для квазнвсех х G U, то оно верно для всех х G U.

Доказательство. Пусть при некотором е > 0 замкнутое множество Ае = {х G U : Wjç рр(х) 4 о. — е} непусто. Фиксируем точку xq G Ае. Так как при любом е > О имеем П(Ле; K(Lp(w))) = 0, то в силу [9, замечание 3] в точке xq выполняется условие (16), Таким образом, открытое множество U£ = U\Ae по предложению 1 (K,p,w)-разреженно в точке xq. С другой стороны, множество Ue отличается от множества U на множество нулевой емкости, поэтому для всех шаров B(xq,S), где S не превосходит некоторого положительного т, верно П(_В(жо,5) r\U£] K(Lp(w))) = Г\(В(хо, 5)] K(Lp(w))). Имея в виду [9, предложение 5], получаем, что для множества Е = U£ и точки xq интеграл в (17) по промежутку (0, т) оценивается снизу

Т

Г dc(x0,ô) с(х0,т)

—/----FT = ilm in “7---FT = °°5

J с(Хо, О) <5^0 C{Xq,o)

о

что противоречит (К,р, го)-разреженности множества IIє в точке х$.

Теорема 1. Пусть вес ію1-4 Є Ар, ядро К обладает свойством К12', и в некоторой точке хо Є О выполняется условие (16). Множество Е С О (К,р,ію)-разреженно в точке хо тогда и только тогда, когда существует мера /л Є М+ такая, что выполняется условие (18).

Доказательство. Достаточность условия (18) для (К,р, и;)-разреженности множества Е в точке хо вытекает из предложения 1. Докажем теперь необходимость условия (18) в теореме 1. Пусть Е — произвольное множество на пространстве Є однородного типа, и в точке хо выполнены соотношения (16) и (17). Нетрудно заметить, что существует открытая окрестность и множества Е такая, что

П(В(®0,2-п) П и; К{Ьр{ію))) 4 2 П (В(х0,2~п) П Е; К(1р(ъи))), п Є N.

Таким образом, множество II (К,р, ю)-разреженно в точке хо- В силу (16) для любого є > 0 найдется окрестность V точки хо такая, что П(У; К(Ьр(ю))) < є. Рассмотрим ^-потенциал емкостной меры ццпу множества IIП V относительно ядра к2. Тогда согласно (15) и [9, следствие 8] неравенство р/лип¥ ^ с2 верно всюду на ІІПУ (переход от компактных множеств к борелевским осуществляется так же, как и в [32]). Имея в виду соотношения рЦипУ (%) ^ с2 для всех точек х Є эирргупу, нз неравенств (12),

(13), (14) получаем

¡липу(В(хо,т)) = /липу(и ПУП В(х0,т))

4 с2 П (І/ П V П В(хо,т) П Е-, К(Ьр(т))).

Отсюда имеем

5

(ІТ

1Ю^~Ч I

О В(х0,т)

+ І К(хо,т)чілипу{В(хо,т))4 Ч I т1 4 ' ^

8 В(хо,т)

8

4 с2 | J К(хо; т)4 П (17 П V П В(хо; т); К(Ьр(т)))4 1 х

^0 В(х0,т)

СЮ \

9-1 V ( [ „,1-Л йТ

(ІТ

+ J К(хо,т)'1 П (В(хо,т/2с) П Е- К{Ьр(т))У~1 х^ J J — I = 1г + 12.

6 В(хо,т)

Из разреженности множеств в точке хо вытекает, что 1± —>• 0 при 5^0 независимо от окрестности V. Если второе слагаемое отлично от нуля, то

00 / \

12 4 С2 п (V; К^ш)))«-1 [ К(х0,тУ ( [ ) —.

6 В(х,т)

Так как последний интеграл конечен, то подбирая окрестность V, можно сделать величину 12 сколь угодно малой. Таким образом,

^к,Р/липу{хо) —>• 0, если П (F; K(Lp(w))) —>• 0, (19)

Поскольку W]g /¿unv ^ Ci всюду на множестве U П V, то неравенство (18) для множества U П V и, следовательно, для (Е П V) С (U П V) доказано,

2. Весовые варианты теоремы Шоке и свойства Келлога

Для доказательства теоремы Шоке потребуется свойство квазинепрерывности W-потенциала.

