О некоторых свойствах класса отображений с ограниченным в среднем искажением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.54

АН. Малютина, Е.Н Романова

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ В СРЕДНЕМ ИСКАЖЕНИЕМ

Работа выполнена при государственной поддержки ведущих научных школ РФ, грант Л$ 96-15-96095 * Исследования по анализу и алгебре».

Рассматриваются пространственные отображения с ограниченным в среднем искажением, доказаны теоремы об оценках искажения модулей семейств кривых, исследуются вопросы стирания особенностей таких отображений. Приведены примеры, показывающие, что класс отображений с ограниченным в среднем искажением шире класса квазирегулярных отображений.

1. Пусть Л" - евклидово л-мерное пространство, л=3,4, ...; D - область в Л" и fX>-*R!' - отображение с s-ограниченным в среднем искажением [1]. Через Bf обозначим множество точек ветвления отображения / Если / £>-»/?" - произвольное открытое изолированное отображение, то множество Я/ нигде не плотно, размерность сИтВ/<л-2, а мера Лебега 15/1=0 [2,3].

Модуль порядка /, Ы) семейства кривых Г обозначим через МРГ). Через В”(хо, г) обозначим п-мерный шар (xe5"| |х-х0|<г}, а его (п-1)-мерную сферу {xe5"| | х-х01 =г} - через !Г\хьг). Мы используем обычные сокращения 5"(0, r)=B"(r), 5"(1 )=fi", S ""‘(О/)=

2. Приведем два примера, первый из которых показывает, что в отличие от отображений с ограниченным искажением для отображений, у которых ограничены интегралы вида

JV (х, /Р(х, f)\dx,\kl (х, f)dx,а,Р > 0,

D D

ограниченность кратности и степени отображения на компактах из области Д вообще говоря, не имеет места.

Пример 1. В пространстве Л3 рассмотрим тор Д точки х=(хь х2, х3) которого удовлетворяют условиям 1*11<1, |х21<1, |х3|<1,х1=(Л+гсо5 0)со8ф, дг2=(Л+г cos 0)sintp, x3=r sin 0, где 0<<р<2я, 0<9<2л, 0<r<R, R<\.

В области D зададим отображение /Д-эД (г, <р, ©)-> -Mr, ф, FQ), где р - произвольное отрицательное число. Отображение / непрерывно и ограничено в Д локально гомеоморфно в xeD. Все точки множества Д' = ={х |(х, -Л)2 +х3 =0} отображение/переводит в себя. Каждая окружность с центром на £>’, лежащая в двумерной плоскости, ортогональной D1, при отображении / переходит в себя. Отсюда легко видеть, что отображение / открыто. В точках множества END1 отображение / непрерывно дифференцируемо и J(x,j)=/>0.

Поскольку двумерная мера Лебега множества D1 равна нулю и сужение / на любую прямую, не пересекающую Д1, непрерывно дифференцируемо, то / есть ACL отображение. Рассмотрим произвольный компакт F<zD, содержащий внутри себя некоторые точки из D1. Пусть msN. Можно указать такое число г>0, что для некоторой точки у=(уи уъ Уз) из Д, удовлетворяющей условию (у, - R)2 + у2 = г2, имеется не менее от прообразов в F. Для этого необходимо выбрать г такое, чтобы шар радиуса г с центром на D1 лежал в F и целая часть числа [т^] была

бы не менее от. Следовательно, ограниченность на компактах кратности отображения/не имеет места.

Так как J(x,f)>0 при хе£Ю\ то N(y,f, Gf=\iiy,f G) (ySy,f G) - топологический индекс или степень отображения /в точке у) для всякой подобласти G, G с Д где р(у, / G) - индекс отображения / в точке уМх) [2], yeJ(dD), (у) - R)2+у2 *0. Следовательно, ограниченности на компактах степени отображения /нет.

