Дифференциальные свойства отображений с s-усредненной характеристикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.Н. Малютина, М.А. Елизарова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ С 5-УСРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Исследуются свойства отображений с я-усредненной характеристикой. Найдены достаточные условия дифференцируемости отображений, доказаны оценки, позволяющие исследовать поведение отображений с я-усредненной характеристикой в окрестности изолированной особой точки. Построены примеры, характеризующие класс исследуемых отображений.

Приведем пример, показывающий, что класс исследуемых отображений не пуст и шире класса отображений с Б-ограниченным искажением [1, 2].

Пример. Пусть Б с Я3 - область, определенная следующим образом:

В = {х е Я3 ;0 < х1 < <х>,0 < х2 < х1 ,0 < х3 < 1}, где 0 < в < 2 .

Рассмотрим отображение f : Б ^ Б*,

Д* = {х е Я3 ;0 < х1 < <х>,0 < х2 < ,0 < х3 < 1}, дейст-

= 3-32 x,3-20

Тогда

1 +

- + —гг— + -

(1 ~а)'

22

x3

2-2а 4-2а 6-2а

X X X,

3f2

Is = J3 2 xj(3-2a)s

, 1 1 x22 (1 -a)2 x32

1 + О О + ----+ “------------------r.-^

2-2a 4-2a 6-2a

X Xj Xi

dax

Оценим подынтегральное выражение при x{ ^ да, учитывая, что 0 < а < 1, и x2 < , 0 < х3 < 1 по усло-

вующее по правилу

/ ( X ) = {у є Я3; У! = у, у = х2 / х, у = х3 у1-“} ,(1) где 0 < а < 1.

Покажем, что при 0 <а< 1, 0 < в < 2 отображение _3^

(1) является отображением с 5-усредненной характери- < 13 2 Хі(3-2а)

стикой, т.е., согласно определению [3], выполнено в

Is < J3 2 x1(3-2a)s

2 +

.2ß

6-2a + 2

X X,

dc„ <

2 + ^-

,2ß

düx < J3 2 х/3-2a)s32 dax =

J(x f )dc

D

V/ s

^ Ko,s ,

V/ s

(2)

(3)

3

IК: (х, /)(X, /)* dах < К1,

чв у

где Ко я, К ,5 - некоторые константы,

d = dx (1 + |х|~) .

Для исследования сходимости интегралов (2) и (3) воспользуемся известным неравенством [4]:

К (X, /) < Л(X, /), (4)

где Ц X, /) = п-'2 \У/ (х)|- ^ (X, / )|-1.

Покажем, что при некотором ^>0 сходится следующий интеграл:

IКо ( ^^3 . (5)

в (1+|х|2)

В силу (4) достаточно показать, что интеграл

/ = |Xя (х, /) daх (6)

Ш(3-2а)^ ^Х2З.'Х-^З.'Х'з ^ г гг (3-2а)я ^Х^Х^

1 / 2 2 ^\^ V V V 1 / 2\

0 0 0 ( 1 + ( + Х2 + Хз ) 0 0 0 ( 1 -^X1 )

Предпоследняя оценка справедлива при 0<р<2. Далее имеем и1р

I Д '<• (З_2а)! 3х23х\3хг _ (3-2а)1+|) _

1 _ .И ’Х / 7 \3 Л ’ \3

0 0 0 1 1 + х{ ) о (1 + х- )

= lim ix,

Л^.П J 1

(3-2a )s+ß

dx,

lim ix, J 1

(3-2a)s-6+ß

dx,

сходится.

Вычислим

J (x, f) = x! a ,

|v/ (x)| =

2 1

1 , x2 , 1 , ҐЛ \2 2 -2a 2-2а

1 +-^ +—- + (1 -a) x3 Xj + Xj

1/2

X( x, f) = n

_ n-n 2 \fL =

J ( x, f )|

< lim iXj<3 2a)s+p dxj + lim ixt<3 2a)s 6+edx1.

A^0 J 1 1 BJ 1 1

A 1

В итоге получим

Is = JXs (x, f) dax < Isд + Is,2, (7)

D

1 B

где Is1 = lim ix1(3 2a)s+p dx1 , Is2 = lim ixt<3 2a)s 6+e dx1 .

