CC BY
17
УДК 534.11 DOI: 10.25513/2222-8772.2018.1.95-107
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ ТРУБОПРОВОДА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МИНИМАЛЬНОГО КОЛИЧЕСТВА
СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
В.Р. Шагиев1
аспирант, e-mail: shagiev-vadim@mail.ru А.М. Ахтямов1,2
профессор, д.ф.-м.н., e-mail: akhtyamovam@mail.ru
1 Башкирский государственный университет, Уфа, Республика Башкортостан, Россия 2Институт механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН, Уфа,
Республика Башкортостан, Россия
Аннотация. Рассматриваются колебания трубопровода с жидкостью. Ранее было показано, что если жидкость не течёт по трубопроводу, то по всем собственным частотам изгибных колебаний трубопровода вид закрепления трубопровода определяется однозначно с точностью до перестановок закреплений на его концах. Задача идентификации краевых условий решалась также и по девяти собственным частотам. В настоящей статье количество собственных значений, с помощью которых можно однозначно с точностью до перестановок закреплений на его концах восстановить краевые условия, уменьшено до пяти. Количество спектральных данных удалось уменьшить за счёт того, что если ранее решалась линейная система 9-ти уравнений, то в настоящей статье решается система пяти нелинейных уравнений относительно четырёх неизвестных коэффициентов из краевых условий, приведённых к канонической форме. Представлен пример решения этой обратной задачи. Приведены также два контрпримера, в которых показано, что меньшего числа собственных значений для идентификации вообще говоря недостаточно. В первом контрпримере показано, что четырёх ненулевых собственных частот ещё недостаточно для идентификации вида закрепления трубопровода. Во втором контрпримере показано, что в отдельных случаях необходима информация о том, является ли нуль собственным значением.
Ключевые слова: краевые условия, собственные частоты, собственные значения, заделка, свободное опирание, плавающая заделка, свободный конец, трубопровод.
Введение
Колебаниям трубопроводов, содержащим жидкость, а также определению собственных частот колебаний стержней и трубопроводов посвящены работы
[1]-[8]. В [9] — [16] решались задачи определения параметров краевых условий и условий сопряжения стержней, трубопроводов и других распределённых механических систем. В частности, в [15] по двум собственным значениям определялись неупругие закрепления трубопроводов, в [16] по 14-ти собственным частотам определялись закрепления трубопроводов с протекающей жидкостью. В [13, 14] показано, что по всем собственным частотам (в том числе и нулевому собственному значению) вид закрепления трубопровода (в случае, когда жидкость не течёт по трубопроводу) определяется однозначно с точностью до перестановок местами закреплений на его концах. Более того, там же было показано, что для такой идентификации достаточно и девяти собственных частот. В статье [15] показано, что для определения одного из 16-ти неупругих видов закреплений трубопровода ((заделка)-(заделка), (заделка)-(свободное опира-ние), (заделка)-(плавающая заделка), (заделка)-(свободный конец), (свободное опирание)-(заделка), (свободное опирание)-(свободное опирание), (свободное опирание)-(плавающая заделка), (свободное опирание)-(свободный конец), (плавающая заделка)-(заделка), (плавающая заделка)-(свободное опирание), (плавающая заделка)-(плавающая заделка), (плавающая заделка)-(свободный конец), (свободный конец)-(заделка), (свободный конец)-(свободное опирание), (свободный конец)-(плавающая заделка), (свободный конец)-(свободный конец)) с точностью до перестановок закреплений на его концах достаточно одной собственной частоты и информации о том, является ли нулевое значение собственным. В настоящей статье показано, что для идентификации закреплений трубопровода достаточно пяти собственных частот, а четырёх собственных частот для этого недостаточно.
