К вопросу о граничных свойствах пространственных негомеоморфных отображений с s-усредненной характеристикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016 Математика и механика № 3(41)

удк 517.518.26

DOI 10.17223/19988621/41/2

А.Н. Малютина, К.А. Алипова

К ВОПРОСУ О ГРАНИЧНЫХ СВОЙСТВАХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ НЕГОМЕОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ С ^-УСРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Представлено дальнейшее развитие геометрического метода модулей семейств кривых для изучения свойств негомеоморфных пространственных отображений - отображений с s-усредненной характеристикой. Обобщается теорема, известная для случая n = 2 как Iversen - Tsuji's Theorem и доказываются характеристические свойства для сферического модуля семейств кривых, асимптотических для некоторого особого граничного множества.

Ключевые слова: отображения с s-усредненной характеристикой, метод модулей, устранение особенностей, оценки искажения, асимптотические поднятия.

Теорема Иверсена - Цудзи доказана для случая n = 2 в [1]. Для n > 3 в [2] дано ее обобщение для квазирегулярных отображений на случай, когда для особого множества I выполняется равенство Cap I = 0. В работе [3] М.А. Лаврентьев высказал несколько утверждений, касающихся специфики пространственного случая. Одно из них - о стирании особенностей меньшей размерности при квазиконформном отображении шара. К настоящему времени этот вопрос для гомеоморф-ных квазиконформных отображений в работах Ю.Г. Решетняка, В.А. Зорича, Б.В. Шабата, В.М. Миклюкова, J. Vaisala, O. Martio, S. Rickman исследован, когда f - гомеоморфизм или когда Cap I = 0. Для негомеоморфных квазирегулярных отображений в работе Е.А. Полецкого [4] и в работе [5] приведены примеры, которые показывают, что существуют неустранимые особенности, для которых Лр (I) ф 0 при некотором Рф 0, и пример, опровергающий гипотезу, что для особого множества I, для которого Ла (I) = 0, где а < n - 2 , либо точки I устранимы, либо ёмкость непринимаемых значений равна нулю.

Для негомеоморфных отображений с s-усредненной характеристикой [6] нами построен пример [5], показывающий, что изолированная особенность в классе с Kj, s, KO s -усредненной характеристикой, вообще говоря, не является устранимой.

Напомним некоторые необходимые нам определения. Пусть I = [a, b], -да < a < b < , - отрезок на М1. Если кривая у спрямляема, то кривую в назовем подкривой кривой у, для случая если I = [tj,t2], где a < tx < t2 < b . Известно, что для кривой Жордана [4,7] величина l(у) = sup l(Р), где sup берется над всеми

такими подкривыми в кривой у, называется длиной у.

Определение 1 [4]. Пусть f: D ^D' - открытое, непрерывное, изолированное отображение. Если у - кривая в f(D), то поднятием у в D называется кривая yeD,

такая, что f ° у = у . Частичным поднятием у назовем поднятие ее дуги. Два частичных поднятия yi и у2 кривой у называются существенно различными, если Л: (уюу2) = 0, где Л^з) - одномерная мера Хаусдорфа множества s.

Рассмотрим счетное покрытие {Ei}, i = 1,2,..., множества E открытыми множествами Ei, такими, что d (Ei) < r, r > 0 .

Пусть Ла (E) = inf ^ d(Ei )a , где inf берется над всеми такими покрытиями.

i

Тогда Ла является убывающей функцией от r, а величина Ла (E) = lim Ла (E) на-

r ^0

зывается а -мерной мерой Хаусдорфа множества E.

Говорят, что отображение f принадлежит классу ACL(U), U е М™, если оно непрерывно в U и абсолютно непрерывно на почти всех отрезках из U, параллельных осям координат. Известно, что если f е ACL(U), то оно имеет почти всюду в U частные производные. Если, кроме того, эти частные производные принадлежат Lp(U), p > 1, для любой области U с U , то мы будем писать f е ACLp(U) [8].

Обозначим через N(x, f) кратность ветвления отображения f в точке x ([13, с. 40, (2.1)], [8, с. 262]).

Если A - компактное подмножество U, то cap (A,U) - нижняя грань

11 Vm |n dV по всем непрерывным функциям класса W^(U), равным 0 на dU и 1

U

на A. Хорошо известно [13], что равенство cap (A,U) = 0 не зависит от U и поэтому можно писать cap A = 0 [4].

Пусть Г - некоторое семейство кривых в Ж.n.

Определение 2. Неотрицательную борелевскую функцию р: Mn ^ М1 [7, 10]

г dl назовем допустимой метрикой семейства Г , если I pdуx > 1, где dуx =-,

Y 1 + 1 x|

для каждой кривой уе Г . В дальнейшем, как и в [7], будем обозначать допустимость метрики рлГ .