9 * 9 B^-w *

A 1

Для сходимости интеграла Is2 необходимо выполнение следующего условия:

(3 - 2a)s - 6 + ß<-1. (8)

Из (8) получаем, что 5 < (5-ß)/(3 -2a), 5 > 1.

Здесь число s зависит от двух параметров: а и ß. Пара-

метр ß отвечает за область интегрирования D, параметр а - за отображение f (x). Тогда при таких s интегралы Isl и Is сходятся.

Покажем, что при некотором s>0 сходится интеграл

3s

D

вию

3s

3s

A

D

JK 0 (x f )J (x f )-

dx

, (9)

(1 + | х|2)

В силу неравенства (4) и учитывая, что якобиан отображения / положителен, J(X, /) > 0 , для выполнения (9) достаточно показать сходимость интеграла

•С = |^ (х /) J (х /) (1ах . (10)

Имеем

К = J

1 1 X (1-а)

1 + «а + 4-?а ^5,1 +-------2

Х[" " X, " X, " X,

л-1

л-1

л-1

(2a-3)s х+

d с. <

< J3 2 x(3-2a)s-a

D

-3.

. f, 2 (3-2a)s-a

- J3 xi

о Xip 1

2+_6-2a+~

Xi X|

*1 _

3s

d a <

D

2 + -

d a -

rP

-3.y 3 s locxf

< da,= Шx^2a)- . .

D 0 0 0 1 1 + (

dx0dxldxi

+ x9 + x3

vP

100 *r

* Ш x

0 0 0

= lim f.

4-*() •>

(3-2a)s-a dx^dx^dx^ r (3-2a)s-a+ß

JJ x , “ ,,3 = Jx

о 0

1 dx.

(3-2a).v-a+ß

(l + у")

— + lim Г

J Я-*» J

(1+x2)

(3”"2a).¥”-a+p”"6 dxj

+1

/* = lim fXi(3-2“>-“+P-6

dx1 .

Вычислим:

IV/ (x)|" = x,3

1 + -

1 1

(1-

\2 2

2-2a 4-2a 6-2a

3/2

J (x, f) = V“. Пусть (13) справедливо. Тогда

*22 + (1 -tt)

1 +-

1 1

2 2

3/2

2-2а 1 4-2а 1 6-2а 1 2 “ К ■ Х1 . (13 )

хх х1 х1 х1

Произведем оценку при х1 ^ да. Умножим обе части (13') на х1а > 0 .

2 (1 -а)2

1

1 + ^-^ +

1

\2 2 X,

2-2а 4-2а 6-2а

3/2

< к.

< lim fx (3-2a)s-а+вdx + lim fx(3-2a)s-“+p-6dx

ШИ I .-Vi t'f.-Vi 11111 I -Л^ WAi •

A^O J 1 1 BJ 1 1

A 1

Таким образом, получим

i; = Jxs(x,/)j(x,f)dax <i+ i;>2, (ii)

D

1

t* f (3-2a)s-a+ß T

где I = lim Ix, dxi ,

s.l 1 15

следовательно, х

Так как 0 < a < 1, следовательно, 1 < 3 - 2a < 3 , то-

1 3-2a 3

гда x1 < x1 < x1 .

Очевидно, что не существует 0 < K < да такого, чтобы неравенство (13) выполнялось.

Таким образом, отображение, построенное в данном примере, действительно является отображением с s-усредненной характеристикой и не является отображением с ограниченным искажением.

В работе [5] доказано, что если для отображения f выполнено геометрическое определение, то оно обладает ACL свойством. В теоремах 1 и 2 мы приводим достаточные условия того, что f є w^+g (D).

Теорема 1. Пусть f = (f1, f2,..., fn), f : D ^ Rn -отображение с s-усредненной характеристикой, такое, что f4 є wn+^ (D), гк > 0 , D с Rn - область. Пусть

1+Z (

n + г, ) - mn

Здесь, как и выше, оценка произведена при хг ^ да, 0 <а< 1, х2 < х1, 0 < х3 < 1, 0 <Р< 2 .

Требуя, чтобы (3 - 2а)я -а + р-6 <-1, найдем ограничение на s:

5 < (5-р + а)/(3 -2а), 5 > 1. (12)

При таких s интегралы I* и I* сходятся.