Легко показать, что для произвольных чисел а>0, Р>0 существует число 0>/»шах{(-1/2р), (-2/(2а+2))}, для которого одновременно конечны интегралы вида jV (*, fp(x, f)\dx < оо, (x, f)dx < со .

D D

Пример 2. Пусть DcJ? - область, определенная следующим образом:

Д={хе/?3.0<х,<1, (кх2<х2, 0<х3<1}.

Рассмотрим отображение

Ях):|уеЛ3:у,=х, ,y2=^-,j/3=x,x3 J,

которое отображает область D на область

,0<^3<у,}.

С учетом результатов [4, 5] нетрудно показать, что область D не квазиконформно эквивалентна шару В3, т.е. отображение / не является отображением с ограниченным искажением. Покажем, что при некотором р>0 одновременно ограничены интегралы \kf (х, f)\j(x, f)\dx, \kp0 (x, f)dx.

D D

Действительно, непосредственным подсчетом убеждаемся, что Ax,fjr\

|V/W| =

f x2 I

1 + ~T + ~ +X3 + X)2 4 X, X,

Y/2

>

Цх,/) = 3

-3/2

( 2 , \in

1 X2 i 2 2

1 + 4- + —+ x32+x,2

4 X, X, ,

Поскольку локальные характеристики связаны между собой неравенствами

к, (х,/)<*0(х,/Г~\

Л

Л

к0 (х,/)<л2 А.(х,/)<л2Л0 (x,f)<n2k, (х,/)"'1 , *(x,/)<min{*0 (x,f),k, (х,/)}, то указанные интегралы будут ограничены при р=2П>.

Эти два примера показывают, что класс отображений с ограниченным в среднем искажением на ограниченных областях шире класса квазирегулярных отображений в пространстве.

56

3. Известно, что если f.D-^ГУ - А-квазиконформ-ное отображение, то неравенство М(Г)/К<М(/Г)< <КЩГ) имеет место д ля каждого семейства кривых Г в области D. Это неравенство перестает бьггь верным уже для отображений с ограниченным искажением [6]. Докажем оценки искажения модулей семейств кривых, соответствующих друг другу при отображениях с АГ/ п Ко, ^-ограниченным в среднем искажением.

Пусть f.D-*R!" - непрерывное изолированное отображение. Если р:[а, - кривая в /Д), то под-

нятием Р в D называется кривая а такая, что f°a= р. Пусть xe/_I(P(а)), 1с[а,Ь], ае/. Кривая а:/->£> называется /поднятием р, начинающимся в точке х, если /а=р 1/, а(а)=х.

Пусть р - замкнутая спрямляемая кривая, Iclo, a:/->D - кривая, обладающая свойством /°асР, sp:/0->[0, 1(Р)] - функция длины кривой р, тогда существует единственное отображение a*:sp/->D такое, что a=a*°(sp|/). а* непрерывно и /оа*сР°. Тогда а называется /представлением кривой а относительно Р, если Р=/°а. Отображение / называется абсолютно пренепрерывным на а, если а абсолютно непрерывно.

Теорема 1. Пусть f.D-*R" - непостоянное отображение с Д-ограниченным в среднем искажением, л>3, s>n-l. Г - семейство кривых в D и Г' - семейство кривых P[a,6]-*A", meN. Предположим, что каждая кривая Ре Г' имеет частичные /поднятия

<*|, а.2.а„еГ, начинающиеся в точках/_,(Р(а))

такие, что card{j:a.j(t)=x}<i(x, f) для всех xeD и

te[a, Ь]. Тогда М(Г) < М^(Г).

т

Доказательство. Пусть Е - множество точек хе Д в которых отображение /дифференцируемо и J/x)>0. Из свойств отображений с ограниченным в среднем искажением имеем [7] BjcDE и да=(£)\£)=/и(ДП\£))=0. Пусть ВэЦЕКЕ) - борелевское множество меры нуль. Можно полагать, что для каждой кривой ре Г' выполнены следующие утверждения:

(a) Р - локально спрямляема;

(b) если а кривая в D такая, что /хсР, тогда /локально абсолютно пренепрерывно на а;

(c) {КВЛ = 0.

