Критерии устранимых множеств для гармонических функций из соболевских пространств L1 p,w Текст научной статьи по специальности «Математика»

raÄ®

www.volsu.ru

DOI: https://doi.oгg/10.15688/mpcm.j'volsu.2019.2.4

УДК 517.51 Дата поступления статьи: 17.01.2019

ББК 22.16.15 Дата принятия статьи: 04.03.2019

КРИТЕРИИ УСТРАНИМЫХ МНОЖЕСТВ

ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ИЗ СОБОЛЕВСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Владимир Алексеевич Шлык

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры информатики и информационных таможенных технологий, Владивостокский филиал Российской таможенной академии shlykva@yandex.ru

ул. Стрелковая, 16в, 690034 г. Владивосток, Российская Федерация

Аннотация. В работе установлены точные функциональные и емкостные характеристики устранимых множеств для гармонических функций на открытом ограниченном множестве С С Кп,п > 2, из весового пространства Ьр (С) с весом т, удовлетворяющим Ар-условию Макенхаупта, р > 1. Доказательство основных результатов базируется на теории распределений по Л. Шварцу и использует свойства экстремальных функций для емкости компакта.

Ключевые слова: соболевские пространства, гармонические функции, распределение Шварца, емкость множества.

Светлой памяти В.М. Миклюкова посвящается.

Введение

В [16] Л. Альфорс и А. Бейрлинг заложили основы теории устранимых множеств для конформных отображений в комплексной плоскости. с^ В этом направлении, как на плоскости, так и в пространстве, были проведены мно-§ гочисленные исследования. Не претендуя на полноту, упомянем здесь работы Б. Шаба-^ та [15], В. Миклюкова [13], Ю. Вяйсяля [23], А. Копылова [11], В. Асеева и А. Сыче-га ва [1], С. Водопьянова и В. Гольдштейна [3], Ю. Дымченко и В. Шлыка [6]. з Особо отметим статью Л. Хедберга [19], в которой он, используя распределения по Э Л. Шварцу, получил точные функциональные и емкостные характеристики устранимых @особенностей для классов гармонических функций HDP(G), FDP(G).

Ниже, применяя построения Л. Хедберга, мы находим аналогичные характеристики устранимых множеств в классе НВР'Ш(С) гармонических функций. Кроме того,

о 1

устанавливаем достаточные условия плотности класса С0?(С) в классе Ъд^(Яп).

Отметим, что для класса ЕОр'т, являющегося обобщением класса РИр, критерии устранимых множеств получены в [5].

1. Терминология и обозначения

Далее G — открытое множество в n-мерном евклидовом пространстве Rn, п > 2, Ск — fc-мерная мера Лебега; Ар — класс локально интегрируемых функций w : Rn ^ ^ (0, +ro), удовлетворяющих условию Макенхаупта [20]

1 /1 V"1

sup J wdx yj^ J wl-qdx I < ro, (1)

Q V Q /

где супремум берется по всем координатным кубам Q С Rn, | Q\ = Cn(Q), p,q Е

е (h 1 + j = 1.

Вес w1 q обозначим через w и заметим, что ввиду (1) w Е Aq. Для весовой функции w Е Ар обозначим через (G) класс функций и : G ^ (-ro, +ro), локально интегрируемых в G, имеющих в G обобщенные частные производные и таких, что

| Vu\р wdx < ro.

G

В Ll w (G) введем норму

IMk»(G) = I I lVMp wdx

в котором функции из LJ w (G), отличающиеся друг от друга на постоянную на каждой компоненте связности множества G Сга-почти везде, отождествляются. Как известно (см. [21, Theorems 4.4.4, 4.4.6], где класс Llpw(G) имеет обозначение BLP'W(G)), пространство Lp w(G) в норме || • (g) является полным и C(X(G) является плотным в указанной норме для L^w (G).

Через HDP'w(G), следуя Л. Хедбергу, обозначим класс всех гармонических в G функций из Lp, w (G).

Компакт Е С G назовем устранимым для HDP'w(G), если каждую функцию и Е Е HDP'w (G \ Е) можно продолжить до функции из HDP'w (G).

Через Срк(G) обозначим класс всех вектор-функций и = (щ,... ,Uk), для которых

^ u2i(x^j

Щсис) = 1 / }^ui(x)) dx\ < ro.

v

V

В случае к = 1 положим С\(С) = Ср(С).

Запись Р обозначает замыкание множества ^ С Яп в топологии Яп. Положим для г > 0 В(х, г) = {у € Яп : \у—х\ < г}. Носителем вирр $ непрерывной в С функции f (х) назовем замыкание в С множества тех х, для которых / (х) = 0. С^(Кп) и С™(С) — совокупность бесконечно дифференцируемых функций в Кп с компактными носителями соответственно в Яп и С.