Функция называется квазинепрерывной относительно емкости П(-; K(Lp(w))), если для любого е > 0 существует открытое множество U такое, что D(f7; К(Lp(w))) < е и сужение функции на G\U непрерывно.

Предложение 2. Пусть w1_i G (w-A^), ц G М+, £% р(/л) < оо и ядро К удовлетворяет свойству К12'. Тогда W-потенциал /л(х) — квазинепрерывная функция.

Доказательство. Функция

СЮ

1/2п В(х,р)

непрерывна, е С Е”, П(е; K(Lp(w))) = j(e). Так как

- ^п>(ж) ^ О

р-почти всюду, то

J(^к,Р^(х) ~ ц(х)) dfi,(x) = сп —$■ О

при п —>• оо, Оценим емкость открытого множества Е” = {ж G G : (W^ /л(х) — W™fi(x)) > А > 0}. Заметим , что функция (W^ р/л(х) — W™fi(x)) является W-потенциалом меры ц, соответствующим ядру А(х,р) = К(х,р) при р G (0, 1/2”) и А(х,р) = 0 при р G [2П, оо), см. [33, § 3]. Поэтому для ядра А выполнено свойство (ii)

П(Епх- А(Lp(w))) 4 с2\-р£Х,р(р) = Х~рс2сп.

Пусть £ — произвольное положительное число. Выберем последовательности rij -Л оо.

сю сю

и Aj —У 0 так, чтобы (^JР°п< £■ Положим U = Enj, так что U открыто, и по

3 =1 3 =1

свойству квазиаддитивности емкости fi(f7; K(Lp(w))) ^ D(f7; АK(Lp(w))) <£. Таким образом, для всех х вне открытого множества U мы имеем

0 < WIpi4x) - W™/4x) 4 Aj

для всех j G N. Поэтому вне U непрерывные функции W™/л(х) сходятся равномерно к Wk ¡л(х), что и заканчивает доказательство предложения 3.

Следующее утверждение представляет весовой вариант теоремы Шоке.

Теорема 2. Пусть вес т € Ар, ядро К удовлетворяет свойству К12', Е — произвольное множество на О. Тогда для каждого е > 0 существует открытое множество V такое, что

ек,р(Е) С Л и П(ипЕ-К(1р(и)))) <е.

Доказательство. Фиксируем счетную базу {Д,}, г/ е I, топологии на (7, состоящую из шаров Ви = {ж : г(ж,ж„) < р„}. Будем рассматривать лишь элементы базы, не пересекающиеся с Е. Обозначим их тем же символом {Ви}, V £ N. Пусть Шк р!1{х) — весовой Н’-пои'нцпал для Е П В„, такой что рр„(ж) ^ 1 квазивсюду на £ПВ„, а множество Аи = {ж € Е П Ви : рр„(ж) < 1}. Тогда по теореме 1 и

определению разреженности

(СЮ

ГИ"

1/=1

Пусть е > 0. Так как по предложению 2 потенциал рц(х) квазинепрерывен, то существует такое открытое множество У„, что

П (У„;К(Ьр(-ш)))^^

и ограничение весового И^-потенциала рр„ на Сг\У„ — непрерывная функция. Кроме того, рц(х) > 1 всюду на Е П Ви П ((7\У1/).

Положим Е = ЕП ^ р| ((7\У1/)^ , Е = ЕП ^ р| ((7\У1/)^ . Тогда открытое множество

II = С\Е имеет требуемое свойство.

В самом деле, для каждого V £ N потенциал рр„ непрерывен на ^ и ^ 1 на Вц. Следовательно, Е П Аи = 0. для всех V £ N. Это означа-

_ _ СЮ

ет, что (Е) С и (С1\Е) ПЕ С К, Чтобы закончить доказательство, оценим ’ 1/=1 емкость множества II П Е = (С\^) П Е С (¿Д-Р) П I?:

СЮ СЮ

П(ипЕ-К(1р(т))) <П(Р| Уи]К(Ьр(и)))) < £,

и=1 и=1

Теорема доказана.