Следовательно, для отображения f неравенства (2) и (3) выполнены.

Покажем, что класс отображений с s-усредненной характеристикой шире класса отображений с ограниченным искажением [1], т.е. отображение (1) не удовлетворяет следующему условию:

|У/(х)|” < К • 3(х, /), (13)

где К - положительная постоянная.

, 1 < г; < ¿2 < ... < 1т < п ,

1 < к < т < п, s > а (а — 1) 1.

Тогда f е шП+5 (Б), 8 = п (5 (а -1)-а) ( + а) 1.

Доказательство. Пусть числа а, 8, т, гк такие, как

в условии теоремы, Б с Б - ограниченная область. Для доказательства применим неравенство Адамара

для определителей |У (х, f )< п К1 и неравенство

/=1

Гельдера. Получим

п а

||7(х,/)аdах < Щ^/^ dах <

/ \ /П . ,а

fl vf П| yf'\dс,

_1_

} Ро

JI VZ|

p§ (n-m)a

d

m . .qa

Щ f d a x

\To

D

3s

3s

A

A

D

(п-т)а I т .

= Ш/ dа

V в !'-1 у

(п-т)а

< Л'

Здесь

Го /

4 Iй № аст

т ,

ЩIV/' I" л>,

. 1» Ч\

Ро =

(и -5)а’

Чо =■

1 п - (п - s ) а

У° Чо п

Обозначим п + е1 =----------—П—-— р1а = — р1а .

п — (п - 5 )а у0

Тогда

Р =

( п + £1 ) У о

Ч1 =

( И + 81 ) У о (и + 81 )о - а

.. У о ( п + £1) У о-< У1 _ _

д1 п + £1

Л 3 (х / )) а а х = 3(

(п-т)а

IIV/ !'р а а

•Л

То

П+£|

ж . .Г"*1

ЩIV/" I* *■>,

г=2

(п-т)а а

= У0 П Зхп + £|

а

—Ч\

Щ|V-1” Л,

(п-т )а а

< 3о п ^п+£|

IР

I |у/V, а а х

1

Обозначим п + е2 =— р2 а. Тогда р2 =

т . I,

!П |у/41 а ах

в '=3

( П + £2 ) У1

У1

?2 =

( П + £2 ) У1 (п + е1 )у1 - а ’

У1 ( П + £1 ) У 0 - а

11 = — =

41

П +80

(п-т)а а а

= 3 п 3^ п+£| ^2 п+£2

\У2

т , хТ42

ЩIV/4 \" ¿ах

г=3

(п-т)а а а

... < У0 П Зх п+е, ..^Ут-1и+^1 Х

У т-1

- >м~» х

Л V/» Р" а ах 1Л- 11-?" а а

V В

Здесь, как и выше, п + £т =----------------рта ,

У т-1

Рт =

Чт =

( П + £т ) У т-1

а

( П + £т ) У т-1

У т =

( + £т )Ут-1 - а ’

У т-1 __ ( п + £т ) У т-2 - а

п + £„

В итоге получим

П / чю (и-”)д а а

J /(х, /) аах = 30 п 31п+е1 ...Зт-1п+ет_1 х

1IV/ Л а х

= Л'

(п-от)а

4 |”+Е4 аа„

( Л7,

П+£^

I аах < М^1'),

V в у

где М( (В ) - конечная постоянная, зависящая от расстояния от Б до дБ .

Применив неравенство Гельдера еще раз, получим:

I |У/|л+5 а а х = | 1У/1 ^ 7 (X, / ^ а ах <

1^(х, /)| ”

В В

( п+8 sn ^ п+8

I \У/\ Л X

в V _|3(х,/)|" _ )

п + г.

па )^ —ап ( п + £1) Г \ ' IV/Г ' а а х /

в’ V У1 ( X, / ) ] ) V

Ц1 ( X, / )|

а а

Здесь

Р =

в

ип п + 8

1 п + 8

р ип

т —42

|ПIV/4 |Г| dах

1 п +5 5П - п-5 - = 1-------=-----------, 9 =---------г.

