CC BY
12
Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 3, С. 65-74
УДК 517.54+517.518
ОЦЕНКИ НА МОДУЛИ СЕМЕЙСТВ КРИВЫХ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ С ВЕСОВЫМ ОГРАНИЧЕННЫМ (р, ^-ИСКАЖЕНИЕМ
М. В. Трямкин
Семёну Самсоновичу Кутателадзе к 70-летнему юбилею
Мы формулируем аналоги неравенств Полецкого и Вяйсяля для отображений с (в, 1)-весовым ограниченным (р, д)-искажением без дополнительного предположения об ^-свойстве Лузина.
Ключевые слова: отображение с ограниченным весовым (р, д)-искажением, модуль семейства кривых, функция Полецкого.
1. Введение
Понятие модуля семейства кривых на плоскости было введено в 1950 г. Л. Альфорсом и А. Бьерлингом [1], а затем распространено на многомерные пространства Б. Фугледе [2] и Б. В. Шабатом [3]. На языке этого понятия было сформулировано одно из эквивалентных описаний квазиконформных отображений, в связи с чем метод модулей приобрел важное значение в работе с этим классом отображений, позволив найти альтернативный подход к их изучению. Необходимость в таком подходе была вызвана отсутствием в многомерных пространствах теоремы Римана.
В 60-е годы прошлого века Ю. Г. Решетняк начал систематическое исследование отображений с ограниченным искажением, представляющих собой неоднолистный аналог квазиконформных отображений (подробное изложение содержится в монографии [4]). Пусть О — область в евклидовом пространстве МП п ^ 2. Отображение / = (/!,...,/„): О ^ Мп класса Соболева ^П[ос(О) называется отображением с ограниченным, искажением,, если для почти всех х € О выполняется неравенство |£>/(ж)|га ^ К.1(х,/), где К € [1,оо) — постоянная, £>/(ж) = (§£:(%)) — мат-
рица Якоби, (х)| и ■](х, /) — ее операторная норма и определитель соответственно.
Основополагающий топологический результат Ю. Г. Решетняка заключается в том, что всякое непостоянное отображение с ограниченным искажением непрерывно, открыто и дискретно (см. [4, гл. 2, §6]).
Впервые метод модулей к исследованию отображений с ограниченным искажением применил Е. А. Полецкий в 1970 г. [5]. Опираясь на упомянутые топологические характеристики, Е. А. Полецкий с помощью процедуры поднятия путей установил свойства
© 2015 Трямкин М. В.
1 Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 14-01-00552, и Совета по грантам Президента Российской Федерации, проект № НШ-2263.2014.1.
некоторого специального отображения, известного сегодня как функция Полецкого. Это позволило показать, что для отображений с ограниченным искажением модуль образа семейства кривых не превосходит модуля прообраза [5, теорема 1]. Последнее утверждение в наши дни называется неравенством Полецкого. В той же работе [5] получено некоторое улучшение этого неравенства в нормальных областях (см. [5, теорема 2]). Полезная интерпретация последнего была получена Ю. Вяйсяля [6, 3.1] и называется в литературе неравенством Вяйсяля. Немногим ранее были установлены аналогичные оценки для емкости (см. [7, 8]). Отметим, однако, что модульные неравенства суть более общие, чем соответствующие емкостные (см., например, [9, пример 1]).
Оценки для модуля и емкости играют ключевую роль в исследовании поведения отображения на границе, в теории распределения значений в духе Неванлинны (теоремы типа Лиувилля и Пикара, устранение особенностей) (см. [10]), связи дилатации с минимальной кратностью ветвления и др. Кроме того, модульная техника нашла применение в метрических пространствах с мерой, что привело к рассмотрению так называемых пространств Левнера (см., например, [11]).
