Об асимтотическом поведении отображений с s-усредненной характеристикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 1(2)

УДК 517.54

А.Н. Малютина

ОБ АСИМТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ ОТОБРАЖЕНИЙ С «-УСРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Для отображений с ^-усредненной характеристикой доказывается оценка снизу для модулей семейств кривых, устанавливаются оценки искажения расстояний, характеризующих поведение отображений с ^-усредненной характеристикой в окрестности изолированной особой точки.

Ключевые слова: Асимтотическое поведение отображений, метод модулей семейств кривых, устранимость изолированных особенностей.

Пусть Rn, n = 3,4, - евклидово пространство; D, Dс R" — области;

(п у/2

IX =1 ^x2 I ; Bn(x0,r) = (xeRn: |х — х0| < r} — шар с центром в точке x0eRn,

Sn-1 (х0, r) — его (n—1) — мерная граница. Мы используем стандартные сокращения: Bn(r) = Bn(0, r), Sn-1(0,r), Bn = Bn(1), S"-1 = Sn-1(1). Для множества E с R" обозначим через d(E) = diam E = sup |x - _y| диаметр E. Через Мр(Г) обозначим сферический модуль порядкаp семейства Г кривых уеГ. Известно [1 — 3], что в классе отображений с ограниченным искажением изолированная особенность устранима, однако в классе отображений с s-усредненной характеристикой точка, вообще говоря, не является устранимой. Это показывает следующий пример.

Пример 1. Пусть В 3 = {xeR3: 0< r <1, 0 < ф < 2п, 0 < у < 2п} — проколотый шар, где (r, ф, у) — сферические координаты в R3. Рассмотрим отображение f D' ^ R3, где D' с R3, определяемое по формуле f (r, ф, у) = (r', ф', у'): r' = e, ф' = ф, у' = у. Это отображение f диффеоморфно в В 3, и в каждой точке хеВ 3 полуоси характеристического эллипсоида пропорциональны величинам

dr' r r'dф' 1 r r 'sinф'dу' 1 r

---= e -------= — e ------------= — e .

dr rd ф k r sin ф d у r

Так как 0 < r < 1, то линейная дилатация k (r) =1, а интеграл

r

< да, 0 < s < 1.

Следовательно, отображение f является отображением с ^-усредненной характеристикой с 0< ^ <1 и его нельзя продолжить в точку 0 даже по непрерывности.

Лемма 1. Пусть О с Б - открытое множество и Е - континуум, Е с О, Г - семейство кривых у, соединяющих Е с 30. Тогда при п — 1 < р < п имеет место следующая оценка снизу:

_ й (Е)р

MГ (Г) > с-

где с - постоянная, зависящая только от n и p

1-n+p

Доказательство следует из [4] и предложения 5 из [11].

При доказательстве следующей теоремы воспользуемся терминологией работ [5,6] с дополнениями к ней, введенной нами в [7].

Теорема 1. Пусть f: D ^ R" — непостоянное отображение с s-усредненной характеристикой, n > 3, s > n — 1. Г — семейство кривых в D и Г' — семейство кривых P:[a, b] ^ Rn, m е N. Предположим, что каждая кривая РеГ' имеет частичные f-поднятия a1, a2,...,am еГ, начинающиеся в точках f-1(P(a)), такие, что card(/: a/t) = х} < i(x, f) для всех xeD и te [a, b]. Тогда

mS+1 (Г') < МП (Г).

т+т m

Доказательство. Пусть E — множество точек xeD, в которых отображение f дифференцируемо и Jf (х) > 0. Из свойств отображений с s-усредненной характеристикой имеем Bf с D \ E и m(D \ E) = m( f (D \ E)) = 0. Пусть B з f (D \ E) — боре-левское множество меры нуль. Можно полагать, что для каждой кривой РеГ' выполнены следующие утверждения:

(a) Р — локально спрямляема;

(b) если a кривая в D, такая, что f ◦ a с р, тогда f следуя терминологии Rickman [6], локально является абсолютно пренепрерывным на а;

Хнds = 0.