Прямая задача
Необходимо определить собственные частоты изгибных колебаний трубопровода с жидкостью (жидкость не движется), зная вид закреплений на его концах (краевые условия) и физические параметры механической системы (коэффициент жёсткости пружин, закрепляющих трубопровод; масса, плотность, длина, внешний и внутренний радиусы трубы; масса и плотность жидкости, которая находится внутри и полностью заполняет весь объём трубопровода в рассматриваемом участке).
Уравнение малых свободных колебаний трубопровода с протекающей по нему жидкостью (с учётом несжимаемости жидкости) имеет следующий вид
[1, с. 163]:
дхдг
+ т
д2Ш
дХ2
0. (1)
Здесь
2 2 2 т = к (г — )р, т = -кгх р0,
2
где I — момент инерции трубчатого сечения, Е1 — жёсткость трубы, р0 — критическое внутреннее давление, т и т — массы трубы и жидкости, приходящиеся на единицу длины трубы, г и г1 — радиусы внешнего и внутреннего поперечного сечения, У0 — скорость движения жидкости, р — плотность материала трубы, р0 — плотность жидкости, Ь — длина трубы.
Вводя обозначения х = Х/Ь, т = \У/Ь, запишем уравнение (1) следующим образом:
д4ги (т + т) Ь4 д2ги 2тУ0Ь3 д2ги тЬ2
дх4 + Е1 дг2 + Е1 дхдг + Е1 \Ро Подстановка т(х,Ь) = X(х)ег'шЬ приводит к уравнению: X(4) + аХ" + 2Ыь)Х' - си}2 X = 0,
(I +
д2w дх2
0.
(2)
где
й ч * +
Е1 \ро
тУ0Ь3 (т + т )Ь4
Ь = ——-—, с =
Е1
Е1
Введение обозначений х и w позволило нам обезразмерить переменные кг м2 м ■ с2 1 м2 ^ 1 /кг м м3 м ■ с2 1 ^
м 1 кг м4 с2 ' с \ м с 1 кг м4
)
и> ■ с : —
(
кг м4 м ■ с2 . . м 1 кг м4
1)
м4 )
Так как мы рассматриваем случай, когда жидкость не течёт по трубопроводу (У0 = 0), уравнение (2) упрощается и выглядит так:
X(4) + аХ" - сш2Х = 0. Краевые условия в общем виде (условия типа Штурма [17, с. 70]):
иг(Х) = -а1Х (0) + аАХ"' (0) = 0, и3(Х) = ^Х (1) + ЪАХШ (1) = 0, и2(Х) = - а2Х '(0) + азХ" (0) = 0, иА(Х) = ^Х'(1) + ЬзХ"(1) = 0,
(3)
(4)
где
м + М = 0, Ы + |аз| = 0, |&1| + | &4| = 0, | Ь2| + 16з| = 0.
Матрицу, составленную из коэффициентов о,- форм и1 (Хк) и и2(Хк), обозначим буквой А, а матрицу, составленную из коэффициентов bj форм и3(Хк) и и4(Хк), - буквой В.
А
1 0 0 4 0 — а2 а3 0
В
1 0 0 4 0 Ь2 Ьз 0
(5)
Заметим, что в рассмотренных нами примерах спектр состоит из простых собственных значений. Для первых собственных значений это проверено с помощью неравенства ЭА(Л) = 0 при Л = Лк, а для последующих собственных
а
1
с
частот это вытекает из теоремы 2 [17, с. 74-75]), которая утверждает, что спектр краевой задачи с условиями Штурма-Лиувилля, начиная с некоторого значения, состоит из простых собственных значений.
Покажем решение прямой задачи на примере случая (заделка)-(свободный конец), коэффициенты в краевых условиях а\ = 1,а2 = 1, а3 = 0, а4 = 0, Ь\ = 0,
Ь2 = 0, Ь3 = 1, Ь4 = 1:
иг (X ) = X (0) = 0, и3(Х ) = Х'"(1) = 0, и2(Х) = Х'(0) = 0, и4(Х) = Х"(1) = 0.