1 °1

Замыкание С^(С) по норме (С) обозначим через (С). В дальнейшем мы будем использовать один результат Фейбса, Кенига, Серапиони [12, теорема 1.3]:

Если О — ограниченное открытое множество в Яп, то существует положительная постоянная С такая, что для всех и € С^(О) верна оценка

J ^Ых < С^ \Чи\дМх. (2)

п п

Для компакта К С Ка его (д, гу)-емкость относительно О определим как

(К) = 1^/^д^^Лх, п

где инфимум берется по всем функциям д € С™(О) таким, что д = 1 в окрестности компакта К, где О — фиксированное ограниченное открытое множество и К С О. Ниже

такие функции назовем допустимыми для Сд^(К).

°1

Функцию щ € Ьдг5(О) назовем экстремальной для (К), если она является °1

пределом в Ьдг5(О) последовательности допустимых функций для (К) и (К) =

= / \дгюйх (о существовании щ см. лемму 2).

п

°1 °1 Функцию К € ь„ ц, (О) назовем пробной для С„ & (К), если К = 11т ит в Ь„ & (О),

4' ' т^-™ 4'

где ит € С00(О) и ит = 0 в окрестности компакта К.

° 1

Замечание 1. Если и € Ьа ,, (С), то, положив и = 0 на Яп \ С, нетрудно заметить, что

и Е L„ , щ (Rn).

1'г1) к

°1

Замечание 2. Равенство С^ц,(К) = 0 не зависит от выбора ограниченного открытого множества О з К. Действительно, пусть Сд^(К) = 0 относительно О з К и пусть О1 — еще одно открытое ограниченное множество в Яп, К С О1. Рассмотрим неотрицательную функцию К € С0°(О П О1) П С™(Кп), где К =1 в окрестности К и К = 0

на Яп \ О2, О2 С О П О1, К С О2 (построение такой функции К можно найти в [4, тео-

° 1

рема 2.6]). Если ит € Ьдг5(О) — допустимая для Сд^(К) и / \Vum\qwdx ^ Сд^(К)

°1

при т ^ то, то h • ит Е Lg, л(П П П^ — допустимая функция для Cq^(К) в П П Пь В силу (2) ,

J \V(hum)\qwdx = J \hVum + umVh\qwdx <

QnQi QnQi

< 2q max\h\q • o(1) + 2q max\Vh\q j \um\qwdx < const • o(1),m ^ ж.

nnn1

Следовательно, (K) = 0 относительно П П П1. В силу монотонности (К) = 0 относительно П1.

Для произвольного множества Р С Яп положим Сд, &(Р) = 0, если для каждого компакта К С Р найдется открытое ограниченное множество П 3 К такое, что Сд,й,(К) = 0 относительно П.

Пусть Т : f ^ К * f — сингулярный интегральный оператор свертки с ядром К, удовлетворяющим следующим стандартным условиям:

1. для преобразования Фурье К ядра К имеем оценку \\К< С;

2. IK(х)| < ^;

3. IK(х) - К(х - у)1 < ^ Для

9\vL дпя и < Ы

2

Здесь С — некоторая постоянная.

Известен результат Р. Койфмана и К. Феффермана [18, theorem 3], более подробно см. [21, theorem 5.2.5]: если w Е Ад и fw 1 Е Cq(Rn), то

JlTf (x)lqwdx < Cq j Ц(x)lqwdx, (3)

Rn Bn

где Cq — положительная постоянная, которая зависит только от q,n,w.

Если f (x)w 1 Е Cq(G), то в качестве f в (3) нужно рассмотреть функцию, продолженную нулем на Rn \ G.

Неравенство (3) при w = 1 было первоначально установлено Кальдероном и Зиг-

д2 ( 1 \

мундом в [17] для ядер К = Ki:j = qxqx (j^™-у, где N = l(xi,-.,xn )| > 0 и

д2 1 '

п> 2; для п = 2 К = Ki:j = -—— (-log |ж|), где |ж| = |(жьж2)| > 0.

OXiOXj

Из определения Kij следует, что

F{x)

¥F

Кг, = ^, (4)

где Р(ж) — ограниченная однородная функция степени 0, то есть Р(кх) = Р(х) для всех к > 0 и |ж| > 0. Доказательство условия 1 для ядер К вида (4) приведено в [14, п. 4.3 гл. II, с. 53]. Очевидно, что (4) влечет условие 2. Условие 3 для К^ следует непосредственно из применения формулы Тейлора в точке х.