Из теоремы 2 в качестве следствия получаем весовой вариант свойства Келлога.

Теорема 3. Пусть вес т £ Ар, ядро К со свойством К12', а Е — произвольное множество на пространстве О однородного типа. Тогда

П(еЪ'Р(Е)ПЕ;К(Ьр(-ш)))=0.

3. Квазинепрерывные функции и тонкая топология

Теорема Шоке позволяет доказать эквивалентность понятий тонкой непрерывности и квазинепрерывности функций [14, 24, 26].

Функция д, определенная квазивсюду на О, называется (т)-тонко непрерывной в точке хо, если для любого А > 0 множество Е\ = {х : \д(х) — д(хо)| ^ А} (К,р,ю)-разреженно в точке жр.

Теорема 4. Пусть вес ии Ар, ядро К со свойством К12'. Функция является квазинепрерывной тогда и только тогда, когда она (и))-тонко непрерывна квазивсюду Доказательство. По схеме из [24] устанавливается, что если функция квазинеп-рерывна, то она (к;)-тонко непрерывна квазивсюду. Заметим, что для произвольного множества Е, множество Р(Е) включает внешность и часть границы Е. Обозначим Е и (С\е^- р(Е)) через Е. Очевидно, что Г\(Е-, К(Ьр(т))) = С\(Е\К(Ьр(т))), так как

1-] 5 1-] и допустимые функции для Е не меньше единицы квазивсюду на Е.

Рассмотрим счетную базу {Оп}, п £ Ы, состоящую из открытых множеств Пп. Пусть {Ап}, я е Ж, их дополнения. Предположим, что д — квазинепрерывная функция. Тогда для любого е > 0 и каждого Ап существует открытое множество и с С\(и\К(Ьр(т))) < е такое, что д~1(Ап)\11 замкнуто. Обозначим д~1(Ап) через Вп. Тогда _ _ _ _ _ _

Вп С ((вп\и) и и) с (вп\и) и и = (вп\и) и и С Вп и и.

Таким образом, ВП\ВП С и и

П(Вп\Вп-К(Ьр(т))) 4 П(ЩК(Ьр(т))) = П(?7; К(Ьр(т))) < £.

Поскольку е произвольно, то

сю

П(У(Вп\Вп);^(ХРН)) =0.

п=1

Для любого хо, не принадлежащего У (ВП\ВП), каждое множество Вп такое, что

^ Вп, является (К,р, го)-разреженным в точке хо, что и доказывает первую часть утверждения.

Для доказательства обратного факта воспользуемся следующими построениями. Пусть д — (к;)-тонко непрерывная квазивсюду функция. Покажем, что она является квазинепрерывной. Рассмотрим счетную базу {Оп}, п £ Ж, состоящую из открытых множеств, и множество {Ап}, не ЛГ, их дополнений. Для любого £ > 0 существует открытое множество II с С\(и-,К(Ьр(и)))) < £ такое, что д |с\с/ — (го)-тонко непрерывная функция. Пусть С = С?\?7. Тогда для каждого Ап найдутся Ап и хп такие, что

Вп = 9~1{Ап} = {х : \д(х) - д(хп)| > Ап}.

Покажем, что множество С\Вп принадлежит множеству (Вп). Действительно,

для любой точки ж, принадлежащей множеству С\Вп, верно |д(х) — д(хп)\ < Хп и, следовательно, для этой точки найдется непустое множество Вп^х = {у : \д(у) —д(х)\ ^ Хх} (например, Аж = Ап - |д(хп) - д(х)|), причем Вп,х э Вп.

По определению ВП'Х (К,р, ги)-разреженно в точке х, а так как Вп С то

множество Вп также (К, х, ю)-разреженно в точке х. Таким образом, получаем, что множество С\Вп содержится в е% (Вп). Тогда по теореме Шоке, для любого 8 > 0, существует открытое множество ип такое, что ип Э (С\Вп), Г\(11п П Вп\К(ЬР(ги))) < 6/2п и Вп\(11п и и) замкнуто. Это доказывает квазинепрерывность функции д.