Характеристическое уравнение для этой задачи в случае, когда жидкость не течёт по трубопроводу (У0 = 0), предполагая коэффициенты а и с равными 1, имеет следующий вид:
X(4) + X'' - и,2Х = 0, (6)
А1, А2, Аз и А4 - корни уравнения (6):
А1 = —АЗ
/
— 1 + V! + 4т2
А2 — — А,
Функции
X! (X) = —
Х2(Х) = — Хз(х) = ХА(х)
А2
-еХ1Х +
А2
2(А2 — А2) 2(А2 — А2) А2
еХ2Х -
4=
А2
/
— 1 — V + 4т2
(7)
2(А? — А2)А! 2(А2 — А2)А2 11
еХ2Х+
2(А? — А2) А,
е-Х1 х +
А?
2(А? — А2)
2(А? — А2) 1
еЛ1 ж -
еЛ1Ж-
2(А? — А2) 1
еЛ2Ж +
2(А? — Л2)Л1 1
е-Л1Ж-
А1
еЛ2Ж-
2(А? — А2) 1
—Л1Ж
2(А? — А2)А2
1_Л2Ж
3—Л2Ж
2(А? — А2)А? 2(А2 — А2)А2 2(А2 — А2)А?
-е-Л1Ж+
2(А? — А2) 1
2(А? — А2)А2
являются линейно независимыми решениями уравнения (6), которые удовлетворяют условию
X.
(г—1)
(0)
I
3 = r,
3 = r,
3,г = 1, 2, 3, 4.
Общее решение уравнения (6) представляется в следующем виде
X (ж) = С1Х1Ог) + С2Х2Ог) + СзХз(Х) + С4X4 (ж).
Уравнение частот получают из условия равенства нулю характеристического определителя
и?(х?) и?(Х2) и?(Хз) и?(хА)
^з(Х?) из(Хз) из(ХА)
и4 (Х3) иА(ХА)
ДН
— 10 0 0
0 —10 0
^3(^1) из (Х2) из(Хз) из (Х4)
^4(^1) иА (Х2) и4 (Х3) иА (Х4)
2
2
Вычисления на компьютере приводят к следующим результатам: = 3.641309, W2 = 21.72958, wз = 61.32403, W4 = 120.4921, = 199.4298, W6 = 298.1131, = 416.5395, т8 = 554.7075, т9 = 712.6162.
Заметим, что для случая, когда жидкость в трубопроводе не движется, собственные частоты не имеют комплексную (мнимую) часть.
Обратная задача
Известны собственные частоты и^. Ранги матриц А и В (5) равны двум. Требуется восстановить коэффициенты краевых условий а j и bj (4), то есть определить вид закрепления.
Ранее [13,14] было показано, что краевые условия находятся однозначно с точностью до перестановок закреплений местами, и для этого использовалось девять собственных частот. В данной статье мы покажем, что, используя пять собственных частот, можно однозначно определить вид закрепления трубопровода, когда жидкость не движется.
Матрицу, составленную из матриц А, В и двух нулевых матриц, обозначим через С:
С =
—а1 0 0 а4 0 0 0 0
А 0 0 — 0,2 аз 0 0 0 0 0
0 В 0 0 0 0 &1 0 0 Ь4
0 0 0 0 0 Ь2 Ьз 0
Элементы матрицы С обозначим через с^, а миноры матрицы С, образованные из столбцов с номерами к1, к2, к3, к4 - через
М,
к1 к2 к3 к4
С1 к1 С1 к2 С1 к3 С1 к4
С2к1 С2к2 С2к3 С2к4
С-3 к1 С-з ^2 СЗ к3 Сз к4
С-4 к1 ^4 к2 С4 к3 С4 к4
например, М1256 = (—«1) ■ (—«2) ■ ■ &2.
В терминах матрицы С задача идентификации краевых условий (4) сводится к идентификации матрицы С с точностью до линейных преобразований её строк.