Метод модулей, как показывает ряд недавно вышедших работ (см., например, монографию [12]), а также статьи [13-17], продолжает оставаться основным инструментом в изучении различных обобщений отображений с ограниченным искажением. В книге [12] рассматриваются ^-гомеоморфизмы с функцией Q из различных классов (интегрируемые, с ограниченным средним и с ограниченным конечным колебанием), отображения с конечным искажением длины и с конечным искажением площади, и для них устанавливаются результаты о дифференцируемости, поведении на границе, устранении особенностей, нормальных семействах и пр. В статьях [13, 14] емкостные оценки установлены для некоторых обобщений отображений с ограниченным искажением (в частности, на группах Карно) с требованием ^-свойства Лузина. В работе [15] установлены модульные и емкостные неравенства для отображений с конечным искажением при минимальных условиях регулярности в предположении о том, что исходное отображение также удовлетворяет ^-свойству. В статье [16] аналогичные неравенства получены для отображений с конечным (р, д)-искажением длины. В [17] оценка на модуль доказана для некоторого специального класса отображений, обладающих следующими свойствами: открытость, дискретность, дифференцируемость почти всюду, N- и N-1-свойство Лузина, и так называемое свойство абсолютной непрерывности в обратном направлении.
Задача нашей работы — установить модульные неравенства для естественного обобщения класса отображений с ограниченным искажением без некоторых аналитических предположений, характерных для вывода результатов упомянутых выше работ. В настоящей статье основным является следующее
Определение 1 [18]. Пусть 9, а: Кга — [0, то] — локально суммируемые функции (называемые весовыми) такие, что 9 > 0 и а > 0 почти всюду. Отображение /: П — Мга называется отображением с (9, а)-весовым ограниченным (р, д)-искажением, п — 1 <
д ^ р < то, если: /
2) / принадлежит классу Соболева ^1ос(П);
3) .(х, /) ^ 0 для почти всех х € П;
/
для почти всех х € П равенство .(х, /) = 0 влечет О/(х) = 0;
5) функция локального (0, а)-весового ^-искажения
л / Г{х)1ВПх)К, если 3(х, /) ф 0;
[0, если 7(х, /) = 0,
принадлежит классу Ья{0), где к находится из условия 1 = 1 — 1 {к = оо при д = р).
Через (/; О) обозначим величину \\кЦ'а(■,/) | ЬК(О)\\.
В этом определении наличие пункта 1) связано с тем, что при д € (п — 1,п) отображение может и не обладать требуемыми топологическими свойствами. Отметим, что при 0 = а = 1 и р = д = п мы получаем отображения, введенные Ю. Г. Решетняком.
В работе [18] получены емкостные неравенства для введенного класса отображений без требования ^-свойства Лузина. Подчеркнем, что ранее модульные и емкостные неравенства устанавливались в предположении, что отображение обладает ^-свойством Лузина, которое заключается в том, что образ множества меры нуль также имеет меру нуль. Это требование необходимо было для того, чтобы образ множества точек ветвления имел нулевую меру. В настоящей статье мы доказываем модульные неравенства без дополнительного предположения об ^-свойстве Лузина. Это оказывается возможным благодаря следующему замечательному факту, установленному в статье [19] (см. также [18-22]): частные производные функции Полецкого обращаются в нуль почти всюду на образе множества точек ветвления. В § 3 мы скажем об этом подробнее. Этот факт использовался в работе [18] для получения оценок на емкости. Отметим, что при д € (п — 1, п) отображение / те обязательно обладает ^-свойством Лузина, что продемонстрировано в [23].
Во всех наших последующих рассмотрениях отображение / имеет (0,1)-весовое ограниченное (р, д)-искажение, т. е. а = 1.
Полный вариант этой заметки с подробным изложением доказательств будет опубликован в [24].
2. Предварительные сведения О
в пространстве МП символ тп — п-мерную меру Лебега в Мп. Для области V С Мп запись и <е П означает, что множество V ограничено и V С П.