Пусть функция р допустима для семейства кривых Г. Определим борелевскую функцию a:Z)—»[0,со] так:

аЫ = 1р (*)//(/'(*)). если xeD\f'B, W [0, если xef-'B

и функцию р';.Я"->[0,оо] как р'(у) = — sup £а(х),

т С хеС

где С пробегает все множество прообразов/_|(у) такое, что cardC<m. Докажем, что функция р' допустима для семейства Г. Для доказательства того факта, что р' -борелевская функция, рассмотрим последовательность D\d>icz... вложенных компактных подобластей Д которые исчерпывают D. Положим

Р< 5, >

Р!(Я = — КупС^ир^а, (*)•

т с х£с

Тогда р; -> р' и р' (у) = О

если yeR" \Д) u/(Z) п5/).

Достаточно показать, что для произвольной точки у0 е JD\f(Dr\Bf) существует окрестность, в которой р' - борелевская функция. Рассмотрим непересе-

кающиеся окрестности Д, U2, .... Д точек прообраза /*10;о)пА bZM/, где f\Uj - инъекция,/=1,..., к.

Г к

Тогда V,

\/

D \ U U, является окрест-

j=\ 1 '

ностью точки уо Пусть VbVo - связная окрестность точки у0. Положим, что G - компонентаf~x V, пересекающая Д. Тогда G пересекается с некоторой U,. Поскольку

IP.

- инъекция, то V0rtfdUr0. Значит, GndUr0 и

GdJ,. Таким образом, компоненты /~’К, пересекающиеся с Д , состоят из областей GfzUj,j=l, ...,к и/опреде-

ляет гомеоморфизмыfiGf-tV. Обозначим g} = fjl. Име-1 к

ем pi (у)=— sup £a, (g. (у)), где ye V Поскольку 1................* ;=1

ст, gj - борелевская функция, той р' обладает тем же свойством.

Предположим, что Р:/0->Л" - замкнутая кривая семейства Г'. Существуют кривые аь а2,..., амеГ такие, что/°аусР и card{j:a/f)=x}<i(x,J) для всех xeD

и teIQ. Пусть с=/(Р)и a'j j} D -/представление

a.j относительно р. Тогда a.j(t) = a* osp(0. /а* с

<= Р° и для любого telj имеем

i=|(/«a;m|=

= |/'(ос*(0)а*(/)'| > /(/'(a*

Поскольку а* абсолютно непрерывно, то

jpds= J(p°aj)|aj|<fm1 й Ja<>a.

aj lj l,

Пусть hj(t) = (t) ) для любого fe[0, c]

и Jj={j:te[j}. Из (с) следует, что для почти всех /е[0, с] точки а* (0, уе/- различные точки в прообразе Г'(Р°(0)- Тогда

р'(р°(0)^-ЕА;« и Jp'*=/р'«Р°(0Л^

т j=1 р о

= faoa^/я, >1.

т J=1 О т у=1 /,

Таким образом, функция р'допустима для семейства Г'.

Пусть, как выше, у0 е JD, \ f(D)r\Bj и V- связная окрестность точки у0 такая, что существуют к

57

квазиконформных в среднем отображений V—>Gp,

р=1..... к, обладающих свойствами: f°gp=id и

D(n/~lK=U{D,nG(l;l<p<A}. Для каждой точки уе V

определим множество LyzP={ 1, ...,к} следующим образом. Если к<т, то Ly=P. Если же к>т, то cardLy-m и для всех \ieLy, уеЛД, либо o,{gM(y))>a,<gv()')), либо ст/ (&ц (>0) = о, (g„ (у)) и p>v. Тогда для ye V имеем

РК>') = — £<*,(£„ O'))-

14 ue£„

При LczP борелевские множества VL={ye V\Ly=L) не пересекаются. Учитывая квазиконформность в среднем отображений /| и применяя неравенство Гбль-дера, получим