Определение 3. Сферический модуль порядка p семейства Г, где p е N , для

л dx

удобства обозначим МП (Г) и определим по формуле Мп (Г) = inf I рp (x)--—,

p p i (1+ix2)n

где inf берется над классом всевозможных метрик рлГ . Наиболее важным явля-

ется случаи, когда p = n , и мы полагаем

Mn (Г) = М (Г) = inf |pn (x)

dx

(1 + 1 x|2)n

Для неотрицательной функции /: Кп ^ К , /(х) = 1/(1+|х|2)п, где | х |2 = х^+ х22+...+ х„2, в [6] доказано, что для любого п е М, п < да , выполнено

п+1

3-I / (* = /*<,х

.(1 + 1 x|2 )

2 1Г

Заметим, что интеграл в определении сферического модуля может быть сужен до наименьшего борелевского множества E, содержащего семейство Г, так как inf в определении модуля достигается на метриках, обращающихся в нуль на CE.

Из определения 3 следует, что 0 < Mp (Г) < да . Поскольку функция, тождественно равная нулю, допустима для пустого семейства, то M (0) = 0. Если класс метрик рлГ пуст, то полагаем M (Г) = да . Семейство Г назовем исключительным, если Mp (Г) = 0 [7 стр.20, 10]. Семейство всевозможных неспрямляемых

кривых в R" исключительно [7, т. 2.13].

Определение 4. Если для некоторой метрики р0 л Г имеем M (Г) =

= inf J pp-———, то метрику р0 назовем экстремальной.

к" (l + |x|2)

Свойства сферического модуля семейства кривых Г доказаны в свойствах 1 -13 [9, стр.180].

Пусть D - область в К" и отображение f : D ^ К" - открытое, непрерывное, изолированное, f е W" loc(D) и J(x, f) сохраняет знак почти всюду в D (для определенности возьмем J(x, f) > 0), тогда будем говорить f е W loc(D).

Пусть f eWlnloc(D), как и в [7], обозначим через K1 (x, f) = J^X, f)

l" (x, f)

внутреннюю дилатацию отображения f, где l(x,f) = min| f'(x)h| , а через

\h\=1

L" (x f)

KO (x,f) = -j~x—f)— внешнюю дилатацию отображенияf, где L(x,f) = m^lf (x)h|. Известно [4], что

" " "

Kl (x, f)<KO-1 (x, f), Ko (x, f)<"2 -X(x, f)<"2 • Ko (x, f)<• K"-1 (x, f),

"

K(x, f)<min(Ki (x, f),Ko(x, f ))<K2(x, f)<max((x, f),Ko(x, f ))<K"-1(x, f),

K( f) f'(x)\ ,( f) -2 lYf(x)|"

где K(x, f) =J-, X(x, f) = " 2 ]-4.

l (x, f) J (x, f)|

Определение 5. Отображение f называется отображением с K1 s -суммируемой характеристикой, если:

1) f е W"loc(D); 2) существует постоянная K1 s > 0 такая, что выполняется неравенство

Kis (f) = | J KS (x, f )dax

1

AS

, dx

< Ki s, где d a x =-

(1+1 xJ)"

Определение 6. Отображение / называется отображением с К0 5 -суммируемой характеристикой, если:

К,1ос( 2) существует постоянная ко,6.

равенство

1) f e W1loc(D); 2) существует постоянная K*O > 0 такая, что выполняется не-

KO,s (f) = (í KO (x, f) •J(x, f )d

1

, dx

< Кох, где d Стх =-

(1 + 1 x|2 )

Определение 7. Отображение f называется отображением с (s, s*)I -сумми-

*

руемой характеристикой, если оно является отображением с KI s и KI s -суммируемыми характеристиками.

Определение 8. Отображение f называется отображением с (s, s*)O -суммируемой характеристикой, если оно является отображением с KO s и K*O s -суммируемыми характеристиками.

Определение 9. Пусть f: D ^ D* отображение с s-усредненной характеристикой, y e Mn. Рассмотрим спрямляемую кривую у* (t):[0,1] ^ Rn, для которой

lim у* (t) = y . Пусть существует такая спрямляемая кривая у в D, что f ° у = у* и

t

lim y( t) = x, где x edD . Тогда кривая у* называется асимптотической для точки

x e dD, у - её асимптотическим поднятием, а y - её асимптотическим значением f в точке x. Если I - особое множество и I1 с I, то семейство асимптотических кривых (для I) - это все асимптотические кривые для точек x e I (x e I1). Для квазиконформных отображений см. [4, с. 243].

Следующий пример показывает характерную особенность, отличающую произвольные отображения с s-усредненной характеристикой от квазиконформных и квазирегулярных отображений.

Пример 1. Зададим произвольное целое число m > 0. Пусть

3 2 2 2 2

x = (x1, x2, x3) e M . Если x2 + x3 = 0, полагаем f (x) = x . Если же x2 + x3 Ф 0 , то

пусть x2 = r cos ф, x3 = r sin ф, где r =y]x^ + x3 , 0 <ф< 2п . В этом случае полагаем f (x) = (xj,rcosтф,r sinтф). Отображение f, очевидно, непрерывно. Все точки прямой М1 = {(x1, x2, x3) e M3 |x2 = x3 = 0} отображением f переводятся в себя.

