О связи классов отображений с s-усредненной характеристикой с некоторыми классами пространственных отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010

Математика и механика

№ 4(12)

УДК 517.54

А.Н. Малютина, М.А. Елизарова

О СВЯЗИ КЛАССОВ ОТОБРАЖЕНИЙ С S-У СРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ С НЕКОТОРЫМИ КЛАССАМИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ1

В настоящей работе исследуются условия, при которых возможны вложения классов и подклассов отображений с s-усредненной характеристикой в некоторые другие классы пространственных отображений и наоборот. Полученные вложения дают возможность распространить свойства хорошо изученных классов отображений, например классов отображений с искажением, ограниченным в среднем и других, на классы отображений s-усредненной характеристикой.

Ключевые слова: отображения с s-усредненной характеристикой, отображения с искажением, ограниченным в среднем, вложение, отображения с ограниченным интегралом Дирихле, класс BLp, пространственные отображения.

Пусть D - область в R”, n > 3 и отображение f : D ^ Rn - открытое, непрерывное, изолированное, f е W1 loc (D). Можно считать, что якобиан отображения J (x, f сохраняет знак почти всюду в D (для определенности возьмем

Известно (см. напр. [1, 2]), что для отображения / є Ц'11ос (Б) определены

следующие величины - характеристики отображения /: К (х, /) - внутренняя ди-латация, К0 (х, /) - внешняя дилатация, X (х, /), а также выполнены неравенства, связывающие эти характеристики между собой. Ниже приведем неравенство, используемое при доказательстве результатов данной работы:

Для отображений с 5-усредненной характеристикой [3] можно ввести и рассматривать классы таких отображений, изучать связь этих классов с другими классами пространственных отображений, например с классами отображений с ограниченным в среднем искажением , 2* [4, 5]. В работе [6] показано, что класс исследуемых отображений не пуст.

J (x, f) > 0).

n

n

n

K0 (x, f )< n2X(x, f )< n2K0 (x, f )< n2K (x, f )n-1,

(1)

где

(2)

1 Работа (частично) профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по

контракту № 02.740.11.0238 и по контракту П937 по ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы».

Пусть Б, Б' с Яп - произвольные области, / : Б ^ Б' - отображение с К0>х, К№ КО 5 или с К*5 -усредненной характеристикой, 5 >1/(п-1).

Определение 1. Будем говорить, что отображение / с К0,5 и К1>х-усредненными характеристиками принадлежит классу О5К, / є О5К, если выполнено

( ^|1/5 ( ^|1/5

I | КО (х, /)йстх < К05 < К (соответственно I | К (х, /)йстх < К13 < К ),

V Б / V Б /

, йх

где й ст =-

(1+ х2 )п _ _ _

Отображение / : Б ^ Б' принадлежит классу <35 в Б, / є (35, если / є (35К для некоторого К < да.

Определение 2. Будем говорить, что отображение / с КО 5 и

К*5 -усредненными характеристиками принадлежит классу О5 К, / є (35 К,

\1/5

< к 0,5 < к (соответственно

| КО (х, / )| 3 (х, / )| й с

IЦ (х, / )| 3 (х, / )| й ст

если выполнено | I А0(х,/ци(х,/)|аах

чД У

\1/5

/ах < К*,5 < К ).

ч д у

Отображение / : Д ^ Д' принадлежит классу <35 в Д, / е (35, если / е (35 К для некоторого К < да.

Заметим, что в силу неравенства (1) к классам отображений 35 и 35 к также

1/5

относятся отображения /, для которых выполнено I 5 (х, / )йстх

< К и

5 (х, /)3(х, /)| йстх

\1/5

< К соответственно для некоторого К < да. Поэтому

при проведении доказательств нам достаточно рассмотреть отображение с какой-нибудь одной из приведенных выше характеристик, составляющих исследуемый класс.

Заметим также, что для величины ^стх= аХ/(1+|х|2)и справедлива оценка

г , с ах %п

I астх = I 7------------------------------------^7<да (3)

И" И" (1 + | х| ) п

для любого х е Д.

Покажем, что для отображений с 5-усредненной характеристикой имеет место монотонность 3 5 по 5.

Предложение 1. Пусть Д, Д' с Ип - области, /: Д ^Д', 5 < 5'. Тогда имеет место вложение <35 с (35.

