ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Е.Г. Родикова, К.В. Кислакова

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени акад. И.Г. Петровского»

В работе установлена эквивалентность классов аналитических в круге функций с характеристикой Р. Неванлинны из весовых Ьр - пространств и классов аналитических в круге функций с а-характеристикой из Ьр - пространств с весом.

Ключевые слова: характеристика Р. Неванлинны, а-характеристика Джрбашяна, 1Р -пространства, аналитические функции, единичный круг.

Пусть С - комплексная плоскость, D - единичный круг на С, Н(ф) - множество всех функций, аналитических в Обозначим через Т(г,/) характеристику Р. Неванлинны функции [ Е Н(й), а через Та(г,Р) - «-характеристику М.М. Джрбашяна:

п

иг,О = ^ |1п+\/(ге1в)\йв,

-п

1п+|а| = тах(0,1п|а|),а Е С,

Та(г,Г) = 1) Ц1(г-г)аЫ\Г(ге^)\с1Л йр,а>-2,

г-(а+1)

2п~Т(«Т1)

-п \0

где Г -функция Эйлера.

Пусть Пр(г, гк) - бесконечное произведение М.М. Джрбашяна с нулями (см. [5,

с. 197])

Отметим, что а - характеристика была введена М.М. Джрбашяном в 1964 г. при обобщении им теории Р. Неванлинны, краеугольным камнем которой является понятие характеристической функции, Т-1(г,/) = Т(г,/) [1].

Обозначим П- множество всех измеримых положительных функций на Д= (0,1], для которых существуют числа тш, qш из Д, Мш, такие что (см. [5, с.7])

ы(1г) ш(г)

1

т- < <М-,гЕ Д,Х Е 1],

1п ■

q-

с Р

Простейшими примерами таких функций могут служить ш^) = *;у(1п... 1п-) , г Е Д,у > -1,0 ЕЕ.

Пусть ш Е П,0 <р < а > -1,0 > -1. Введем в рассмотрение следующие классы функций:

Ыр =

f Е Н(Э): I ш(1 - г)ТР(г,[)йг < БРр = \f Е Н(И):1 (1-г)Рш(1-г)Тр(г,рйг <

а- =

1

>

Впервые классы были введены и исследованы Ф.А. Шамояном в 1999 г. в работе [4] как обобщение хорошо известных в научной литературе классов Неванлинны-Джрбашяна [2]. Классы здесь введены в качестве «телесных» аналогов классов Ф.А. Шамояна. Классы при = у > -1, были введены исследованы в работе автора [3].

Как было установлено в работе Ф.А. Шамояна, классы аналитических в круге функций с ограниченной а-характеристикой являются более широкими по сравнению с классами Неванлинны-Джрбашяна. В работе [7] была доказана эквивалентность классов и (а+1)р при всех = ^,у > -1, 0 < р < +<ж,а > -1. Естественно возникает вопрос об

эквивалентности этих классов при всех йёА. Справедлива

Теорема 1. Классы а и (а+1)р совпадают при всех 0 < р < а£П,а>-1.

Доказательство основного результата опирается на следующие утверждения: Теорема 2 (см. [7]). Пусть 0 < р < ш £А,а>-1. Справедливо следующее вложение: 5^(а+1)р с

Теорема 3. Пусть 0 < р < йЁЙ,а>-1. Если {г^}™ - последовательность нулей функции из класса а , то сходится интеграл

¡1 па (г)^(1 - г)йг < (1)

Обратно, если интеграл (1) сходится, то произведение М.М. Джрбашяна Пр(г,гк)

а^+1

принадлежит классу при всех р > а + —+ 1.

Список литературы

1. Джрбашян М.М. О параметрическом представлении некоторых классов мероморфных функций в единичном круге // Докл. АН СССР. - 1964. - Т.157. - С.1024-1027.

2. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции- М.-Л.:ГИТТЛ, 1941. - 388 с.

3. Родикова Е.Г. Факторизационное представление и описание корневых множеств одного класса аналитических в круге функций // Сибирские электронные математические известия. - 2014. - Т. 11. - С. 52-63.

4. Шамоян Ф.А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций // Сиб. мат. журн. - 1999. - Т. 40. - №6. - С. 1422 - 1440.

5. Шамоян Ф.А. Весовые пространства аналитических функций со смешанной нормой - Брянск: РИО БГУ, 2014. - 250 с.

6. Шамоян Ф.А., Курсина И.С. Об инвариантности весовых классов функций относительно интегро-дифференциальных операторов // Зап. научн. семин. ПОМИ. - 1998. -Т.25. - №5. - С.184-197.

7. Шамоян Ф.А., Беднаж В.А., Карбанович О.В. О классах аналитических в круге функций с характеристикой Р. Неванлинны и а - характеристикой из весовых LP - пространств // Сибирские электронные математические известия. - 2015. - Т. 12. - С. 150-167.

Сведения об авторах

Родикова Евгения Геннадьевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].

Кислакова Ксения Васильевна - аспирант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].

ON THE EQUIVALENCE OF SOME CLASSES OF ANALYTICAL FUNCTIONS

E.G. Rodikova, K.V. Kislakova

Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky

The paper establishes the equivalence of classes of functions analytic in a disk with the Nevanlinna characteristic from weighted Lp - spaces and classes of functions analytic in a disk with a-characteristic from Lp- spaces with weight.

Keywords: the Nevanlinna characteristic, a-characteristic of Djrbashyan, Lp- spaces, analytic functions, unit circle.

References

1. Djrbashyan M.M. On the parametric representation of some classes of meromorphic functions in the unit disk // Dokl. Academy of Sciences of the USSR. - 1964. - T.157. - P. 10241027.

2. Nevanlinna R. Eindeutige analytische Funktionen, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1953.

3. Rodikova E.G. Factorization representation and description of zerosets for the class of functions analytic in a disk // Sib. El. Math. Rev. - 2014. - V. 11. - P. 52-63.

4. Shamoyan F.A. Parametric representation and description of the root sets of weighted classes of functions holomorphic in the disk // Siberian Math. J. - 1999. - 40:6. - P. 1211-1229.

5. Shamoyan F.A. Weighted spaces of analytic functions with mixed norm. - Bryansk: Bryansk St. Univ., 2014. - 250 p.

6. Shamoyan F.A., Kursina I.S. On the invariance of some classes of holomorphic functions under integral and differential operators // Zap. nauchn. semin. POMI. - 1998. - T.25. -№5. - P.184-197.

7. Shamoyan F.A., Bednazh V.A., Karbanovich O.V. On classes of functions analytic in the disk with characteristic R. Nevanlinna and a - characteristic from weighted Lp-spaces // Sib. El. Math. Rev. - 2015. - V. 12. - P. 150-167.

About author

Rodikova E.G. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate professor of the Department of Mathematical analysis, algebra and geometry, Bryansk State University named after acad. I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].

Kislakova K.V. - Postgraduate Student of the Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].