Особенности отображений с s-суммируемой характеристикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.Н. Малютина

ОСОБЕННОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ С s-СУММИРУЕМОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Приводятся условия устранимости особых точек отображений с s-суммируемой характеристикой

равным нулю на dU и единице на А. Хорошо известно [3], что равенство Cap(A,U) = 0 не зависит от U, и потому можно писать Cap A = 0.

Через Г* (A, I0) обозначим семейство кривых

Пусть /: и \ I ^ Я" - отображение с 5-суммиру-емой характеристикой [1], где и - область в Я",п = 3,4,..., I - замкнутое подмножество и. Точки х е I назовем особыми точками, а I - особым множеством отображения /

Для семейства Г кривых в Я" сферический модуль М р (Г) порядка р определяется [1] как нижняя

грань | ррёстх по всем таким неотрицательных бо-

Я"

релевским функциям р, что |р^ух > 1 для любой

кривой у є Г, где dстx = -

dx

d Y x =-

dx

(l + |x\2 ) 1 + 1 xl‘

Указанные функции p называются допустимыми для семейства Г. Пусть у: [0;l] ^ Rn - кривая в Rn . Дуга кривой у - это сужение отображения у на отрезок, содержащийся в [0; 1]. Если у* - кривая в f (U \ I), то, как и в [2], поднятием в U \ I называется такая кривая у в U \ I, что f ° у = у*. Частичным поднятием у* называем поднятие ее дуги. Два частичных поднятия существенно различны, если Л1 ( П у2) = 0 , где Ла (S) - хаусдорфова а -мерная мера множества S.

Пусть f: U \ I ^ Rn - отображение с s-суммиру-емой характеристикой и у е Rn. Рассмотрим спрямляемую кривую у* (t), t е [0; 1], для которой lim у* (t) = у. Если существует такая спрямляемая

у* (t) в f (U \ I), которые допускают такие асимптотические поднятия у (t), что у (0) е A , а

lim y(t) = x е I0, I0 с I.

t ^i

Теорема 1 (характеристическое свойство сферического модуля семейства асимптотических кривых).

Пусть f: U \ I ^ Rn - отображение с s-суммиру-емой характеристикой, U \ I связно,

A с U \ I, I0 с I, Г* (I0) - семейство асимптотических

кривых точек x є I0

Cap A > 0. Тогда

M ns (Г* (10 )) = 0 в том и только в том случае, когда

s+1

(Г*(A, I0 )) = 0, где s > 1.

Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Обозначим через Ir, r > 0, такую r-окрестность множества I, что Cap G > 0 , где G = A П (U \ I2r). Пусть функция р* допустима для

ns

Г* (A, I0 ), причем I pi dстх <є, є> 0, а =

s +1

По-

скольку Ма (Г*( А, I0 )) = 0, то число е можно выбрать произвольно сколь угодно малым. Определим на и\I функцию

р(х ) = Р.( / (х ))^/ (х),

где

^f (x) = |V/(x)|( + |x|2) + |y\2)

t^i

кривая у в U, что f ° y = y* и lim y(t) = x, где

t^i v 7

x edU, то кривая у* называется асимптотической для точки х, у - ее асимптотическим поднятием, а у -асимптотическим значением f в точке х.

Если I - особое множество отображения f I1 с I,

то семейство асимптотических кривых для I (I1) -это все асимптотические кривые для х e I (х e I1).

Число N (y,U \ I) равно числу прообразов у в U \ I с учетом кратности при отображении f, а N(U\I)= sup N(y,U\I) . yeR„

Пусть A с U - компактное подмножество и, как обычно, Cap(A,U) - нижняя грань ||Лф|" dV по

U

всем неотрицательным функциям ф класса W.П (U), ределения множества Ds

Легко доказать, что р допустима для семейства, состоящего из поднятий кривых из Г* (А, ^).

Обозначим через Ае множество точек х ед^ , для которых найдется кривая у , что / ° уе Г* (А, !0), дуга у' кривой у , соединяющая О с точкой х, лежит в

и\и |р^ух^-2. В силу допустимости р, для

у'

любой кривой у1, идущей из х е Ае в ^ , будем иметь \р^ >^ если /оУ1 е Г*(^) .

