CC BY
29
УДК 517.54
А.Н. Малютина
КЛАССЫ ОТОБРАЖЕНИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ В СРЕДНЕМ ИСКАЖЕНИЕМ
Работа выполнена при финансовой государственной поддержке ведущих научных школ РФ, грант М 96-15-96095 *Исследования по комплексному анализу и алгебре» и РФФИ, грант Ns 97-01-00795.
Пусть DdP, п=в, 4,... н f.D-*FP - отображение с ограниченным в среднем искажением. В работе приводятся теоремы и примеры, характеризующие связь некоторых классов и подклассов таких отображений с классами отображений с ограниченным искажением и классами с ограниченным интегралом Дирихле. Результаты сведены в таблицу. Всюду далее п - размерность пространства, р>1 -показатель суммируемости характеристик интеграла Дирихле, s>l/(n-l)~ показатель суммируемости усредненной характеристики.
Пусть DcJC - область, п=3,4, X и пусть отображение fiD-tl? принадлежит Соболевскому классу W'nJoc(D). Тогда почти всюду в D определены величины [1]:
|Л*)| = max|/'(x)A|, Kxf) = min|/'(x)A|,
I "Is* l*ls*
|V/(*)| =
I
y=i
dx
j J
2 V 'J
J(xf)=det
(x)
а также характеристики отображения f.
k (x л- И*./)1 M'f) /■(*./)•
. , n l/'Wl” -= |V/W|"
k0(x,f) = '——'—Mx,f) = n 2 1
j(x,n........ и*.лГ
Эти локальные характеристики связаны между собой неравенствами
к, (xjysk0 (х,/)"-', ка (x,f)<n"a Цх,/)< £п"пк0 (x,f)<MnllkI (х,/)”"1,
к(х, /) < тт(А/ (х, /), ка (х, /)) й * Нх, /Уп й тах(к, (х, /), ка (х, /)) $ к(х, .
Определение 1. Гомеоморфизм f:D->R называется:
- /^-квазиконформным, 1 <Х<оо, если ^(D)
и Х(/) = vrai max k(x, f) й К ;
xeD
- ^квазиконформным, 1<Х/«ю, если feW^fD) и К, (/) = vrai max к, (х, /) £ X,;
xeD
- /^-квазиконформным, 1 <Ко< °о, если /efVjм (D) и Ао(Л = vrai max k0 (х, /)<Х0.
xeD
Определение 2 [2-4]. Отображение fiD-tR? называется квазирегулярным отображением, если feACLn(D) и существует константа А>1 такая, что неравенство
\f(xf ^KJ(x,f) (1)
имеет место почти всюду в D. Наименьшая из констант X £ 1, для которой неравенство (1) остается верным, называется внешней дилатацией / и обозначается через KJJ). Если / квазирегулярно, то наименьшая из констант К11, для которой неравенство
J(xJ)<Kl(f(x))n (2)
справедливо, называется внутренней дилатаций / Максимальной дилатацией/называется число
Х(/)=тах(КК/),Хй(Д (3)
Если K(f)<K, то отображение / называется X-квазирегулярным. Если / не является квазирегулярным, то полагаем K0(f)=Ki(f)=K(/)=<x>. Как видим, K(J), XX/),
K0(J) в определении (2) совпадают соответственно с vrai max к(х, /), vrai max к, (х, /), vraimaxk(x,f).
хеD хе D xeD
Определение 3 [3]. Отображение f.D—tF" называется отображением с ограниченным в среднем искажением, если оно удовлетворяет следующим условиям:
С1) отображение непрерывно;
С2) / € W'n kx(D), функция J(x,J) не меняет знак в
области D и существует число Х>1 такое, что для почти всех xeD выполняется неравенство (2).
Отображение / называется квазимероморфным, если вместо С1) оно удовлетворяет более сильному условию
СЗ) отображение /топологическое.
Наименьшая из постоянных X, для которых неравенство (3) выполняется почти всюду в D, называется коэффициентом искажения отображения / и обозначается символом K(J). Аналогично определяются отображения с Хо, А} -ограниченным искажением.