Доказательство. Применяя к отображению с К0 ^-усредненной характеристикой неравенство Гельдера с показателями р=-/- и д= ¿•'/(У—-), р>1, имеем

Сх

| КОо (х, / )С а х = | К 0 (х, I)-

п(---') п(---' )

К о (х, /)

сх

п(-'--)

<| | К0 (x, /)сах

\- /

сх

•(1+1 х2 )п

и, в силу неравенства (3), получаем неравенство

I К0 (X, /)Сах

1 / Л \:/- ( п

П

<

I К0(X, I)Сах

\1/-

которое доказывает требуемое вложение.

Аналогично получаем неравенство для отображений с К^-усредненной характеристикой.

Пусть А с Б - открытое множество. Для хеЛ обозначим через кратность N (у,I А), как и в [7], число точек из А п /_1(у) и положим, что N (I А) = Бир N (у,I, А) по всем у е Яп .

Предложение 2. Пусть Б, Б' с Яп - области, мера Лебега области Б' конечна, т(Б') < да. Пусть I: Б ^Б' такое, что кратность отображения N (/, Б) < N < да. Пусть - < —. Тогда имеет место вложение 0 - с О *.

Доказательство. По определению отображения / имеем

3 = I К- (х, I )| 3 (х, I )| с ах = Г К (х;^ т, |.7 (х, I )|(У--) / - С а х.

Б б\3 ( x, )|

Применяя, как и выше, неравенство Гельдера, теорему 2.2 [8], получаем

у / — / \ (— -- ) /

<

V Б У V Б )

у / У

3 <| IК- (х, I )| 3 (х, I)| С а х | 1\3 (х, I)| Сх

\(-'--) /

N | Су

Б' )

<| | К- (х, I )| 3 (х, I)| С с

V Б

что дает неравенство

1

| | К- (х, I )| 3 (х, I )| С а х - <( Б') • N )7 I | К? -)| - (х-)| С с V Б ) 1б

которое доказывает данное вложение.

Доказательство для отображения с КО 5 -усредненной характеристикой проводится аналогично.

- -т

Определение 3. Пусть I : Б ^Б' - открытое, непрерывное, изолированное отображение, I е Wl 1ос(Б), I е 1ос(Б), 3 (х,I ) > 0 почти всюду в Б. Если существует постоянная Qs k > 0 , такая, что для любой точки у е Б, - > 1/(п-1) выполнено неравенство

Qsk (f ) = | Jas (x, f W+1 (x-y|)dс

\1/s

где функция к (t) определена при t > 0, конечна, неотрицательна, непрерывна, не

1

возрастает, lim к (t) = +да и J к (t)• t~adt <да , а > 0, то / называется отображени-t^0+ о

ем с Qs к -усредненной характеристикой.

Через Q s (к) обозначим класс таких отображений.

Предложение 3. Пусть s < s' и ядро к (t) удовлетворяет в области D условию

( s+1)s'

J к s'-s (x - y )dx <да для любого yeD. Тогда Qs с Qs (к).

D

Доказательство. Как и в предыдущих предложениях, применим к интегралу

j = Ja, s (x, / )• г+1 ( - y )d а х

D

неравенство Гельдера с показателямиp=sf/s и q= sV(s'-s)

s s'-s

( , Л7 ( (s+1)s'

J <1 Ja s (x, / )d ct x J к s-s (x - y| )dx

Vd /Id

Тогда, согласно условию, а также в силу (1), получаем неравенство

\1/s

Jas (x, f )ks+1 (x-y)dсx - Cs's I JKs0 (xf )dс)

1

s

VD J

которое и доказывает наше предложение.

и

Предложение 4. Пусть s < s’ и J к (x - y|)dx <да для любого yeD. Тогда

D

Q s' (к) с Qs (к).

Доказательство. Для / e Qs (к) имеем

( s'+1) s

J = Jas(x,/)ks+1 (x-y\)dax ^^к s (x-у|)к s (x-y|)dax.

D D

Применяя неравенство Гельдера с показателямиp=s'/s и q= s'/(s'-s):

J <I Jas (^ f )kS +1 (x - y\)d cx I J k (x - y\)d с

J V D

получаем, что

s

S

S -S

J <1 Jxs (x f )ks +1 (-y)dax I Jк(-y\)dx

V D J V D

И, наконец, условие J к (x - y| )dx = C < œ для любого yeD, дает

D

( A!/ s s-s (

VJXs (x, f )ks+1 (x - y )d g x < C s' |jxs (x, f )ks'+1 (\x - y| )d с

т.е. требуемое вложение.

