Теоремы о полунепрерывности снизу отображений с s-усредненной характеристикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009

Математика и механика

№ 4(8)

УДК 517.54

А.Н. Малютина, М.А. Елизарова

ТЕОРЕМЫ О ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТИ СНИЗУ ОТОБРАЖЕНИЙ С Л-УСРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ1

В настоящей работе исследуются свойства отображений с з-усредненной характеристикой. Доказано, что отображения с з-усредненной характеристикой являются полунепрерывными снизу.

Ключевые слова: пространственные отображения, отображения с з-усредненной характеристикой, полунепрерывность снизу.

Одними из главных направлений в современной теории однолистных отображений являются задача об экстремумах различных непрерывных функционалов задача об определении множества значений, принимаемых непрерывным комплексным функционалом на классе однолистных функций. Куфаревым П.П., профессором ТГУ, выполнены работы, в которых на двусвязные области обобщаются уравнение Левнера и вариационная формула Голузина Г.М. [1].

Наряду с интенсивно развивающейся теорией комплексного переменного и ее приложений в механике, с 30-х годов XX века начала развиваться теория пространственных отображений. С 1969 года начались глубокие исследования более общих отображений - отображений с ограниченным искажением [2] и квазирегу-лярных отображений [3].

В данной работе исследуется класс отображений, обобщающих квазирегуляр-ные отображения.

Пусть Б - область в Яп и отображение /: Б ^ Яп - открытое, непрерывное, изолированное. Якобиан отображения 3 (х, /) сохраняет знак почти всюду в Б (для определенности возьмем 3 (х, / ) > 0).

Определение 1. Отображение / называется отображением с К0,з-усредненной характеристикой, если

1) / е ^ (Б);

2) Существует постоянная К05 > 0, такая, что выполняется неравенство

Определение 2. Отображение / называется отображением с К* 5 -усредненной характеристикой, если

1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России». Госконтракт П 937 от 20 августа 2009 года. Тема «Локализации модулей и колец, проблемы классификации».

Определение 3. Отображение / называется отображением с -усредненной характеристикой, если

1) / (о);

2) Существует постоянная К & > 0, такая, что выполняется неравенство

у/*

< К *. (3)

ки (/) = [/ К (х, / )1 сх

V В

Определение 4. Отображение / называется отображением с К * -усредненной характеристикой, если

1) / (О);

2) Существует постоянная К*\ > 0 , такая, что выполняется неравенство

у1/ *

< К*. (4)

К* (/) = І / К? (х, /) (х, /)1с

1с х

V В

Определение 5. Отображение /называется отображением с (5,5*)0-усредненной

*

характеристикой, если оно является отображением с Ко?- и Ко ? -усредненными характеристиками.

Определение 6. Отображение / называется отображением с (?, -усреднен-

*

ной характеристикой, если оно является отображением с К[5 - и К[5 -усредненными характеристиками, где Ко(х, /) - внешняя дилатация отображения /

1х

К (х,/) - внутренняя дилатация отображения/ [2], 1 сх =-------------.

(1 + | х|2 )П

Замечание 1. В силу неравенства К (х, /)< К0 (х, /), а также других неравенств, связывающих между собой внешнюю и внутреннюю дилатации отображения / [4], отображения в определениях 5, 6 также называют отображениями с 5-усредненной характеристикой.

Пусть В, В* с Я" ограниченные области, п > 3. Пусть /- отображение с 5-усредненной характеристикой. Известно, что характеристики отображения / удовлетворяют следующим неравенствам [4]:

Ко (х, /) < пп2Х (х, /)< пп2Ко (х, /) , (5)

Цх, /) = ппП2 |У/(х)|п|^(х, /)|-1. (6)

Теорема 1. Пусть Вт с В*,т = 0,1,2..., - ограниченные области, |В*| < Я <®.

Пусть /т : В ——Вт - последовательность отображений с ?-усредненной характеристикой, ? > (п -1)-1 и последовательность {/т} сходится равномерно внутри В к

непрерывному отображению/ /: В ^ Я" .

Тогда

у/?

Ко,? (/ ) = ({ ко (х, / )1

V В

< Ііт е? (/т). (7)

Доказательство. Рассмотрим характеристику отображения / Для каждого номера т, т=0,1,2..., согласно (1), имеем

Ко,* (/т ) = [/ КО (X, /т )*С

XV *

< КО

(8).

