Научная статья на тему 'ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕУПРУГИХ ЗАКРЕПЛЕННИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ'

ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕУПРУГИХ ЗАКРЕПЛЕННИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

CC BY
34
6
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕУПРУГИЕ ЗАКРЕПЛЕНИЯ / КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ / СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ / ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА / INELASTIC FIXINGS / OSCILLATIONS OF RECTANGULAR PLATE / NATURAL FREQUENCIES / INVERSE PROBLEM

Аннотация научной статьи по наукам о Земле и смежным экологическим наукам, автор научной работы — Ахтямов А. М., Пардаев Дж А.

Рассматривается прямоугольная пластина, закрепленная на двух противоположных краях шарнирно. Восстанавливаются виды и параметры закрепления пластины на двух других краях. Показано, что один из 16 неупругих видов закреплений пластины на двух других краях: (заделка) - (заделка), (заделка) - (свободное опирание), (заделка) - (плавающая заделка), (заделка) - (свободный конец), (свободное опирание) - (заделка), (свободное опирание) - (свободное опирание), (свободное опирание) - (плавающая заделка), (свободное опирание) - (свободный конец), (плавающая заделка) - (заделка), (плавающая заделка) - (свободное опирание), (плавающая заделка) - (плавающая заделка), (плавающая заделка) - (свободный конец), (свободный конец) - (заделка), (свободный конец) - (свободное опирание), (свободный конец) - (плавающая заделка), (свободный конец) - (свободный конец) определяется с точностью до перестановки закреплений на этих краях однозначно по одной собственной частоте. Случай прямоугольной пластины отличается от случая трубопровода, где для определения одного из 16 неупругих видов закреплений трубопровода с точностью до перестановок закреплений на его концах помимо одной собственной частоты нужна еще и информация о том, является ли нулевое значение собственным. Для определения одного из 16 неупругих видов закреплений прямоугольной пластины (с точностью до перестановок закреплений на двух противоположных краях местами) информация о том, является ли нулевое значение собственным является лишней.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ON IDENTIFICATION OF NONELASTIC FASTENINGS OF RECTANGULAR PLATE

Earlier it was shown that eight unknown coefficients of elastic fixings for one of the types of canonical marginal densities were restored to inner permutation of fastening at opposite ends uniquely by eight eigenfrequencies. It was also shown that different types and parameters of fastening could be restored at nine natural frequencies. A rectangular plate is considered, which is fixed on two opposite edges of the hinge. The types and parameters of fixing the plate on the other two edges are restored. It is shown that one of the 16 inelastic types of plate anchors at the other two edges (clamping - clamping, clamping - free support, clamping - floating fixing, clamping - free edge, free support - clamping, free support - free support, free support - floating fixing, free support - free edge, floating fixing - clamping, floating fixing - free support, floating fixing - floating fixing, floating fixing - free edge, free edge - clamping, free edge - free support, free edge - floating fixing, free edge - free edge) is determined precisely up to a permutation of fastenings on these parts and determined uniquely by its own frequency. The case of a rectangular plate is different from the case of a pipeline, where, in order to determine one of the 16 inelastic types of pipeline anchorages (up to permutations of the anchors at its ends), besides one natural frequency, information is also needed on whether the zero value is proper. For determination of one of the 16 inelastic types of fastenings of a rectangular plate (up to swapping the fastenings on two opposite edges), information on whether a zero value is proper is superfluous.

Текст научной работы на тему «ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕУПРУГИХ ЗАКРЕПЛЕННИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ»

УДК 517.984

ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕУПРУГИХ ЗАКРЕПЛЕННИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ

© А. М. Ахтямов1'2*, Дж. А. Пардаев3

1 Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32;

2Институт механики им. Р. Р. Мавлютова УФИЦ РАН Россия, Республика Башкортостан, 450054 г. Уфа, пр. Октября, 71.

3Джизакский государственный педагогический институт Узбекистан, 130100 г. Джизак, ул. Рашидова, 4.