Представим полученные результаты в виде таблицы.

Здесь, если не оговорено особо, D, D' с Rn - произвольные области, s > 1/(n—1) и s' > s.

Т аблица 1

s' > s Дополнительные условия

1. Q s с Q s -

2. Q s с Q s m(D ') < œ

3. Q s' с Q s (k ) J k(s'+1)s /(s'-s ) (x - y| )dx <œ D

4. Q s- (k ) C Q s (k ) J k (x - y\)dx <œ D

В работе [5] найдены условия, при которых имеют место вложения классов отображений с искажением, ограниченным в среднем, заданных на ограниченной области Б с К" в классы отображений с ограниченным интегралом Дирихле и наоборот. Найдем условия, при которых из ограниченности интеграла Дирихле отображения /следует, что / является отображением с 5-усредненной характеристикой и наоборот.

Определим подклассы отображений с 5-усредненной характеристикой. Определение 4. Пусть Б, Б' с Я" - области,/ : Б ^-Б', / е Ож, (или / е 0*). Будем говорить, что отображение / принадлежит классу Ож (Б'), / е Ож (Б') (или

соответственно / е О* (Б ')), если мера Лебега области Б' конечна, т(Б') < ж и кратность отображения N (/ Б) < N < ж.

Далее, как, например в [9, 10], определим класс отображений с

/»-ограниченным интегралом Дирихле.

Определение 5. Пусть Б с Я" - произвольная область. Будем говорить, что отображение/: Б ^Б', / = {/1,/[,...,/п}, принадлежит классу БЬрк , / е БЬрк , если / непрерывно в Б и имеет в области Б первые обобщенные производные & —

——, (/, ] = 1, п) в смысле С.Л. Соболева, для которых выполнено

Сх]

|\У/(х)|р Сх < к < ж,

Б

где |Vf (x)| =

z

г. 1 =1

I ^ V ,/l

dx,

V 1 У

1/2

Отображение f: D ^ Rn принадлежит классу BLp в D. f e BLp . если f e BLp для некоторого k < ж.

Для отображений с ограниченным интегралом Дирихле имеют место следующие утверждения.

Предложение 5. Пусть D. D' с Rn - области и m(D') < ж. Пусть отображение f e Q*. 5 > 1 и | \J(x. f )| (l + |x|2 ) ( ) dx < M <ж . Тогда интеграл Дирихле ото-

D

бражения f конечен. J1 Vf (x)|n dx < ж .

D

Доказательство. Применяя к интегралу

J = UV/ (x)| n dx = f__Л___________________.

D DJ(x.яр-1 (1+|xfу (1+H2)-

неравенство Гельдера с показателями p=s и q=s/(s-1). p> 1:

dx

J <

1 5-1

f lV(r(Xf)|5 J (x. f ^ d 0 x ^ J (x. f ^ (1 + l ^ 2 )П (5 1) dx

V d\J (x. J ^ У V D

< ж.

в силу (1) и согласно условию, получаем неравенство

/IV/ (х)|" йх < М 5 |/К£(х,/)|Л(х,/)|йах в V в

которое доказывает наше предложение.

Предложение 6. Пусть В, В с Кп - области и т(В') < ж. Пусть

/IV/ ( х)|" йх < ж , N (/, В) < N < ж и 1/(и- 1) < 5 < 1. Тогда / е ( (В ').

в

Доказательство. Применяя к отображению с К^ 5 -усредненной характеристикой неравенство (1):

Л = / КО (х, /)|Л(х, /)| йах </Пп/2Х5 (х, /)|Л(х, /)| йах =

=J

D

\Vf (x)|nn

d\J (x. f )|5

J(x. f )|

dx

(1+l xl2 у

■=J|Vf(x)|n5|J(x. f)|1-5 dx

и неравенство Гельдера с показателямиp=1/5 и q= 1/(1- 5). p> 1. получаем

J <| J|Vf (x)|n dx I I J |J(x. f)| dx

1-5

После замены переменных в интеграле | |3(х, /)| ёх, теорема 2.2 [8], согласно ус-

В

ловию, получаем неравенство

( У/5

I |КО(х,/)|3(х,/)|ёах < (в') • N) \\У/(х)|п 1х,

которое доказывает наше предложение.