4. Множество единственности для потенциалов

Пусть / £ К(Ьр(и))). Множество Е называется множеством единственности для К(Ьр(и))), если из предположения, что / равно нулю квазивсюду на С\Е вытекает равенство функции / нулю всюду на Сг,

Следующее утверждение обобщает теорему Хедберга [25], установленную для изотропных бесселевых потенциалов в Д”, Первый подобный результат для пространства //У1' на окружности был получен Альфорсом и Бёрлингом, см, [34],

Теорема 5. Пусть С\Е — борелевское подмножество пространства О однородного типа и ядро К со свойством К12'. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) для любого открытого множества II

П(и П (С\Е)-К(Ьр(т))) = п(£/; К(Ьр(т)))-, (20)

2) для почти всех X

— П(В(х,р)П(0\Е)]К(Ьр(’ш))) > а

р->- о ш(В(х,р))

Доказательство. Поскольку импликация (20)=^(21) очевидна, будем доказывать, что из (21) следует (20), Для доказательства теоремы потребуется следующее

Предложение 3. Пусть /(ж) ^ 0 для почти всех х £ О и f £ Ьр(и)), а д(х) = / К(х,у)'1'(у)с1и}(у) —потенциал ядра К, удовлетворяющего свойству К12. Тогда для любой ТОЧКИ X £ О

1[тп~Гт~^ 9{у)Лш{у) = 9(х).

£->■0 и>(В{Х, £)) У

В(х,е)

Доказательство. В случае д(х) = оо, утверждение вытекает из полунепрерыв-ности функции д. Предположим теперь, что значение д(х) конечно. Рассмотрим функцию

К^х-'^ = ш(В(х £)) / с

Покажем, что К£(х,г)Лг) сходится к К(х,г)Лг) для почти всех точек г £ С?, Если выполняется оценка Ке(х,г) 4 ЯК(х,г), для любых 0 < е < £о и х £ В (г, го) с константой <2, не зависящей от е и ж, то результат легко следует из теоремы Лебега.

Рассмотрим разность

\{К£{х,г) - К(х,г))/(г)\ёш(г)

\(К(у,г) - К(х,г))\Лг)сЬ(у)сЬ(г)

с

1

ш(В( ж, е))

О В(х.1е)

1 Г Г\(к(У->г) ~ К{х,г))\${г)(1ш{г)(1ш{у).

ш(В( ж, е))

В(х.1е) О

Последний интеграл в силу конечности потенциала в точке ж и свойства ядра К12 стремится к нулю при 8 —У О,

Теперь покажем, что Q K(x,z) является мажорантой для Ke(x,z), с константой Q, не зависящей от х и е. Пусть е £ (0, го/2), и если х £ B(z,e), то по свойствам К2, К7 и К9 получаем оценку

K‘{X'Z) * I

B(z,e)

/ 6

А Г K>p(z, Р)ш(в(у,p))du(B(у, р)) + K(z,£)w(B(z,£))

ш(В(г,£)) \У р

4 АЬК(г,£) ^ СЦК(у,х) ^ (¿К(х,г),

где К'(гтр) определено в [9], постоянная зависит от констант из условий (1) и (2), а также от А2 из свойства К9.

Если х £ В (г, 2 £)\В(г, е), то из аналогичной оценки К£(х1 г) 4 С^К(г, е) по свойству имеем

Ке{х,г) 4 ЯСК{г, 2е) < (^(^ж) 4 ЯК{х,г),

с постоянной не зависящей от е и ж.

Наконец, если х £ 5(г, го)\5(г, 2е), то

К£(х,г) 4 и [ К (г, г(г, х) — е) (ко(у)

ш(В(х,£)) ]

В(х,е)

4 Л2(' К (:. 2г(г, х) — 2 е) ^ Л2(' К (:. г {г, ж)) ^ СЦК( ж, г).

По теореме Лебега

Ы«вм) / «<».*)/(*) <и»)<и») - а / <К»)«М»)

= / е11^ ш(В(жГё)) / = ! = д(хо)-

С В(х о,е) С

Предложение доказано.