(Ole1

Пусть функция р допустима для семейства кривых Г. Определим борелевскую функцию ст: D ^ [0, да] следующим образом:

[р (x)/1(f'(x)), если x e D \ f-1B,

CT (x) = \

[0, если x e f B,

и функцию р': Rn ^ [0, да] как

P'(У) = — КfD (У) sup X (x),

m с XEC

где C пробегает все множество прообразов f-1(y) такое, что card C < m. Докажем, что функция р' допустима для семейства Г'. Для доказательства того факта, что р' борелевская функция, рассмотрим последовательность D1 с D2 с . вложенных компактных подобластей D, которые исчерпывают D. Положим

Pi = PKD; > = ,

Рi (У) = — К fD (y) sup X (x).

m с x^C

Тогда p' ^ p' и p- (y) = 0, если y e Rn \ fDt u f (Dt n Bf). Поэтому достаточно показать, что для произвольной точки y0 е fD; \ f (D; n Bf) существует окрестность, в которой рг' — борелевская функция. Рассмотрим непересекающиеся окрестности U1, U2, ...,Uk точек прообраза /-1 (y0)nDt в D \ Bf, где f\Uj — инъекция, j = 1, ..., k. Тогда

Уо =( Д /и] ) \ / ( Д \ \J_Uj

является окрестностью точки у0- Пусть V с Ко - связная окрестность точки /о- Положим, что G - компонентау-1 V , пересекающая Д. Тогда G пересекается с некоторой Ц,- Поскольку /| ^ - инъекция, то КО п/ ЭЦ- = 0- Значит, G п ЭЦ- = 0 и

G с Ц- Таким образом, компоненты /"'V , пересекающиеся с Д, состоят из областей Gj с Ц,у = 1,..., к, и / определяет гомеоморфизмы /: Gj• ^ V- Обозначим Я / = - Имеем

' 1 к Pi (У) = — sup £ стг- (gj (y)), m j=1,...,kj=1

где ye V. Поскольку O;ogy - борелевская функция, то и рг' обладает тем же свойством.

Предположим, что Р:/о ^ R" - замкнутая кривая семейства Г'. Существуют кривые аь а2,...,ат еГ, такие, что /оа, с в и card{/': a,(t) = x} < i(x, / ) для всех xeD и te/0. Пусть c = /(P) и a* :Ij ^ D - /-представление а, относительно p. Тогда

a j (t) = a* ° sp (t), f ° a* cp° и для любого tel, имеем |( f ° a* )'(t)| = 1.

|(f ° a* )j(t)| = |f\a) (t))a* 0)j ^l(f'(a*(t)))|a* (t)j

*

a/ (t)

I(/ '(а у (*))

Поскольку а** абсолютно непрерывно, то

| Р | (Р ° а*) а* йгпх < | а ° а* йгпх -

а! I I

Пусть Ъ](/) = ст(а*(?)) (?) для любого /е[0, с] и ,/, = {/': /еТ,-}- Из (с) следует, что для почти всех /е [0, с] точки а* (г), у € - различные точки в прообразе

/ЧвШ Тогда

1 т

Р'(р»«) )> - 2 ь,«)

— у = 1

^ 1 тс 1 т *

и |рУу = |р' о р (г)Л > — X |й. (г)Л = — Е °° .^т, > 1 -

в х 0 т. = 10 . т- = 11. . 1

Таким образом, функция р' допустима для семейства Г'-

Пусть, как и выше, у0 е f Д \ f (Д п В^) и V - связная окрестность точки у°, такая, что существуют к квазиконформные в среднем отображения gц: V ^ G(i, ц = 1,---, к, обладающие свойствами/◦ gц = id и Д п /-1К = и{Д- { Gц :1 < ц < к} -

и

Для каждой точкиyeV определим множество Lyс P = {1,...,k} следующим образом. Если k < m, то Ly = P. Если же k > m, то card Ly = m и для всех peLy, veP \ Ly либо CT;<g^(y)) > CT;<gv(y)), либо CT/(g^(y)) = CTi(gv(y)) и ц > v. Тогда для ye V имеем

P; (У) = — Z °i(8»(У)).

__ Э^Л

т ^

При Ь с Р борелевские множества V, = (уе V: Ьу = Ь} не пересекаются. Учитывая квазиконформность в среднем отображений /\0^ и применяя неравенство Гёльдера, запишем

т 1 т

| р;*+1 (у \ а „у <—X | (° а „ у =

V т ^

12 ; „^о, < [ | р-ао, ^

т.^т ' т

^L ^VL I /-Ч

Суммируя по всем L с P, получим

s

С(D)Ks Г ^^

Jp/-day £ J p"da

J m -i

\ f v

Множество \ f (Бі П В у) может быть покрыто счетным числом непересе-

кающихся множеств V, как описано выше. Учитывая тот факт, что лебегова мера т( / Ву) = 0, имеем

jp,Wa, jp”d.x

n mi

R V R

Отсюда при получаем

м ;+/ (г') < мп (Г).