Пусть N = N| U \ Iy j и De = dIr \ Ає. В силу оп-

для любой кривой

и

R

A„ = uA„ и Dp = nDe = dIr \ A„

F &k P &k r r-

у е и \ ^, соединяющей О и Бе, имеем J рdух > -2.

У

Оценку для функции р дает неравенство

а-1 7-1

М (г (О, Бе))< 2"Ы~К7е', где е' = се~.

В самом деле, в силу определения сферического модуля, имеем

М(Г(О,Бе))< 2" {р*(/(х))-1dстх.

Я" т ( )

Применяя к правой части неравенство Гельдера с рядка а= 7+1 кривых из Г*(Io), допускающих

Имеем

М i Г f Dp, G,U \ I^ D = lim 2n N~KFe'k = 0.

/2 У у k ^0

Ада Л

Так как Ма

У Г МаГ (i), то модуль по-

V i=i У i=1

7 -1 г

показателями р =------ ид = а и учитывая, что / -

отображение с а -суммируемой характеристикой, получаем

М(Г(О,Бе))= М(/)К (/) ,

где

поднятия, которые пересекают Ap, не превосходит

p1 s . Действительно, в силу свойства 2 из [1], имеем

да

(Г (АР, I0 ) 2

а Kr1Е

k=1

М (f ) =

j Pi+1 (f (x))J ( f )dCTx

V Rn

< 2n

N (f) j p*s+1 (y)dCTу

s-1

s-1 s—1 < 2nN~e~

Ks (f) =

(x)

J (x, f)

s-1

J (x, f )d с

< K.

ns

ek =

s—1 Л

2k + n pN~Ks

s—1

Тогда последовательность

i s—1 Л-1

—2k + n pN s Ks c

V

сходится к нулю.

, k = 1,2,....

k = 1,2,...

Mr

да

( (p, 10 ) 2

а k aß

k=1

s

( s-1 Л s—1

2k+npN~Ks

(k+

= p1-sN 1 ^ 2 s-1

k=1

да а (k+n)s

Так как ряд ^ 2

s-1

является сходящимся

k=1

геометрическим рядом

-2ш да

2 s2-1 ^ 2 s-1

k=1

то

Mr

( (Ap, I0 ))

< ps 1 .

С другой стороны, модуль порядка а =--------- семейст-

7 +1

ва кривых из Г* (!0), для которых существуют поднятия, идущие из Ае в ^, ив силу допустимости функции р* , удовлетворяющие неравенствам

| МУх > 2 > 2 К-Р, в = -(V

у(а:,Io) 2 2 "(-1

можно оценить следующим образом:

Ма(Г(Ае,10 ))< | 2а К^аdстх < 2а К7-1е .

Я"

Возьмем теперь монотонно убывающую последовательность

Возьмем теперь множества D = U Dp

3=1

да

A = П Ap . Аналогично предыдущему

p=1

М (г (G, D)) = 0 иМ^ (г* (A, 10 )) = 0,

имеем

и, кроме то-

s+1

го, D U A = dIr.

Покажем теперь, что М (Г (D ) = 0, где Г (D) -семейство кривых, соединяющих точки

x е U \ VIy U D j с D . Так как М (Г (G, D) = 0 , то,

следуя [2. Т. 2], можно выбрать функцию ре Ln (Rn), для которой jpd у x =да по любой кривой

У

уеГ(G,D). Как и в [4], введем функцию re(x) = e-d1 (x,dUUGUD), где 0 <e<1, а d1 = min(d, 1), и определим pe (x) формулой

s

s

s-1

s

и

и

s

[ J p(x + rey)dCTy приy e BI0,1)

pe (X) = 1B(0,1)

[ 0 при x i U \ I.

Так как и в [4] можно показать, что Jp (x )d у x = ж

Y

для y е Г (G, D) и что pe (x) непрерывна Q = U \ ^Iy U G U D j . Пусть C - множество точек x 6 Q, для каждой из которых найдется такая кривая YeT(A,x), что Jpdyx <ж . Так как p локально ог-

Y

раничена, то C открыто, а М (Г (С, D) = 0, поскольку Jpdyx <ж по любой кривой y'еГ(С,D).