Характеристический определитель (8) можно представить в другом виде:
Д(ш) = ае^С ■ Б), где
Б
*1(0) ^(0) *3(0) ад)
Х1(0) ад) ад) ад)
Х1' (0) хч (0) хч (0) (0)
хч '(0) Х2' '(0) хч '(0) хч '(0)
ад) ^2(1) ^3(1) Х4(1)
ад) ад) ад) ад)
Х1' (1) хч (1) хч (1) х'1 (1)
хч '(1) хч '(1) хч '(1) '(1)
Так как нам известны собственные частоты и^, мы можем найти значения Л1, Л2, Л3 и Л4, что позволяет вычислить функции Х1(ж), Х2(ж), Х3(ж), Х4(х) и все их производные. Поэтому матрица Б нам полностью известна. Используя формулу Бине-Коши, получаем
Мкг к2 к3 к4 /кг к2 к3 к±
1 < кг <к2 < 4 5 < к3 <к4 < 8
0,
(9)
где к2 к3к4 - миноры четвёртого порядка матрицы Б, составленные из строк с номерами к1, к2, к3, к4.
Уравнение (9) раскрывается следующим образом
) = Х1 /1257(^) + Х2 /1268(ык) + Х3 /1368^) + ^4 /1278^) + ^5 /1378^) + +^6 /2478(^) + Х7 ¡1357^к) + ^8 /2468^) + ¡125б('^к) + ^10/3478^) = 0,
(10)
где
Х1 = М1257 - ^1356 (/1257 = -/1356), ^5 = М1378 - М3457 (/;
Ж2 = М1268 - М2456 (/1268 = -/2456), ^6 = М2478 - М3468 (/2
Ж3 = М1368 + М2457 (/1368 = /2457) , Ж7 = М1357, Ж8 = М2468,
1378
2478
-/3457) , /3468)>
Ж4 = М1278 + М3456 (/1278 = /3456) , Жд = М1256, Хю = М3478.
(11)
СЛ1}2 /1356 = -/1378, ст2 /2456 = - /2478, ст2 /1357 = - /2468, си>4 /1256 = /3478. (12)
Из (12) видно, что собственные частоты могут совпадать и для случаев, когда закрепления не получаются одно из другого перестановкой их на концах. Здесь с — это коэффициент из (2). Почему это важно, мы покажем ниже.
Подставив в (10) пять собственных частот т1,...,т5, получим систему пяти уравнений относительно неизвестных ж1,...,ж10. Матрицей этой системы явля-
ется следующая матрица:
0*1257(^1) /1268 (^1) . . /1256(^1) /3478(^1)^
/1257(^2) /1268 (^2) . . /1256(^2) /3478(^2)
/1257(^3) /1268 (^3) . . /1256 (^3) /з478(^З)
/1257(^4) /1268(т) . . /1256(^4) /3478(^4)
\/1257(^5) /1268 (^5) . /1256(^5) /3478(^5) у
(13)
Выразим переменные х1,..., х10 через а1,..., а4 и Ь1,..., Ь4
х1 = а1 ■ а2 ■ Ъ1 ■ Ъ3 + а1 ■ а3 ■ Ъ1 ■ Ь2; х2 = —а1 ■ а2 ■ Ь2 ■ Ь4 — а2 ■ а4 ■ Ъ1 ■ Ь2;
х3 = а1 ■ а3 ■ Ь2 ■ Ь4 + а2 ■ а4 ■ Ъ1 ■ Ь3; ж4 = —а1 ■ а2 ■ Ъ3 ■ Ь4 — а3 ■ а4 ■ Ь1 ■ Ь2;
х5 = а1 ■ а3 ■ Ь3 ■ Ь4 + а3 ■ а4 ■ Ъ1 ■ Ь3; ж6 = —а2 ■ а4 ■ Ъ3 ■ Ь4 — а3 ■ а4 ■ Ь2 ■ Ь4;
х7 = —а1 ■ а3 ■ Ь1 ■ Ь3; ж8 = —а2 ■ а4 ■ Ь2 ■ Ь4;
= а1 ■ а2 ■ Ь1 ■ Ь2; х10 = а3 ■ а4 ■ Ь3 ■ Ъ4.