т+т т

Теорема доказана. Теорема 1 обобщает теорему 2 из [7].

Теорема 2. Пусть/: В"\{0}^Д* - отображение с .у-усредненной характеристикой и $ > п - 1. Тогда отображение / можно доопределить до непрерывного в точке 0 отображения.

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность {хп}, сходящуюся к нулю, и покажем, что последовательность {/ (хп)} фундаментальна. Обозначим через Е разность Бп(0, хп) \ Бп(0, хп+р). Пусть Г - семейство кривых уеБм, соединяющих множество Е с дБ. В силу теоремы 1 имеем

с • йаш/(Е) < М^ (/Г)( | К (X, /)\ | /(х, /) | dа*) < (К )МП (Г).

5+1 Д“

Факт фундаментальности последовательности {/хп)} вытекает теперь из леммы 1 и соотношений

й(Е) > |/хп+р)-/хп)| и Мя (Г) < с 1п

1-П

|Хп+р Хп\

В самом деле, предположим противное, то есть что / (х'п) сходится к а, а / (х"т) сходится к Ъ, где [х'т},{хт} - две подпоследовательности последовательности {хп}, и пусть а Ф Ъ. Возьмем последовательность хп= х’т , если 2т = п, и хп= х"т , если 2т - 1 = п, получим противоречие.

Получим теперь оценку искажения расстояний | / (х) -/ (х0)| при стремлении х к изолированной точке х0.

Лемма 2. Пусть Б и Б' - области Яп и/ :Б ^ Б' - отображение с $-усредненной характеристикой. Тогда

М(Г') < Ы |(р(х))яК (х, Г)Лох , (1)

р о

где Г - некоторое семейство кривых в области Б, Г' - образ Г при отображении / арЛГ означает, что р допустима для Г [9].

Доказательство. Если интеграл справа расходится, то доказывать нечего. Пусть существует _рЛГ и |(р(х)п К1 (х, /)^ах < да . Определим функцию

тах Х] I 1 (х], /) N (у, /), у е /(Б; )\/ (В/), да, у е Е0 п/(В7),

0, € / (Д),

р'(у) =

где у = /(х), {х,} - совокупность тах х,,, в которых

/(х/) = У> I 1 (х/,/)=■ ^ ^

а1 (х /)

Здесь а^х,) > а2(х,) > .„>аи(х,-) - полуоси эллипсоида, который преобразуется главной линейной частью отображения / в точке х, в шар радиуса г(х,); Бу - множество точек ветвления отображения / Допустимость функции р'(у) для семейства Г' = /(Г) доказываетсятак же, как в теореме 1. Справедливость неравенства (1) следует из оценки

М (Г) < М | [р (у)]" С а у < inf | [{тах р(х] )е [(ху, /)М(у, /)]"" Оу <

Р у о' р р 1

< | тах р(х1 )[е~1 (х1, /)сах < | рп (х)К1 (x, /)сОх.

о 1 о

Лемма доказана.

Определение. Кольцевую область Бр = Б Да), а > 1 называют кольцевой областью Греча, если ее граничными компонентами являются сфера 5 "(0, 1) и луч {х: а < х1 < да, х2 = ... = хп = 0}.

1

Положим (ют_1 (М{ТВр{а) )-1))И-1 = 1п Ф(а), где ГВр{а) - семейство всевозможных кривых, соединяющих граничные компоненты кольцевой области Греча.

1

Ф(а)

Лемма 3. Функция ---------- является неубывающей при 1 < a < да, причем

а

1 ф(а) т

1 <-----< к , где К - некоторая постоянная.

а

Доказательство леммы 3 дано в [8].

Лемма 4 (лемма Грёча). Пусть Dr - кольцевая область, такая, что C0 = Bп и C содержит точку ж и точку ©, |©| = 1, r > 1. Тогда

M (г чм.,)=inf M (г d, ) •

где inf берется над классом всевозможных кольцевых областей Dr Доказательство леммы 4 содержится в [10].