\р? dm < — Y, J(°, 0 У dm =

У, т Vi

jpSj

m

\r'yL

Суммируя по всем IcP, получим e

Jp T dm <

C(D)K,

m

fp "«""dm

\f v

\(s-\)ls

/

Множество fD, \f(DiC\B/) может быть покрыто

счетным числом непересекающихся множеств V, как описано выше, и, учитывая тот факт, что m(fBjyO, имеем

Jp^gg^f lp”^dm

R" m \R•

При i -> oo получаем

М(Г')<

C(D)KS

m

7

Теорема доказана.

Предложение 1. Пусть / :£>-» R" - непрерывное

открытое изолированное отображение, р: [а, б] -» R" -

*

кривая,*2, •..,xte/‘(P(a)) и т = £ /(х,, /). Тогда су-

7=1

ществуюг максимальные /поднятия аь .... начинающиеся в точках хь х* •. •, хь такие что card{j:aj(ay=xi}, \<J<Jc, card{j\afjj=x} <(хД VxeD, /е[а,6].

Это предложение доказано в [4].

Пусть f И -+ R" - отображение с /^-ограниченным в среднем искажением, уеР?. Рассмотрим спрямляемую кривую у. (/):[0,1]~>Л", для которой limy. (/)=у.

Пусть существует такая спрямляемая кривая у в U, что /у= у. и limу(г) = х, где xedU. Тогда кривая у. на-

зывается асимптотической для точки х\ у - ее асимптотическим поднятием; у - асимптотическим значением /в точке х. Если I - особое множество, I\cJ, то семейство асимптотических кривых (для 1\) - это все асимптотические кривые для дсе/ (хе/,). Пусть I -замкнутое подмножество области U, f.lA-tR" - отображение с /^-ограниченным в среднем искажением. Пусть А - замкнутое подмножество Щ, а /0с/. Обо-

значим через Г.(Л,/0) семейство кривых у .(f) в/СМ). которые допускают асимптотические поднятия y(t) такие, что^О)еЛ, а Иш у(/) = х е /0.

/->1

Теорема 2. Пусть - отображение с /^-ог-

раниченным в среднем искажением, Ш - связно, Г,(/0) - семейство асимптотических кривых для точек хе/0 и сарА>0. Тогда )) = 0 в том

и только в том случае, когда

MmKs+i)T.(A,Io)) = 0, skl/(n-l).

Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Рассмотрим г - окрестность множества I такую, что capG>0, где 0=Аг(Ш2г). Пусть функция р, допустима для семейства Г. (А, /0), причем

|р?<Л'<е, где б - некоторое положительное число. Поскольку Л/Ш,(1+|)Г.(А, /0)) = 0, то б можно выбрать сколь угодно малым. Определим функцию р на IN следующим образом: р(х) = р.(/(х))А.(х). Обозначим

через Ас множество точек хед1п для которых найдется кривая у со следующими свойствами:

1) образ у принадлежит Г. (А, /0);

2) дуга у кривой у, соединяющая G с точкой х, лежит в Шгп,

3) jpdsz)/2.

г'

Так как р допустима, то для любой кривой уи идущей из хеАс в /0, будем иметь jpds > , если

Г|

/.у,бГ.(/в).

Пусть N=N(lAIrn) и Dt=dIr\At. В силу определения множества Dt для любой кривой усСЛ/й, соединяющей G и Д, имеем Jpds > Оценки для функ-

Т

ции р дают неравенство

M(T(G,Dt))<2" N(,~t)ls Kse',

где в' = ce(j_,)/i ; с - постоянная. С другой стороны, модуль порядка лж/(у+1) семейства кривых из Г.(/0), для которых существуют поднятия, идущие из At в /о, меньше К^г.