В результате получим систему пяти нелинейных уравнений от восьми неизвестных.
Эта система, с помощью сведения матрицы С к канонической форме, сводится к решению нелинейной системы пяти уравнений от четырёх неизвестных коэффициентов краевых условий. Четырёх собственных частот для идентификации вида закрепления трубопровода недостаточно. Соответствующий контрпример будет приведён ниже.
Ранее задача идентификации закреплений трубопровода решалась с помощью системы 9-ти линейных уравнений (10) от 10-ти неизвестных Хг (г = 1, 2 ..., 10). Поэтому использовалось девять, а не пять собственных частот.
Пример
Рассмотрим случай, когда нам известны частоты т1 = 29.44435, W2 = 72.98521, ^з = 134.6173, ы4 = 215.1980, W5 = 315.0639. Найдём Аь Л2, А3 и А4 (7) для каждой из пяти частот:
А1 = —А3 = 5.380390(ад1), 8.513925(ад2), 11.58094(шз), 14.65260(ад4), 17.73596(адб)
А2 = —А4 = 5.472531г(ад1), 8.572452г(ш2), 11.62404г(шз), 14.68668г(ад4), 17.76413г(адб)
Матрица И для /ш\ выглядит следующим образом
Б
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
55.53811 10.19385 1.831441 0.344800
298.9313 55.53811 9.849050 1.831441
1587.804 298.9313 53.70667 9.849050
8538.828 1587.804 289.0823 53.70667
Раскроем эту матрицу (10) и получим первое уравнение, соответствующее частоте и>ь
-0.480117X! - 0.477539 - 74.79756 жэ + 37.22037х4 - 416.2470 хь--414.0117х6 + 2.671859 х7 - 2316.421 же - 0.041778 х9 - 31401.96 хш = 0.
Аналогично получим остальные четыре уравнения:
2.818855 х1 + 14.49809 ж2 + 1640.216 жэ - 813.1440 х4 + 15015.59 ж5+ +77229.04х6 - 25.70239 х7 + 136912.5 ж8 + 0.152838 х9 + 4336816 х10 = 0,
-23.92452 хг - 515.7571 ^2 - 31464.06жэ + 15651.91 Х4 - 433555.9Х5--9346459 х6 + 321.6035 х7 - 5828042 ж8 - 0.863650 х9 - 2.836231 ■ 108 х10 = 0,
251.4325х1 + 13071.78ж2 + 603128.2жэ - 300417.9х4 + 1.164389 ■ 107 ж5+ +6.053564 ■ 108 х6 - 4576.252 х7 + 2.119271 ■ 108 ж8 + 6.487102 х9+ + 1.391246 ■ 1010 ж 10 = 0,
-3044.613 Ж1 - 297594.5 ^2 - 1.176207 ■ 107 жэ + 5863328 Х4 - 3.022243 ■ 108 Х5--2.954079 ■ 1010 х6 + 70778.30 Х7 - 7.025825 ■ 109 ^8 - 59.06727х9--5.820246 ■ 1011 ж10 = 0.