Для отображения с К*5 -усредненной характеристикой доказательство проводится аналогично.

Следующие примеры показывают, что из сходимости интеграла Дирихле отображения / следует, что / е (5 (В ') при 1/(п-1) < 5 < 1, а также при 5 > 1.

Пример 1. Рассмотрим множество В = {х е Я : 0 < х^ < 1,1 = 1, п -1,1 < хп < ж}

и отображение / : В ^В', /(х) = Для отображения / вычислим:

х,хП в х2 х\ в х , х\ в х\ в

1 п 2 п п—1 п п

1 — р 1 — р 1 — р 1 — р

Р > (п+1) /п.

х

.п(1—Р)—1

3 (х, /) = —----------г, |У/(х)|п =

(1 — Р)п—1 11

п — 1

х

.2(1 в)

2 + х2 + ... + х1—1 )

п/2

.(1 —в)2

Покажем, что если сходится интеграл Дирихле данного отображения, тогда / е (5 (В') при некоторых 5.

Оценим интеграл

В|У/ (х)| =В( ^

хГ‘ ^/+(1 + х12 + х2 + ... + х2—1 )хп2в

2(1-в)

ёх <

п — 1 (1—в)

х2(1—в) + пх-2в 2 л п тпЛп

\-

ёх = |

п — 1

х2(1—в) + пх-2Р

2 л-п т"лп

V

ёх„.

1 V (1 — в)2

Как и в [10] (глава IV § 5), применяя неравенство Минковского, находим, что последний интеграл конечен тогда и только тогда, когда конечны интегралы

Ж 7

Г ёхп

1 х(в—1)п

1п

Ж 7

ёхп

<Ж и -р- < Ж. хвп 1п

Вычисляя, находим, что при в > (п+1) /п интеграл | |У/(х)|п ёх < ж .

В

Исследуем, при каких условиях на 5 отображение / е (5 (В'). Имеем

3 =| п 2 X5 (х, /)3(х, /)| ёах = 1 |У/(х)|п5 \3(х, /)|1—

ёх

(1 + 1 хГ- )"

п — 1 (1—в)

х2(1—в) + пх-2в 2 л п т,,лп

Л'

2 х[п (1 — в)—1](1—5 )

(1-в)

(п—1)(1—5) х2п Л-г.

ёх.

п

Как и выше, применяя неравенство Минковского, получаем, что последний интеграл конечен тогда и только тогда, когда конечны интегралы

ад 7 ад 7

Г ЯХп Г ЯХп

п <ад и —г—г „ „ < ад.

3 х(р-1)п£+[п(1-р)-1](£-1)+2п 3 хрп5+[п(1-р)-1](5-1)+ 2п

1 Хп 1 Хп

Отсюда находим, что при р > (п+1) /п отображение / е 05 (Б') для 1/(п-1) <

< 5 < 2п +1.

Пример 2. Пусть в области Б = {х е Яп : 0 < х1 < 1, I = 1, п} задано отображе-

^1-Р хх!-Р х х!-Р х1-Р] ние / : Б ^Б', /(х) Н ,...,^п-^,^ I, р<1.

1 1 -р 1 -р 1 -р 1 -р)

Как и выше,

и(1-Р)-1

7 (^ /) = п Р П-1 , 1У/ (Х)1” = ТТ^ Х”(1-Р) + ( + Х12 + Х2 + - + Х”-1)

\и/2

V

(1 -р)2

Оценим интеграл Дирихле данного отображения

П

¡тх)\п*х<г (| 2

В 0 V (1 Р)

1^1 Л 2

^х2(1-р) + пх—2р 2

ёхп < ж.

Применяя неравенство Минковского, находим, что при р < 1/п интеграл {|У/(х)|пйх сходится.

Б

Найдем, при каких значениях 5 отображение / е (05 (Б'). Имеем

, - ,1 (П -1) Х2°-в) „К х[п(1-Р)-1](1-^)

3 = |п 2 X* (х,/)3(х,/)|ёСтх < [|--------------------^— + пХп2р

В В

(1 -р)2

п ёх.