*Етай: akhtyamovam@mail.ru

Рассматривается прямоугольная пластина, закрепленная на двух противоположных краях шарнирно. Восстанавливаются виды и параметры закрепления пластины на двух других краях. Показано, что один из 16 неупругих видов закреплений пластины на двух других краях: (заделка) — (заделка), (заделка) — (свободное опирание), (заделка) — (плавающая заделка), (заделка) — (свободный конец), (свободное опирание) — (заделка), (свободное опирание) — (свободное опирание), (свободное опирание) — (плавающая заделка), (свободное опирание) — (свободный конец), (плавающая заделка) — (заделка), (плавающая заделка) — (свободное опирание), (плавающая заделка) — (плавающая заделка), (плавающая заделка) — (свободный конец), (свободный конец) — (заделка), (свободный конец) — (свободное опирание), (свободный конец) — (плавающая заделка), (свободный конец) — (свободный конец) определяется с точностью до перестановки закреплений на этих краях однозначно по одной собственной частоте. Случай прямоугольной пластины отличается от случая трубопровода, где для определения одного из 16 неупругих видов закреплений трубопровода с точностью до перестановок закреплений на его концах помимо одной собственной частоты нужна еще и информация о том, является ли нулевое значение собственным. Для определения одного из 16 неупругих видов закреплений прямоугольной пластины (с точностью до перестановок закреплений на двух противоположных краях местами) информация о том, является ли нулевое значение собственным является лишней.

Ключевые слова: неупругие закрепления, колебания прямоугольной пластины, собственные частоты, обратная задача.

Первые систематические исследования по работе [2] было показано, что разлиные виды и

идентификации краевых условий начались в 90-х гг. параметры закреплений могут быть восстановлены

XX в. в работах З. Б. Оганисяна (см., например, [1—3]). по девяти собственным частотам. В частности, в

З. Б. Оганесяном исследовались несколько задач работе было показано, что краевые условия

идентификации условий закрепления распределенных механических систем: задача идентификации краевых условий круговой пластины О (а) = О (а) - ро (Ь) = 0 [1], задача идентификации краевых условий прямоугольной пластины [2], задача идентификации краевых условий на обоих концах стерж-

прямоугольная пластина закрепленная на двух

ня [3]. В них восстанавливались канонические

О (0) = 0,0' (0) - аО' (0) = 0,

восствнавливаются по двум собственным частотам. В настоящей работе рассматривается

краевые условия. В [4—22] изучалась идентификация краевых условий и условий сопряжения.

противоположных краях шарнирно. Показано, что 16 неупругих видов закреплений пластины на двух

Задачи, в которых неизвестны все их коэффиценты, других краях восстанавливаются с точностью до

впервые начали изучаться в работах [4-7] и перестановки закреплений на этих краях одно-

сводятся к идентификации (с точностью до значно по одной собственной частоте.

линейных пре°браз°ваниий стр°к) матрицы из Если толщина h однородной пластины

коэффициентов краевых условий по ее минорам. постоянна (цилиндрическая жесткость D = canst), Настоящая работа посвящена идентификации

то уравнение свободных колебаний прямоугольной пластины имеет следующий вид (см., например, [23-24]):

неупругих видов закреплений прямоугольной пластины на двух противоположных сторонах. Ранее было показано, что 8 неизвестных коэффициентов упругих закреплений для одного из ^. . , д2 w „

„ DAAw + ph—— = 0.

видов канонических краевых усоловий восста- г дt

навливаются с точностью до перестановки закреплений на противоположных концах однозначно по восьми собственным частотам. А в пртодот к уравнению

Подстановка w = ф ( x1 , х2 ) cos (at - X)

ISSN 1998-4812

Вестник Башкирского университета. 2019. Т. 24. №2

291

ЛЛ^ + ркюф = 0

Если на двух противоположных сторонах пластины реализуются условия свободного опирания

д2

Ф = —^ = 0 при х2 = 0.Ь,

L3O т =

O m ( Xi)-V (-)2O m (Xi) b

1 =0

L4Om ~

0 m (xj) - (2-v )2om (*i) b

и =0

dt

то формы колебаний следующими функциями:

, , л , . . тпх2 Р( Хь х2 ) = От (х1^т - .

Ь

т = 1,2,...,

где Фт (х1) удовлетворяют уравнению

описываются

L5Öт = (^)4 [Öт (X! )1 ,

6öm = {(m- )2 ö' m (*)]

m ~ ' Jx. =a

L7O m =

omv (xi) -

n 2 2 2m n

Ol (XX) -V(-П)2Om (X ) b

Om (xi) +

4 4

Ж П -+ ( T4--Ym)Om (x1) = 0

(1)

L*0 m =

0M(xj -(2-v)20M Ы b

ь

с неупругими видами закреплений

4

X а ЦО т (х1),

1=1

8

при Х1 = 0 и ^ Ъу цдт (Х1),

1=5

при х1 = а, (2)

2

а матрицы ь и ¿1 имеют следующий вид:

10 0 0 0 10 0

где Ym

pha D

1) Заделка

2) свободное опирание

3) свободный край

4) плавающая заделка

L1Фm = (b)4 [фт (x ,

10 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 10 0 0 0 1 0 10 0

^m = (^)2 [ö'm (^

x1 =0

Таблица 1

№ Вид закрепления Первая собственная частота уп Вторая собственная частота ^ 12

1 Заделка - заделка 526.14 3896.60

2 Заделка - свободное опирание 261.71 2583.3

3 Заделка - свободный край 18.873 538.44

4 Заделка - плавающая заделка 38.408 964.04

5 Свободное опирание - заделка 261.71 2583.3

6 Свободное опирание - свободное опирание 118.15 1638.5

7 Свободное опирание - свободный край 282.60 2620.9

8 Свободное опирание - плавающая заделка 12.023 538.55

9 Свободный край - заделка 18.873 538.44

10 Свободный край - свободное опирание 282.60 2620.9

11 Свободный край - свободный край 16.965 575.73

12 Свободный край - плавающая заделка 50.802 993.33

13 Плавающая заделка - заделка 38.408 964.04

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

14 Плавающая заделка - свободное опирание 12.023 538.55

15 Плавающая заделка - свободный край 50.802 993.33

16 Плавающая заделка - плавающая заделка 1.0000 118.15

L

x =a

x =a

Фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют следующие функции

у(х) = С0^1И). У2(х) = sin(YlИ ). Уз (х) = ск(Г2м )• У4 (х) = ^2» )•

(3)

Собственными значениями задачи являются корни характеристических определителей:

A (Y m ) =

Li Y i L j Yl Lk Yl Li Yl

Li Y 2 L j Y 2 Lk Y 2 L1Y 2

где i = 1.4, j = 2.3, k = 5.8, l = 6.7. Подстановка решений (3) в

тические определители (4) при v =

Li Y3 L j Y3 Lk Y3 Li Y3

Li Y 4 L j Y 4 Lk Y 4 L1Y 4

(4)

характерис-1

3

b = n,

a = 1 и решение уравнений À(/1k ) = 0 приводит к

следующему результату, который представлен в виде табл. 1.

Как видим из табл. 1, по одной собственной частоте можно идентифицировать любой вид неупругого с точностью до перестановок закреплений местами.

Случай прямоугольной пластины отличается от случая трубопровода [25], где для определения одного из 16 неупругих видов закреплений трубопровода с точностью до перестановок закреплений на его концах достаточно одной собственной частоты и информации о том, является ли нулевое значение собственным. Для определения одного из 16 неупругих видов закреплений прямоугольной пластины информация о том, является ли нулевое значение собственным является лишней.

Работа выполнена при поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №18-51-06002-As_a, 18-01-00250-a, 17-41-020230-р_a, 17-41-020195-р_а).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гнуни В. Ц., Оганисян З. Б. Определение граничных условий круглой кольцевой пластинки по заданным частотам собственных колебаний. Известия НАН РА. Сер. «Механика». Т. 44. 1991. №5. С. 9-16.

2. Оганисян З. Б. Об одной задаче восстановления граничных условий на краях пластинки при заданном спектре частот собственных поперечных колебаний // Ученые записки ЕГУ. 1991. №1. С. 45-50.

3. Оганисян З. Б. Об одной задаче восстановления граничных условий на концах стержня при заданном спектре частот собственных поперечных колебаний. «Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем» (научные труды конференции). Ереван. 1997. С. 159-162.

4. Akhtyamov A. M., Mouftakhov A. V. Identification of boundary conditions using natural frequencies // Inverse Probl. Sci. and Eng-ng. 2004. V. 12. №4. P. 393-408.

5. Ахтямов А. М., Муфтахов А. В., Тайхер М., Ямилова Л. С. Об одном методе определения по собственным частотам условий закрепления прямоугольной пластины // Известия РАН. МТТ. 2007. №1. C. 100-113.

6. Ахтямов А. М. Теория идентификации краевых условий. Уфа: Гилем, 2008. 300 с.

7. Ахтямов А. М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. М.: Физматлит. 2009. 272 с.

8. Халилов С. А., Минтюк В. Б. Исследование устойчивости отсека крыла методом идентификации краевых условий на основе упрощенной модели // Авiцiйно-космiчна техшка и технологш. 2003. Вып. 2. С. 6-10.

9. Gladwell G.M.L. Inverse Problems in Vibration. 2nd ed. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2004. (рус. пер.: Гладвелл Г.М.Л. Обратные задачи теории колебаний. М. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2008).

10. Сафина Г. Ф. Акустическое диагностирование механических систем: монография. В 2-х ч. Ч. 2. Уфа: РИЦ БашГУ, 2014. 110 с.