2. Вспомогательные утверждения

О 1

Лемма 1. Любой непрерывный линейный функционал на (С) можно представить в виде

рЫ= I I dx, (5)

G

( ™ ди \

Ш* щ

где w 1 g Е Cpn(G) и g = (дг,..., дп). Кроме того, ||F|| < \\w 1 g\\cl{G)-

Доказательство. Очевидно, что правая часть (5) является линейным функционалом

о 1

на (G) и

1Р М|<у ЫЧУи^ = j 1д1й) чгд 1 \4uldx < |у 1д1Р wdx 1 ЦиЦ^ _(С). с с \с /

О 1

Отсюда (5) — ограниченный линейный функционал на Ьдг5( С).

о1

Обратно, пусть Р(и) — некоторый ограниченный линейный функционал на Ьдг5(С).

о 1 1 '

Сопоставим вектору Уи, где и Е Ьдг5(С), набор г» = гд«Уи из Счп(С). Так как простран-

о1

ство Ьдгг( С) полно (как замкнутое подпространство полного пространства (С)), то

о1

область значений оператора У : Ьдг5 ( С) ^ £ч(С) является замкнутым подпространством пространства £ч(С). Определим функционал Ф(г>) = Р(и) для любого вектора V Е £ч(С), представимого в виде гд«Уи. Тогда ||Ф|| = ||Р|| и по теореме Хана-Банаха Ф может быть распространен до линейного функционала на СЧ(С) с сохранением нор-

ч

мы. В силу линейности Ф(и) можно записать в виде ^ Фг(^г), где Фг(Уг) — линейный

г-1

функционал на Сд( С) и V = (ь 1,..., ьп). Отсюда по теореме Рисса

Ф(,у) = ] \ У ) ^

где д = (д1,...,дп) — некоторая функция из С?ч(С). Это дает представление Р(и) в виде

f (и)=/й 1 ä=/йft £)

4 дх }^ = У ' ' '9г~ ' ^

с ч.-1 V с

где д = (д..., дп) = (д ,...,дп)Ь 1, и, значит, гд- 1д Е ОЧ(С). Тем самым лемма доказана.

Обозначим через (•, •) скалярное произведение в Кп. Лемма 2. Если К — компакт в ограниченном открытом множестве С С Яп, то

о1

Сд,*, (К) < то и существует экстремальная функция и0 Е Ьд,гг (С) для Сд,* (К) (относительно С), удовлетворяющая следующему вариационному условию:

У |Уио|9-2(Уио, Уh)Wdx = 0, (6)

с

где h — произвольная пробная функция для Ся* (К).

Доказательство. Известно (см. [8, лемма 1], где все гд,р нужно заменить на гд, д), что (д,г))-емкость конденсатора (Р0,Р,С) удовлетворяет неравенству (Р0,Р,С) <

< то. Положим Р0 = дС, Р = К. Из определения (К) следует, что Сд* (К) <

< Ся,й,(Р0,Р,С). Это дает нужную оценку Сч,&(К) < то.

Существование экстремальной функции и соотношение, аналогичное (6), для емкости Сд,й,(Р0,РЬС), получено в [8, теоремы 1,2] (см. также [24]). Для (К) доказательство повторяет доказательства теорем 1 и 2 из [8] и поэтому его здесь опускаем.

р

Замечание 3. Применяя срезки вида min(1,h) и max(0,h) к допустимым функциям h в определении Cqw(К) и затем аппроксимируя эти срезки гладкими функциями, можно показать, что экстремальная функция и0 в лемме 2 удовлетворяет условию 0 < и0 < 1 на G.

Лемма 3. Пусть К1 и К2 — компакты в ограниченном открытом множестве П и такие, что Cqww(К1) = Cqww(К2) = 0. Тогда Cqw(K1 U К2) = 0.

Доказательство. Пусть е > 0, ui — допустимая функция для Cq,w (Ki) относительно П и

J\Vui\qwdx < е, i = 1, 2. п

Тогда и1 + и2 > 1 на K1 U К2 и и1 + и2 G С^°(П). Как известно [21, theorem 4.1.4],

срезка v = min(1,«i + и2) G Llw(П) и f \Vv\qwdx < f \V(«i + u2)\qwdx, v = 1 в

пп

окрестности K1 U K2, supp v лежит в П. Проводя стандартное усреднение с переменным шагом относительно П [6, теорема 5], найдем допустимую функцию v1 для Cq,w(K1UK2)

относительно П, такую, что / ^^^wdx = f \Vw\qwdx + o(1), где o(1) ^ 0 при е ^ 0.

пп

Тогда

Cq,w(Ki U K2) < J\Vvi\qwdx < 2q i J\Vui\qwdx + J\Vu2\qwdx I + o(1), п \п п )

что и завершает доказательство леммы.

3. Критерии устранимых множеств для HDp,w(G)

Теорема 1. Пусть Е — компакт в ограниченном открытом множестве G С Rn. Для того чтобы компакт Е был устранимым множеством для HDp,w (G), необходимо и

о i

достаточно, чтобы C^(G \ Е) было плотным в LqwW (G).