(1 -Р)(п-1)(1-х) х2п п

Полученный интеграл сходится тогда и только тогда, когда сходятся интегралы

1 йхп 1 йхп

[______________ё1Хп_____________<» и [-

^ „(Р-1)п*+[п(1—В)—1](*-1)+2п J .

. . - < Ж.

х(р-1)п*+[п(1—в)—1](*—1)+2п J хрп*+[п(1—р)—1](*—1)+2п

0 Хп 0 Хп

Вычисляя, находим, что р < (п-п2-1)/п < 1/п, 1/(п-1) < * < п -1, отображение

/ є <3* (В').

Таким образом, мы показали, что из сходимости интеграла Дирихле данного отображения следует, что / є 3* (В ').

Предложение 7. Пусть В, В' с Яп - области. Пусть область В ограничена, т(В') < ж, / є (3* (В'), р < п, * > 1. Тогда интеграл [\У/(х)|р ёх сходится.

В

Доказательство. Пусть / є 3* (В'). Оценим интеграл

(*—1) р

з=/IV/(х)|р *=|______________м________________3<х,/) /х

В В3 (Х, / )| п* (1 + | х|2 І’5 (1 + | х|21’5

используя дважды неравенство Гельдера с показателями т/р и д= т'/(т— р),

t >1:

(

V <

(|?/ (х)|п Д

V (х, / )|

■V (х, / )|

Р( 5-1)

п5-р

\

п5-р

(1 + | х|2)

рп п5-р

йх

и с показателями t=(ns-р)/р(5-1) и д=(т- р)/5(п-р), где t >1 прир < п и 1< 5:

V <( (х,/)1V(х,/)|йстх I | V(х,/)|йх

р(5-1) (

п - р

V

йх

•(1+1 х2 г

где а= рп/5(п-р).

Отсюда, после замены переменных и согласно условию, находим, что

< ад.

. р.-) (. ™

{V/(х)|р йх < (т(Б') • Ж) ш | п 2 К0 (х, /)V(х, /)| йстх

Б V Б

Предложение доказано.

Предложение 8. Пусть Б, Б’ с Яп - области и т(Б') < ад. Пусть

А?/ (х)р йх < ад , Ж (/ Б) < Ж < ад , 1/(п-1) < 5 < 1, р > п. Тогда / е 05 (Б').

Б

Доказательство. Применяя к отображению с К^ 8 -усредненной характеристикой неравенство (1):

V = { КО (х, /) |V(х, /)| йСТх <{ пп/2Х5 (х, /гV(х, /)| йСТх =

{IV/ (х)| ns\J (х, / )|!-

йх

(■+1 х! г

и дважды неравенство Гельдера с показателями t=p/ns и ц= р/(р-пя), > 1:

( д( р-п5)/р

■ (1-5) р йх

V <1 ||У/(х)| рйх

/ р

{IV (х, / )|‘

р-т

(1+| х|2)

2 \ пр /(р-п5)

и с показателями t=(p-ns)/p(l-s) и ц=(р-т)/5(р-п), >1, получаем

( д5( р-п)/р

йх

/ \т/р / Л1-5

V < ( {IV/(х)р йх ({ V(х, /)| йх

{

'(1 + | х|2)

пр

5( р-п)

После замены переменных в интеграле { V(х, /)| йх, теорема 2.2 [8], получаем

Б

неравенство

р

1

Л—ns , p

J <|J|V/(x)|pdx |n J dy

V-s

\s( p-n)/P

d ctx

)(1 + | x|2 )~

n( p - ps+ns ) s( p-n)

Последний интеграл конечен, так как при р > п и 1/(п-1) < 5 < 1 степень в знаме-

_ п(р - ря + П5) Л ^ нателе дроби---------------> 0 . Отсюда, в силу неравенства (3), находим, что

s(p - n)

J <\J\V/(x)\p dx F (m(D') • N)1-

1

\—ns p

s( p-n )/p

или окончательно

J K O ( x, / )| J ( x, / )| d с

\1/s

л-

<|J|V/(x)pdx (m(D') • N)

VD )

Предложение доказано.

Для отображения с K*5 -усредненной характеристикой доказательство проводится аналогично.

Поскольку доказательства следующих предложений проводятся аналогично доказательству предложений, приведенных выше, далее ограничимся изложением полученных результатов.