д 5П 5П - п -6

Так как локальная характеристика, согласно [4], имеет следующий вид: X(х, /) = п—'2 |У/|п |7(х,/)| , получим

Ут-\

п

п

а

а

и

а

а

а

¿■П-П-0

а

п+8 ґ Л

І|У/|”+5 йах <п 2 |X (х, /) йа

в V В ;

ьп-п-Ь

( Л

II3 (X / )\'""" Л а

В

ІМ) N

X

/

п +8

V о

IX (х, / ) ¡а X Л 3 (х, / )| “ 1 ст

V

V о

< М2 < да,

где а =

?( п + 8 )

число

— п — 8

и+5 л+5 и+5

М2 = п 2 |я| ш к п М1 ™ , В с В .

Покажем, что

8 = п (а -1)-а) ( + а) 1 .

Пусть (14) выполнено. Тогда имеем

г(sa - s - а)

?(п + 8)

п + -

s + а

sn - п - 8 п

іп - п-----------

(а-і -а)

і + а

і [ и ( ^ + а) + піа - и ( ^ + а)] ж (і + а)- и (і + а)- піа + и (і + а)

$ 2 па

^ 2 п + п$а - п$а $2 п

п -1

1 + ^ (и + £к ) - тп-

С

\Ут

| |у/|”+ а Ох < п 2 | х (х, /) а а

V в

п+8 (

п+8

Л-Г (

V В

ІX (х, /) й ох Л 3 (X, / )| а а

где Ь = а-------, число

5 -1

V В

п+8 .п-п-З

М2 = и 2 |£| .п К п М1 ) - , д' с В .

5 5 (и + 8)

Найдем 8 из равенства а Имеем

(14)

?(п + 8) =

5 - 1 - И - 8

as ||п (5 -1) — 8J

■8=-

да ^ п (5 -1) — 8^ 5п (5 -1)

^ 5 _ 5 — 1 ^

і(5 -1) - as8 -sn(5 -1) sn(5 -1)(а -1) -as8

<( -1)

= п(а -1)-

К* -1)

а8

7—1

Действительно, 8 = п (5 (а -1)- а) ( + а)1. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть / = (/1, /2,..., /п), / : В ^ Яп -отображение с 5-усредненной характеристикой такое, что /'к є wn+ (В), Ек > 0, В с Яп - область. Пусть

1 < іх < і2 <... < іт < п , 1 < к < т < п, s > 1.

, , ч п(^ -1)( а -1)

Тогда / є ™п+ь (В), 8 = —--------^— , где

Доказательство. Пусть числа а, 8, т, гк такие, как

в условии теоремы, В с В - ограниченная область. Неравенство

(п-т)а т I , 1И,С

Л У (х, / )\а < 3— ПІ і |у/!* | 4

о г*=і V о

| dах < Ых (^')

)

доказывается так же, как в теореме 1. Здесь Ых (В ) -

конечная постоянная, зависящая от расстояния от В до ВВ.

Далее, применив неравенство Гельдера, получим

п+8

п+8 (

^ 8^1 +-----= п - 1)(а -1) ^

^ 8 = ( ^ -1 + а ) = п ( ^ -1)( а — 1) .

и(5 -1)(а -1)

Окончательно 8 = —-------—------. Теорема 2 дока-

5 + а -1

зана.

В работе Ю.Ф. Стругова [4] была доказана теорема о дифференцируемости отображения квазиконформного в среднем и заданного на ограниченной области В с Яп.

В классе отображений с ограниченным искажением изолированная особая точка устранима [1]. Для отображений с 5-усредненной характеристикой такая точка, вообще говоря, не является устранимой. Получим оценку искажения расстояний |/(х) - / (хо )\ при стремлении х к изолированной особой точке.

Теорема 3. Пусть / : В ^ Яп - отображение с 5-ус-редненной характеристикой. Тогда выполняется неравенство

м (г*) ■ / (р (х)Гкі ( № ах, (15)

где Г - некоторое семейство кривых в области В , Г* - образ Г при отображении / .

Доказательство. Если в (15) интеграл справа расходится, то неравенство (15) выполнено всегда. Пусть существует такая метрика рлГ, что

\((х))”К, (х, f )а«ю. Определим на f (В) функцию р* (у) следующим образом:

от-я-б

= а.