Понятие пространственного квазиконформного отображения введено МА Лаврентьевым [5]. Начало интенсивных исследований в згой области относится к 1960 г. В 1966 г. ЮГ. Решетняком были введены отображения с ограниченным в среднем искажением [4]. Обзор исследований этих отображений содержится в [6-7].
Гомеоморфизм / области D на :D’<zR" является отображением класса (D),eели fefVp ^ (£>),
и / обладает N, ^"'-свойствами.
Локальный гомеоморфизм f.D-+R* является отображением класса W^M(D), если VxeD существует
{/-окрестность точки xeD такая, что /| (U).
Предложение 1 [8]. Пусть D - открытая область и fD-tF? - непрерывное, открытое, изолированное отображение. Тогда множество Bf точек ветвления отображения /нигде не плотно, dimB/< п-2, | В„ \ - 0.
Определение 4 [9]. Пусть fzW'n loc (D) - от-
крытое изолированное непрерывное отображение, /(£*). J(x,J)>0 почти всюду в D.
Если существует постоянная К1р такая, что
К, р (x,f)J(x,f)cb^ <К, р«о (4)
(число р>0), то отображение/называется отображением с Х/р-ограниченным в среднем искажением; если существует постоянная Ко р. > 0 такая, что
( Y"
*..» (/) = I К(х,/)ЛJ * Ко р. < оо, (р' > 0), (5)
то отображение/называется отображением с Ко р,
51
К0 р. -офаниченным в среднем искажением;
если существует константа А^>0 такая, что КЛЛ = f * К„ «оо,
(6)
(р>0), то отображение /назьтается отображением с Л^,-ог-раниченным в среднем искажением, а число р - показателем суммируемости усредненной характеристики.
Определение 4 естественно распространяется на случай р=оо. Действительно, если функция HxJ) измерима и существенно Офаниченна на офаниченном множестве Д (для нее существует величина vra/max|&(jc, /)| = М;,
называемая для нее существенным максимумом | k(x,J) \ на D), то имеет место равенство
1ш||*(,,/)||ми=Л//. (7)
Докажем это. Пусть отЕ - мера Е. Если М/=0 или mD=0, то равенство (7) очевидно. Будем считать 0<Mf<oo. Если D - офаниченное измеримое множе-
( \Vp
ство, то
\k(x,f)\р dx <Мj (mD)'lp. Следова-
\D
тельно,
<«)
С другой стороны, из определения существенного максимума функции следует существование множества D\ положительной меры такого, что для всех его точек выполняется неравенство \k(x,f)\>Mf-E,
\1 !Р
где 0 <z<Mf. Поэтому
ll*ML (fl>^ lMJ ~*YdQ =К-е)(т^)1Г
V°i
Значит, limf jjfc(x,/)p
’p
p-*°\d произвольно, TO
lim
p-*x>
"2Mj-e, и так как e
\Чр
J\{x,f)p dx\ >Mf, D J
(9)
что справедливо для любого измфимого множества D.
Из (8) и (9) следует (7).
Мы доказали, что если функция к(х, /) сущест-
венно Офаниченна, то есть конечный предел
( \'Р
lim \k{x,f)pdx\ , (10)
равный существенному максимуму k(xf) на D.
С другой стороны, из существования предела (10) следует существенная офаниченность к(х, f) на D. Если бы это было не так, то как бы ни было велико N, существовало бы измеримое и офаниченное подмножество D' множества D положительной меры, на котором k(xf)>N. Тогда для любого р> 1
откуда
y\k{x,f)’>dxyN{mD)lp,
lim
/>—►00
jk(x,f)pdx
\4p
\D
ZN.
Так как N как угодно велико, то предел (10) не может быть конечным, и мы пришли к противоречию.
Следовательно, класс отображений с офаниченным искажением для офаниченных областей получается из класса отображений с Afp-офаниченным в среднем искажением при р=<х>.
Аналогичный предельный переход при р=оо в гео-мефическом определении отображений с Ар-офани-ченным в среднем искажением даёт геометрическое определение квазирегулярных отображений.