Применяя к интегралу в (8) неравенство Гельдера и оценку (6), получаем, что

| КО (X, /т )*Сх <| ”Л \* (X, /т )*Сх =

В в

п~”*12 |у/ I*”

= ПШ/2 I Ч ( /* а С X = I |У/тГ ^ (X, /т )1 ^ ^ <

В \Ч (X, Iт ^ В

<И|У/т|'

I*” /(*+1)

/т >1 ” ’’ *С,

< [ I ^/т,

I*” /(*+1)

| Ч (X, /тт ^ *Сx

В силу ограниченности Вт с В*,т = 0,1,2..., имеем

*+1

• Я ~ *.

| КО (X, /т ) * CTx < [ 11 У/т Г” /(*+:) * С X ^

в \в

Следовательно, для каждого т, т = 0,1,2., имеет место следующая оценка:

\\У/т

I*” /(” + 1)

* + 1

> Я-* | КО (X, /т )*СX = Я-*К^ (/т ).

(9)

Обозначим * = Иш КО * (/т). Из общей последовательности отображений выберем подпоследовательность {/т} такую, что Ко,* /) ^ * при т^да. Однако в силу справедливости: оценки следующей из

I КОI (X, /т )* CTx < Ко * , (8)

В

равномерной сходимости/т к непрерывной функции/внутри В и неравенства (9), из последовательности {/т} можно выбрать подпоследовательность, которая сходится сильно в ЬР(В), слабо в Wpl (В), р = *”(*+1)4 (по теореме вложения Соболева [5]); последовательность характеристик Кт = КО (X, /т) слабо сходится в Ь1(В) к некоторой функции К (X) и якобиан Ч (X, /т) сходится слабо в Ь1(П) к Ч (X, /) (по лемме 6 [6]). Таким образом, предельное отображение / е Wp1 (В).

Возьмем теперь шар В (X, г) в Яп с центром в точке X и радиусом г, X е В -произвольная точка области В и г, такое, что В (X, г) с В .

Из теоремы Казимирова о полунепрерывности интегралов вариационного исчисления [7] следует, что

I \У/\Р*СX < Иш I \У/т\Р*СX .

В силу слабой сходимости Кт к К (X), Ч (X, /т) к Ч (X, /) и неравенств (5), (9), (10) получаем следующую оценку:

I \У/\Р*С X < I |У/Г/('+!) * С X = I |У/Г*+Т * С X =

В^,г) B(x,г) В^,г)

= | п 2|>+1) Цх, /) ^(х, /)|,+1 ёстх <

В(х,г)

п, ,+1 > ,+1 |

< п 2(,+1) Ц х, /) *+1 х СТ ^3

V В(х,г) - - ) V

[ V(х /^ ёСТх

'(х,г)

,+1

р п

< п 2 2

| КО (х, /)ёС

V в(х,г)

I V(х, /)| ёс

Таким образом

р+” [ ^ *+1 [ ^ *+1

I |У/Г*СX <” 2 I КО (X, /)*Сx I |Ч(X, Л1 *Сх . (11)

B^x,г) V В0,г) / VB(X,г) V

Переходя в (11) к пределу при г — 0 по теореме Лебега, получаем, что для почти всех X е В справедливо

р ” 1 \У/\Р <п2 2К(X)*+1 -|Ч(X,/)р+Т.

Возведем обе части (12) в степень *+1 и разделим на |Ч(X, /)|* > 0. Тогда

|У/1

(12)

V(х, /т )|

< К (х) • п 2

и, в силу (1), имеем КО (X, /) < п 2 К (X).

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть Вт с В*,т = 0,1,2..., - ограниченные области, |В*| < Я <да.

Пусть /т : В ——Вт - последовательность отображений с *-усредненной характеристикой, * > 1 и последовательность {/т} сходится равномерно внутри В к непрерывному отображению / /: В ^ Яп .

Тогда / е Ж”\В),

К*,, (/) = || КО (х,/)V(х,/)ёСТ

< Ііт ко,,(*).

(13)

Доказательство. Пусть * > 1. Воспользуемся неравенствами (6), (2) и неравенством Гельдера. В силу ограниченности Вт с В*,т = 0,1,2..., получаем сле-

п,

,

,

п

дующую оценку:

I \У/\” * С X =! |У/|” |Ч ( X, /т )|(1-*)/* |Ч ( X, /т )| ^ *)/* * С X <

В В

< [ I |У/|”* |Ч (X, /т )|(1-*) * С X 1 / 11Ч (X, /т ) К ^

V в ) V в

[ л1* [ ^(*-1У*

= [ I [|У/|” |Ч ( X, /т )|-1 ] * |Ч (X, /т )| * С X Л1Ч (X, /т ) * С X

) V В

у/*

/т У*Сx -I I |Ч (X, ^ )|*С

\(*-1)/ *

\1/ *

< ” 2 I I КО (^ /т )Ч (X, /т ^ * Сx -I IIЧ (X, /т ) I*1

\( *-1)1 *

< п 2 КО,*Я(*-1)/* = М <да. Таким образом выполнено соотношение

I |У/|” * С X < М.