Предложение 9. Пусть D, D' с Rn - области и m(D') < œ. Пусть / е Qs (D'),

1< s и J | J(x, /)|s (1 + |x|2 ) ) dx < M <œ . Тогда J|V/(x)|n dx <œ .

D J D

Предложение 10. Пусть D, D' с Rn - области и m(D') < œ. Пусть

JlVT ( x)|n dx < œ , 1/(n-1) < s < 1 и J |J ( x, / )|s /(s 1) d с x < M < œ . Тогда / е (Q s ( D ' ) .

DD

Предложение 11. Пусть D, D' с Rn - области, область D ограничена и m(D') < œ. Пусть отображения / е (Qs (D'), p < n, p/(n-p) < s. Тогда

J |V/(x)p dx < œ .

D

Предложение 12. Пусть D, D' с Rn - области, m(D') < œ. Пусть

J |V/(x)p dx < œ , 1/(n - 1) < s <p/n, p > n

JÎ| J(x, /)|s (1 + | x|2 )n

p/(ns-p)

dx < M < œ .

Тогда / е (35 (В ').

Рассмотрим связь отображений с ограниченным интегралом Дирихле и отображения класса 3 5 (Б') на примере.

n

и

Пример 3. Рассмотрим множество В = {х є И” : 0 < хі < 1, і = 1, п -1,1 < хп < да}

1

и отображение / : В /(х) = { /1,.../п}, где /і =в хіхпР, і =1 ” -1,

1

f = — хв

J n ß n '

Для отображения / имеем

J (х, f )| =■

-(ßn+i)

|Vf (х)|n =

n -1

~xn +

(1 + x12

-1 ):

\n/2

Рп I (1-Р)2

Покажем, что если р > п и {|У/(х)|р ёх < да , тогда / є 05 (В') при некоторых

В

Действительно, применяя к интегралу, как и в [10], неравенство Минковского, находим, что

J|Vf (х)| pdx = I

n -1 (1-ß)2

х - +(1+Х12 + х2 +...+х2-1)х)

x-2ß.

dx <

- Я ^ + п*™ ] 2 ^ ХП » + пт^-) ] 2п•

сходимость последнего интеграла следует из сходимости следующих интегралов

і % <» -1

dxn

хвр 1n

x(ß+1)Р 1n

< да.

Отсюда получаем, что при р > 1/р интеграл | |У/"(х)|р йх < да.

о

Исследуем, при каких условиях на 5 отображение / е 35 (Б'). Применяя к интегралу

йх

J = J n 2 X* (х, f )dах = J |Vf (х)|ns J(х, f )|-

(1+1 х2 )n

неравенство Гельдера с показателями t = p/ns и q = p/(p-ns), t >1 и неравенство Минковского, как и в [10]:

J <

J|Vf (х)|Р

dx

(1 + 1 xf)

J| J (х, f )|

- Ps p-ns ■

dx

(1+1 xl2)

np

p-ns

J

p-ns

<|J|Vf (x*p^

ps

,(ßn+1) Лp-

p-ns dx

,2np /(p-ns)

х

х

n

да

ns

ns

находим, что данный интеграл конечен тогда и только тогда, когда конечен интеграл

Î-

dx

-(pn+1) ps+2np ]/( p - ns )

< Ж.

Вычисляя, находим, что при р > 1/p, 1/(n -1) < s < p/n отображение

f є QS (D').

Таким образом, при p > n, 1/(n -1) < s < p/n из сходимости интеграла Дирихле отображения f следует, что f є Q s ( D ' ).

Заметим, что не всегда сходимость интеграла Дирихле, j|Vf(x)|pdx<

■ < Ж .

влечет сходимость интеграла | К£ (x, f )dстх . Нетрудно показать, что если в этом

D

же примере при p > n и p > 1/p положим s >p/n, тогда интеграл | |Vf(x)p dx < œ ,

D

но f g Q s ( D ' ).

В заключение покажем, что в случае ограниченности областей D и D' классы отображений с искажением, ограниченным в среднем Qs и Q* (см. [5]) и классы отображений с s-усредненной характеристикой совпадают.

Предложение 13. Пусть D, D' с Rn - ограниченные области, m(D) < œ, m(D ') < œ. Тогда классы Qs = Qs и Q*s = QS совпадают.

Покажем включение Qs = Q s в обе стороны.