Обозначим эту систему через 5. Определителем этой системы является следующая матрица
-0.480117 -0.477539
2.818855 14.49809
-23.92452 -515.7571
251.4325 13071.78
3044.613 297594.5
-0.041778 0.152838 -0.863650 6.487102
-31401.96 4336816 -2.836231 ■ 108 1.391246 • 1010
59.06727 5.820246 1011
Нетрудно проверить, что наибольшим по модулю определителем четвёртого порядка этой матрицы является определитель, составленный из элементов 4-8 столбцов и равный -6.275948 ■ 1024. Поэтому удобнее всего выразить переменные х4,..., х8 через остальные. Оставим переменные х4,..., х8 в левой части уравнений системы 5, а переменные х1, х2, хэ, х9, ж10 перенесём в правую часть (со знаком минус). Получим систему уравнений, решив которую методом Крамера, получим выражение переменных х4,..., х8 через остальные:
х4 = -0.009002ж1 - 0.103224ж2 + 2.143385жэ - 0.001673х9 - 950.8871ж10,
же = -6.67 ■ 10-7Ж1 - 0.000021^2 + 0.000028жэ - 1.83 ■ 10-7Ж9 - 12.03323жю,
ж5 = -0.000323ж1 - 0.008424ж2 + 0.008858жэ - 0.000076ж9 + 33.38482ж10,
"10,
х7 = 0.264565ж1 + 0.583920ж2 - 0.818512жэ + 0.029648ж9 - 1567.256ж10,
Ж8 = 0.000011^1 + 0.000326^2 - 0.000391жэ + 0.000003^9 - 34.49125жю.
Выразим переменные х1,..., ж10 через а1,..., а4 и Ь1,..., Ь4, как мы уже сделали ранее, и предположим какие-нибудь четыре коэффициента равными единице, например, аэ = а4 = Ьэ = Ь4 = 1.
-аяа2 - 6162 = -0.009002(а1 «261 + 016162) + 0.103224(^262 + «26162) + +2.143385(^62 + а261) - 0.001673^26162 - 950.8871,
а1 + 61 = -0.000323(а1а261 + а16162) + 0.008424(0^ а2Ь2 + а26162) + +0.008858(а162 + а261) - 0.000076а1а26162 + 33.38 4 82,
-а2 - 62 = -6.67 ■ 10-7(а1а261 + а16162) + 0.00 0 021(а1а262 + а2Ъ1Ъ2) + +0.000028(а162 + а261) - 1.83 ■ 10-7а1а26162 - 12.03323,
-0161 = 0.264565(а1а2&1 + «16162) - 0.583920(^262 + «26162)--0.818512(а162 + а261) + 0.029648а1а26162 - 1567.256,
-«262 = 0.000011(^261 + «16162) - 0.000326(а1«2б2 + «26162)--0.000391(а162 + а261) + 0.000003а1а26162 - 34.49125.
Решение первых четырёх уравнений даёт такие ответы (отбрасываем отрицательные и комплексные значения)
а1 = 26.00974, а2 = 6.54 9 311, 61 = 20.24 8 70 , 62 = 5.45 0 0 90,
а1 = 25, а2 = 5, 61 = 21, 62 = 7.
Решение первых трёх и пятого уравнений даёт такие ответы (отбрасываем отрицательные и комплексные значения)
а1 = 33.63423, а2 = 6.98 5 8 25 , 61 = 12.94 2 87, 62 = 5.0 1 30 29,
а1 = 25, а2 = 5, Ь1 = 21, Ь2 = 7.
Таким образом, частотам т1 = 29.44435, т2 = 72.98521, = 134.6173, и>4 = 215.1980, т5 = 315.0639 соответствуют краевые условия а1 = 25а4, а2 = 5а3, Ь1 = 21Ь4, Ь2 = 7Ь3 либо а1 = 21а4, а2 = 7а3, Ь1 = 25Ь4, Ь2 = 5Ъ3 (так как жидкость не течёт по трубопроводу).
Анализ погрешности
В таблице 1 представлены результаты расчёта относительной погрешности при возмущении собственной частоты т1.