Доказательство. Необходимость. Пусть Е — устранимое множество для HDP,W(G)

о i

и пусть C^(G \ Е) не является плотным в Lq,w(G). Если Сп(Е) > 0, то C^(G \ Е)

о i

заведомо не является плотным в Lqw(G) (см. доказательство условия достаточности в теореме). Это позволяет считать Е всюду разрывным компактом в G.

Действительно, пусть Xi — семейство всех (п— 1)-мерных гиперплоскостей, ортогональных координатной ж1-оси. Индексируем каждую гиперплоскость Н G Xi индексом а1, где ai — точка пересечения этой гиперплоскости с ж^осью.

Положим т = [а1 : Сп-1(На1 П Е) > 0}. В силу Сп(Е) > 0 имеем по теореме Фу-бини оценку С1(т) > 0. Пусть Т — компакт в т такой, что С1(Т) > 0. Если Т — всюду разрывный компакт, то положим т1 = Т. В противном случае Т содержит невырожденный отрезок [c,d] и положим тогда в качестве т1 С [c,d] канторово всюду разрывное множество положительной длины.

Положим Е1 = ( U НаА П Е. Тогда Сп(Е1) > 0.

\ai етх /

Пусть теперь (п — 1)-мерная гиперплоскость ортогональна координатной ж2-оси и а2 — точка пересечения этой гиперплоскости с осью х2. Положим На2 = Н. Заменяя в

приведенных выше рассуждениях Е на Ег, координатную ось хг на ж2-ось, гиперплоскости На1 на На2, получим всюду разрывный компакт т2 такой, что т2 С {а2 : Сп-1(На2 П П Ег) > 0}.

Положим Е2 = I У НаЛ П Ег. По построению Сп(Е2) > 0.

\«2еТ2 /

Продолжая этот процесс дальше, получим последовательность Ег Э Е2 Э ... Э Э Еп, где Сп(Еп) > 0 и ортогональная проекция компакта Еп на каждую ж^-ось, г = = 1, 2,... ,п, есть всюду разрывный компакт положительной длины. Компакт Еп также

о 1

будет устранимым для НОр,'ш(С) и (С \ Еп) не является плотным в Ьц^(С).

Поэтому ниже считаем, что Е — всюду разрывный компакт в случае Сп(Е) > 0.

о1 о1

Тогда существует элемент у0 е (С \ Е) такой, что расстояние между у0 и (С)

положительно. В силу известной леммы об аннуляторе [10, с. 180] существует ненулевое

о1

распределение Т на С^(С) с виррТ С Е, непрерывное на (С). Введем распределение 5 = Т * 1х12-п.

Тогда для ф е С^(С) справедливо равенство (см. [2, с. 82]) (Ав, р) = С(Т, ф), где постоянная С = 0. Поскольку (Т, р) = 0 для всех р е С^(С \ Е), то по одной из теорем Л. Шварца [22, с. 136] обобщенная гармоническая функция 5 в С \ Е будет гармонической на С\Е в обычном смысле. С другой стороны, поскольку Т — ненулевое распределение на С^(С), Б не является гармонической функцией на С. дБ 1

Покажем, что —— й)-« е СР(С) для всех ] = 1, 2,...,п. В силу леммы 1 Т как

дх.

о 1

линейный непрерывный функционал на (С) можно записать для р е С^(С) в виде

(Т, Ф)

G

(g Ц) ^

Это дает равенство

(ё ■ ф)=- (s,S)=- J\i

G

д2

' dxj dxi

(Ф * lxl2-n) dx.

В силу (3)

Отсюда

1 д2 _ й1(Ф *W ^

С (G)

< С\\w 1 ф\\с(G).

< С\\w ч g\\cl(G)\\w1 ф\\ся(С) .

(— Ф1

\дху, V

Введем линейный ограниченный функционал на С0?(С)

д 2

(7)

Ф(^) =

(I ■Ф)=/ (I

9г

dxj дхг

(ф * 1х\2-п)\ dx

dx,

где V = й) 1 р е С9(С), р е С™ (С). По теореме Хана-Банаха в силу (7) продолжим Ф(ь) на С (С) до линейного ограниченного функционала с сохранением нормы.

9

Из общего вида линейного ограниченного функционала на ( С) [9, теорема 6.2.1]

дБ 1

получим аналогично доказательству леммы 1, что ——г)-« Е СР(С). Иначе говоря,

дхз

дБ

G

dxj

р

wdx < ж, 3 = 1, 2,... ,п.

