О равностепенной непрерывности класса отображений с (s, ƒ)-усредненной характеристикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.Н. Малютина, Б.В. Соколов

О РАВНОСТЕПЕННОЙ непрерывности класса отображении С (ж, а)-УСРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Для отображений с (5, а)-усредненной характеристикой доказывается оценка искажения евклидова расстояния в шаре и равностепенная непрерывность класса этих отображений.

Пусть Rn - евклидово w-мерное пространство,

n = 3, 4, 5, ... , хеRn , х = (,x2, ... ,xn),

| х | = (2 + х( +... + хП )2, Вп - шар | х | < 1. Если

/,а (f, k, D) =

Jxs (x, f )ra(x,dD)k(| x-y I)

dx

(1 + 1 x|2 )■

< K

Б с К" - область, то через дБ и Б обозначим соответственно границу и замыкание области Б в К" . для всех у е Б, где ядро к () удовлетворяет условию

Пусть

Sr (y) = {x є D: | x - y I = r }.

Через

га (f, E) = sup I f (x) - f (y)\ обозначим колебание

x, yeE

отображения f: D ^ Rn на множестве Е с D .

J(k (t))‘

s+1 t

s+1

-+a-1

dt = +да, a =

_ (a, a > 0.

10, a< 0.

Будем говорить, что отображение /: Б ^ К" Определение 1. Будем говорить, что отображение принадлежит классу / е Q5,a (к, Б), если

f: D ^ Rn принадлежит классу f е QK“ (D), если f eWn1|oc (D)- непрерывное, открытое, изолиро-

/ е Q¿a (к, Б) при каком-либо конечном К .

Различные соотношения между классами

ванное отображение, якобиан отображения QsI¡■a (к, Б) и классами отображений с ограниченными

3 (х, /) > 0 почти всюду в Б;

существует постоянная К > 0, такая, что при фик-1

сированных s , a .

n -1

< s <да, a є R , интеграл

Is, a (f, D) =

где X(x, f ) = ■

Jxs (x, f)ra(x, dD)

D

vf ln

dx

интегралами Дирихле и с ограниченным потенциалом градиента см. в [1].

Мы опираемся на следующее утверждение, представляющее собой модификацию хорошо известного неравенства [2].

Теорема 1. Пусть

< K,

( + 1 x| ■)П

(x, dD) - евклидово расстоя-

f є ßs,a(k,Bn ) , s > (n -1)1 1 + -j, 0 < у <

J (x, f )

ние от точки х до границы dD области D.

Назовем отображение f: D ^ Rn отображением с (s, а)-усредненной характеристикой (f е Qs,a (D)), если f е QKa (D) при каком-либо конечном К > 1 Известно [1], что Qs,a (£ BLp,a при

Р

p < n , s <-----.

n - p

Определение 2. Функцию

k (t): (0 , +да) ^ [0 , +да)

будем называть ядром, если она удовлетворяет следующим условиям:

k(t) непрерывна, не возрастает и lim k (t) = да ;

: 1,

и пусть {5г} - семейство концентрических сфер с центром в точке х0 е В" и радиусом г,

0<г1 <г <г2 <-2. Тогда выполняется неравенство

J

s+1-n+a

dr <

< С• Л V/ |5 • га(х,дВ")к(| х-х0|)к,

Вг2

где ю(/, ^г к - колебание отображения / на множестве 5^ = 5г о В", С - постоянная, не зависящая от/ Доказательство. Используя лемму 2 [3] и включение Qp/(" рк с ВЬр, р < " , будем иметь

t —>0+

Jk(t)tn ldt < да .

і =J

Определение 3. Будем говорить, что отображение /: Б ^ К" принадлежит классу / е QsКа (к, Б), если существует постоянная К > 1, такая, что при фиксированных 5 , а , 1 < 5 < да, ае К, интеграл

< С J

= J“

r1

ns

№

Г2 ns( І/

s+1) / S О \ ..a і_/(s-

J

s( s+1)

(x, f)

)(f, Sr )rqk/ (s+1)(r )dr <

r a (x, dBn )ks+l ( x-x0|) Js+l (x, f)d ctx

n

s

B

где q = 1 + а - "I(5 +1), С - постоянная, не зависящая от / . Применяя к интегралу, стоящему в правой части этого неравенства, неравенство Гельдера с по-

15

казателями р =--, q =---, получим

5 +1 5 +1

I < С(/, хо ),

где

класса

^5,а(к, вп), 5 > (п -1)[і + -], 0 < у < 1 и

У

0 <а< г(Е, дВп), справедливо неравенство

5+1

\/(х')- / (х")|<

С11/5 га(х,дВп)к(|х-х)с

ї к15+1 (ґ)

ґп+а-5-1л

5+1

(С+є) ї |У/|5га(х,дВп)к(-х')с

Отсюда, в силу монотонности / и неравенства (1), получаем

/ (х')-/(х") < й (/ (в (х')))=ю(/, вп (х')) <

У£ (/, Хо к= | И5 • г а(х, дВ" )• к5+! /х - Хо| к а х .