Таблица 1. Относительные погрешности при возмущении ад^
Возмущение т1 8 для а1 8 для а2 8 для Ь1 8 для &2
10—10 1159.156 154.0616 1119.691 154.2552
10—9 1159.155 154.0617 1119.691 154.2553
10—8 1159.154 154.0622 1119.689 154.2558
10—7 1159.136 154.0675 1119.674 154.2611
10—6 1158.956 154.1204 1119.525 154.3139
10—5 1157.162 154.6501 1118.041 154.8429
10—4 1140.016 159.9984 1103.960 160.1841
Частота = 29.44435 — это частота, вычисленная с точностью в 40 значащих цифр, соответствующая краевым условиям, рассмотренным в примере. Возмущая частоту т1 на определённое значение из левого столбца, мы рассчитывали относительную погрешность по формуле:
^ 1^1 возмущённое 1
возмущение
За а1 бралось значение при невозмущённой т1. Эти результаты говорят нам о том, что желая получить погрешность результата не более 10—3, погрешность собственной частоты т1 не должна быть выше 10—7.
В таблице 2 представлены результаты расчёта относительной погрешности при возмущении по отдельности каждой частоты на 10—15.
Контрпримеры
Контрпример 1 (Восстановление по четырём собственным частотам).
Четырёх собственных частот для идентификации вида закрепления трубопровода недостаточно. Рассмотрим закрепление трубопровода с такими краевыми условиями:
а1 = 20.10253, а2 = 5.015512, а3 = 1, а4 = 1,
Таблица 2. Относительные погрешности при возмущении всех частот
8 для а1 8 для а2 8 для Ь1 8 для &2
1159.156 154.0616 1119.691 154.2552
7902.846 4351.306 8156.099 8156.099
^э 17547.45 17012.10 18840.45 17027.47
и>4 16513.40 21978.03 18239.51 22008.76
5649.435 9231.953 6375.944 9250.024
Сумма 48772.29 52727.45 52731.70 56596.61
&1 = 26.27080, Ь2 = 6.982448, &э = 1, &4 = 1.
Этому закреплению соответствуют собственные частоты и^ = 29.44435, ^2 = 72.98521, ^э = 134.6173, ^4 = 215.1980, ^5 = 315.06382.
Значения собственных частот для упругого закрепления из примера Ш1 = 29.44435, ^2 = 72.98521, ^э = 134.6173, ^4 = 215.1980, ^5 = 315.06388.
Все наши вычисления выполнены с точностью в 40 значащих цифр, различия между частотами и^, и>4 проявляются на 35-38 знаке, что считается несущественным. А различие у и>5 проявилось на пятом знаке после запятой, что для нас является существенным. Получается, два различных вида закрепления имеют четыре одинаковые ненулевые собственные частоты.
Контрпример 2 (Нулевое собственное значение). Рассмотрим случай (заделка)-(заделка) и (свободный конец)-(свободный конец).
Из равенств (12) видно, что
с^4 /1256 = /э478.
Минор /1256 соответствует закреплению (заделка)-(заделка), а минор /э478 соответствует закреплению (свободный конец)-(свободный конец). Равенство показывает нам, что спектры частот этих двух закреплений совпадают полностью, различие лишь в том, что значение т = 0 в первом случае не является собственным, а во втором является. Поэтому какие бы четыре ненулевые частоты мы не взяли для решения обратной задачи (и^ = 22.09646, и>2 = 61.29826, ^э = 120.4937, ^4 = 199.4297, ^5 = 298.1131 и т. д.), они все будут соответствовать и закреплению (заделка)-(заделка), и закреплению (свободный конец)-(свободный конец).
Таким образом, лишь информация о том, является ли нуль собственным значением, позволит нам однозначно идентифицировать вид закрепления трубопровода. Таких особенных случаев всего лишь четыре (12).
Заключение
В данной статье показано, что вид и параметры закреплений трубопровода с неподвижной жидкостью однозначно с точностью до перестановок закреплений местами идентифицируются по пяти собственным частотам изгибных колебаний. Приведены контрпримеры, показывающие, что четырёх собственных частот для такой идентификации недостаточно.
Работа поддержана РФФИ грантами 15-01-01095_ а, 17-41-020230-р_ Баш-кортостан_ а.
Литература
1. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М. : Наука, 1969. 182 с.
2. Томпсон Дж. М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М. : Мир, 1985. 254 с.