(14)

Обозначим * = Иш КО * (/т). Из общей последовательности отображений вы-

т^да

берем подпоследовательность {/т}, такую, что

а) !ш КО,*(Ут) = *;

т^да

б) подпоследовательность {4} слабо сходится в ^п'(В), сильно в Ьп(В), почти всюду в В к некоторой функции / е Wп (В);

в) последовательность характеристик, К*т(X) = КО(X,/т)Ч(X,/т)|, слабо сходится в Ь1(В) к некоторой функции К * (X) е Ь1 (В);

г) последовательность Ч (X,/„) сходится слабо в Ь1(В) к Ч (X, /).

Ясно, что /(X) = /(X). Выполнение условий (а) - (г) следует из условия теоремы и оценки (14).

Теперь пусть г > 0, такое, что шар В (X, г) с центром в точке X и радиусом г целиком лежит в В.

Из работы [7] следует, что

I \У/\П *С X < ИШ I \У/т\П * Сx .

Отсюда для выбранной подпоследовательности {/т}, применяя неравенство Гельдера, неравенство (6), п. в), г), получаем, что

п*

I |У/Г*С: < Иш I |У/тГ*СX =

x,г) 1-*

М I |У/т|п|Ч(X, /^ * |Ч(X, /т ^ **СX <

< Иш

т^да

< Иш

т^да

*-1

I У/тГЧ ( X, /п )Г* С X • I |Ч ( X, /п )| * С X

'{x, г) ) ^(^г)

I п 2 МX, /т ЛЧ(X /^ *СX • I |Ч(X /т ^ *СX

'(^г) ) ^(^г)

т (

< п2 Иш

т^да

I КО (X, /т )|Ч(X, /т )| *

V B(x,г)

I |Ч(X, /т ^ *Сx

,(x,г)

I К* (x)*СX • I |Ч(x, /^ *сX

,(x,г) ) ч^г)

То есть выполняется следующее неравенство:

- [ [ ТГ

I \У/\п *Сx <п 2 I К* М*^ • I |Ч(X, Л\ *Сx . (15)

B(x,г) V В0,г) ) V B(x,г) )

Переходя в (15) к пределу по теореме Лебега при г — 0, получаем, что для почти всех X е В справедливо неравенство:

|У/|п < п 2 К * (X) *-| Ч (X, / )|“Г. Производя несложные преобразования, имеем:

т

\у/Г\ч (X, / )Г < п т к * (X).

С учетом (5), (6) получаем

т т

п 2 МX, /т )* |Ч(X, /)| < п 2 К* (X), КО (X, /т )|Ч (X, /т )| < п ^ К * (X).

Отсюда

(16)

т (

2

КО,* (/ )< п 2 I К * (X)* с X

V В^г)

При * = 1 утверждение теоремы очевидно. Теорема доказана.

< *.

*-1

п

Отсюда можно сделать вывод, что отображения с s-усредненной характеристикой являются полунепрерывными снизу.

Для отображений квазиконформных в среднем см.работу Стругова Ю.Ф. [8].

ЛИТЕРАТУРА

1. Труды П.П. Куфарева. Томск: Изд-во НТЛ, 2009.

2. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982.

3. Martio O, Ricman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ans. Acad. Sci. Fenn; 448 (1969).

4. Малютина А.Н., Кривошеева И.И., Баталова Н.Н. Искажение сферического модуля семейства кривых // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 189 - 193.

5. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

6. Решетняк Ю. Г. Некоторые геометрические свойства функций и отображений // Сиб. матем. журнал. 1966. Т. VII. № 4.

7. Казимиров В.И. О полунепрерывности интегралов вариационного исчисления // УМН. 1956. Т. XI. Вып. 3(69).

8. Стругов Ю.Ф. Отображения, квазиконформные в среднем. Новосибирск, 1979. 39 с. / Препринт АН СССР, Сиб. отд. Ин-т математики.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

МАЛЮТИНА Александра Николаевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: [email protected]

ЕЛИЗАРОВА Мария Александровна - аспирантка кафедры теории функций механикоматематического факультета Томского государственного университета. E-mail: elizarova_m @sibmail.com

Статья принята в печать 22.09.2009 г.