Теорема 3 Пусть /:D ^ D' - отображение с s-усредненной характеристикой. Тогда для всякой точки x е Bn (x0,d), d = р (x0, dD) справедлива следующая оценка:

| f (x) - f (x0 )| <т*е--(x >, (2)

где R* = p(/(x0),/(B"(x0d))), К - некоторая величина, зависящая только от n,

t (x, xo) =

®я-1 jr" (x,xo,У)KI ^,f ) dOy

1

D

1-и и r(x, x0, y) - произвольная функ-

ция, допустимая для семейства Г([х,х0], 5и-1(^0,^); В"(х0^)),0 < х <

Доказательство. Если интеграл в определении функции г(х, х0) > 0 расходится с ?(х, х0) = 0, то оценка (2) тривиальна. Пусть существует функция г(х, х0, у), такая, что соответствующая функция г(х, х0) > 0. Рассмотрим кольцевую область Грёча Вп (х0,d)\[0,|х-х01]. Ее образ при отображенииf обозначим В*\у. Используя леммы 3, 4 и известные результаты работ [8, 9], получим оценку

<:} (1п хя* - 1И|/ (х) - / (Хо!)1-я <

< М (Г ([/(Хо, / (х))], 5п (/ (Хо), а), вп (/(Хо), я*))) < М (М *),

где Г* - образ семейства кривых Г([х0, х], 5и-1(х0, ^), £"(х0, ^)) при отображении у В силу леммы 2 имеем

М(Г*) - 1г” (х,хо,У)кт (У,/)ЛЪу ,

и, так как Jrn (x,x0,y)KI (y, f )d'

D

получаем, что t(x, x0) < ln

CT &п-1

y tn-1 (x, Xo ):

XR*

І/ (X) - / (Хо )|

Теорема доказана.

Замечание. Теоремы 1 и 3 нетрудно доказать в терминах локальных характеристик Х(х, /), К0(х, /), К(х, /) с учетом связывающих их известных неравенств. Обозначим угаі тах К1 (х, /) = К1,у (х0, г).

5-'(х, ,0

Порядок роста отображений с .у-усредненной характеристикой в окрестности изолированной особой точки характеризуют следующие теоремы.

D

Теорема 4. Пусть /- отображение с я-усредненной характеристикой шара Вп

на себя / (0) = 0 и К1,у (0,г) < I 1п

, где 0 <а< 1, 0 < г < 1, - постоянная

с > е. Тогда | / (х) | < X | х |Я(А|х|), где

1п у| - (1п с )в

1п-

1

п-1

, в = а (п -1) +1.

Доказательство. Рассмотрим функцию

Р, (х) =

X 11п—} , | X |> г.

| х |< г.

Нетрудно видеть, что для всех уеГ, = ([0, г], 5п-1, Вп) справедливо неравенство |Р, (х)^Ух ^ (1п1 )-11— =1,

и, значит, функция р, допустима для Г,.

Из условия теоремы следует, что

Iр (х)кI (Х №Стх < | к7 /(0,| X |)р” (Х)с1 Стх <

вт в

< ю„_11(1п-)а(я-1)(М^-) = р-Ч-1 (1П1)-”[(1пС)в - (1пс)Ь], •’ ■“ гм 11

г

г

в = а(п - 1) + 1.

Следовательно, функция г(х,0) из теоремы 2 оценивается снизу величиной

— 1 — г(х,0) = (юТ-11(I х I)1-” > [р-1 (1п—)”((1п^)я((1п^)в - (1пс)вГ1 ]”.

I х I I х | | х |

Отсюда в силу теоремы 2 имеем оценку

1ПА г (С>М)

|/(х)| <Хе-(х’0) <Хв

Теорема 3 доказана.

Замечание Приведенный в [10] пример показывает, что порядок стремления функции я(с,|х|) при х ^ 0 в теореме 3 увеличить нельзя.

Определение. Говорят, что открытое изолированное непрерывное отображение /:Д ^ Ип является нормальным, если ДЭР) = 5(ДР)), какова бы ни была область V с Д.

Теорема 5. Пусть / - нормальное отображение с ^-характеристикой, я > 0, Вп \{хо}, х0еВп с Ип, такое, что для всех у0е/Вп \{х0}) выполняется условие

Iк(Уо >г= <» ,

где

К/,/ (у, г) = | К1 (х, г)&

вп п ~1 (у,О

У

о

о

Тогда существует предел f (х) при х ^ х0.