Y'

Пусть C Ф0. Покажем, что C замкнуто в Q. Если x edG, то возьмём шар B (x, r), где r1 < d(x, dQ). Пусть точка x' e C П B(x, r1). Существует такая кривая y e r(G, x'), что Jpdyx <ж. Соединим x и x' от-

Y

резком в l. Так как pe непрерывна, то она ограничена

в B (x, r1). Следовательно, Jpdyx <ж, и поэтому

i

J pdyx <ж. Значит x e C.

Y

Обозначим через Qi связную компоненту Q. Множество F = Q \ C тоже открыто и замкнуто. Поэтому Qi целиком лежит либо в F, либо в C. Если F = F П Qi = 0, то сферический модуль кривых r(Q,, D) = 0, Если F Ф 0, выберем шар B(x,25) с Fj. Тогда J pdyx = ж, где Yer (Fj, G, U \ Ir/2). Сущест-

Y

вует такая кривая, что Cap (G П Fj) > 0. Построим, как и раньше, функцию p, но D заменим на B(x, 25), e возьмём меньше 5, а re=ed1 (x,dUuIr/2 uG). Так как p непрерывна в шаре B(x, 25) и B(x, 25) с Fi, то p будет непрерывной в U \ (Ir/2 U G) и pe Ln (К" ) Кроме того, Jpdyx = ж для y er(G,B(x,5)).

Y

Пусть W - множество точек, которые нельзя соединить с B(x, 5) спрямляемой кривой, не пересекающей G. Множество W замкнуто в силу того, что если x i W, то найдется r > 0, такое, что, B(x',r)ПG = 0. Очевидно, G принадлежит W и

М(г(,B(x,5)) = 0. Если x'iW и YeT(x,W), то

x = ж, иначе можно соединить x' с B (x, 5)

Y

спрямляемой кривой y'. Из непрерывности p и, сле-

довательно, ее ограниченности на компакте y' получим Jpdyx <ж, что противоречит условию:

Y '

J pdyx = ж для y1 e Г (F, W), где y1 = Y ' + Y. Поэтому

Yi

модуль семейства кривых Г(, Ft \ W) = 0, т.е. CapW = 0. Отсюда получаем Cap A = 0 и F = 0. Видим, что, C = Q. Отсюда следует, что Jpd y x = ж для

Y

любых x e U \(Ir UD) и Yer(x,D), т.е.

m (r( D )) = 0.

Так как r можно выбрать произвольно, то рассмотрим последовательность rk = 1/к. Заметим, что любая

кривая y* e Г* (I0) имеет поднятия, начинающиеся в

U \ I при некотором к. Более того, в силу связности

U \ I, можно выбрать к настолько большим, что начало этой кривой попадает в связную компоненту U \ I , которая содержит часть множества А нулевой

емкости. Это поднятие пересекает A или D . В силу доказанных утверждений и теоремы 1[1], видим, что в

первом случае Ма(г*(A, I0)) = 0, а во втором M (Г(D)) = 0, а следовательно, Ма (г* (D, I0) = 0.

Отсюда следует Ма (Г* (10 )) = 0.

Лемма 1. Пусть а1 и а2 - две произвольные точки в области U, U0 с U - подобласть, содержащая эти точки. Тогда существует квазиизометрия f: U ^ U, обладающая свойствами f (а1) = а2, f (x) = x, если x e U \ U0.

Доказательство (см. лемму 1 [2]).

Теорема 2. Пусть F0, F1 с U связные, замкнутые относительно U множества, не вырождающиеся в точку. Тогда при n -1 <а< n выполнено неравенство

Ма ((Г (F), F1;U)))> 0.

Доказательство. Если F0 П F1 ^0, то модуль крив^1х семейства Г(F0, F1;U) бесконечен. Поэтому далее будем считать F0 П F1 =0 . Фиксируем точку а0 e F0 и рассмотрим шаровой слой

Dr г = {x: r <| x -а0 |< R}, лежащий в U, такой, что F0 П{x :| x-а2 |> R}^0. В шаре {x :| x-а0 |< r} возьмем точки а1, а1, а1 Ф а1, и пусть U0 с U - подобласть, содержащая а1 , но не содержащая а0 , и такая, что F1 имеет точки как внутри U0 , так и вне ее. Отметим произвольную точку а1 с F1 П U0 и в соответствии с леммой 1 рассмотрим квазиизометрию f: U ^ U, для которой f (а1 ) = а1 и f (x) = x, если x e U \ U 0.