Пусть /: О — Мп — непрерывное отображение, V Ш О, у / /(ди). Символом ^(у,/, V) мы будем обозначать степень отображения / в точке у. Подробную информацию об этом понятии можно найти, например, в [4, 2.1] и [10, 1.4]. Если ^(у,/, V) > 0 для любой области V Ш О и любой точки у € / (V) \ / (ди), то говорят, что отображение / сохраняет, ориентацию.
/ : О - Мп
х € П. Тогда существует область V <е О, такая, что х € V и V П /_1(/(ж)) = {%}■ Если V' ш О — другая область с таким свойством, то можно показать (см. [10, с. 18]), что М/(х),/, V) = (х),/, V'). Поэтому равенство г(х, /) = (х),х, V) корректно определяет величину г(х, /), называемую локальным, индексом, отображения / в точке х.
Область О Ш О называется нормальной для непрерывного открытого и дискретного отображения /: О — Мп, если /(дО) = д/(О). Если х € О и О — нормальная область такая, что О П /-1(/(х)) = |х}, то О называется нормальной окрестностью точки х. Согласно [10, 1-4.9] всякая точка х € О имеет нормальную окрестность.
Отметим, что если О — нормальная область для отображения /, то ^(у, /, О) не зависит от у € /(О) (см. [10, с. 18]). Эту постоянную мы будем обозначать О).
Точка х € П называется точкой ветвления непрерывного отображения /: П — Мга, /х точек ветвления отображения / обозначим символом Bf. Заметим, что х € Bf тогда и только тогда, когда г(х, /) ^ 2.
Пусть /: П — Мп — непрерывное отображение, и и С П. Функцией кратности называется отображение Мп Э у — N (у, /, и) = #{/-1(у) П и}. Обозначим также: N (/, и ) = 8пруек„ N (у,/, и).
2.2. Здесь мы приведем понятия и утверждения, необходимые для описания аналитических свойств отображений.
Пусть и: П — М — функция класса .¿1дос(П). Если существует функция Vi € Ь1дос(П), г = 1,..., п, такая, что для любой функции ^ € Сц°(П) справедливо равенство
j и(х)^- (1х = — j Уг(х) (р(х) <1х, п п
то Уг называется обобщенной частной производной функции и и обозначается через Ц1.
и: П — М П
переменным, принадлежит пространству Соболева ^^(П), р ^ 1, если и € £Р(П) и
€ ЬР(П) для каждого г = 1,..., п.
Отображение / = (/1,...,/п): П — Мп принадлежит классу ^^(П) (^р11ос(П)), если все /i € ^р(П) (все /i € ^(О) для любой области О <1 П). Через О/(х), |£>/(ж)| и 7(ж, /) мы обозначаем матрицу Якоби ее операторную норму
8ир|^|=1 |О/(х)Л,| и якобиан det О/(х) соответственно.
Для (п х п)-матрицы М = (а^) через adj М мы обозначаем (п х п)-матрицу, транспонированную к матрице (А^), где А^ — алгебраическое дополнение элемента а
Введем проекцию : Мп — М"-1, которая то чке х = (х1,...,хп) ставит в соответствие точку Пj (х) = (х1,..., х^_1, ..., хп). Обозначим хj = Пj (х). Точку х € Мп будем записывать в виде х = (xj ). Говорят, что непрерывное отображение /: П — Мп принадлежит классу АСЬ(П), если для любого ] = 1,..., п отображение Xj — /(Xj, xj•) при почти всех Xj € Пj (П) абсолютно непрерывно на любом отрезке [а, Ь] таком, что Пj(П) х [а, Ь] С П.
Известно (см. [25, 26.4]), что если / € АСЬ(П), то / имеет почти всюду в П обычные частные производные, которые будут борелевскими функциями.
Отображение /: П — Мп принадлежит классу АСЬР(П), р ^ 1, если / € АСЬ(П) и все частные производные / принадлежат классу Ьрдос(П).