Будем называть f закручиванием вокруг оси.

Отображение f очевидно, принадлежит классу С1 на открытом множестве М3 \ М1. Всякая двумерная полуплоскость, ограниченная прямой М1 (x2 = x3 = 0) отображается функцией f на другую такую же полуплоскость изометрически так, что растяжения f в каждой точке x í М1 в направлениях, лежащих на этой прямой, равны 1. Всякая окружность с центром на К1, лежащая в двумерной плоскости, вполне ортогональной М1 при отображении f переходит в себя. При этом, когда

точка х описывает окружность, обходя ее один раз в каком-либо направлении, точка f (х) обежит ту же окружность в том же направлении m раз. Коэффициент растяжения f в направлении, касательном данной окружности, равен m. Таким образом, в каждой х í М1 два главных растяжения отображения f равны 1 и одно из них равно m. Отсюда следует, что ||f'(х)|| = m, det f'(х) = m , K1 (х, f) [ f'(х)] = m , KO (х, f) [ f'(х)] = 1. Производные отображения f ограничены. Теорема 1.5 [11] позволяет заключить, что f е W^ loc. Из сказанного следует, в силу доказанной в [6]

оценки для J dстп , что отображение f является отображением с s-усредненной

к"

характеристикой, т.е. сходятся оба интеграла J К™ (х, f)J(х, f)dстх <+да,

к3

J kO (х, f)d ст х < , если 0 > s > max J ——,--2— 1.

J3 х 1 2R 2a + 1j

к3

Основная особенность этого отображения такова - f является топологическим отображением в достаточно малой окрестности всякой точки х í М1 и не будет топологическим ни в какой окрестности произвольной точки х е М1.

Приведем еще один пример, показывающий, что в отличие от отображений с ограниченным искажением, у которых конечны интегралы

J Kf(х, f) |J(х, f )| dстх и J KO (х, f )dстх , ограниченность кратности и степени

к3 к3

на компактах, вообще говоря, не имеет места (в случае плоскости аналогичный пример построен в [12]). Приводимые ниже построения являются модификацией конструкции закручивания вокруг оси из примера 1 и примера из монографии [13].

Пример 2. В пространстве К", п > 3, рассмотрим область D, точки х = (х1,...,хп_2,хп—1,хп) которой удовлетворяют условию < 1,..., \хп_2\ < 1,

х2 + х2 < 1.

п—1 п

В области D зададим отображение f: D ^ Кп , полагая f (х) = х, если х2 + х2 = 0. Если же х2 + х2 Ф 0, то пусть хп—1 = r cos ф, х = r sin m , где

п—1 п п—1 п п 1 п

r = sjх21 + х2 , 0<ф<2л, и в этом случае полагаем f(х) = (х1,...,хп—2,

r cosrpф,r sinrpф), где p < 0 - произвольное число.

Отображение f очевидно, непрерывно и ограничено в D, при этом оно локально гомеоморфно в х е Dи r Ф 0.

Все точки множества D>1—2 ={х = (х1,...,хп—2,хп—j,хп) е D : хп—j = хп = 0} отображение f переводит в себя и каждая окружность с центром на Dn—2, лежащая в двумерной плоскости, ортогональной Dn—2, при отображении f переходит в себя. Отсюда легко видно, что f открыто. Далее, очевидно, отображение f непрерывно дифференцируемо в точках х е D \ Dn—2 и J(х, f) > 0. Поскольку (п — 1)-мерная

мера Лебега множества Dn—2 равна нулю и сужение f на любую прямую, не про-

ходящую через Dn 2, непрерывно дифференцируемо, то f есть ACL -отображение. Если точка x обходит описанную выше окружность один раз в каком-либо направлении, то точка fx) обойдет ту же окружность rp > 1 раз.

Для каждого натурального m можно выбрать компакт F и число r > 0 так,

чтобы шар радиуса r с центром на Dn-2 лежал в F и целая часть числа rp была бы не меньше m. Это означает, что ограниченность на компактах кратности отображения f не имеет места.

Поскольку J(x, f) > 0 при x е D \ Dn-2, то N(y, fD) = ц(y, f, G) для всякой

подобласти G, G с D , и y g f (dD), y = (yi, У2,..., yn_2, yn_i, Уп), y2-1 + уП * 0.

Следовательно, ограниченность на компактах степени отображения f также не имеет места.

Пусть а>0 и р>0 - произвольные числа. Убедимся, что можно подобрать p < 0 так, чтобы J Ka (x, f) J(x, f )| dстx < да и J KO (x, f )dстx < да .