при отображении f. Легко видеть, что F| U D1

R,r

^' 1ПОКг имеют связные компоненты, соединяющие

граничные сферы шарового слоя. Используя квазиинвариантность сферического модуля при квазиизомет-риях, имеем

Ма (г (; и)) > )Ма (Г ( , Fl'; и)) >

> 1 ма (г (( П (,^'П ^; и)) > с (п, а,Л,г) > 0,

поскольку

Capß(,Д;Dr,r) >b(n,ß)Rn-ß -rn-ß),

где n -1 <ß< n, Ai, A, с DR r - континуумы, соединяющие граничные сферы шарового слоя.

Лемма 2. Пусть F,, F2, F3 -непустые множества в

области U и Гу = Г(, Fj, U) , i, j = 1, 2, 3. Тогда для любого n -1 < а < n сферический модуль Ма (Г, 2 )> 3-а min {Mа (Г,3 ), Mа (Г23 ), inf Ма(Г(|т1з|,| Y 231, U ))}

где |y| = locus y .

Доказательство проводится подобно доказательству теоремы 3.11 [4]. Выберем функцию р, допустимую для семейства кривых Г12. Если неравенство

j Р dY x > Я

Y13

выполнено для любой спрямляемой кривой у13 еГ13 или если неравенство

y23

выполнено для любой спрямляемой кривой у23 е Г23, то либо 3рлГ13, либо 3рлГ23, откуда следует, что

j padax > 3-“ min{(Г13),Mß (Г23)}.

Rn

Если для некоторых спрямляемых кривых Y13 е Г13 и у23 е Г23 указанные неравенства не выполнены, то для любой спрямляемой кривой ßer(у131,|у23|, U) справедливо неравенство

jp dYx > Я

и, следовательно,

|Л„ райах > 3-аМа(г(|,|у231, и)).

Поскольку функция рлГ12 выбрана произвольно и верны либо первое, либо второе неравенства, то лемма доказана.

Лемма 3. Пусть F1, F2, F3 - множества в области и, содержащей в себе шаровой слой Вп (Ь)\Вп (Ь),0 < а <Ь <ж, причем F3 с Вп(а).

Пусть Ггу такая же, как в предыдущей лемме. Если

выполнено одно из следующих условий:

F с CBn (b) для i = 1,2;

и для F2 выполнено условие

d(Fi) > 2b для i = 1,2,

то для а > n -1 имеем

Ма (Г12 )> 3-а min {ма (Г13 ),Ма (Г23 ), ^ log (

где cn > 0 - константа, как в лемме 2 [6].

Доказательство следует из [1. T. 2] и леммы 2. Теорема 3. Пусть Ф = {F} - семейство связных, замкнутых относительно области U множеств F с U , таких, что inf d (F)> 0. Тогда верно неравенство

Т7 ' '

FeF

inf М „Г( A, F ;U )> 0

F6Ф ’

при n -1 < a < n либо имеет место для всякого невырожденного континуума A с U, либо не имеет места ни для какого из континуумов A с U.

Доказательство. Пусть A и A - произвольная пара невырожденных континуумов в U и выполнено, например, неравенство

Ма(г(A,F,U)) >5> 0 для любого F e Ф. Надо убедиться, что

inf Маг( A*, F ;U )> 0.

F6Ф а V /

Сначала предположим, что AП A* Ф0. Выберем r > 0 так, чтобы для любой точки a e A замкнутый шар Bn (a,2r) = {x: |x - a| < 2r} содержался в U, и

вы-

полнялось

0 < 4r < min {inf d(F),|A, A

I 17,-rfS ' '

VFeO

где |a, A*| - расстояние между A и A . Пусть A\, A2,

..., Ap - конечное покрытие континуума A замкнутыми шарами радиусом г и с центрами в точках а. е A..

Обозначим через 5. = Ma (Г(Д-, A*,U)). По теореме 2, 5. >0, i = 1,...,p. Выберем произвольно F еФ, имеем

( p А

0 <5<Ma(r(A,F;U))<SMa rQA.,F;U

V i=1 <£m a (r (A., F ;U )), i=1

значит при некотором i выполнено

M a(r(4, F ;U ))>).