Предложение 1 [10, 1-1.2]. Отображение /: П — Мп принадлежит классу АСЬР(П) тогда и только тогда, когда / непрерывно и / € ^р11ос(П). При этом обобщенные и обычные частные производные совпадают почти всюду.
2.3. Этот пункт посвящен понятию модуля семейства кривых, которое мы обобщим нужным нам образом.
Кривая в пространстве Мп — это непрерывное отображение а: I — Мга, где I — промежуток в М (т. е. множество вида (а, 6), где каждая из угловых скобок может быть круглой или квадратной, а ^ Ь, а, Ь € М; допускаются также бесконечные промежутки). Кривая а называется замкнутой (открытой), если интервал I компактен (открыт). Обозначим |а| = а(1). Запись 7' С 7 будет означать, что кривая 7' есть сужение кривой 7 на подынтервал или точку.
Если a: I = [a, b] — Rn — замкнутая кривая, то ее длиной назовем величину
1(a) = sup£ |a(ti) - a(ti+i)|
i= 1
где точная верхняя грань берется по всем конечным разбиениям a = ti ^ ¿2 ^ • • • ^ ti ^ ti+i = b. Если кривая a не замкнута, то положим ее длину равной 1(a) = supl(a|j), где супремум берется по всем замкнутым подынтервалам J интервала I.
Кривая a: I — Rn называется спрямляемой, если 1(a) < то. Кривая называется локально спрямляемой, если каждая ее замкнутая подкривая спрямляема.
Рассмотрим замкнутую кривую a: [a, b] — Rn. Предположим, что она спрямляема. Определим функцию sa: [a, b] — R равенством sa(t) = l(a|)• Для спрямляемой кривой a существует единственная кривая a0: [0,l(a)] — Rn, полученная из a монотонно
возрастающей заменой параметра, такая, что sao(t) = t и a = a0 о sa [25, 2.4]. Кривая a0 a
Пусть Г — семейство кривых в Rn, n ^ 2. Борелевская фупкция р: Rn — [0, то] называется допустимой для Г, если
для каждой локально спрямляемой кривой 7 € Г. Совокупность всех допустимых функций обозначаем аёшГ. Для весовой функции ш: Rn — [0, то] и р € [1, то) определим ш-весовой семейства Г формулой
Свойства весовой функции мы будем оговаривать отдельно (как минимум, предполагается, что она локально суммируема и почти всюду ш > 0). При ш = 1 мы получаем обычное определение р модуля, и вместо шоёр Г будем писать шоёр Г Если аёшГ = 0
Г
задающая постоянное отображение), то полагаем шоёр Г = то.
Если Г — семейство кривых в области О и /: О — Rn — непрерывное отображение, то через /(Г) мы обозначаем семейство кривых / о 7, где 7 € Г.
Замечание 1. Как следует из определения модуля, кривые, которые не являются
Г
и Г1 — семейство таких 7 € Г, что 7 локально спрямляема, то шоё^ (Г) = шоё^ (Г1).
В связи с этим, допуская известную вольность, мы будем говорить, что семейство кривых, которые не являются локально спрямляемыми, имеет нулевой модуль.
Пусть а — спрямляемая замкнутая кривая в Rn. Отображение $: |а| — Rn называется абсолютно непрерывным, на а, если $ о а0 абсолютно пепрерывно на [0,1(а)].
В доказательстве модульных неравенств проводятся рассуждения, обосновывающие возможность параметризации кривой некоторым специальным образом. Впервые эти рассуждения были реализованы в [5, лемма 6], которая в дальнейшем получила название леммы Полецкого. Нам потребуется ее аналог. Прежде чем его сформулировать,
J pds ^ 1
mod" Г = inf
p€adm Г
3. Аналог леммы Полецкого
выясним содержание понятия абсолютной преднепрерывности, которое заключает в себе описание специального типа параметризации.