Обозначим Qp класс отображений / с Ар-офаничен-ным в среднем искажением, через Qp - класс отображений /с ^-ограниченным в среднем искажением.
Предложение 2. Если р<р\ то Qp. с Qp .
Доказательство следует из неравенства \kp(x,f)dxJ^ \кр' (*,/)<& j
Предложение 3. Если р' > р, то £?’. с Qp. В самом деле,
\kp(x,f)j(x,f)dx =
D
= f kP(X/\-J'-plp'{x,f)dx<
lj-p!p(x,f) ' J ^
- - pip'
(p'-pVp‘
J (j'-”'
D
\pll
= 1 \kp(x, f)j(x, f)dx (jrnD’)~p■
\D У
Замечание Г Пусть р>п-1. Тогда в определении 4 можно опустить условия изолированности, открытости и непрерывности [10. Теорема 1.1].
Определение 5. Пусть K.f-^D - открытое, непрерывное, изолированное отображение, feW'n ^ (D),
few:,ос (£•)> J(x>f)>0 почти всюду в D. Если суще-
ствует постоянная Qp р>0 такая, что для любой точки уе!У, Р>п-\, то
/
Qp*(f)= (*./)* ,’+'(1*-:И)й&
где функция k(t) определена при t>0, конечна, не-
отрицательна, непрерывна, не возрастает,
*
lim k(t) = -ню и Jk(t)-t~“dt = оо 1фиос=(рН-иУ(рНХ
О
то / называется отображением с ^-ограниченным в среднем искажением.
Рассмотрим весовые классы отображений Qs'a, определённых в области DcJf и имеющих обобщенные производные первого порядка в смысле СЛ. Соболева, суммируемые по области в степени s, l<s<<x>, вместе с весовой функцией ra(x, 8D), ае(-оо,+оо), r(x, 8D) -расстояние от точки xeD до фаницы 8D.
Определение 6. Будем говорить, что отображение f.D-tS" принадлежит весовому классу Q‘k a, и
52
Отображение / называют отображением с ограниченным в среднем потенциалом градиента, если / € Qka {к) в D при каком-нибудь конечном к. Предложение 4. Пусть s’>s. Тогда Qs.a c.Qia,
если |л(]дг - _у| )dx < да для любого ye D.
D
Предложение 5. Пусть s’>s и ядро k(t) удовлетворяет в ограниченной области Dcfi" условию J^j'(j+i)/(s,-j)(jjC_< ^ дщ, любого yeD. Тогда
D
Q,- с Qs.k •
Предложение 6. Пусть р’>р. Тогда Qk[ czQt, где *,|х-у|)=А(1+,^/х(|х-.у|).
Предложение 7. Пусть р’>р. Тогда Qp cQp.t, если ^k~pl<'p~p)^x-)fydx<<x> для любого yeD.
D
Доказательства предложений 4-7 проводятся как и доказательство предложения 3. Результаты этих предложений и сравнение класса отображений с ограниченным в среднем искажением с классом BLp -отображений с р-ограниченным Дирихле и с
ограниченным потенциалом градиента приведем в таблице (определение в [11 -14]).
1 Qs^Qs s’> s
2 q;-cq; S'>S »
3 cz Qs,k s’> S
4 Qs- c Qs’k j'>S J/tJ'(i+i)/(I'")(jx->'|)aEr<00 D
5 Qs-,kcQs,k s’> S
6 в, s’> s \к-11{3'-г) (\x-y\)dx<oo D
7 Qs z>BL" p=n s=l/(n-\)
8 Qs c.BL" p=n s>n-1
9 BL”<tQ, p=n s=l/(«-l)
10 QlczBL" p=n S>1
11 BL”<zQl p=n S<1
12 Q.cBL* p<n s>p/(n-p)
13 Qs <tBLp ; BLP ctQs p<n s<p/(n-p)
14 BLp<zQ; p<n s>p/(n-p)
15 ( ” \ Q,^BLP k”~p (|x-y|) \ / p<n s2p/(n-p)
16 QS<ZBL”;Q'S<ZBLP p>n l/(tt—1)<5<И—1
17 QIOQ'CBL"; Q’ <tBLp p>n S>H-1
18 Ql OQcBL" ; Qs <zBLp p>n s>n-l
19 bl”<zq; p>n s>l/(p-ri)
писать /е Dka, если / непрерывно в области D, открыто, изолированно, feW'nJoe (D) и такое, что
/,.« (/. К (*,/>“ (x,dD)dxj <к< оо, 1<j<qo, ае(-<ю +оо).