Доказательство. Предположим обратное. Поскольку по условиям теоремы единичная сфера переходит в дf (В"), то предельное множество С( х0) лежит либо внутри f (В"), либо во внешности f (В"). Будем рассматривать только случай, когда с/ х0) лежит внутри. Второй случай рассматривается аналогично. Пусть f (х) при х ^ х0 не имеет предела. Тогда образ В"(х0, е)\{х0} при отображении f есть кольцевая область Б*\{С(/ х0)}, где С (£ х0) - некоторый континуум,

0 < 8 = diam с/ х0) < да. Пусть В - минимальный замкнутый шар, содержащий С(/, х0). Обозначим через у некоторую точку из пересечения с(/, х0) п5В . Пусть

шар В"(у0, Л) з Б* при некотором Л.

По лемме 2 имеем

М(з:) < |Р (х)К (X, Г)сЬс, (3)

п

где р,(х) - допустимая функция для кривых

дt =д([Х0,х0 + ],5”-1 (х0, е),Вп[х0,х0 + ]).

Г* - образ Г, при отображении / Заметим, что семейство кривых Г* короче, чем семейство кривых

дс(/,х0) = д(С(/, х0), 5я (у,Я), Вп (у, Я )\ {С(/, х0 )}) .

Следовательно, М(дс(у,Хо)) < М(д*).

По лемме 4 модуль семейства кривых Гс(у ) , в свою очередь, не меньше, чем модуль семейства кривых

г8 =г([Уо>Уо + 5е1]>5”-1(у>в”(Уо>^)\[Уо>Уо + ге1 ]).

Из леммы 3 находим, что

0 < 80 = (1п ^)1-я < М(дс,Хо)) < N(д?). (4)

В качестве допустимой функции для семейства Г, возьмем функцию р<(х), которую определим так:

Р; (х) = (Iк1/ (V№)-1 К1/ (хо ’1 х - хо I).

Проверим допустимость функции р((х):

£

|Р;(х)ЛУх = |Р;(I х-х0 \¥Ух ^ |Р;(г¥г = !•

У У t

Объединяя неравенства (3) и (4), получаем, что

Е 1 " Е 1

80 - (1К7-/ (х0 ’ *)ЛГ” 1 К1 (Х’1 )К7,7 (Х0 ’I Х - Х0 1)^ СТх = ( |К1 (х0 ’ .

t t< | Х-Х0< /

Устремляя г к нулю, получим, что 8о < 0.

Полученное противоречие доказывает теорему.

ЛИТЕРАТУРА

1. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982. 286 с.

2. GehringF.W. Extensional theorem for quasiconformal mappings in three space // J. d'analyse math. 1965. V.14. P. 171 182.

3. Зорич В.А. Изолированная особенность отображений с ограниченным искажением // Мат. сб. 1970. Т. 81(123). № 4. С. 634 - 636.

4. Малютина А.Н. Об отображениях с ограниченным в среднем отображением // Экстремальные задачи теории функций. Томск: Изд-во ТГУ, 1985. С. 24 - 31.

5. Полецкий Е.А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений // Мат. сб. 1970. Т. 183(125). № 2(10). С. 261 - 273.

6. Rickman S. Value distribution of quasiregular mappings // Proc. Value Distribution Theory, Joensuu 1981, Lecture notes in Math. Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1983. V. 981. P. 220 - 245.

7. Малютина А.Н., Романова Е.Н. О некоторых свойствах отображений с ограниченным в среднем искажением // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 56 - 59.

8. Сычев А.В. Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983. 152 с.

9. Шабат Б.В. Нелинейные, гиперболические и пространственные задачи теории квазиконформных отображений: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. М., 1961. 8 с.

10. Vaisala Ju. Lectures on N-dimensional quasiconformal mappings in spase // Ann. Acad. Sci. Fenn. Al. 1965. V. 362. P. 1 - 12.

11. Стругов Ю.Ф. Отображения, квазиконформные в среднем // Препринт АН СССР. Сиб. отд-ние Ин-та математики. Новосибирск, 1979. 39 с.

12. Кругликов В.И., Пайков В.И. Некоторые геометрические свойства отображений с искажением, ограниченном в среднем. Донецк: Донецк. ун-т, 1982. 43 с.

Принята в печать 05.12.07.