Как следствие из предложения 3 вытекает

Лемма 1. В условиях предложения 3 на функцию f, ядро К и потенциал д допустим, что д(ж) не меньше единицы для почти всех точек х, принадлежащих открытому множеству 17 С С. Тоща д(ж) не меньше единицы всюду на II.

Замечание. Кроме того, при тех же предположениях на ядро К, справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть р £ М+(0), д(ж) = / К(х,у) (1р(у) — потенциал меры р. Тоща

с

ДЛЯ любой ТОЧКИ X £ О

* чч [ д(г)<Ь>(г) = д(х).

£->■0 и>(В{Х, £)) У

В(х,е)

Вернемся к доказательству теоремы 5,

Пусть и — открытое множество и (21) выполнено почти всюду в II. Рассмотрим потенциал д(х) = / К(х,у)'1'(у)с1и}(у) принадлежащий пространству _ЙГ(£Р(«;)),

с

/ £ Ьр(т). Предположим, что д(х) ^ 1 квазивсюду на (С\Е) П II. Тогда из наших предположений последует, что д(х) ^ 1 почти всюду и, следовательно, всюду в II. Это и будет доказывать утверждение.

Основная идея доказательства состоит в аппроксимации д в точке подходящей последовательностью средних значений от д.

Для потенциала д(у) имеем следующие условия

J К(у,х)и(х)\<1и>(х)<оо (22)

с

и

Пт . ) '' [ |/(ж) -¡(у)\ри)(х)(1ш(х) = 0. (23)

<5^0 ш(В(у,8)) у

Вх,8

В силу определения пространства К(Ьр(т)) (22) выполнено для почти всех точек у £ О, условие (23) также верно для почти всех у £ О по теореме Лебега о дифференцировании интеграла.

Рассмотрим точку жо £ Сг, в которой выполнены (21), (22) и (23), Для любого

8 > 0 найдется вероятностная мера 7 с носителем на множестве {х : д(х) = 1} П {(С\Е) П В(хо,5)} такая, что выполняется неравенство

(7,у) | Ьч(т)\\ 4 2 П ((С\Е) П В(х0, 8); К^т)))-1^. (24)

Тогда, если 8 — такое число, что В(хо, 8) С II, то

j g(y)dj(y) = j K(j,x)f(x)cb(x).

G G

Остается показать, что для подходящей последовательности * £ N, будет

lim / K('y,x)f(x)du(x) = д(х0). бг->0 J G

Выберем е > 0 и р > 0 такие, что

K(xo,x)\f(x)\dw(x)<e. (25)

В(х0,р)

Пусть 6 — произвольное число между нулем и р/2с. Тогда

К(^,х)Лх)(Ь(х) -д(хо)

с

¡(х)(К(7, ж) — К(хо, ж)) (Ь)(х)

с

4 j К(жо,ж)|/(ж)| (1ш(ж)

В(х0,р)

+

К(7,ж)/(ж) йш(х)

В(хо,2с8)

+

+

¡'(х)К(^,х) &л)(х)

В(х о ,р)\В(х о ,2сс>)

¡'(х)(К(^,х) — К(жр,ж)) &л)(х)

О\в(хо,р)

— 1± + ^2 + ^3 + ^4-

Из (25) следует, что /1 —*• О при р —^ 0, так как в точке жо справедливо условие (22), а также по свойствам ядра К8 и К12.

К(7,ж)/(ж) йш(х)

В(х о ,2сс>)

К{7, ж)(/(ж) - /(ж0))(1ш(ж)

+

В(хо ,2с6)

= 12 + 12-

Далее,

£?(жо,2с(?>)

ЛГ(7,ж)/(жо) (Ь)(х)

1/р

I(/(ж) — /(жо)|ри;<1ш V ||«;_1^(7,ж) | Ья(и)

,2с£)

^2|а;(В(жо,5))-1

-ч 1/р

|/(ж)-/(ж0)|р«;^|

В(х,2с6)

х{оо(В(хо,6)Г1 П ((адпВ(ж0,5);^РМ))}-1/? при 6 —>• 0 по (21), (23) и свойству удвоения меры ш. Для 1% имеем оценку сверху

/(ж0) j (17 (у) j К(у,х)сЬ(х)

В(х о,6) В(хо,2с§)

< /Ы^ J <11 (у) ! К(хо,х)сЬ(х) + £1(5)

В(жо,^) В(жо,2с^)

где первое слагаемое стремится к нулю при 5 —>• 0 в силу свойств К2 и К5, а £1(5) по свойству К12. Наконец,

/3 5? J (17(у) J ¡(х)К(у,х)(Ь(х).