3. Вибрации в технике: справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М. : Машиностроение, 1978. 352 с.
4. Chu M.T., Golub G.H. Inverse Eigenvalue Problems: Theory, Algorithms, and Applications. Oxford : University Press, 2005.
5. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М. : Наука, 1968. 503 с.
6. Гладвелл Г.М.Л. Обратные задачи теории колебаний. М. - Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2008. 608 с.
7. Хакимов А. Г. Определение плотности жидкости и внутреннего давления в трубопроводе по собственным частотам изгибных колебаний // Проблемы сбора, подготовки и транспорта нефти и нефтепродуктов. 2014. № 1(95). С. 37-43.
8. Абзалимов Р.Р., Саляхова Е.В. Разностно-аналитический метод вычисления собственных значений для уравнений четвёртого порядка с разделёнными краевыми условиями // Известия высших учебных заведений. Математика. 2008. № 11. С. 311.
9. Гнуни В.Ц., Оганесян З.Б. Определение граничных условий круглой кольцевой пластинки по заданным частотам собственных колебаний // Известия Академии наук Армении. Механика (проблемы механики сплошной среды и конструкций). 1991. Т. 44, № 5. С. 9-15.
10. Ватульян А.О., Осипов А.В. Поперечные колебания балки с локализованными неоднородностями // Вестник ДГТУ. 2012. № 8(69). С. 34-40.
11. Ватульян А.О., Солуянов Н.О. Об определении местоположения и размера полости в упругом стержне // Дефектоскопия. 2005. № 9. С. 44-56.
12. Ильгамов М.А., Хакимов А.Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом // Дефектоскопия. 2009. Т. 45, № 6. С. 83-89.
13. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и её приложения. М. : Физматлит, 2009. 272 с.
14. Ахтямов А.М., Сафина Г.Ф. Определение виброзащитного закрепления трубопровода // Прикладная математика и техническая физика. 2008. Т. 49, № 1. С. 139147.
15. Ахтямов А.М., Шагиев В.Р. Идентификация неупругих видов закреплений трубопроводов // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21, № 1. С. 21-26.
16. Ахтямов А.М., Сафина Г.Ф. О единственности решения и корректности задачи определения параметров закрепления трубы с текущей в ней жидкостью // Прикладная механика и техническая физика. 2016. Т. 57, № 2(336). С. 32-45.
17. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 526 с.
IDENTIFICATION OF PIPE FASTENING USING THE MINIMUM NUMBER
OF NATURAL FREQUENCIES
V.R. Shagiev1
Postgraduate Student, e-mail: shagiev-vadim@mail.ru A.M. Akhtyamov1,2
Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: akhtyamovam@mail.ru
1Faculty of Mathematics and Information Technologies, Bashkir State University, Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia 2Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia
Abstract. The oscillations of a pipeline with a liquid are considered. Previously, it was shown that if the liquid does not flow through the pipeline, then by all its frequencies of flexural vibrations of the pipeline, the type of fixing of the pipeline is uniquely determined up to permutations of fastenings at its ends. The problem of identifying boundary conditions was also solved for nine natural frequencies. In this paper, the number of eigenvalues with which one can uniquely reduce the boundary conditions, up to permutations of the fastenings at its ends, is reduced to five. The number of spectral data was reduced due to the fact that if a linear system of 9 equations was previously solved, then in the present paper a system of five nonlinear equations is solved with respect to four unknown coefficients from the boundary conditions reduced to the canonical form. An example of solving this inverse problem is presented. Two counterexamples are also given in which it is shown that fewer eigenvalues for identification are generally insufficient. In the first counterexample, it is shown that four nonzero eigenfrequencies are still not enough to identify the type of anchorage of the pipeline. The second counterexample shows that in some cases information is needed about whether zero is an eigenvalue.
Keywords: boundary conditions, natural frequencies, eigenvalues, clamping, free support, floating fixing, free end, pipeline.
Дата поступления в редакцию: 17.10.2017