Это влечет S Е L^w(G). Выше было отмечено, что S Е HDP'W(G \ Е). Покажем, что S не продолжается до функции S Е HDP'W(G). Действительно, пусть S Е HDP'W(G) — продолжение S и Сп(Е) > 0. Напомним, что Е — всюду разрывный компакт. Как известно [21, Theorem 4.1.3, Corollary 4.3.3], (G) = ACLP,W (G), где ACLP,W (G) — класс функций u, абсолютно непрерывных в G на £га-1-почти всех отрезках, параллельных координатной х^-оси, г = 1, 2,...,п, w р Vu Е Cpl(G). Отсюда для £га-почти всех х ЕЕ S (хо) = S(xo) = lim S (х), где

х^хо

х Е G \ Е, х ^ хо вдоль прямой, проходящей через точку х0 параллельно х^-оси, г = 1, 2,... ,п. Это влечет S = S £га-почти везде на G, и, значит, 0 = (AS, ф) = (AS?, ф) на C0°° (G).

Тем самым, S — гармоническая функция на G, что противоречит определению распределения Т.

В случае Сп(Е) = 0 те же рассуждения дают противоречие с определением Т. Значит, Е не является устранимым для HDP'W(G). Из полученного противоречия следует,

о 1

что C0(G \Е) является плотным в L^ (G).

о1

Достаточность. Пусть С0^\Е) плотно в L^(G). Покажем сначала, что £„(Е) = = 0. Действительно, предположим, что Сп(Е) > 0. Выберем открытые множества П1, П2 такими, что Е С П1 С П1 С П2 С П2 С G. Пусть ь(х) Е C0(Rn), v = 1 на П1 и

0 о1

suppw С П2. Тогда V Е C0(G). В силу плотности CO (G \Е) в L^ (G) найдется по-

01

следовательность vk Е C0(G \ Е), для которой lim vk = v в L^(G). Положив в (2) и = vk — v, П = G, получим

lim I \vk — у^Ийх = lim I \vkW1 — vW1\q йх = 0. k^O J k^O J

G G

В силу известного свойства Ся( С) найдется подпоследовательность такая, что УкЬ4 ^ 1

^ Уи1гЬч £п-почти везде на Е. Это противоречит тому, что V = 1 на £, Ук1 = 0 на Е для всех I > 1. Следовательно, Сп(Е) = 0.

Пусть теперь и — произвольная функция из НОр,,ш (С \ Е) и ф Е С^(С \ Е). Из формулы Грина имеем

J иДф dx = — J(Уи, Уф)dx = J фAudx = 0.

с\Е с с\Е

о1

Поскольку Сп(Е) = 0 и С^(С \ Е) плотно в Ъд*(С), то

J иДф dx = — J(Уи, Уф) dx = 0.

сс

По одной из теорем Л. Шварца [22, с. 136] и — гармоническая функция в G и поэтому принадлежит HDP'W (G), что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2. Пусть G — открытое ограниченное множество в Rn и Е — компакт в G. Е — устранимое множество для HDP,W (G) тогда и только тогда, когда СЯгц, (Е) = 0 относительно G.

Доказательство. Необходимость. Пусть Е — устранимое множество для HDP'W(G) и предположим, что (Е) > 0 относительно G. Пусть щ — экстремальная функция для

о 1

Cq,w(Е) из леммы 2. Рассмотрим соответствующий линейный функционал на (G):

L(u) = J |Vu0lq-2{Vu0, Vu) wdx.

G

В силу леммы 2 L(u0) = (E) > 0, L(u) = 0 на C™(G \ E),

lL(u)l < lqwdxj ^J lVulqwdx

о1

Другими словами, L(u) — ограниченный ненулевой линейный функционал на Lq &(G). Тем самым функционал L(u) порождает ненулевое распределение Т с носителем на Е. Проводя дальше рассуждения, аналогичные доказательству условия необходимости в теореме 1, построим гармоническую функцию v, которая не продолжается до гармонической функции на G. Следовательно, Cq,w(Е) = 0.

Достаточность. В силу теоремы 1 достаточно показать, что каждую функцию

о1

Ф Е C™(G) можно аппроксимировать в (G) функциями из C^(G \ Е).

Зададим е >0 и найдем допустимую функцию v0 Е C^(G) такую, что v0 = 1 в окрестности Е и / lVv0lqwdx < е. Тогда щ = ф(1 — v0) Е C^(G \ Е) и

G

J )lqwdx = j ^V^o + vqVф|qwdx <

G G

< 2q max |ф|9 ■ е + 2q max ^ф1я J lqwdx < const ■ е.

G

в силу оценки (2).

Следовательно, / |V(ф — щ)|9wdx < const ■ е, что влечет плотность C^(G \ Е) в

G

о 1

классе Lq ^ (G). По теореме 1 компакт Е — устранимое множество для HDP,W (G).

Следствие 1. Пусть G — ограниченное открытое множество в Rn и Е — компакт в G. Если Е — устранимое множество для HDP,W (G), то Е — устранимое множество для HDP'W (G1), где G1 — произвольное открытое множество в Rn. Из леммы 3 получим еще одно утверждение.