1) Qs с (Qs. По определению отображения f е Qs имеем

1

j KO (x, f )dVx

i KO ( x, f )

dx

(1+1 x2 )n

j KO ( x, f )dx

Следовательно, включение Qs с 0* имеет место.

2) В другую сторону. Поскольку область Б ограничена, для / е Qs получаем оценку

к0 (X /")йх =[| к0 (X /) ( + 1 х|2 ) Лст X ^ м * к0 (X /")й ст X

V Б / V Б / \Б

где М = М(Б) - некоторая постоянная.

Таким образом, Qs з (3* и, следовательно, классы Qs, 0* совпадают. Включение Q* = 0* доказывается аналогично.

Предложение 14. Пусть Б, Б' с К" - ограниченные области, т(Б) < да,

т(Б о < ^ ^ тогда с о *, Q; с о *, <° * с ^, * с Q;.

Доказательства включений предложения 14 аналогичны доказательству включений в предложениях выше.

Представим полученные результаты в виде таблицы.

Здесь Б, Б' с Яп - ограниченные области, /: Б ^Б', ш(Б) < да, т(Б') < да.

Т аблица 2

5. Q, = Q s

6. q:=Q s

7. Qs' C Qs

8. q: c q s

9. Qs' C Qs

10. Q sc q:

s > s

Полученные результаты позволяют в дальнейшем для классов отображений с s-усредненной характеристикой установить оценки искажения евклидовых расстояний, искажение относительного расстояния, свойство компактности и др., используя соответствующие свойства и теоремы, доказанные для отображений с искажением, ограниченным в среднем и др., и изучить возможность применения методов исследования отображений этих классов, например обобщенный «принцип длины и площади» в теории отображений пространственных областей с ограниченными интегралами Дирихле [10], емкостную технику, широко используемую для изучения отображений с искажением, ограниченным в среднем [4], для исследования рассматриваемых нами отображений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сычев А.В. Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983. 152 с.

2. Малютина А.Н., Кривошеева И.И., Баталова Н.Н. Баталова Н.Н. Искажение сферического модуля семейства кривых. // Исследования по математическому анализу и алгебре. Вып. 3. Томск: Изд-во ТГУ, 2001. С. 179-195.

3. Малютина А.Н., Елизарова М.А. Теоремы о полунепрерывности снизу отображений с s-усредненной характеристикой. // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2009. № 4(8). С. 46-52.

4. Кругликов В.И., Пайков В.И. Некоторые геометрические свойства отображений с искажением, ограниченным в среднем. Донецк: Донецк. ун-т, 1982. 43с. (Деп. в ВИНИТИ 06.09.82 № 4747-82 Деп).

5. Малютина А.Н. Классы отображений с ограниченным в среднем искажением. // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 51-55.

6. Малютина А.Н., Елизарова М.А. Дифференциальные свойства отображений с s-усред-ненной характеристикой // Вестник ТГУ. 2007. № 300(1). С. 124-129.

7. Rado T., Reichelderfer R.V. Continuous transformation in analysis. Berlin - Göttingen -Heidelberg: Springer-Verlag, 1955. 442 p.

8. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982. С. 285.

9. Fuglede B. Extremal lenght and functional completion // Acta. Math. 1957. V. 98. No. 3. P. 171-219.

10. Суворов Г.Д. Обобщенный «принцип длины и площади» в теории отображений. Киев: Наукова думка, 1985. 280 с.

Статья принята в печать 14.10.2010 г.

Malyutina A.N., Elizarova M.A. ESTIMATIONS OF DISTORTION OF THE MODULES FOR THE MAPPINGS WITH S-AVERAGED CHARACTERISTIC. In the present work geometrical properties of mappings with s-averaged characteristic are investigating. For such mappings the estimation theorems for distortion of the module of a family of curves and the module of an image of a family of curves are proved. The obtained results enable to establish equivalence of the geometrical and analytical definitions of the mappings with s-averaged characteristic and give additional mathematical methods at their research.

Keywords: mappings with s-averaged characteristic, module of a family of curves, estimation of distortion of the module.

MALYUTINA Aleksandra Nikolaevna (Tomsk State University)

E-mail: NDM@main.tusur.ru

ELIZAROVA Maria Aleksandrovna (Tomsk State University)

E-mail: elizarova_m@sibmail.com