В(х о,6) В(хо,р)\В(хо,2с6)

Так как жр G В(у,г(х,у)), то из свойств К8 вытекает, что

134А2 J dj(y) J f(x)K(xQ,r(x,y))du}(x).

B(xq,5) B(xq,p)\B(xq,2c5)

Учитывая К1 и условие (25) получаем, что /з стремится к нулю в силу произвольности £.

Итак, для подходящей последовательности —>• 0 предел

lim / K('y,x)f(x)du(x) = д(х0) бг->0 J G

не меньше единицы почти всюду в U и, следовательно, по лемме 1 всюду в U. Поэтому любая допустимая функция для множества (G\E) П U является допустимой и для U, т, е,

n((G\E) П Щ K(Lp(w))) = D(f7; K(Lp(w))).

Из этой теоремы получаем

Следствие 2. Пусть G\E — борелевское подмножество пространства G однородного типа, и выполнены условия теоремы 5. Тогда утверждается, что Е — множество единственности для пространства К(Lp(w)).

Доказательство. Покажем, что из (21) следует, что Е — множество единственности. Рассмотрим функцию /(ж) = f K(x,y)g(y) dw(y), равную нулю квазивсюду на

G

множестве G\E. Предположим, что в точке Xq выполнены условия (21), (22) и (23). Тогда для любого S > 0 найдется такая вероятностная мера т с носителем на множестве {х : f(x) = 0} П {(G\E) П B(xq,8)}, что выполнено неравенство, аналогичное (24). Повторяя для функции /(ж) рассуждения предыдущей теоремы, получаем, что /(ж) равняется нулю для почти всех точек ж G B(xq,S), и, следовательно, по лемме 1 имеем /(ж) = 0. Из произвольности выбора функции / вытекает, что Е — множество единственности для К(Lp(w)).

Литература

1. Мазья В. Г., Хавин В. П. Нелинейная теория потенциала // Успехи мат. наук.—1972.—Т. 27, № 6.—С. 67-138.

2. Adams D. R., Meyers N. G. Thiness and Wiener Criteria for Non-linear Potentials // Indiana Univ. Math. J.—1972.—V. 22, No. 2.—P. 169-197.

3. Adams D. R., Meyers N. G. Bessel potentials. Inclusion relations among classes of exceptional sets //

Indiana Univ. Math. .!. 1973. V. 22, No. 9.—P. 873-905.

4. Hedberg L. I., Wolff Т. H. Thin sets in nonlinear potential theory // Ann. Inst. Fourier (Grenoble).—

1983ф—у, 33j No. 4._p. 161-187.

5. Adams D. R. Weighted nonlinear potential theory // Trans. Amer. Math. Soc.—1986.—V. 297, No. 1,—P. 73-94.

6. Водопьянов С. К. Принцип максимума в теории потенциала и теоремы вложения для анизотропных пространств дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн.—1988.—Т. 29, № 2.—С. 17-33.

7. Водопьянов С. К. Теория потенциала на однородных группах // Мат. сб.—1989.—Т. 180, № 1.— С. 5777.

8. Водопьянов С. К. Lp-теория потенциала и квазиконформные отображения на однородных группах // Современные проблемы геометрии и анализа / Тр. Ин-та математики СО АН СССР. Новосибирск: Наука, 1989.—Т. 14.—С. 45-89.

9. Водопьянов С. К. Lp-теория потенциала для обобщенных ядер и ее приложения. Новосибирск, 1990.—С. 48. (Препринт /АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики, № 6).

10. Sjodin Т. Non-linear potential theory in Lebesgue spaces with mixed norm and extension of continuous functions on compact sets. Umea, 1987.—P. 32. (Preprint /Un-t of Umea. № 5).