Фиксируем это i. Покажем, что выполнено неравенство

мa (,F,U,)) > 3-a minj-p,5!,...,5p,cn log2|, каково бы ни было F е Ф, где cn > 0, как в лемме 3.

В самом деле, поскольку A* П Bn (ai ,2r) = 0 и d(F) > 4r, то, применяя лемму 3 с

F = A*, F2 = F, F3 = Д, имеем

Ма (r(R*,F;U)) > 3-а min jp,P;en log2^.

Пусть A n A*^0 . Если U \(A u A* )Ф0 и, следовательно, содержит континуум A, то можно предыдущие рассуждения применить вначале к A,A' и

затем к A и A”. Если U \(A u A” ) = 0 , то можно, полагая A Ф Rn Ф A*, выбрать A1 и A* так, чтобы множества A n A1, A1 n A*, A-* n A* были пусты, и применить предыдущие рассуждения к парам A,A1; A1,A* и A*,A”. Это и завершает доказательство теоремы.

Теорема 4. Пусть f: U \ I ^ Rn - отображение с s-ограниченной характеристикой, где I - замкнутое подмножество в U, dim I < n - 2 и Г* - семейство асимптотических кривых для точек x е I. Если

ns

Ма (7*) = 0, а =

s +1

s > n -1

и Cap(Rn \ f (U \ I)) > 0,

то f продолжается непрерывно на U.

Доказательство. Предположим, что это не так. Пусть x e I и последовательности xt ^ x, x' ^ x, а

q (f (xt), f (x’)) > a > 0, где q(x, y) - сферическое расстояние. В силу условия dim I < n - 2, существует кривая Yi er(xi, x'), причем d(уг-) < 2d(x;, x' ). Обозначим через F множество Rn \ f (U \ I). Из теоремы 3 имеем Ма(г( F, у* ))>§> 0. С другой стороны, поднятие у кривой у* 6г(F,уг*) выходит либо на dU,

либо на I. Во втором случае кривая у* er*, и сферический модуль порядка а таких кривых - нуль, а модуль кривых, которые выходят на dU, как следует из теоремы 1 [1], стремится к нулю. Таким образом, мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Подобный результат был получен в [5] при условии CapI = 0 вместо М ns (Г*) = 0 [5 - 8]. И для ото-

s+1

бражений с ограниченным в среднем искажением в [9]. Если Cap I = 0, то из теоремы 1 [1] следует, что

сферический модуль Mns (Г* ) = 0 . Однако первый и

s+1

четвертый примеры в [1, 2] показывают, что обратное неверно. В этих примерах Cap I > 0, так как

Ла (I) > 0 при некотором а > 0, а М ns (Г* ) = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Малютина А.Н., Баталова Н.Н., Кривошеева И.И. Об отображениях с ограниченным в среднем искажением // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск: Изд-во. Том. ун-та, 2001.

2. Полецкий Е.А. О стирании особенностей квазиконформных отображений // Мат. сб. 1973. Т. 92(134). № 2(10). С. 242-256.

3. РешетнякЮ.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением // Сиб. мат. журн. 1967. Т. 8. № 3. С. 629-658.

4. Асеев В.В. Об одном свойстве модуля // ДАН СССР. 1971. Т. 200. № 3. С. 513-514.

5. Martio O., Riekman S., Vaisala З.М. Distortion and singularitits of quasiregular mappings // Ann. Acad. Fenn. 1971. 465 p.

6. Vaisala J. Revovable sets for quasiconformal mappings // J. Math. and Mech. 1969. V.19. No. 1. P. 49-51.

7. Миклюков И. Об устранимых особенностях квазиконформных отображений в пространстве // ДАН СССР. 1969. Т. 188. № 3. С. 525-527.

8. Шабат В. К теории квазиконформных отображений в пространстве // ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 5. С. 1045-1048.

9. Малютина А.Н., Романова Е.Н. О некоторых свойствах отображений с ограниченным в среднем искажением // Вестник ТГУ. Сер. Математика, кибернетика, информатика. 2000. № 269. С. 56-59.

Статья представлена кафедрой теории функций и лабораторией математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 30 апреля 2003 г.