Предположим, что /: П — Мп — непрерывное открытое дискретное отображение. Пусть в: 1о — Мп — замкнутая спрямляемая кривая, и а: I — П — кривая такая, что / о а С в) т- е. I С 1о. Если функ ция вв: 1о — [0,1(в)] постоянна на некотором интервале 7 С I, то и отображение в постоянно на В свою очередь, ввиду дискретности / отображение а также постоянно на Следовательно, существует единственное отображение а*: вв(I) — П такое, что а = а* о ввЛегко видеть, что а* непрерывно и / о а* С в0- Кривая а* называется /-представителем кривой а (относительно в)> если
в = / о а в = / о а /
а а*
Приведем аналог леммы Полецкого.
Лемма 1. Пусть /: П — Мп — отображение с (0,1)-весовым ограниченным (р, д)-
п-1
искажением, п — 1<д^р<оо, а весовая функция ш(х) = в «-(«-1) (ж) локально суммируема. Предположим, что Г — семейство кривых в П такое, что для любой кривой 7 € Г выполнено следующее: кривая / о 7 локально спрямляема, и 7 имеет замкнутую подкривую а, на которой / не абсолютно преднепрерывно. Тогда modp' / (Г) = 0, где
& = гг р_(п_1)
В доказательстве этой леммы большое значение имеют свойства функции Полецкого,
/ : П — Мп иСП
N = и). На множестве V = /(и) определим отображение §и: V — Мп, называемое функцией Полецкого, равенством
V э у ди(у) = ^ Кх,/)х. (1)
^-1(у)пи
Необходимые нам свойства отображения (1) будут приведены в предложении 2, для формулировки которого нужно сделать следующее замечание. Поскольку отоб-/: П — П' = /(П)
но дифференцируемо почти всюду. Следовательно, существует борелевское множество £ С П, тп(£) = 0, вне которого / обладает ^-свойством Лузина. Обозначим: 2 = {х € П \ £: 7(х, /)= 0}. С точностью до множества меры нуль множество 2 можно считать борелевским. Кроме того, тп(2) = 0. Также можно считать, что Bf С 2 и £, так как О/(х) = 0 в точках х € Б^, где О/(х) существует.
Дополнение П \ £ можно разложить на счетную совокупность дизъюнктных измеримых множеств к € N таких, что и^к = П \ £ и отображение /: Fk — П' липшицево для всех к € N Каждое множе ство F¡ \ 2 пред ставимо в виде объединения счетного семейства дизъюнктных измеримых множеств F^¡m, т € N таких, что отображение /: F¡m — П' билипшицево для всех т € N. Согласно теореме Радемахера отображения / : Fkm — П' дифференцируемы почти всюду на области определения, а в силу теоремы Лебега о дифференцировании аддитивной функции множества Fkm можно считать состоящими только из точек плотности 1. Переобозначим семейство дизъюнктных множеств ^¡¡т} как {Ег}. Мы получим разложение
П = £ и 2 и У Ег, гем
в правой части которого все множества дизъюнктны. Ему соответствует разложение в образе:
О' = 2' и £' и У Ег', ген
где 2' = /(£), £' = /(2), Е' = /(Ег), причем шп(£') = 0 а 2' может иметь положительную шга-меру. Можно считать, что /(Bf) С 2' и £'.
Теперь мы готовы сформулировать свойства функции Полецкого. Предложение 2 [19, теорема 1]. Предположим, что непрерывное открытое и дискретное отображение /: О — Rn принадлежит классу ^?11ос(О) д > п — 1, 3(ж, /) ^ 0 почти всюду и / имеет конечное коискажение: аф О/ = 0 почти всюду на множестве 2 = {ж € 0: 3(ж, /) = 0}. Тогда 1) /
2) отображение ди, определенное равенством (1), непрерывно, принадлежит классу Соболева (V) и имеет конечное искажение, т. е. Оди (у) = 0 почти всюду на множестве нулей якобиана det Оди(у). Более того, /((£ и 2) П и) С {у € и: Оди(у) = 0}, в частности, /(Bf П и) С {у € и: Оди(у) = 0}.
