CC BY
28
ВЕСТНИК
7/2012
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ
строительных систем. проблемы механики
В СТРОИТЕльСТВЕ
УДК 539.3 + 624.073
О.А. Егорычев, О.О. Егорычев, В.В. Брендэ
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
ПОПЕРЕЧНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ-ПОЛОСЫ СО СВОБОДНЫМИ КРАЯМИ
Рассмотрены собственные колебания пластин. Сформулирована краевая задача с нулевыми начальными условиями и вновь полученными граничными условиями. Получены частотные уравнения поперечных колебаний однородной ортотропной пластины-полосы, свободной от закрепления на противоположных сторонах.
Ключевые слова: механика деформируемого тела, ортотропная пластина, собственные колебания, анизотропия, частотное уравнение, краевая задача, теория упругости, вяз-коупругость.
В современных конструкциях наряду с однородными изотропными материалами используются и анизотропные материалы, у которых наблюдается резкое различие в упругих свойствах в различных направлениях распространения. Экспериментальные исследования такого ортотропного материала, как фанера, показывают большое различие между модулями упругости в разных направлениях: вдоль волокон и поперек волокон, модули упругости (в частности, коэффициент Пуассона) могут относиться как 2:1 для тела из одного материала, так и, например, 12:1 для тела из другого материала [1]. Анизотропными являются синтетические материалы, применяемые в промышленном и гражданском строительстве, машиностроении, самолетостроении и др. Анизотропией упругих свойств обладают кристаллы, некоторые горные породы, а также бетон и специальные покрытия дорог и сооружений.
Кроме деталей, изготовляемых из материалов, обладающих анизотропией, зависящей от внутреннего строения, в современных конструкциях используются элементы с так называемой конструктивной, или искусственной, анизотропией. К последним относятся пластины и оболочки из изотропного материала, которым придана вязкость путем гофрирования или усилением часто поставленными ребрами. Для того чтобы иметь возможность рассчитывать прочность анизотропной детали, используются неупругие деформации, необходимо уметь определять напряжения и деформации в анизотропных телах теоретическим путем [2].
В декартовой системе координат (х, у, ¿) рассматривается однородная предварительно напряженная ортотропная пластина-полоса, срединная плоскость которой совпадает с координатной плоскостью ХОУ, ось 2 направлена вертикально вверх. Пластина занимает в пространстве область (у е (-да; + да), х е [0;I], г е[-й; к])
Однородное уравнение поперечных колебаний пластины представим в виде [3]
(1)
где [4] A = р [(1 + с0 )-1 А1 + 3 (1 + a0 )-1 A- ],
A = [2(1 + Со)(1 + ao)-1 -2Aj3A3-1 + 3А3-3Ц-51 (4Д3 -A23)],
26
© Егорычев О.А., Егорычев О.О., Брендэ В В., 2012
4 =1 [2 (1 + Со) Д-1 (AA33 - An )2 ],
где р — плотность; Лу —константы ортотропного материала; а0, с0 — начальные перемещения [5].
Начальные условия нулевые: W =-=
dW д 2W д 3W
dt dt2
dt3
[6], t = 0.
Граничные условия свободного закрепления имеют вид [7]
5 W
дх2 d3W
0 + C1W0 = 0; 0 = 0,
(2)
(3)
, дх
где Ci =-(р / Л55)
( 3Л, - 2Д, Y„ b
-*33_
V 7Азз - 4Ai3 j
5 * i •
Решение уравнения (1) будем искать в виде [8]
W (х, t) = W0 (х) ехр ^ ^ Ь t
где Ь — скорость поперечной волны; £ — безразмерная частота.
Тогда получим обыкновенное дифференциальное решение уравнения д4 д2Ш
д4 *1 ^ =
^ ЬI2
АI Ь J Д
(4)
(5)
(6)
где B = AI5 Л J, B=[5 ,
Общее решение уравнения (5) запишем в виде [9]
W01 = Kjcos(а0x) + K2sin(а0x) + K3cos(a¡x) + K4 sin(a¡x), (7)
где K. — постоянные интегрирования; ia0 j — корни характеристического уравнения
а4 + Да2 + B2 = 0, (8)
B B
где а2 =—1 + . -32. 10 2 V 4 2
Подставив граничные условия (3) в решение (7), получим систему, нетривиальное решение которой имеет вид
-2 + 2cos (Pi) cos (р2/) + sin (р1/) sin (P2Z)
(С-Р2)ГРЛ3 (Ci-p?)
— +-
(Ci P2 ) V в 2 j (Ci-P2)
fa \ 2
V^ 1 j
= 0.