D K3

Легко подсчитывается, что KO (x, f) = Kj (x, f) = J(x, f) = 1, если x е Dn-2. Если же x е D \ Dn-2, то J(x, f) = rp ,

n

n n

2r(n-1)p < KO (x, f) < (n + 4n2p2 )) r(n-1)p ,

Kj (x, f) < KO-1 (x, f) < (n + 4n2p2 )) r(n-1)2p . Следовательно,

J Ka(x,f)| J(x,f)|dстx < Ci J ^V J dx2 J ra(n-p+pdr <

D x Hi1 + 1A |xn_2| <1 xn2-i+x„2 <1

1

< C2 J ra(n-1)2 p+p+1 dr < да,

если 0 > p > -

a(n -1)2 +1'

Аналогично, J KO (x, f)dCTx < C3 J rP(n-1)p+1dr <да, если 0 > p >--

2

в(п - !>

Таким образом, оба этих интеграла конечны одновременно, если

Г 2 2

0 > р > тах <--,--

[ Р(п -1) а(п -1)2 +1]

Пусть у : I ^ Мп - кривая, N (у, у, I) - функция кратности (число точек t е I, таких, что у^) = у) и р - произвольная борелевская функция. Обозначим через dl - элемент длины на кривой у. Так как по следствию из теоремы 1.6 [7] класс множеств, измеримых по одномерной мере Хаусдорфа (Л1 -измеримых), включает в себя класс борелевских множеств, то функции N (у, у, I) и р являются Л1-из-

2

меримыми. Тогда [р—совпадает с интегралом [р( у) N (у, у, I)—

{ 1+1X у 1+|у Ц )|2

определенным посредством одномерной меры Хаусдорфа.

Если кривая у есть кривая Жордана, то из теоремы 1.11 [7] следует, что интеграл (*) совпадает с обычным интегралом [рds , определенным посредством длин

у

частичных дуг.

Теорема 1. Пусть /: Б ^ К" - отображение с К*0 ^ -суммируемой характеристикой. Пусть А - борелевское множество в Б, такое, что N(/, А) . Если Г -семейство кривых в А, то

М' (Г) < Ns-1(/, А)()'М'-(/Г), где 5 > 1.

"-1

Доказательство. Предположим, что р л /Г . Определим р: К" ^ М1 следующим образом:

р* (/(х) )Ь( х, /) (1 + | х| 2 )"

(*)

р( х) =

х е А,

(1 + |/(х)|2 ) 5

о, х г А.

Пусть Г0 - семейство всех спрямляемых кривых уе Г , таких, что /абсолютно непрерывно на у . Тогда если у0 - параметризация у посредством ее длины дуги, то / о у абсолютно непрерывно и М(Г) = М(Г0) [7]. Используя теорему 5.3 [14], получим

5-1

с с ds У (/(х)№/)(1 + |/(х)|2) ds

!=!р дхр=!-——>

(1 + 1 / (х)|2 )

1 + |х|2

р* (/(х))(1 + |/(х)|2) ds* с *, ч d/

[--71--;—¡г = [ р (у)_

1 Л _____^1 + / (х)2 1

>1

/- (1 + | /(х)|2 ) 1 + 1 /(х)|2 /V ^ + 1 У|2 для всех уеГ . Таким образом р лГ0. Докажем оценку для сферического модуля:

М(Г) = М(Г0) +М(Г\Г0) <| р^-^х-" = / р^Т^х^" + |=

К" (1 + |х| ) к"\А (1 + |х| ) А (1 + |х| )

5-1 "( 5-1)

= [ р " (/(х))" (х, /)3 5 (х, /) (1 + |х|2

_ [ "(5-1) 5-1 .

А (1 + |/ (х)|2 (х, /) (1 + |х|2 )"

Применим к последнему интегралу неравенство Гёльдера с показателями

Р =

5 -1

и q = 5 , получим

5-1

М (Г) <

р* (/(х)) 5 (х, /)

(1 + 1 / (х ) 2 )

П( 5-1)

dx

п(5-1) Л

Ьп (х, /) (1 + | х|2 )

5-1

^ (х, /) (1 + | х|2 )

dx

{ П5

р*-1 (/(х)) (х, /)

(1 + 1 / (х)|2 )

dx

.Ь5 (х, /) (1 + | х|2 )5-1)

|-*-'--<<X

А Г-\х, /) (1 + | х|2 )

(1)

Так как / е ¡ос (В), якобиан J(х, /) интегрируем на каждом компактном

подмножестве А с В, тогда, используя теорему 2.2 [15], получим оценку для первого интеграла

П5 П5

J(x,/)<х г 5-1 члг/ ^ л п пл <у

!р*5-1 (/(х)ь 12Х п

АПи (1 + |/(х)2 )

|р*-1(у)N (у, /, А П в)

(1+1 у|2)

^(/,А) | р*-1 (у)

<У

(1+1 у|2)

По определению класса отображений с 5-усредненной характеристикой

( /. . |2 \ п(5-1) Л ( „^ ^ / , \П5 \

Г (х, /)(( + |х 7 ^

А J5-1(х, /) (1 + |х|2 )

^ ьп5 (^ /) (1 + | х 2 )П5 <Х

AJ5-1(х, /) (1 + | х|2 )П5 (1 + | х|2

(2)

( Л5 (

Ь5 (х, /) J (х, / )<х

^ А J5 (х, /) (1 + | х|2 ) Из (1), (2) и (3) имеем

| КО (х, /) J (х, /)

<Х

(1 + 1 х|2 )п

< Ко

(3)

М5 (Г) < N5-1( /, А)( КО5 )5М5-( /Г).