Отображение / принадлежит классу Qka в области D, если /е£?* “ для некоторого конечного К.
Функцию Цх), к(0, +оо)->[0, +оо) будем называть ядром, если она удовлетворяет следующим условиям:
1) k(t) непрерывна, не возрастает и НтЛ:(/)=оо;
f-*0+
2) J*,/(w,,(f)./l,-,df<oo.
о
Определение 7. Отображение /принадлежит классу Qk'a (к) в области Z), если/непрерывно, открыто, изолированно, feW'n loc (D) и такое, что
Л,а СЛ *, />) ■ [ JV (*, /Vе (*, 3£>)ф - у|)&
йк
для всех точек yeD, l<s<oo, ае(-а>,+оо) и ядро к( | х-у |) удовлетворяет условшо
= Л“'“лиагп°
I 10, если а < 0.
53
20 Q, <£ВГ p>n 1 /(p-n)<s<p/(n-1)
21 &а(к)с&а 1<S<00 ае(-оо,+оо)
22 Q‘(k)aQ‘°(k) 1<S<00 а>0
23 Q‘ a с Q l<s<oo а<0
24 Q*a(k)aQ’(k) 1<S<00 а<0
25 Q* “ с Q3* s’<s а) ps^as', Д - огр. обл.; б) as'>p$; 5(l+p)>s'(l+ot); а, Р>0; a2+pV0 и Ь s~s
26 Q” с Q”1^ (к) 1 <s<n |Г+‘(х-у|)оЕ*<аО
27 Q‘ c Qsa 1<S<00 а>0
28 Q*{k)<zQ’a 1<J<00 а>0
29 Qs c Qsa(k) s'>s а>0; jV7(I''3)(x->’|)^<'»
30 1<S<00 а<0
31 Qsa eg,, s'>s а>0; Jk^^ix-yfydx
32 Qs(k)^Qs 1<J<00 а=0
33 Q* c Qs(k) s’>s
34 ff * <z&a{k) s'>s ае(-оо,+оо)и jV/<S_I) (х -у )с& < <х>
35 Qs a c fil” p=n $>л-1; а>0
36 SI” c e, e p=n s=l/(n-l); а>0
37 fir <z ° p=n 5>1/(и-1); а>0
38 0'° c BL” p<n s>p/(n-p)', а<0
39 Q’ a (2 fir p<n s<pl(n-p); а<0
40 fir <2 0** p<n s<p/(n-p); а<0
41 e** (2 fir p>n l/(n-l)ls</i-l; а<0
42 <2 BL” p>n 5>и-1; а<0
43 Qi a <2 5Г p>n l/(p-n)<s<p/(n-\)\ а<0
44 Qsa{k)<zBLp(kn/(n-p)) p<n s<pl{n-p)\ а<0
45 Qsa{k)<zBLp p<n s>p!(n-p)\ а<0
46 Q'(k)ct BLP (kn /(n - p)) p<n s>pl{n-p)\ а=0
47 e*(fc)afir p<n s>pl{n-p)\ а=0
Все включения доказываются аналогично предложению 3. Предложения, сформулированные в пунктах 9, 13, 14, 16-20, доказываются с помощью примеров, подтверждающих, что соответствующие включения не имеют места. Рассмотрим, например, 16. Пусть р>п, 1/(и-1)< <s<n-l. Не имеют места включения Q/tBL", Ql <2 BL". Покажем это. Рассмотрим область £):{(хь ...,х„еЛ": 0<х,<1, /=1,л} и отображение
/(*>{
X. ,х
>л2
—х,ч> '1-р
У
где 1-р>0.