(9)
Представим тригонометрические функции в виде сходящихся рядов и, используя только первые два члена разложения [10] и воспользовавшись представлением (6), получим частотное уравнение
£10 + Н±^ + H ^ + H + н±_+ н = 0, (10)
TJ TJ TJ TJ TJ
H5 H5 л5 л5 л5 где введены следующие обозначения:
H5 = — l6 D,2 D23;
5 36 1 2
H4 = l2 l'D2 [2DfD2D3 -2C7D2 (D12 -2D2+ l4D3 -612D1 jDfD2 j;
ВЕСТНИК
7/2012
И3 = 12 [^14[ББ? - 2С7Д2 - 3С72Б, В3 ] +
+ (3614Бз - 612Б )[2Б> Б2 Бз - 2С7Б2 (- 2Б2)] + Д2Б?
+ Б2 (С2 -С7Б. + Б2)214;
И2 = 12 [[3614Бз - 612Б1 ) [Б12Бз2 - 2С7Бз Б!2 - ЗС72Б! Бз ] +
+ [2Б12Б2Бз -2С7Б1 (Б2 -2Б2)]-9/4Б2С7Б2^ +
+ БзБ2 (С2 -С7Б1 + Б2)214 + 214БзБ2 +(2/4Бз -/2Б1 ^Б2 (С2 -С7Б1 + Б2); И = /2 Б12Б2 - 2С7Бз Б12 - зС7Б1 Бз ] - 4 (^/4Бз - 612Б ] С7Б2 ^ +
+ 2/4Б2Б2 + ^14Бз -12Б1 ](Д (С2 -С7Б1 + Б2) + Б2Бз )-- Б2 (С72 - С7Б1 + Б2); И0 = -4/2 С7 Бз2 1/4 Бз -/2 Б1 ^ Бз2;
Б2 " 4 ( й) ; Б1 " 4 ( Ь ) ' Бз =- 4 ( А ) .
Библиографический список
1. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин // Прикладная математика и механика. 1948. Т. 12. Вып. зз. С. 287—з00.
2. ЛявА. Математическая теория упругости. М.-Л. : ОНТИ, 19з5. 674 с.
3. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. М. : Изд-во АСВ, 2005. С. 45—49.
4. Егорычев О.А., Егорычев О.О., Брендэ В.В. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины упруго закрепленной по одному краю и жестко закрепленной по-другому // Вестник МГСУ 2010. № 4. Т. з. С. 246—251.
5. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев : Штиинца, 1988. С. 27—з0.
6. Гупта А.К., Арагвал Н., Кумар С. Свободные колебания ортотропной вязкоупругой пластины с постоянно меняющейся толщиной и плотностью. Чехия, Прага : Пражский университет термодинамики. 2010. № 2.
7. Егорычев О.А., Егорычев О.О., Брендэ В.В. Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластинки-полосы упруго закрепленной по одному краю и свободной по другому // Вестник МГСУ. 2010. № 4. Т. з. С. 252—258.
8. Лол Р. Поперечные колебания ортотропных неоднородных прямоугольных пластин с непрерывно меняющейся плотностью // Индийский технологический университет. 2002. № 5.
9. Егорычев О.А., Брендэ В.В. Собственные колебания однородной ортотропной пластины // Промышленное и гражданское строительство. 2010. № 6.
10. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М. : Наука; Физматлит, 1977.
Поступила в редакцию в мае 2012 г.
Об авторах: Егорычев Олег Александрович — доктор технических наук, профессор, профессор теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государствен-
28
КБИ 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 7
ный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 320-43-02, misi@mgsu.ru;
Егорычев Олег Олегович — доктор технических наук, профессор, первый проректор, заведующий кафедрой теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495) 287-49-14, misi@mgsu.ru;
Брендэ Владимир Владиславович — старший преподаватель, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499)161-21-57, brende@mail.ru.
Для цитирования: Егорычев О.А., Егорычев О.О., Брендэ В.В. Поперечные собственные колебания ортотропной пластины-полосы со свободными краями // Вестник МГСУ 2012. № 7. с. 26—30.