Замечание 2. Отображение с (0,1)-весовым ограниченным (р, д)-искажепием в силу конечности искажения имеет конечное коискажение, и поэтому согласно п. 3 определения 1 и предложению 2 сохраняет ориентацию. Также нам потребуется следующее
Предложение 3 [20, следствие 4]. Пусть гомеоморфизм р: О — О' областей пространства Rn принадлежит классу Соболева ^?11ос(О) п — 1 ^ д ^ то, и имеет конечное коискажение: adj Ор = 0 почти всюду на множестве 2 = {ж € О: 3(ж, р) = 0}. Тогда обратный гомеоморфизм р-1 принадлежит классу Соболева ^^^(О') и имеет конечное искажение: Ор-1(у) = 0 почти всюду на множестве 2' = {у € О': 3(у, р-1) = 0}.
Для того чтобы доказать лемму 1, мы сначала устанавливаем следующие леммы 2 и 3.
Лемма 2. Пусть /: О — Rn — отображение с (0,1)-весовым ограниченным (р, д)-
п-1
искажением, п — 1 < д ^ р < оо, а весовая функция ш(х) = 0 «-(«-!) (ж) локально
ди
АС^'(У),гдер' = ¥^Г).
Перед тем как сформулировать лемму 3, фиксируем область О <1 О. Удалим из нее множество точек ветвления. Тогда для всякого ж € О\ В^ ^^^^^тся чиело г(ж) > 0 такое, что открытый шар В(ж,г(ж)) С О \ В^ и / ипъективно па В(ж,г(ж)). В силу теоремы Безиковича в семействе {В(ж,г(ж)): ж € О \ Bf} найдется счетный набор шаров {В,} таких, что
О \ Bf С и В,-, (ж) < С(п),
где последнее неравенство выполняется для любой точки ж € О \ В^^, а постояппая С (п) зависит только от размерности пространства.
Согласно предложению 3 обратные отображения Н, = (/|_в,)-1: /(В,) — В, принадлежат классу Соболева Т^К/(В,)) и имеют конечное искажение. Через А, обозначим борелевское множество точек у € /(В,), в которых определена матрица Якоби ОН,. Поскольку Н, € ТУ/ принадлежит классу Соболева, тп(/(В,) \ А,) = 0. Положив ОН,(у) = 0 в точках у € /(В,) \ А, получим борелевскую фупкцию |ОН, |: /(В,) — R. Определим борелевскую функцию р0 = 8ир,ен |ОН, |хf(в,)•
Положим
Вк = {ж € О: ¿(ж,/)= к}, к ^ 2.
Каждая точка ж € В к обладает нормальной окрестностью и С О. Покроем множество В^ такими нормальными окрестностями и^, г € Н, и обозначим через д^г отображения диЫ) определенные формулой (1). Через обозначим борелевское множество точек у € /(и^г), в которых определена матрица Якоби Од^. Поскольку отображение дь соболевское, ш„(/(Цъ) \ С^) = 0. Положив Од^(у) = 0 в точках у € /(и^) \ получим борелевские функции |Од^|: /(и^) — R. Определим борелевские функции = |Dgkг|xf(иы)- Введем также борелевское множество
^ = и (/(В,) \ А,) и и (/(Цк) \ С^).
ген
Легко видеть, что шга(Е) = 0.