п—1

Теорема доказана.

Рассмотрим семейство кривых, асимптотических для некоторого множества !0. В теореме 2 докажем, что сферический модуль этого семейства кривых пода „ п5 рядка- равен нулю, если равен нулю сферический модуль порядка- кри-

5 -1 5 -1

вых из этого семейства, начинающихся на некотором множестве А, емкость кото-

5

5-1

5

п5

рого больше нуля. Тем самым уточняется результат Ю.Г. Решетняка [13] о независимости понятия емкости нуль от границ области, доказанный для отображений с ограниченным искажением, а также обобщается результат, доказанный в теореме 2 [4] и теорема Iversen-Tsuji на класс отображений с s-усредненной характеристикой.

Пусть I - замкнутое подмножество области U, а f: U \ I ^ К" - отображение с s-усредненной характеристикой. Если A - замкнутое множество в U \ I, а I0 с I, то обозначим через Г*(A, I0) семейство кривых y*(t) в f (U \ I), которые

допускают асимптотические поднятия y(t) такие, что у(0) = A , а lim y(t) = x е I0.

t

Теорема 2. Пусть f: U \ I ^ К" - отображение с s-усредненной характеристикой, s > 1, U \ I связно, r*(I0) - семейство асимптотических кривых для точек x е I0 и capA > 0. Тогда M ns (Г*,I0) = 0 в том и только в том случае, когда

s—1

M^ Г*( A, 10) = 0.

s—1

Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Обобщая теорему 2 [4], рассмотрим r-окрестность множества I, такую, что capG > 0, где

G = A П (U \ I2r). Возьмем функцию р * (f (x)), допустимую для семейства

Г*( A, I0), причем

J р*Г 1 d ст

где е - некоторое число. По условию М т Г*(Л,10) = 0 , следовательно, е можно выбрать сколь угодно малым. Зададим функцию р на и \ I следующим образом: р*( I (х)) Ц х, /) (1 + | х|2 )

р( x) =

X е f (U \ I),

(1 + |I(х)|2 ) 5

о, х г I (и \ I).

Обозначим через Ле множество точек х ед1г, для которых найдутся асимптотические поднятия у, обладающие следующими свойствами:

1) образ у принадлежит Г*( Л, 10);

2) дуга у' кривой у, соединяющая О с точкой х, лежит в и \ 1Г/2;

3) \pds < у2 .

у'

В силу допустимости функции р* (I (х)) аналогично теореме 1 можно доказать, что функция р на и \ I также допустима для семейства, состоящего из поднятий кривых из Г*( Л, 10), и поэтому для любой кривой у1, идущей из х е Ле в 10,

будем иметь | р(х)dух > ^, если I о у1 е Г*(10).

У1

Пусть функция кратности N = N (и \ Iу) и DE=дIr \ АЕ. В силу определения

множества ВЕ для любой кривой ус и \ I/, соединяющей О и ВЕ, будем иметь

/>

|р<ух > у , а тогда, используя теорему 2.2 [13], теорему 1 и наши допущения,

получим

М(Г(О, В,)) < N (и \ I,,/2) | 2р(х))п

<Х

(1 + 1 х|2)

п( 5-1)

, (р*(/(х)) )пЬп (х, /)J 5 (х, /) (1 + |х|2 ) ■-2nN (и \ I) | ----—:-;-1 '-<Х <

п(5-1) 5-1

(1 + | /(х)|2 ) 5 J 5 (х, /) (1 + |х|2 )п

5-1

< 2nN(и \I)

/

(р*(у)) 5 1 J 5 (х, /)<х

и м 1 + (1 + | / (х)|2 )п

2nN (и \ I) | (р*(у)))-1

Ьп (х, /) (1 + | х|2 ) <х J5-1( х, /) (1 + | х|2 )п5

и \ I

| КО (х, /) J (х, /)

<Х

и \ I

v

5-1

(1 + 1 х|2 )п

= 2nn5 к' е',

5-1

где е' = се 5 , с - постоянная.

Возьмем две последовательности:

( 5-1 V

2к+npN 5 К*05

5-1

' 5-1 Л-

с • 2к+npN 5 К*

Перейдем теперь к семейству асимптотических кривых для х е !0 и сарА > 0.

Для этих кривых существуют поднятия, идущие из АЕ в !0. Как уже доказано,

Л « п5 п / т,* \2 сферический модуль этого семейства порядка - меньше, чем 2 (К0 ) е , в

5 -1 У , !