Следствие 2. Пусть G — ограниченное открытое множество в Rn и Е — компакт в G. Е — устранимое множество для HDP'W (G) тогда и только тогда, когда для каждой точки х е Е существует замкнутая окрестность В(х, г) такая, что В (х, г) ПЕ — устранимое множество для HDP'W (G).

Ниже каждую функцию и е C^(G) положим равной 0 вне G. Теорема 3. Пусть G — открытое множество в Rn. Если (Rn\G) = 0, то C™(G)

о 1

плотно в Lq^ ( Rn).

Доказательство. Пусть Cq^(Rn\G) = 0. Тогда достаточно установить аппроксимацию

о 1

каждой функции ф е C^(Rn) функциями из ф е C™(G) в Lq,й(Rn).

Для заданной функции ф е C^(Rn) и е > 0 найдем ограниченное открытое множество П, для которого supp ф С П. Положим Е = (supp ф) П (Rn \ G). Из равенства Cqtw(Rn \ G) = 0 следует, что Cqtw(Е) = 0.

Тогда найдется допустимая функция v^ для Cq^(Е) относительно П, supp^o С П,

для которой f lVvolqwdx < е. Очевидно, что щ = ф(1 — fo) е C^(G) и имеет место

п

оценка (см. доказательство теоремы 2)

J |У(ф — щ)|qwdx = J |У(ф — щ)|qwdx < const ■ е.

Rn П

Тем самым теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Асеев, В. В. О множествах, устранимых для пространственных квазиконформных отображений / В. В. Асеев, А. В. Сычев // Сиб. мат. журн. — 1974. — Т. 15, № 6. — C. 1213-1227.

2. Владимиров, В. С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. — М. : Наука, 1976. — 280 с.

3. Водопьянов, С. К. Критерий устранимости множеств для пространств Lквазиконформных и квазиизометрических отображений / С. К. Водопьянов, В. М. Гольдштейн // Сиб. мат. журн. — 1977. — Т. 18, № 1. — C. 49-68.

4. Гольдштейн, В. М. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения / В. М. Гольдштейн, Ю. Г. Решетняк. — М. : Наука, 1983. — 284 с.

5. Демшин, И. Н. Критерии устранимых множеств для весовых пространств гармонических функций / И. Н. Демшин, В. А. Шлык // Зап. науч. семинара ПОМИ. — 2002. — Т. 286. — C. 62-73.

6. Дымченко, Ю. В. Достаточность семейства ломаных в методе модулей и устранимые множества / Ю. В. Дымченко, В. А. Шлык // Сиб. мат. журн. — 2010. — Т. 51, № 6. — C. 1298-1315.

7. Дымченко, Ю. В. Об одной задаче Дубинина для емкости конденсатора с конечным числом пластин / Ю. В. Дымченко, В. А. Шлык // Мат. заметки. — 2018. — Т. 103, № 6. — C. 841-852.

8. Дымченко, Ю. В. Соотношение между весовой емкостью конденсатора и весовым модулем семейства разделяющих поверхностей / Ю. В. Дымченко, В. А. Шлык // Дальневосточный мат. сб. — 1996. — № 2. — C. 72-80.

9. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. — М. : Наука, 1977. — 744 с.

10. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1989. — 544 с.

11. Копылов, А. П. Об устранимости плоских множеств в классе трехмерных квазиконформных отображений / А. П. Копылов // Метрические вопросы теории функций и отображений. — 1964. — № 1. — C. 21-23.

12. Мазья, В. Г. Классы областей, мер и емкостей в теории пространств дифференцируемых функций / В. Г. Мазья // Современные проблемы. Фундаментальные направления. — 1988. — Т. 26. — C. 159-228.

13. Миклюков, В. М. Об устранимых особенностях квазиконформных отображений в пространстве / В. М. Миклюков // Докл. АН СССР. — 1969. — Т. 188, № 3. — C. 525-527.

14. Стейн, И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И. Стейн. — М. : Мир, 1973. — 342 с.

15. Шабат, Б. В. К теории квазиконформных отображений в пространстве / Б. В. Ша-бат // Докл. АН СССР. — 1960. — Т. 132, № 5. — C. 1045-1048.

16. Ahlfors, L. V. Conformal invariants and functions-theoretic null-sets / L. V. Ahlfors, A. Beurling // Ada Math. — 1950. — Vol. 83, № 1-2. — P. 101-129.

17. Calderon, A. P. On the existence of certain singular integrals / A. P. Calderon, A. Zygmund // Ada Math. — 1952. — Vol. 88. — P. 85-139.

18. Coifman, R. R. Weighted norm inequalities integrals / R. R. Coifman, C. Fefferman // Studia Math. — 1974. — Vol. 51. — P. 241-250.