11. Ruotolo R. and Surace C. Natural frequencies of a bar with multiple cracks // Journal of sound and vibrations. 2004. Vol. 272. Pp. 301-316.

12. Freund L. B. and Herrmann G. Dynamic fracture of a beam or plate in plane bending // Journal of applied mechanics. 1976. Vol. 76. P. 112-116.

13. Boltezar M., Strancar B. and Kuhelj A. Identification of transerve crack locations in flexural vibrations of free-free beams // Journal of sound and vibration. 1998. Vol. 211. P. 729-734.

14. Cawley P. and Adams R.D. The location of defects in structures from measurements of natural frequencies // Journal of strain anaysis. 1979. Vol. 14. Pp. 49-57.

15. Hearn G. and Testa R.B. Modal analysis for demage detection in structures // Journal of structural engeneering asce. 1991. Vol. 117. Pp. 3042-3063.

16. Ватульян А. О., Осипов А. В. Поперечные колебания балки с локализованными неоднородностями // Вестник ДГТУ. 2012. №8(69). С. 34-40.

17. Chu M. T., Golub G. H. Inverse Eigenvalue Problems: Theory,Algorithms, and Applications. Oxford University Press, USA. 2005. 406 p.

18. Хакимов А. Г. К определению параметров трехэлементного вала по заданному спектру частот крутильных коле-баний // Контроль. Диагностика. 2014. No 6. С. 29-34.

19. Ильгамов М. А., Хакимов А. Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом // Дефектоскопия. 2009. No 6. С. 83-89.

20. Хакимов А. Г. О собственных продольных колебаниях ступенчатого стержня с распределенной присоединенной массой // Контроль. Диагностика. 2013. No 11. С. 9-13.

21. Ильгамов М. А. Диагностика повреждений вертикальной штанги // Труды Института механики Уфимского научногоцентра РАН. Вып. 5. Уфа: Гилем, 2007. С. 201-211.

22. Ильгамов М. А., Хакимов А. Г. Диагностика закрепления и повреждений балки на упругих опорах // Контроль. Диагностика. 2010. №9. С. 57-63.

23. Strutt W. (Lord-Rayleigh). The theory of Sound. V. 1. L.: Macmillan 1926. = Стрэтт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука. T. 1. М.; Л.: Гостехиздат, 1940. 500 с.

24. Вибрации в технике: справочник. В 6-ти тт. Т. 1. Колебания линейных систем / под ред. В. В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.

25. Ахтямов А. М., Шагаев В. Р. Идентификация неупругих видов закреплений трубопроводов // Вестник Башкирского ун-та. 2016. Т. 21. №1. С. 21-26.

Поступила в редакцию 23.05.2019 г.

ISSN 1998-4812

BecTHHK BamKHpcKoro yHHBepcureTa. 2019. T. 24. №2

293

ON IDENTIFICATION OF NONELASTIC FASTENINGS OF RECTANGULAR PLATE

© A. M. Akhtyamov12*, J. A. Pardaev3

1 Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

2Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Federal Research Center of RAS 71 Oktyabrya Avenue, 450054 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

3Dzhizak State Pedagogical Institute 4 Sharaf Rashidov Prospect, 708000 Jizzakh, Uzbekistan.

*Email: akhtyamovam@mail.ru

Earlier it was shown that eight unknown coefficients of elastic fixings for one of the types of canonical marginal densities were restored to inner permutation of fastening at opposite ends uniquely by eight eigenfrequencies. It was also shown that different types and parameters of fastening could be restored at nine natural frequencies. A rectangular plate is considered, which is fixed on two opposite edges of the hinge. The types and parameters of fixing the plate on the other two edges are restored. It is shown that one of the 16 inelastic types of plate anchors at the other two edges (clamping - clamping, clamping - free support, clamping - floating fixing, clamping - free edge, free support - clamping, free support - free support, free support - floating fixing, free support - free edge, floating fixing -clamping, floating fixing - free support, floating fixing - floating fixing, floating fixing -free edge, free edge - clamping, free edge - free support, free edge - floating fixing, free edge - free edge) is determined precisely up to a permutation of fastenings on these parts and determined uniquely by its own frequency. The case of a rectangular plate is different from the case of a pipeline, where, in order to determine one of the 16 inelastic types of pipeline anchorages (up to permutations of the anchors at its ends), besides one natural frequency, information is also needed on whether the zero value is proper. For determination of one of the 16 inelastic types of fastenings of a rectangular plate (up to swapping the fastenings on two opposite edges), information on whether a zero value is proper is superfluous.