Лемма 3 (ср. с [10, 11.7.2]). Пусть /: О — Rn — отображение с (0,1)-весовым огра-
п — 1
ниченным (р, д)-искажением, п — 1 < д ^ р < оо, а весовая функция со(х) = 0 «-С™-1) локально суммируема. Через Го обозначим семейство замкнутых кривых а в области О таких, что либо кривая / о а неспрямляема, либо / о а спрямляема и по крайней мере
одно из следующих условий неверно: 1) ^= 0;
2) ffоаРо ^ < оо;
3) если в — замкнутая подкривая кривой а и |в| С В,, то Н, абсолютно непрерывно на/ о в;
4) если в — замкнутая подкривая кривой а и |в| С и^, то д^ абсолютно непрерывно / о в;
5) если в _ замкнутая подкривая кривой а и |в| С то < то. Тогда тоёр/ /(Г0) = 0, где р' = р_{1_1у
4. Модульные неравенства
Сформулируем аналог неравенства Полецкого (ср. с [5, теорема 1]).
Теорема 1. Пусть /: О — Rn — отображение с (0,1)-весовым ограниченным (р, д)-
п-1
искажением, п — 1 < д ^ р < оо, а весовая функция ш(х) = 0 «-(«-1) (х) локально ГО
/(Г))1/р' < <>!(/Г)1^',
~ГТТ£* т/ - -^_ П^ - -2_
1Де Р — р_(га_1), У — д_(га_1)-
Неравенство Полецкого имеет обобщение, известное в литературе как неравенство Вяйсяля [6, 3.1]. Сформулируем его аналог.
Теорема 2. Пусть /: О — Rn — отображение с (0,1)-весовым ограниченным (р, д)-
п-1
искажением, п — 1 < д ^ р < оо, а весовая функция ш(х) = 0 «-(«-1) (ж) локально суммируема. Пусть Г — семейство кривых в О Г' — семейство кривых в Rra, и т — положительное целое число. Предположим, что выполняется следующее условие: для
каждой кривой в: I — Мп в Г' существуют кривые а1,..., ат в Г такие, что для всех х € Пи £ € I равенство а^- (£) = х справедливо не более чем для г(х, /) значений индекса ]. Тогда
где р' = д' = •
Из теоремы 2 выводим (ср. с [5, теорема 2])
Следствие 1. Пусть /: П — Мп — отображение с (0,1)-весовым ограниченным (р, д)-
п-1
искажением, п — 1 < д ^ р < оо, а весовая функция ш(х) = в «-(«-1) (ж) локально суммируема. Если О — нормальная область для /, Г' — семейство кривых в /(О) Г — семейство кривых а в О такое, что / о а € Г', то
(то^Г')1^' <
Литература
1. Ahlfors L. and Beurling A. Conformal invariants and function-theoretic null-sets I I Acta Math.—1950.— Vol. 8:5. 1>. К) I 129.
2. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta Math.—1957.—Vol. 98.—P. 171-219.
3. Shabat В. V. The modulus method in space // Dokl. Akad. Nauk SSSR—1960—Vol. 130—P. 12101213; English transl.: Soviet Math. Dokl. I960. Vol. l.-P. 165-168.
4. Reshetnyak Yu. G. Space Mappings with Bounded Distortion.^Providence (RI): American Math. Soc., 1989.—(Translation of Math. Monogr.; Vol. 73).
5. Poletskii E. A. The modulus method for nonhomeomorphic quasiconformal mappings I I Mat. Sb.— 1970,—Vol. 83 (125).—P. 261-272; English transl.: Math. USSR Sb.—1970.—Vol. 12.
6. Vaisaia J. Modulus and capacity inequalities for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I.—1972.—Vol. 509. P. 1-14.
7. Martio O., Rickman S. and Vaisaia J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sc. Fenn. Ser. A I.—1969.—Vol. 448.^P. 5-40.
8. Martio O. A capacity inequality for quasiregular mappings // Ann. Sc. Fenn. Ser. A I.—1970.— Vol. 171. P. 1-18.
9. Poletskii E. A. On the removal of singularities of quasiconformal mappings // Mat. Sb.^1973.^ Vol. 92 (134).—P. 242-256; English transl.: Math. USSR Sb.—1973.—Vol. 21.