19. Hedberg, L. I. Removable singularities and condenser capacities / L. I. Hedberg // Arkiv. Math. — 1974. — Vol. 12, № 2. — P. 101-129.

20. Muckenhoupt, B. The equivalence of two conditions for weight functions / B. Muckenhoupt // Studia Math. — 1974. — Vol. 49. — P. 101-106.

21. Ohtsuka, M. Extremal length and precise functions / M. Ohtsuka // Gakuto international Series. — 2003. — Vol. 19. — P. 1-343.

22. Schwartz, L. Therie des distributions / L. Schwartz. — Paris : Hermann, 1950. — Vol. 1. — 148 p.

23. Vaisala, J. Removable sets for quasiconformal mappings / J. Vaisala // J. Math. Mech. — 1969. — Vol. 19, № 1. — P. 49-51.

24. Ziemer, W. P. Extremal length and conformal capacity / W. P. Ziemer // Trans. Amer. Math Soc. — 1967. — Vol. 126, № 3. — P. 460-473.

REFERENCES

1. Aseev V.V., Sychev A.V. O mnozhestvakh, ustranimykh dlya prostranstvennykh kvazikonformnykh otobrazheniy [On the Removable Sets for Space Quasiconformal Mappings]. Sib. mat. zhurn. [Siberian Mathematical Journal], 1974, vol. 15, no. 6, pp. 1213-1227.

2. Vladimirov V.S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoy fizike [Generalized Finctions in Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1976. 280 p.

3. Vodopyanov S.K., Goldshteyn V.M. Kriteriy ustranimosti mnozhestv dlya prostranstv Lp, kvazikonformnykh i kvaziizometricheskikh otobrazheniy [Criteria of Removability of Sets for the Spaces Lp, Quasiconformal and Quasiisometric Mappings]. Sib. mat. zhurn. [Siberian Mathematical Journal], 1977, vol. 18, no. 1, pp. 49-68.

4. Goldshteyn V.M., Reshetnyak Yu.G. Vvedenie v teoriyu funktsiy s obobshchennymi proizvodnymi i kvazikonformnye otobrazheniya [Introduction in the Theory with Generalized Derivatives and Quasiconformal Mappings]. Moscow, Nauka Publ., 1983. 284 p.

5. Demshin I.N., Shlyk V.A. Kriterii ustranimykh mnozhestv dlya vesovykh prostranstv garmonicheskikh funktsiy [Criteria of Removable Sets for the Weight Spaces of Harmonic Functions]. Zap. nauch. seminara POMI [J. of Math. Sciences], 2002, vol. 286, pp. 62-73.

6. Dymchenko Yu.V., Shlyk V.A. Dostatochnost semeystva lomanykh v metode moduley i ustranimye mnozhestva [The Sufficiency of Families of Polygonal Curves and Removable Sets]. Sib. mat. zhurn. [Siberian Mathematical Journal], 2010, vol. 51, no. 6, pp. 1298-1315.

7. Dymchenko Yu.V., Shlyk V.A. Ob odnoy zadache Dubinina dlya emkosti kondensatora s konechnym chislom plastin [On a Dubinin's Problem for the Capacity of a Condenser with a Finite Number of Plates]. Mat. zametki [Mathematical Notes], 2018, vol. 103, no. 6, pp. 841-852.

8. Dymchenko Yu.V., Shlyk V.A. Sootnoshenie mezhdu vesovoy emkostyu kondensatora i vesovym modulem semeystva razdelyayushchikh poverkhnostey [A Relation Between Weight Capacity of a Condenser and Weight Module of Family of Separating Sets]. Dalnevostochnyy mat. sb. [Far Eastern Mathematical Sbornik], 1996, no. 2, pp. 72-80.

9. Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funktsionalnyy analiz [Functional Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 744 p.

10. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsiy i funktsionalnogo analiza [Elements of Function Theory and Functional Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 544 p.

11. Kopylov A.P. Ob ustranimosti ploskikh mnozhestv v klasse trekhmernykh kvazikonformnykh otobrazheniy [On Removable Plane Sets in the Class of the Spaces Quasiconformal Mappings]. Metricheskie voprosy teorii funktsiy i otobrazheniy [Metrical questions of function theory and mappings], 1964, no. 1, pp. 21-23.

12. Mazya V.G. Klassy oblastey, mer i emkostey v teorii prostranstv differentsiruemykh funktsiy [Classes of Domains, Measures and Capacities in the Theory of Differetiable Functions' Spaces]. Sovremennye problemy. Fundamentalnye napravleniya, 1988, vol. 26, pp. 159-228.

13. Miklyukov V.M. Ob ustranimykh osobennostyakh kvazikonformnykh otobrazheniy v prostranstve [On the Removable Sungularities of Quasiconformal Mappings in the Space]. Dokl. AN SSSR [Doklady Mathematics], 1969, vol. 188, no. 3, pp. 525-527.