а

Р/ (y ) =

maxp(xj) '(ж,-,/)N(y,f)

1+1 y2 1+| x

y € /(D)\E u/(Bf

“, y € E u f (B/ )

0, y г /(D ),

где y = f (x), {Xj } - совокупность Xj , для которых

'( X ).

f (xj ) = y, r‘ (X,f) = -

'(xг

D

Если

4ds >

> J p ( x j ) dsx ,

где dsx =

ds

а1 (х]) > а2 (х]) > • • • > ап (х]) - полуоси эллипсоида; в который преобразуется главной линейной частью отображения f в точке х. шар радиуса г (х]) В^ - множество точек ветвления отображения f. Пусть {Д }“= - семейство множеств. Д с Д такие, что Д с Д+1 и и Д = О, р - допустимая метрика. Можно

считать, что J p р d a x < ю . Тогда J pр d а х ^ 0 при

D \ D

У е f ( Д ) \ f ( Bf ) и f = fV ,

f^ (y ) = {xj }, то существуют окрестности vi точек Xj e Di такие, что отображения гомеоморфны и hj = fjl дифференцируемы почти всюду

и h , = X-1 ( x, ). Множество E точек

Il j lly j V j /

У e f ( Dt ) \ f ( В f ), в которых хотя бы одно из h не

дифференцируемо, содержится в борелевском множестве Е0, причем Лn ( E0 ) = 0 .

Функция р* (y ) измерима, по Борелю. Докажем допустимость р* (y). Пусть yj, y2Yn - заранее фиксированные различные поднятия у, [6], а q - максимальный интервал [0, l* ], где l* - длина j, такой, что

все кривые уk = jk I лежат в Д . Согласно лемме 6 из

'qi

[6] для почти всех кривых y* = j* |q кривые j[ абсолютно непрерывны. Если на j выбрать в качестве

параметра ее длину s е [0,1 ], где l - длина у , то

ds I ■ I

-—H j'A [8], где s* - параметр длины на у,, и если

(ds* )y ' '

ds , ds - элементы одномерных мер для кривых уk и у, и ds* > ^|yk| ds , то по теореме 2 из [7] имеем

P (xj,/К1 (x, f)N (у,/)■ (l + |у|2 )

JP ^y)(ds*)y - J--------------------L | | |2\--л

4 » ( + 1 y| }{( + 1x )

Очевидно, что lim f Pi (Vs* ^ 1 • Справедливость

Jk

неравенства (15) следует из оценки

M(Г*) ^ К I (pj (У)}” dау ^

РлГ f(D)

^ in^ Imaxp(xj)^-1 (xj, f )n(y, f )! + |y2 dCTy <

^аГ d j 1 + x

< | maxpn (xj )^X-1 (xj , f )" J (xj , f )dGx <

D 1

< |pn (xj )Ki (x,f )dfflx <

D

< I pn (x )KI (x, f )d CTx .

D

Определение• Кольцевую область

Dp = Dp(a), a >1, называют кольцевой областью Греча, если ее граничными компонентами являются сфера Sn (0,1) и луч {x : a < xl <<х, x2 =... = xn = 0}.

Положим |^юл_! ^М(гDp(a)) = 1пф(я), где

r_Dp(a) - семейство всевозможных кривых, соединяющих граничные компоненты кольцевой области Грёча Dp(a), а M(ГВф( ^) - конформный модуль этого семейства.

Лемма 1. Функция

Ф ( a )

a

Ф ( « ).

является неубывающей

при 1 < a < да , причем 1 < —< X , где X - некоторая

a

постоянная.

Лемма 2. Пусть Д - кольцевая область такая, что

—п с

С0 = B и C содержит точку {со} и точку

Q,\Q\ = r, r > 1. Тогда

M (ГDP(r) ) = inf M ( rD ) ,

где inf берется по классу всевозможных кольцевых областей Dr.

Доказательство леммы 1 дано в [8], леммы 2 - в [9]. Теорема 4. Пусть f : D ^ D* - отображение с s-ус-редненной характеристикой. Тогда для всякой точки x0 е D и точки x е Bn (x0, d), d = p (x0, dD), справедлива следующая оценка:

f (x)-f (x0) <XR*e-i(x’^), (16)

где R* = R (f (x0 )f [ви (x0, d)]), X - некоторая величина, зависящая только от n,

t (x, x0 ) =

V (1-

и r (t, y) - произвольная функция, допустимая для семейства Г ([0, t], Sп (s0, d) ; Bп (x0, d)) t < d .