11. Ландкоф H. С. Основы современной теории потенциала.—М.: Наука, 1966.

12. Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств.—М.: Мир, 1971.

13. Wiener N. The Dirichlet problem // J. Math. Phys. Mass. Inst. Tech.—1924.—V. 3.—P. 127-146.

14. Brelot M. On topologies and Boundaries in Potential Theory. Berlin a.o. Springer, 1971. (Lecture notes in mathematics; 175).

15. Мазья В. Г. О непрерывности в граничной точке решений квазилинейных эллиптических уравнений // Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия.—1970.—Т. 27, № 13.—С. 42-55; поправки, там же.—1972.—Т. 27, № 1.—С. 160.

16. Gariepy R., Ziemer W. P. A reqularity condition at the boundary for solutions of quasilinear elliptic // Arch. Eat. Mech. Anal.—1977.—V. 67, No. 1,—P. 25-39.

17. Скрыпнпк И. В. Критерий регулярности граничной точки для квазилинейных эллиптических

уравнений // Докл. АН СССР. 1981. 'Г. 274, № 6.—С. 1040-1043.

18. Lindqvist P., Martio О. Two theorems of N. Wiener for solutions of quasilinear elliptic equations // Acta Math.—1988.—V. 155.—P. 153-171.

19. Fabes E., Jerison D., Kenig G. The Wiener test for degenerate elliptic equations // Ann. Inst. Fourier (Grenoble).—1982.—T. 32, No. 3.—P. 151-182.

20. Mosco U. Wiener criteria and variational convergences // Lecture Notes Math.—1988. 1340.—P. 208238.

21. Mosco U. Wiener Criterion and Potential Estimates for the Obstacle Problem // Ind. Univ. Math.

■I. 1987. V. 36, No. 3.—P. 455-494.

22. Hedberg L. I. Approximation in Sobolev Spaces and Nonlinear Potential Theory // Proc. Symp. Pure Math.—1986.—V. 45.—P. 473-480.

23. Hedberg L. I. Spectral Sinthesis in Sobolev Spaces and Uniqueness of Solutions of the Dirichlet problem // Acta Math.—1981.—V. 147.—P. 237-264.

24. Fuglede B. Quasi topology and fine topology // Seminaire Brelot-Shoquet-Deny, 10e annee. 1965-1966.

25. Hedberg L. I. Non-linear potentials and approximation in the mean by analytic functions // Math.

2.—1972.—V. 129.—P. 299-319.

26. Coifman R. R., Weiss G. Analyse Harmonique Non-Commutative sur Certains spaces Homogeneous. Berlin a.o. Springer, 1971. (Lecture notes in mathematics; 242).

27. Дынькпн E. М., Оспленкер Б. П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения //

Итоги науки и техн. ВИНИТИ / Мат. анализ.—1983.—Т. 21.—С. 42-129.

28. Вольберг А. Л., Конягпн С. В. О мерах с условием удвоения // Изв. АН СССР. Сер. мат.—

1987.—Тф 51> до з.—С. 666-675.

29. Maciac R. A., Segovia С. A well behaved quasi-distance for spaces of homogeneous type // Trab. mat. Inst, argent, mat.—1981.—V. ???, No. 32.—P. 18.

30. Muckenhoupt B. The equivalence of two conditions for weight functions // Studia Math.—1974.— T. 49.—P. 101-106.

31. Sawyer Е. Т. Two weght norm inegualities for certain maximal and integral operators // Lect. Notes Math. Berlin a.o.: Springer.—1982.—V. 908.—P. 102-127.

32. Meyers N. G. A theory of capacities for potentials of functions in Lebesgue classes // Math. Scand.— 1970. V. 26, No. 2.—P. 255-292.

33. Водопьянов С. К. Весовая Lp-теория потенциала на однородных группах // Сиб. мат. журн.—

1992. 'Г. 33, № 2.—С. 27-48.

34. Ahlfors L., Beurling A. Conformal invariants and function-theoretic null-sets // Acta Math.—1950.— V. 83.—P. 101-129.