Keywords: inelastic fixings, oscillations of rectangular plate, natural frequencies, inverse problem.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Gnuni V Ts., Oganisyan Z. B. Opredelenie granichnykh uslovii krugloi kol'tsevoi plastinki po zadannym chastotam sobstvennykh kole-banii. Izvestiya NAN RA. Ser. «Mekhanika». Vol. 44. 1991. No. 5. Pp. 9-16.

2. Oganisyan Z. B. Uchenye zapiski EGU. 1991. No. 1. Pp. 45-50.

3. Oganisyan Z. B. Ob odnoi zadache vosstanovleniya granichnykh uslovii na kontsakh sterzhnya pri zadannom spektre chastot sobstvennykh poperechnykh kolebanii. <<Voprosy optimal'nogo upravleniya, ustoichivosti i prochnosti mekhanicheskikh sistem>> (nauchnye trudy konferentsii). Erevan. 1997. Pp. 159-162.

4. Akhtyamov A. M., Mouftakhov A. V Inverse Probl. Sci. and Eng-ng. 2004. Vol. 12. No. 4. Pp. 393-408.

5. Akhtyamov A. M., Muftakhov A. V, Taikher M., Yamilova L. S. Izvestiya RAN. MTT. 2007. No. 1. Pp. 100-113.

6. Akhtyamov A. M. Teoriya identifikatsii kraevykh uslovii [The theory of identification of boundary conditions]. Ufa: Gilem, 2008.

7. Akhtyamov A. M. Teoriya identifikatsii kraevykh uslovii i ee prilozheniya [The theory of identification of boundary conditions and its applications]. Moscow: Fizmatlit. 2009.

8. Khalilov S. A., Mintyuk V. B. Avitsiino-kosmichna tekhnika i tekhnologiya. 2003. No. 2. Pp. 6-10.

9. Gladwell G.M.L. Inverse Problems in Vibration. 2nd ed. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2004. (rus. per.: Gladvell G.M.L. Obratnye zadachi teorii kolebanii. M. Izhevsk: NITs <<Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika>>, Institut komp'yuternykh issledovanii, 2008).

10. Safina G. F. Akusticheskoe diagnostirovanie mekhanicheskikh sistem: monografiya. V 2-kh ch. Pt. 2 [Acoustic diagnosis of mechanical systems: monograph. In 2 parts. Pt. 2]. Ufa: RITs BashGU, 2014.

11. Ruotolo R. and Surace C. Journal of sound and vibrations. 2004. Vol. 272. Pp. 301-316.

12. Freund L. B. and Herrmann G Journal of applied mechanics. 1976. Vol. 76. Pp. 112-116.

13. Boltezar M., Strancar B. and Kuhelj A. Journal of sound and vibration. 1998. Vol. 211. Pp. 729-734.

14. Cawley P. and Adams R.D. Journal of strain anaysis. 1979. Vol. 14. Pp. 49-57.

15. Hearn G and Testa R.B. Journal of structural engeneering asce. 1991. Vol. 117. Pp. 3042-3063.

16. Vatul'yan A. O., Osipov A. V Vestnik DGTU. 2012. No. 8(69). Pp. 34-40.

17. Chu M. T., Golub G. H. Inverse Eigenvalue Problems: Theory,Algorithms, and Applications. Oxford University Press, USA. 2005.

18. Khakimov A. G Kontrol'. Diagnostika. 2014. No 6. Pp. 29-34.

19. Il'gamov M. A., Khakimov A. G Defektoskopiya. 2009. No 6. Pp. 83-89.

20. Khakimov A. G Kontrol'. Diagnostika. 2013. No 11. Pp. 9-13.

21. Il'gamov M. A. Trudy Instituta mekhaniki Ufimskogo nauchnogotsentra RAN. No. 5. Ufa: Gilem, 2007. Pp. 201-211.

22. Il'gamov M. A., Khakimov A. G Kontrol'. Diagnostika. 2010. No. 9. Pp. 57-63.

23. Strutt W. (Lord-Rayleigh). The theory of Sound. Vol. 1. Leningrad: Macmillan 1926. = Strett Dzh. V (Lord Relei). Teoriya zvuka. Vol. 1. M.; Leningrad: Gostekhizdat, 1940.

24. Vibratsii v tekhnike: spravochnik. V 6-ti tt. Vol. 1. Kolebaniya lineinykh system [Vibrations in engineering: reference book. In 6 volumes. Vol. 1. Oscillations of linear systems]. Ed. V. V Bolotina. Moscow: Mashinostroenie, 1978.

25. Akhtyamov A. M., Shagiev V. R. Vestnik Bashkirskogo un-ta. 2016. Vol. 21. No. 1. Pp. 21-26.

Received 23.05.2019.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.