Выбирая теперь последовательности 6* = (2к+я pN™'‘ К

г\

и рассматривая два множества

Ap=\jAet и Dp=f]Dtk = dlr \ Ар,

получаем

А/(Г(0 ,G,U\ It/ )) = lim 2" N("l)lsK5в/ = Э. у /г *->«

/ со Л 00

Так как Ма\ (Jr, й ^Ма(Г,), то модуль порядка

V/=i ) /=)

m/(5+l) кривых ю Г. (/0 ), допускающих поднятия, которые пересекают Ар, не превосходит p~,/is~]). Вошием

58

множества D=(JD и А = Г) А . Анапогичто выше-

р=| />='

сказанному имеем A4(T(GyD))=0, Л/ш/(1+1)Г,(Л,/о) = 0 и, кроме того, Du А = д1г.

Аналогично [6] и используя теоремы 1 и теорему

3.1 в [3], можно показать, что A/(T(D))=0, где T(D) -семейство кривых, соединяющих точки хе Щ/^uD) с

D. Так как г можно выбрать произвольно, то рассмотрим последовательность /у=1/£. Заметим, что любая кривая у. е Г. (70) имеет поднятия, начинающиеся в UM^ при некотором к. Исходя из связности IN,

можно выбрать к настолько большим, что начало этой кривой попадает в связанную компоненту W*, которая содержит часть множества А нулевой емкости. Это поднятие пересекает А или D. По доказанным утверждениям и теореме 1, видно, что в первом случае

Мтм(Г.&,10)) = 0, а во втором М(ГЩУ=0 и /(»+!) ff'* (-^>^о))= т-е- ^/(1+,)(П(/о)) = 0, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Пусть f.LA->U - отображение с /^-ограниченным в среднем искажением, где I- замкнутое подмножество в U, dim/<n-l, и Г. - семейство кривых, асимптотических для точек хе/. Если Ма (Г. )=0,

а=лт/(л+1), s>n-1, cap{Ry{UJ))>0, то / продолжается непрерывно на U.

Доказательство. Предположим, что это не так. Пусть хе/ и последовательности х,—>х, х\ -> х, а q(f (*,). /(*,')) ^ а > 0, где q(x, у) - сферическое расстояние. Так как dim/<w-2, то существует кривая у, еГ(х,,х'), причем </(у,)<2d(xt,x'). Обозначим через F множество ЛЛ/^/Л/). Из теоремы 3 [8] имеем Л/а(г(/г,у’))>6>0. С другой стороны, поднятие у кривой у. е Г(Г,у‘) выходит либо на dU, либо на I. Во втором случае кривая у. е Г. и модуль порядка а таких кривых нуль, а модуль кривых, которые выходят на 3(7, как следует из [1], стремится к нулю. Таким образом, пришли к противоречию. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Малютина А.Н. Об отображениях с ограниченным в среднем искажением // Экстремальные задачи теории функций. Томск, 1986. С. 24-31.

2. Rado Т, Reichelderfer R. V. Continuous transformation in analisis. Springer-Verlag. Berlin; Gottingen; Heidelberg, 1935. 442 p.

3. Чернавский А.В. Конечнократные отображения многообразий // Мат. сб. 1964. Т. 65, № 3. С. 357-369.

4. Vaisala Ju. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings. Lectures Notes in Math, 229. Springer Verlag, Berlin; Heidelberg; New York, 1971. 144 p.

5. GehringF. W„ Vaisala Ju. Hausdorf dimensional mappings lli. London. Math. Soc. 1973. V. 2, № 6. P. 504-512.

6. Полецкий E.A. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений // Мат. сб. 1970. Т. 83 (125), № 2(10). С. 261-273.

7. Полецкий Е.А. О стирании особенностей квазимероморфных отображений // Мат. сб. 1973. Т. 92 (134), № 2 (10). С. 242-256.

8. Романова Е.Н. О стирании особенностей отображений с ограниченным в среднем искажением И Актуальные проблемы современной математики. Т. 4. НИИ МИОО. Новосибирск (в печати).

Статья представлена лабораторией математического анализа научно-исследовательской части Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 25 октября 1998 г.

59