Доказательство. Если интеграл в определении функции / (х, х0) расходится, то / (х, х0) = 0 и оценка

(16) тривиальна. Пусть существует метрика г (/, у) такая, что соответствующая функция t (х, х0) >0.

Рассмотрим кольцевую область

Вп (х0,а) \ [0,|х0 - х|] . Ее образ при отображении/обозначим В* \ у . Из лемм 1, 2 следует, что

1 (- 1п|/(х)-/(хо)|) ” ^

< м (г ( [ / /, / (х ))], У (/(х0 ), а ); В" ( / (х0 ), д))) < м (Г ),

где Г* -образ Г ([0, |х0 - х|], (х0, ^); Вп (х0, ^)) при

отображении / В силу теоремы 3

М (Г* ) 1г” (х - Х0 |, у )К (у, f)) = ,и-1°(-1 ч .

В * (Х0 4

Значит,

t (x, x0 ) < ІПт

XR

\f (x )-f (xo )\

Теорема 4 доказана.

Замечание. Теорему 4 нетрудно доказать в терминах локальных характеристик X(x, f ),K0 (x, f ),K(x, f ) с

учетом связывающих их неравенств.

Обозначим

vrai max Kj ( x, f ) = Kj f ( x0, t).

S" (xi.i )

Порядок роста отображений с s-усредненной характеристикой в окрестности изолированной особой точки характеризует следующая теорема.

Теорема 5. Пусть f — отображение с s-усредненной характеристикой шара B" на себя, f ( 0) = 0 и

K I f (0, t ) < I ln —І , где 0 <а< 1,0 < t < 1, постоян-

где

g (c’l xl ) =

lnÀ

lnA

- (ln c

У (*-!)

ß = a ( n-1) +1. Доказательство. Рассмотрим функцию

x| ln-J ,| x| > t; 0,1 x| < t.

Нетрудно видеть, что для всех уеГ, =Г ([0, t], 5п, Вп) справедливо неравенство

1р,1П1) ^ = 1,

и значит, функция р1 допустима для Г(.

Оценим сверху интеграл I = | р” (х) К] (х, /) <3ах .

Б"

Из условия теоремы следует, что

| рГ (х) К1 (х / у а <

Бп

< | К1 г (0,1)рп (х)ах <

Б

а (п-1)

inl TY du | =

t ) I и

= ß-1®„-i I ln

ln — I -(lnС)e

Следовательно, функция t (x,0) из теоремы 4 оценивается снизу:

nVî«-1) ^

t (х,0) = (ю--і/(х| ))

' ь-Л '

V Fl У

г Ÿ

V Fl У

4-і

У (п-1)

- (ln<

Отсюда, в силу теоремы 4, имеем

/ Ч -

f (x ) <Xe-i (x’0) <Xe IX Теорема 5 доказана.

0

ЛИТЕРАТУРА

1. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982.

2. Martio O., Ricman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. 1969. Р. 448.

3. Малютина А.Н., Кривошеева И.И., Баталова Н.Н. Искажение сферического модуля семейства кривых // Исследования по математическому

анализу и алгебре. 2001. Вып. 3. С. 189-193.

4. Стругов Ю.Ф. Отображения, квазиконформные в среднем. Новосибирск, 1979. 39 с.

5. Кругликов В.И., Пайков В.И. Некоторые геометрические свойства отображений с искажением, ограниченным в среднем. Донецк: Донецк. ун-т,

1982. 43 с.

6. Чернавский А.В. Конечно кратные отображения многообразий // Математический сборник. 1964. Т. 65, № 3. С. 357-369.

7. Полецкий Е.А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных оптображений // Математический сборник. 1970. Т. 83(125), № 3.

С. 261-272.

8. Сычев А.В. Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983. 152 с.

9. Vaisala J. Lectures on N-dimentional quasiconformal mappings in space // Ann. Acad. Sci. Fenn. A1. 1965. Vol. 362. Р. 1-12.

Статья поступила в редакцию журнала 4 декабря 2006 г., принята к печати 11 декабря 2006 г.