в; (хо)

Следствие 1. В условиях и обозначениях теоремы 1 для любого е > 0 существует 7 е [г1, г2 ], такое, что

"5 г2 1/

(/,^'к!к/(5+1)(г)г^г < (С + е)^к (/,х0) ,

(С+є) ї у/5 га (х, дВп)к(х-х")сх

ї к^1 (і)ґп+а-5-1йґ х'-х'"

1 " -

где q = 1------+ а .

5+1

Определение 3. Непрерывное отображение /: Б ^ К" называется монотонным, если для всякой подобласти Б’, Б' с Б , имеет место равенство Ю(/, Б') = ю(/, дБ').

Тогда имеем следующую оценку искажения евклидова расстояния внутри шара В" для монотонных отображений класса Q5,а (к, В").

Теорема 2. Пусть / - монотонное отображение

так как е > 0 произвольно, то утверждение теоремы доказано.

Следствие 2. Если в условиях и обозначениях теоремы 2 положить

1

к /) = к5+1 /) = /в-" , 0 <Р< 5 - а, а> 0, то для любых точек х’, х " е Е, таких, что

|х ' - х"| < -2 г (е, дВ") , выполняется неравенство

I /(хк-/(х"к I <

с ї

5 (/, х) га (х, дВп) йсх

5+1

х - х

а+р^5+1

х - - - 5 - -

пусть Е - произвольный континуум, Е с Вп . Тогда для любых точек х', х" є Е, таких, что їх' - х" I < ст,

V 11 /

Следствие 3. Если в условиях и обозначениях

1 "5 а

теоремы 2 положить к/) = к55-а /) = ^5+' , то для

любых точек х', х" е Е, таких, что

1 г (е, дВ") , выполняется неравенство

|/(х')-/(х-)|<

X5 (/, х)га (х, дВ" )а

5+2

п5 5+1 1

1п ж .---------------

где С - постоянная, не зависящая от /.

Доказательство. Пусть точки х ', х " е Е таковы, что |х' - х"| = г1 < а. Рассмотрим семейство концентрических сфер {5г} с центром в точке х’ е Е и радиусом г, г е [г1, а]. Так как каждая сфера семейства {5г} содержится в шаре В" и отделяет точки х’, х "

от границы шара В" , то, в силу следствия 1, для любого е > 0 существует г е [г1, а], такое, что

. (1)

с ї

Из следствия 3 получаем следующий результат о порядке равностепенной непрерывности семейства

отображений класса / е QК¿a (, В").

Теорема 3. Пусть Е = {/} - семейство монотонных отображений,

/ е QКa(кр, В"),

5 > (" -1)^1 + —^ , а> 0, 0 <у< 1 ,

0 <р< —-а .

5 +1

Тогда для любых точек х', х" е В" имеет место следующая оценка, равностепенная по классу Е :

| /(х)-/(х") | < (С• К))! ^ х -х" Р,

2 а + р

где р =---------, С - некоторая постоянная, не зави-

5 "5

сящая от отображения /.

Следствие 4. Если в условиях и обозначениях теоремы 3 / (0) = 0, то для любой точки

х е В" справедлива следующая оценка роста отображения / :

\f (x )|<(с • к )+i -| xq

2 а + р

где р =-----------, а С - постоянная, не зависящая от/

5 "5

Следствие 5. Не существует монотонных отображений

f e Q£“(kß, Bn),

a > 0, 0 <y< 1, 0 <ß< шара Bn на неограниченные области D

s +1 Rn.

Определение 4. Семейство Е = {/} непрерывных отображений /: Б ^ К" называется нормаль-н^1м в Б , если любая последовательность {/"}, / е Е содержит в себе равномерно сходящуюся внутри подпоследовательность.

Теорема 4. Если

/ е QКа(kp, В"),

5 > (" -1)^1 + —^ , а> 0 , 0 <у< 1 ,

то семейство Е = {/} монотонных отображений /

нормально в В"

Доказательство следует из теоремы 20.4 [4] и следствия 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. МалютинаА.Н. Классы отображений с ограниченным в среднем искажением // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 51-55.

2. Овчинников И. С., Суворов Г.Д. Преобразования интеграла Дирихле и пространственные отображения // Сиб. мат. журн. 1965. Т. 6. № 6. С. 1292-1314.

3. Куфарев Б.П., Соколов Б.В. О граничном соответствии при отображениях областей из Rn // ДАН СССР. 1978. Т. 243. № 3. С. 568-571.

4. Vaisala J. Lectures on n-dimensional Mappings // Lect. Notes. Berlin: Springer Verlag, 1971. No. 229. 144 p.

Статья представлена кафедрой теории функций и лабораторией математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 24 мая 2003 г.

ns

-а