CC BY
1МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 517.53
ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ ДЖРБАШЯНА ОТНОСИТЕЛЬНО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Е.Г. Родикова, К.В. Кислакова
ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»
В работе установлены условия, при которых весовые классы М. Джрбашяна инвариантны относительно интегро-дифференциальных операторов.
Ключевые слова: а-характеристика Джрбашяна, Ьр - пространства, оператор дифференцирования, оператор интегрирования, аналитические функции, единичный круг.
Пусть С - комплексная плоскость, D - единичный круг на С, Н(ф) - множество всех функций, аналитических в ф. Обозначим через Т(г,/) характеристику Р. Неванлинны функции [ £ Н(й), а через Та(г,[) - «-характеристику М.М. Джрбашяна:
п
Т(г,/) = 1 |1п+\/(геш)\йв,
1п+|а| = тах(0,1п|а|),а £ С,
г-(а+1)
2п~-~Г(а + 1)
-п
т"(г,Г) = 2пГТга + 1) ¡(¡(г-Оаы\г^)\аЛ й<р,а>-2,
-п \0
где Г -функция Эйлера.
Пусть Пр(г, гк) - бесконечное произведение М.М. Джрбашяна с нулями (см. [7,
с. 197])
Отметим, что а - характеристика была введена М.М. Джрбашяном в 1964 г. при обобщении им теории Р. Неванлинны, краеугольным камнем которой является понятие характеристической функции, Т-1(г,/) = Т(г,/) [1].
Обозначим П- множество всех измеримых положительных функций на Д= (0,1], для которых существуют числа тш, qш из Д, Мш, такие что (см. [7, с.7])
ы(1г) ш(г)
1
тш<^<Мш,г£Д,Л£[Чш,1],
1п -
Л •
1П1 Чш
с Р
Простейшими примерами таких функций могут служить шЮ = ^(1п... 1п-) , г £ Д,у > -1,0 £ Е.
Пусть ш £ П,0 <р < а > -1,Р > -1. Введем в рассмотрение следующие классы функций:
1
Ка = {Г £ №): | ш(1-г)Т*(г,/)аг <
+
>
Sl,p = \f Е H(D):j(1-r)Pv(1-r)TP(r,f)dr < +ж V о
Впервые классы были введены и исследованы Ф.А. Шамояном в 1999 г. в работе [6] как обобщение хорошо известных в научной литературе классов Неванлинны-Джрбашяна Si,a [2]. Классы здесь введены в качестве «телесных» аналогов классов Ф.А. Шамояна. Классы при w(t) = tr,y > -1, были введены исследованы в работе автора [3].
В работе исследуется инвариантность классов Джрбашяна с весом относительно операторов дифференцирования D(f) = f(z) и интегрирования 1(f) = f^ f(t)dt .
Справедливы
Теорема 1. Для того, чтобы производная произвольной функции f Е N^,a принадлежала этому же классу, т.е. класс a был инвариантен относительно оператора дифференцирования D(f), необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл
fllnP ¿ГШ(1 - r)(1 - r)(a+1)pdr < +ж. (1)
Теорема 2. Пусть 0 <р < +ж,ш ЕП,а> -1,N(r,f) = f™^'^ dt Е Ьр(ш), n(r) — число нулей функции f Е Np а в круге Izl < г < 1. Если сходится интеграл (1), то F = f*f(t)dt Е Np,a.
Обратно, если первообразная произвольной функции f Е принадлежит этому же классу, т.е. РЕ , то интеграл (1) сходится.
Доказательство основывается на результатах работ [4], [8] (см. также [9]).
Список литературы
1. Джрбашян М.М. О параметрическом представлении некоторых классов мероморфных функций в единичном круге // Докл. АН СССР. - 1964. - Т.157. - С.1024-1027.
2. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. - М.-Л.:ГИТТЛ, 1941. - 388 с.
3. Родикова Е.Г. Факторизационное представление и описание корневых множеств одного класса аналитических в круге функций // Сибирские электронные математические известия. - 2014. - Т. 11. - С. 52-63.
4. Родикова Е.Г., Кислакова К.В. Об эквивалентности некоторых классов аналитических функций // Ученые записки Брянского гос. ун-та. - 2023. - № 4. - С. 10-12.
5. Родикова Е.Г., Кислакова К.В. О дифференцировании в классах типа М. Джрбашяна // Материалы Воронежской зимней матем. школы, посвященной памяти В.П. Маслова. -Воронеж: ВГУ, 2024. - С. 211-213.
6. Шамоян Ф.А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций // Сиб. мат. журн. - 1999. - Т. 40. - №6. -С. 1422-1440.
7. Шамоян Ф.А. Весовые пространства аналитических функций со смешанной нормой - Брянск: РИО БГУ, 2014. - 250 с.
8. Шамоян Ф.А., Курсина И.С. Об инвариантности весовых классов функций относительно интегро-дифференциальных операторов // Зап. научн. семин. ПОМИ. - 1998. -Т.25. - №5. - С.184-197.
9. Rodikova E.G., Shamoyan F.A. On the differentiation in the Privalov classes // Журн. СФУ Сер. Матем. и физ. - 2020. - Т. 13. - №5 -С. 622-630.
>
Сведения об авторах
Родикова Евгения Геннадьевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].
Кислакова Ксения Васильевна - аспирант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].
ON THE INVARIANCE OF THE DZHRBASHYAN WEIGHT CLASSES WITH RESPECT TO INTEGRO-DIFFERENTIAL OPERATORS
E.G. Rodikova, K.V. Kislakova
Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky
The work establishes conditions under which the weight classes of M. Djrbashyan are invariant with respect to integro-differential operators.
Keywords: the Nevanlinna characteristic, a-characteristic of Djrbashyan, LP- spaces, analytic functions, differentiation operator, integration operator, unit circle.
References
1. Djrbashyan M.M. On the parametric representation of some classes of meromorphic functions in the unit disk // Dokl. Academy of Sciences of the USSR. - 1964. - V.157. - P. 10241027.
2. Nevanlinna R. Eindeutige analytische Funktionen, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1953.
3. Rodikova E.G. Factorization representation and description of zerosets for the class of functions analytic in a disk // Sib. El. Math. Rev. - 2014. - V. 11. - P. 52-63.
4. Rodikova E.G., Kislakova K.V. On the equivalence of certain classes of analytic functions // Scientific Notes O Bryansk State Univ. - 2023. - № 4. - P. 10-12.
5. Rodikova E.G., Kislakova K.V. On differentiation in classes of M. Djrbashyan type // Proceedings of Voronezh winter math. school. - Voronezh, 2024. - P. 211-213.
6. Shamoyan F.A. Parametric representation and description of the root sets of weighted classes of functions holomorphic in the disk // Siberian Math. J. - 1999. - 40:6. - P. 1211-1229.
7. Shamoyan F.A. Weighted spaces of analytic functions with mixed norm. - Bryansk: Bryansk St. Univ., 2014. - 250 p.
8. Shamoyan F.A., Kursina I.S. On the invariance of some classes of holomorphic functions under integral and differential operators // J. Math. Sci. - 2001. - V. 107. - №4. - Р. 4097-4107.
9. Rodikova E.G., Shamoyan F.A. On the differentiation in the Privalov classes // Journal of Siberian Fed. Univ. Mathem. and mech. - 2020. - V. 13. - №5. - P. 622-630.
About authors
Rodikova E.G. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate professor of the Department of Mathematical analysis, algebra and geometry, Bryansk State University named after acad. I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
Kislakova K.V. - Postgraduate Student of the Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