Имеем l(f'{x)) = 1, j(x,/)= К, (х, /)=х~р,
Пусть l/(n-l)<S<w-l,l/(n-l)<S<n/(/i-l). Подберём Р так, чтобы (x,f)J{x,f)dx<so, ^K‘‘{x,f)dx< оо,
а |/’(х]|" А=оо. Тогда
D
54
1
D 0
<00,
J*.'' {x,f)ds*fr?Mdxe<»,
D 0
§f'(xTdx = fx^dxr =oo
D 0
выполняется при l/n9«min{l/(s+l); l/s'(w-l)}, что и требовалось доказать.
Включение 26 утверждает, что при надлежащем выборе ядер класс отображений с ограниченным потенциалом градиента является более широким, чем класс отображений с ограниченным л-интегралом Дирихле, который изучается в работах Г.Д. Суворова [12] и И.С. Овчинникова [14] и который включает в себя ограниченные квазиконформные отображения. Примером такого ядра может служить функция
А(0=
-----ьГ~ ”р"0<'<2'
2 " (i-iу( j+i) j
----—пря-^SI,
О при/Я.
Изолированная особенность является устранимой в классе квазиконформных отображений и в классе
классе отображений с ограниченным искажением и не является устранимой для класса отображений с ограниченным в среднем искажением. Из включения 15 получаем, что feQSt * можно продолжить до непрерывного в изолированную особую точку.
Покажем, что пересечение Q's n Qs * 0 при р > п и s > п-1. Для этого рассмотрим D={(x, ,...,хп )е eR" Ю<х( <1 ,/=1 ,и} и гомеоморфизм
/(*>^*1 >*2.•••>*„-. j
Имеем
/(/'(х)Н, Ах,/)=К, (х,/Кр, К. (*,/>
и*г *+
Ж7) х?
ЛГ'Р.5,$'>Л-1.
Выберем р так, чтобы JKf {x,f}J(x,f)dxcoq
D
Ja:/' {x,f)dx<00,а ||/'(х)Г dx=co.
D D
Итак,
Л/'(*)Г <b=\x;>’dx .=»
при P<min
“{и 1+5’ S'
1
(и-1)
о
ЛИТЕРАТУРА
1. Сычёв A.B. Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983. 161 с.
2. Martio О., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings. Ann. Acad. Sci Ser AI. Math. 1969. V. 448. P. 1-40.
3. Решетник Ю.Г. Пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1982.
4. Решетняк Ю.Г. Оценки модуля непрерывности для некоторых отображений'// Сиб. мат. журн. 1966. Т. 7, №5. С. 1106-1114.
$. Лаврентьев М.А. Об одном дифференциальном признаке гомеоморфных отображений трехмерных областей // ДАН. 1938. Т. 20. С.241-242.
6. Vaisala J. A survey of quasi regular maps in R" // Всем. мат. конгр. Хельсинки, 1978.
7. Caraman Р. Homeomorfisme cvasicomforme л-dimensionale // Ed. Acad. Rep. Soc. Romania. Rucuresti, 1968.
8. Чернавкий A.B. Конечнократные открытые отображения многообразий // Мат. сб. 1964. Т. 65, №3. С. 357-369.
9. Сычев А.В., Матотина А.Н. Об отображениях с ограниченным в среднем искажением II ДАН. 1985. Т. 283, № 2. С. 317-320.
10. Manfrede J.J. and Villamor Е. Mappings with integrable delatation in higher dimenisions // Bulletin (Now Series) of the Amer. Math. Soc. V. 32, № 2. P. 235-240.
11. Fuglede B. Extremal lenght and functional completion // Acta. Math. 1957. V. 98, № 3. P. 171-219.
12. Суворов Г.Д. «Обобщенный» принцип длины и площади в теории отображений. Киев: Наук, думка, 1985. 280 с.
13. Куфарев Б.П. Потенциалы и соответствия границ// ДАН. 1974. Т. 215, Не 2. С. 255-258.
14. Овчинников И.С., Суворов Г.Д. Преобразование интеграла Дирихле и пространственные отображения // ДАН. 1964, Т. 154, Не 3. С. 523-526.
Статья представлена лабораторией математического анализа научно-исследовательской части Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 25 октября 1998 г.
55