силу того, что р*( у) допустима для Г*(!0) и интеграл по таким кривым от функ-

1 * --ции р* больше ^ (к05 ) п .

Рассмотрим семейство множеств Ар = и А,, и Вр = П ВЕ = д^ \ Ар и семейство асимптотических поднятий, соединяющих Вр и О в и \ Iг /. Тогда получа-

ем, что для сферического модуля этого семейства выполняется равенство

5-1

S—1

M (г |Dp, G, U \ Iу j) = lim 2"N s K* sek = 0, а так как для рассматриваемого нами модуля доказано свойство 2 [9]

Лад Л ад

Mp ЦТ ¿XMp (Г), (*)

V i=1 / i=1

то тогда в силу теоремы 1 модуль семейства асимптотических кривых из Г* (I0), допускающих поднятия, которые пересекают Ap, не превосходит —1— в силу вы-

s

TS-1

бора ek и ek .

ад ад

Возьмем множества D = U Dp и обозначим через A = П Ap. Заметим,

p=i p p=i p

что AUD = dIr.

Так как M (г (Dp, G,U \ Iу)) = 0 и выполняется неравенство (*), то имеем в силу теоремы 1, что M(r(G,D)) = 0 и Mns (Г*(А,I0)) = 0.

s—1

Остается показать, что M (Г(D)) = 0 , где Г(D) - семейство асимптотических поднятий у , соединяющих точки x eU \ (Ir/2 U D) с D . Учитывая то, что

M (Г (G, D)) = 0 , можем выбрать функцию р e Ln (Mn) такую, что jpd у x = ад по

Y

любой кривой Ye r(G, D). Используя теперь теорему 1 и свойства, доказанные в [9], покажем, что M (Г(D)) = 0 .

Для этого, следуя [16], рассмотрим функцию re=ed1 (x, dU U G U D), где e< 1, d1 = min (d,1), и по ней определим функцию ре (x):

[ j p(x+ry)dсту, приу e B^u)

рe(x) = j B(0;1)

j 0, при y i U.

Функция рe( x) непрерывна в Q = U \ (Iy U G U D) и является допустимой

для семейства кривых y e r(G, D). Действительно, пусть y e r(G, D) - некоторая спрямляемая кривая, тогда её образ y* при отображении z (x) = x + rey тоже будет спрямляемой кривой из r(G, D), причем между элементами длин этих кривых имеет место соотношение dy* <(1 + e)dy [16]. Учитывая, что р(x) допустима для г , имеем в силу теоремы Фубини

ip <x)dY-=m+k ij| (x')d°y} dYx=ji+i jipdY; jj г 1.

Точно так же, как и в [16], можно показать, что |р(х^ух для

У

уе Г(О,В).

Далее, проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям в [4], и в силу теоремы 1 получим, что М (Г(В)) = 0 .

Так как г можно выбрать произвольно, то рассмотрим последовательность

гк =1. Заметим, что любая кривая у* е Г* (^) имеет асимптотические поднятия,

к

начинающиеся в и \ I при некотором к . Так как и \ I связно, то к можно вы-

гк

брать настолько большим, что начало этой кривой попадает в связную компоненту и \ I , которая содержит часть множества А ненулевой ёмкости. Это поднятие пересекает либо А , либо В . В силу уже доказанной теоремы 1 и неравенства (*) мы видим, что в первом случае рассматриваемый сферический модуль порядка

п5

то есть

5 -1 1

s-1

M ns (Г* (A, I0)) = 0, а во втором M (Г(D)) = 0, а следовательно,

M ns (Г* (D, I0)) = 0 . Отсюда делаем заключение, что M ns (Г* (I0)) = 0 .

s—1 s—1

Теорема 3. Пусть f: U \ I — К" - отображение с s-усредненной характеристикой, s > 1, где I - замкнутое подмножество U, dim I < n — 2 и Г* - семейство кривых, асимптотических для точек x е I. Если Mns (Г*) = 0,

s—1

cap (М" \ f (U \ I)) > 0 , то f продолжается до s-непрерывного отображения на U.

Доказательство. Предположим противное. Пусть x е I и найдутся две последовательности Xj ^ x, X' —у x, i = 1,2,..., такие, что q (f (x;), f (x; ))> a > 0, где q(x, y) - сферическое расстояние. По условию dim I < n — 2 , тогда существует кривая Yi еГ(xi,xi), причем d(у;)< 2d(xi,xi). Обозначая через

F = К" \ f (U \ I), получаем [17] M ns (Г (F, y*)) > 5 > 0 . С другой стороны, под-

s—1

нятие у кривой y* е г(F, y*) выходит либо на dU, либо на I. Во втором случае

кривая у* е Г* и модуль семейства таких кривых есть нуль в силу теоремы 2, а модуль кривых, которые выходят на dU , как следует из теоремы 1, стремится к нулю. Следовательно, f продолжается на I непрерывно.