14. Steyn I. Singulyarnye integraly i differentsialnye svoystva funktsiy [Singular Integrals and Differetniability Properties]. Moscow, Mir Publ., 1973. 342 p.

15. Sabat B.V. K teorii kvazikonformnykh otobrazheniy v prostranstve [To the Theory of Quasiconformal Mappings in the Space]. Dokl. AN SSSR [Doklady Mathematics], 1960, vol. 132, no. 5, pp. 1045-1048.

16. Ahlfors L.V., Beurling A. Conformal Invariants and Functions-Theoretic Null-Sets. Acta Math., 1950, vol. 83, no. 1-2, pp. 101-129.

17. Calderon A.P., Zygmund A. On the Existence of Certain Singular Integrals. Acta Math., 1952, vol. 88, pp. 85-139.

18. Coifman R.R., Fefferman C. Weighted Norm Inequalities Integrals. Studia Math., 1974, vol. 51, pp. 241-250.

19. Hedberg L.I. Removable Singularities and Condenser Capacities. Arkiv. Math., 1974, vol. 12, no. 2, pp. 101-129.

20. Muckenhoupt B. The Equivalence of Two Conditions for Weight Functions. Studia Math, 1974, vol. 49, pp. 101-106.

21. Ohtsuka M. Extremal Length and Precise Functions. Gakuto international Series, 2003, vol. 19, pp. 1-343.

22. Schwartz L. Therie des distributions, vol. 1. Paris, Hermann, 1950. 148 p.

23. Vaisala J. Removable Sets for Quasiconformal Mappings. J. Math. Mech., 1969, vol. 19, no. 1, pp. 49-51.

24. Ziemer W.P. Extremal Length and Conformal Capacity. Trans. Amer. Math Soc., 1967, vol. 126, no. 3, pp. 460-473.

CRITERIA OF REMOVABLE SETS FOR HARMONIC FUNCTIONS IN THE SOBOLEV SPACES Lp

p,w

Vladimir Alekseevich Shlyk

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Informatics and Informatical Customs Technologies, Vladivostok Branch of Russian Customs Academy shlykva@yandex.ru

Strelkovaya St., 16v, 690034 Vladivostok, Russian Federation

Abstract. Ahlfors and Beurling [16] proved that set E is removable for class AD2 of analytic functions with the finite Dirichlet integral if and only if E does not change extremal distances. Their proof uses the conformal invariance of class AD2, so it does not immediately generalize to p = 2 and to the relevant classes of harmonic functions in the space. In 1974 Hedberg [19] proposed new approaches to the problem of describing removable singularities in the function theory. In particular he gave the exact functional capacitive conditions for a set to be removable for class HDP(G). Here HDP(G) is the class of real-valued harmonic functions u in a bounded open set G c Rn, n > 2, and such that

fwu v d*< ^ p> 1.

G

In this paper we extend Hedberg's results on class HDP'W(G) of harmonic functions u in G and such that

j\Vu|•PwdX< «,

G

Here a locally integrable function w : Rn ^ (0, satisfies the Muckenhoupt condition [20]

i /1 V-1

sup J wdx ij^ J w1-qdx I < <x>, Q V Q /

where the supremum is taking over all coordinate cubes Q c Rn, q E (1, and 1 + 1 = 1; by Cn(Q) = | Q\ we denote the n-dimensional Lebesgue measure

of QP 1

We denote by L1 ^ (G) the Sobolev space of locally integrable functions F

on G, whose generalized gradient in G are such that

WHIl^ (G) = i^jf\qwdx^ < tt, where w = w1-.

o 1

The closure of C™(G) in || ■ \\Li _(G) is denoted by L^(G).

For compact set K c G (q,w)-capacity regarding G is defined by

Gq^ (K) =inf J |Vw|q wdx,

G

where the infimum is taken over all v E C™(G) such that v = 1 in some neighbourhood of K.

Note that Cq,W(K) = 0 is independent from the choice of bounded set G c Rn. We set (F) = 0 for arbitrary F c Rn if for every compact K c F there exists a bounded open set G such that Cq,lIl(K) = 0 regarding G. To conclude, we formulate the main results.

Theorem 1. Compact E c G is removable for HDP'W (G) if and only if

o 1

G^(G \ E) is dense in Lq,W (G).

Theorem 2. Compact E c G is removable for HDP'W (G) if and only if Cq,W (E) = 0.

Corollary. The property of being removable for HDP'W(G) is local, i.e. compact E c G is removable if and only if every x E E has a compact neighbourhood, whose intersection with G is removable.

Theorem 3. If G is an open set in Rn and Cq,W (Rn \ G) = 0. Then C™(G)

o 1

is dense in Lq,W (Rn).

Key words: Sobolev spaces, harmonic function, Schwartz distribution,capacity of set.