O.A. Egorychev, O.O. Egorychev, V.V. Brende
NATURAL TRANSVERSE VIBRATIONS OF AN ORTHOTROPIC PLATE-STRIP WITH FREE EDGES
In the article, the authors present their new formulation of the problem of the boundary value of natural vibrations of a homogeneous pre-stressed orthotropic plate-strip in different boundary conditions. A new approximate hyperbolic (in contrast to most authors) equation of oscillations of a homogeneous orthotropic plate-strip is used in the paper in the capacity of an equation of motion. Besides, the authors propose their newly derived boundary conditions for a free edge of the plate. The authors employ the Laplace transformation and a non-standard representation of the general solution of homogeneous differential equations with constant coefficients. The authors also provide a detailed description of the problem of free vibrations of a homogeneous orthotropic plate-strip, if rigidly attached in the opposite sides. The results presented in this article may be applied in the areas of construction and machine building, wherever flat structural elements are used. In addition, professionals in mechanics of solid deformable body and elasticity theory may benefit from the findings presented in the article.
Key words: solid mechanics, orthotropic plate, natural oscillations, anisotropy, frequency equation, boundary value problem, theory of elasticity, viscoelasticity.
References
1. Uflyand Ya.S. Rasprostranenie voln pri poperechnykh kolebaniyakh sterzhney i plastin [Wave Propagation in the Event of Transverse Vibrations of Rods and Plates]. Prikladnaya matematika i me-khanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1948, vol. 12, no. 33, pp. 287—300.
2. Lyav A. Matematicheskaya teoriya uprugosti [Mathematical Theory of Elasticity]. Moscow-Leningrad, ONTI Publ., 1935, 674 p.
3. Egorychev O.O. Kolebaniya ploskikh elementov konstruktsiy [Vibrations of Flat Elements of Structures]. Moscow, ASV Publ., 2005, pp. 45—49.
4. Egorychev O.A., Egorychev O.O., Brende V.V. Vyvod chastotnogo uravneniya sobstvennykh poperechnykh kolebaniy predvaritel'no napryazhennoy plastiny uprugo zakreplennoy po odnomu krayu i zhestko zakreplennoy po-drugomu [Derivation of a Frequency Equation of Natural Transverse Vibrations of a Pre-stressed Elastic Plate, If One Edge Is Fixed Rigidly and the Other One is Fixed Elastically]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 3, pp. 246—251.
5. Filippov I.G., Cheban V.G. Matematicheskaya teoriya kolebaniy uprugikh i vyazkouprugikh plastin i sterzhney [Mathematical Theory of Vibrations of Elastic and Viscoelastic Plates and Rods]. Kishinev, Shtiintsa Publ., 1988, pp. 27—30.
6. Gupta A.K., Aragval N., Kumar S. Svobodnye kolebaniya ortotropnoy vyazkouprugoy plastiny s postoyanno menyayushcheysya tolshchinoy i plotnost'yu [Free Transverse Vibrations of an Orthotropic Visco-Elastic Plate with Continuously Varying Thickness and Density]. Institute of Thermal Dynamics, Prague, Czech Republic, 2010, no. 2.
7. Egorychev O.A., Egorychev O.O., Brende V.V. Sobstvennye poperechnye kolebaniya predvaritel'no napryazhennoy ortotropnoy plastinki-polosy uprugo zakreplennoy po odnomu krayu i svo-bodnoy po drugomu [Natural Transverse Vibrations of a Pre-stressed Orthotropic Plate, If One Edge Is Fixed Elastically and the Other One Is Free]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 3, pp. 252—258.
ВЕСТНИК 7/2012
8. Lol R. Poperechnye kolebaniya ortotropnykh neodnorodnykh pryamougol'nykh plastin snepreryv-no menyayushcheysya plotnost'yu [Transverse Vibrations of Orthotropic Non-homogeneous Rectangular Plates with Continuously Varying Density]. Indian University of Technology, 2002, no. 5.
9. Egorychev O.A., Brende V.V. Sobstvennye kolebaniya odnorodnoy ortotropnoy plastiny [Natural Vibrations of a Homogeneous Orthotropic Plate]. Department of Industrial and Civil Engineering, 2010, no. 6, pp.
10. Lekhnitskiy S.G. Teoriya uprugosti anizotropnogo tela [Theory of Elasticity of an Anisotropic Body]. Moscow, Nauka. Fizmatlit Publ., 1977.
About the authors: Egorychev Oleg Aleksandrovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, misi@mgsu.ru;
Egorychev Oleg Olegovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Chair, Department of Theoretical Mechanics and Thermodynamics, First Vice-Chancellor, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, misi@mgsu.ru;
Brende Vladimir Vladislavovich — Senior Lecturer, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; brende@mail.ru; +7 (499) 161-21-57.
For citation: Egorychev O.A., Egorychev O.O., Brende V.V. Poperechnye sobstvennye kolebaniya ortotropnoy plastiny-polosy so svobodnymi krayami [Natural Transverse Vibrations of an Orthotropic PlateStrip with Free Edges]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 7, pp. 26—30.
30
ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 7