В последнее десятилетие XX века и до настоящего времени интенсивно изучаются различные отображения с конечным искажением, обобщающие квазирегулярные отображения. Здесь модульная техника играет ключевую роль. Профессор О. Мартио предложил следующую общую концепцию - теорию Q-гомеомор-физмов, так называемые ^-отображения [18-21]. Отображения с s-усредненной характеристикой - негомеоморфные пространственные отображения, являются естественным обобщением класса отображений с искажением, ограниченным в

среднем на случай произвольной области D с М", n > 3 . В то же время теорема

об оценке модуля, доказанная в [6], указывает на непосредственную связь исследуемых нами отображений с вышеназванными классами ^-отображений [19-20].

ЛИТЕРАТУРА

1. Vuorinen M. On the Iversen-Tsuji theorem for quasiregular mappings // Mathematica Scandi-navica. 1977. V. 41. P. 90-98.

2. Martio O. and Rickman S. Boundary behavior of quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. 1972. Ser. A I 507. P. 1-17.

3. Лаврентьев М.А. Об одном дифференциальном признаке гомеоморфности отображений трехмерных областей // ДАН СССР. 1938. Т. 20. № 4. С. 241-242.

4. Полецкий Е.А. О стирании особенностей квазиконформных отображений // Матем. сб. 1973. Т. 92 (134). № 2 (10). С. 242-256.

5. Alipova K.A., Elizarova M.A., Malyutina A.N. Examples of the mappings with s-averaged characteristic // Комплексный анализ и его приложения: материалы VII Петрозаводской Междунар. конф. (29 июня -5 июля 2014 г.) / под ред. проф. В.В. Старкова; ПетрГУ. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2014. C. 12-17. ISBN: 978-5-8021-2121-4.

6. Malyutina A., Elizarova M. Mappings with s-averaged characteristic. Definition and properties. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. 121 p. ISBN: 978-3-8484-1319-5.

7. Сычев А.В. Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983. 152 с.

8. Полецкий Е.А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений // Матем. сб. 1970. Т. 83(125). № 2(10). С. 261-273.

9. Малютина А.Н., Кривошеина И.И., Баталова Н.Н. Искажение сферического модуля семейств кривых // Исследования по математическому анализу и алгебре. Вып. 3. Томск: Изд-во ТГУ, 2001. С. 179-195.

10. Vaisala J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings (Lecture Notes in Mathematics 229). Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1971.

11. Vaisala Ju. Removable sets for quasiconformal mappings in space // J. Mech. 1969. V. 19. No. 1. P. 49-51.

12. Кругликов В.И., Пайков В.И. Непрерывные отображения с конечным интегралом Дирихле // ДАН СССР. 1979. Т. 249. № 5. С. 1049-1052.

13. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982. 286 с.

14. Vaisala J. Two new characterization for quasiconformality // Ann. Acad. Sci. Fenn. A1. 1965. V. 362. P. 1-12.

15. Малютина А.Н., Елизарова М.А. Оценки искажения модулей для отображений с s-усредненной характеристикой // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 2(10). С. 5-15.

16. АсеевВ.В. Об одном свойстве модуля // ДАН СССР. 1971. Т. 200. № 3. С. 513-514.

17. Martio O., Rickman S., Vaisala J. Distortion and singularities for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. 1970. No. 455. P. 1-13.

18. Игнатьев А.А., Рязанов В.И. Конечное среднее колебание в теории отображений // Ук-рашський математичний вюник. 2005. Т. 2. № 3. С. 395-417.

19. Мартио O., Рязанов В., Сребро У. и Якубов Э. К теории Q-гомеоморфизмов // ДАН России. 2001. Т. 381. № 1. С. 20-22.

20. Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. d'Anal. Math. 2004. V. 93. P. 215-236.

21. Рязанов В.И., Севостьянов Е.А. Равностепенная непрерывность квазиконформных в среднем отображений // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52. № 3. С. 665-679.

Статья поступила 20.04.2015 г.

Malyutina AN., Alipova ^. (2016) ON BOUNDARY PROPERTIES OF SPATIAL NON-HOMEOMORPHIC MAPPINGS WITH AN S-AVERAGED CHARACTERISTIC. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 3(41). pp. 16-30

DOI 10.17223/19988621/41/2

In this paper, we continue to develop the geometric method of modules of curve families for studying analytical and geometrical properties of nonhomeomorphic mappings with s-averaged characteristic. We consider the question of the erasure of special sets under mappings with s-averaged characteristic. In this work, in contrast to previous results which require that the mapping is homeomorphic or the capacity of singular points is zero, nonhomeomorphic mappings with s-averaged characteristic are considered and a weaker condition is taken as constraints. We generalize the theorem which is known in the case n = 2 as Iversen-Tsuji's theorem for the case n > 3. There are well-known examples demonstrating the existence of essential singularities for which Hausdorffs measure Ap ^ 0 at some p ^ 0 for mappings with an s-averaged characteristic. The work presents some examples which illustrate distinctive properties of the considered class of mappings. A theorem about the module distortion for families of curves under mappings with allowance for multiplicity and, as a consequence, the characteristic property of the spherical module of families of curves asymptotic to a special boundary set is proved. The mappings are extended to continuous ones if the dimension of the set of singular points I dim I < n-2 and s > 1. The results are applicable to many classes of mappings of subclasses W„1(U).