10. Rickman S. Quasiregular Mappings.—Berlin a. o.: Springer-Verlag, 1993.
11. Heinonen J. and Koskela P. Quasiconformal maps in metric spaces with controlled geometry // Acta Math.—1998.—Vol. 181.-P. 1-41.
12. Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory.—N.Y.: Springer, 2009.
13. Troyanov M. and Vodop'yanov S. K. Liouville type theorems for mappings with bounded (^-distortion // Ann. Inst. Fourier.—2002.—Vol. 52, № 6.-P. 1753-1784.
14. Vodop'yanov S. K. and Ukhlov A. Mappings with bounded (P, Q)-distortion on Carnot groups // Bull. Sci. Math.—2010.—Vol. 134, № 6.-P. 605-634.
15. Koskela P. and Onninen J. Mappings of finite distortion: Capacity and modulus inequalities // J. Reine Angew. Math.—2006.—Vol. 599.^P. 1-26.
16. Salimov R. and Sevost'yanov E. The Poletskii and Vaisaia inequalities for the mappings with (p,q)-distortion // Complex Variables and Elliptic Equations: An International J.—2014.—Vol. 59, № 2.— P. 217-231.
17. Sevost'yanov E. About one modulus inequality of the Vaisaia type.^2013.^URL: http://arxiv.org/abs/ 1204.3810v4.^(Preprint).
18. Baykin A. N. and Vodop'yanov S. K. Capacity estimates, Liouville's theorem, and singularity removal for mappings with bounded (p,q)-distortion I I Siberian Math. J.—2015.—Vol. 56, № 2.—P. 237-261.
19. Vodop'yanov S. K. On the regularity of the Poletskii function under weak analytic assumptions on the given mapping // Dokl. Ross. Akad. Nauk.^2014.^Vol. 455, № 130-134; English transl.: Dokl. Math.-2014.-Vol. 89, № 2.-P. 157-161.
20. Vodop'yanov S. K. On regularity of mappings inverse to Sobolev mappings // Dokl. Ross. Akad. Nauk.—2008.—Vol. 423, № 5.-P. 592-596; English transl.: Dokl. Math.-2008.-Vol. 78, № 3.-P. 891895.
21. Vodop'yanov S. K., Mappings of finite distortion and Sobolev classes of functions // Dokl. Ross. Akad. Nauk.—2011.—Vol. 440, № 3.-P. 301-305; English transl.: Dokl. Math.-2011.-Vol. 84, № 2.-P. 640644.
22. Vodop'yanov S. K. Regularity of mappings inverse to Sobolev mappings // Sb.: Mathematics.—2012.— Vol. 203, № 10.-P. 1383-1410.
23. Ponomarev S. P. On the ^-property of homeomorphisms of the class Wp // Sibirsk. Mat. Zh.—1987.— Vol. 28, № 2.—P. 140-148.
24. Tryamkin M. V. Modulus inequalities for mappings with weighted bounded (p, q)-distortion // Siberian Math. J.-2015.-Vol. 56, № 6.-(To appear).
25. Vaisala J. Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings.—Berlin: Springer-Verlag, 1971.
Статья поступила 28 август,а 2015 г.
Трямкин Максим Владимирович
Новосибирский государственный университет,
ассистент кафедры высшей мат-ки физического факультета
РОССИЯ, 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2
E-mail: [email protected]
ESTIMATES OF MODULI OF CURVE FAMILIES FOR MAPPINGS WITH WEIGHTED BOUNDED (p, q)-DISTORTION
Tryamkin M. V.
We state the analogs of Poletskii's and Vaisala's inequalities for mappings with (6,1)-weighted bounded (p, q)-distortion without the additional assumption that the map pings enjoy Lusin's N-property.
Key words: mapping with weighted bounded (p, q)-distortion, modulus of a curve family, Poletskii's function.