Keywords: spatial mappings with s-averaged characteristics, method of modules, desingulari-zation, estimates of the distortion, asymptotic lifts.

MALYUTINA Aleksandra Nikolaevna (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: [email protected]

ALIPOVA Kseniya Aleksandrovna (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Vuorinen M. (1977) On the Iversen - Tsuji theorem for quasiregular mappings. Mathematica Scandinavica. V. 41. pp. 90-98.

2. Martio O. and Rickman S. (1972) Boundary behavior of quasiregular mappings. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I 507. pp. 1-17.

3. Lavrentyev M. A. (1938) Ob odnom differentsial'nom priznake gomeomorfnosti otobrazheniy trekhmernykh oblastey [On a certain differential characteristic of homeomorphic mappings of three-dimensional domains]. Dokl. Akad. NaukSSSR. 20(4). pp. 241-242.

4. Poleckii E.A (1973) On the removal of singularities of quasiconformal mappings. Mathematics of the USSR - Sbornik. 21(2), pp. 240-254. DOI 10.1070/SM1973v021n02ABEH002015

5. Alipova K.A., Elizarova M.A., Malyutina A.N. (2014) Examples of the mappings with s-ave-raged characteristic. Kompleksnyy analiz i egoprilozheniya [Complex Analysis and Its Applications]. Proc. of the International Conference. Petrozavodsk: PetrGU Publ. pp. 12-17. URL: http://piccana.karelia.ru/_docs/2014/atezis14.pdf (Accessed 14.05.2016).

6. Malyutina A., Elizarova M. (2013) Mappings with s-averaged characteristic. Definition and properties. LAP LAMBERT Academic Publishing.

7. Sychev A.V. (1983)Moduli iprostranstvennye kvazikonformnye otobrazheniya [Modules and spatial quasiconformal mappings]. Novosibirsk: Nauka.

8. Poleckii E.A. (1970) The modulus method for nonhomeomorphic quasiconformal mappings. Mathematics of the USSR - Sbornik. 12(2). pp. 260-270.

9. Malyutina A.N., Krivosheina I.I., Batalova N.N. (2001) Iskazhenie sfericheskogo modulya semeystv krivykh [Distortion of the spherical module of families of curves]. Issledovaniya po matematicheskomu analizu i algebre - Researches on Mathematical Analysis and Algebra. 3. Tomsk: TGU Publ. pp. 179-195.

10. Vaisala J. (1971) Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings (Lecture Notes in Mathematics 229). Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag.

11. Vaisala Ju. (1969) Removable sets for quasiconformal mappings in space. J. Mech. 19(1). pp. 49-51.

12. Kruglikov V.I., Paykov V.I. (1979) Nepreryvnye otobrazheniya s konechnym integralom Dirikhle [Continuous mappings with a finite Dirichlet integral]. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 249(5). pp. 1049-1052.

13. Reshetnyak Yu.G. (1982) Prostranstvennye otobrazheniya s ogranichennym iskazheniem [Spatial mappings with bounded distortion]. Novosibirsk: Nauka.

14. Vaisala Ju. (1965) Two new characterization for quasiconformality. Ann. Acad. Sci. Fenn. A1. 362. pp. 1-12.

15. Malyutina A.N., Elizarova M.A. (2010) Otsenki iskazheniya moduley dlya otobrazheniy s s-usrednennoy kharakteristikoy [Estimations of distortion of the modules for the mappings with s-average characteristic]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2(10). pp. 5-15.

16. Aseev V.V. (1971) Ob odnom svoystve modulya [On a property of the modulus]. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 200(3). pp. 513-514.

17. Martio O., Rickman S., Vaisala J. (1970) Distortion and singularities for quasiregular mappings. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. 455. pp. 1-13.

18. Ignat'ev A.A., Ryazanov V.I. (2005) Konechnoe srednee kolebanie v teorii otobrazheniy [Finite mean oscillation in the theory of mappings]. Ukraïns'kiy matematichniy visnik - Ukrainian mathematical bulletin. 2(3). pp. 395-417.

19. Martio O. et al. (2001) K teorii Q-gomeomorfizmov [A contribution to the theory of Q-homeomorphisms]. Dokl. Ross. Akad. Nauk. 381(1). pp. 20-22.

20. Martio O. et al. (2004) Mappings with finite length distortion. J. d'Anal. Math. 93. pp. 215236.

21. Ryazanov V.I., Sevost'yanov E.A. (2011) Equicontinuity of mean quasiconformal mappings. Siberian Mathematical Journal. 52(3). pp. 524-536. DOI 10.1134/S0037446611030153.