CC BY
27
УДК 534.121.1
ЗАВИСИМОСТЬ ПЕРВОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ КРУГОВОЙ ПЛАСТИНЫ ОТ ДЛИНЫ ЗАКРЕПЛЕНИЯ ПО КОНТУРУ
© А. М. Ахтямов1'2, Л. Р. Нусратуллина3, Э. М. Нусратуллин4*
1Институт механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН Россия, Республика Башкортостан, 450054 г. Уфа, пр. Октября, 71.
2Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
Межрайонная инспекция Федеральной налоговой службы №2 по Республике Башкортостан Россия, Республика Башкортостан, 450055 г. Уфа, пр. Октября, 144/3.
4Уфимский государственный авиационный технический университет Россия, Республика Башкортостан, 450000 г. Уфа, ул. К. Маркса, 12.
*Email: nusratullinem@rambler.ru
Рассмотрена круговая однородная пластина, которая защемлена по некоторой дуге ее кругового контура. Вне этой дуги контур пластины свободен. Известны параметры круглой однородной пластины (ее радиус, толщина и цилиндрическая жесткость). В статье решаются прямая задача определения первой собственной частоты свободных колебаний пластины и граничная обратная задача - задача определения длины защемленной дуги кругового контура. Выявлено, что функция, выражающая зависимость частоты от длины дуги является возрастающей. Причем до определенного значения эта функция возрастает быстро (выпукла вниз), после чего возрастание становится медленным (функция становится выпуклой вверх). Перегиб достигается тогда, когда длина защемленной дуги становится в три раза большей его свободной части. Функция, выражающая зависимость длины защемленного контура от первой частоты, также является возрастающей. Причем до определенного значения эта функция возрастает медленно (выпукла вверх), после чего возрастание становится быстрым (функция становится выпуклой вниз). Построены две математические модели для решения прямой и обратной задач. Первая математическая модель представляет собой аппроксимирующий полином 6-го порядка. Вторая математическая модель - кубический сплайн. Показано, что вторая модель позволяет с более высокой точностью решать прямую и обратную задачи.
Ключевые слова: круговая пластина, моделирование, собственные частоты, колебания, закрепление, обратная задача, идентификация.
Введение или же его местоположение, а длина закрепления
по контуру пластины.
Вторая группа работ посвящена проблемам шумоподавления в двигателях автомобилей и авиалайнеров. Однако в статьях, посвященных этой
Круговые пластины являются деталями различных аппаратов. Если пластина недоступна для визуального осмотра, для обнаружения неисправности ее закрепления можно использовать соб-
г _ _ „ _ тематике, ищутся конструктивные изменения, ко-
ственные частоты ее изгибных колебаний. Возни-
торые бы позволили удовлетворить необходимым требованиям к шуму, давлению или другим харак-
ний круговой пластины однозначно определить
„ г теристикам (см., например, [6]). Ставятся в этих
кает вопрос: можно ли по первой частоте колеба-
длину ее закрепления по контуру? В настоящей статье дается и обосновывается положительный
работах и обратные краевые задачи. Так в работах
[7, 8] исследовались условия на входе и выходе ответ на этот вопрос.
труб и трубопроводных систем. Близкие постановки задач предлагались в ра- „ í ,
В третьей группе работ изучаются так называ-ботах 11-221. Их условно можно подразделить на / г " ^ г
емые обратные спектральные задачи. В этих рабо-
четьфе группы. тах (см., например, Г9] и библиографию к этой кни-
Первую группу этих работ составляют задачи ч _ ,, ,,
г „ ^ г „ Г11 ге) требуются восстановить коэффициенты диффе-
акустической диагностики. Так, в работе 111 ста- „ „
ренциального уравнения и краевых условий. Одна-
вился вопрос: можно ли по звучанию барабана
ко в этих работах в качестве данных восстановления краевых условий используются не один спектр, а несколько спектров или же другие дополнительные спектральные данные (например, спектральная объекта и его положение в камере. Статья 151 была , , „ „
функция, функция Вейля, так называемые весовые
посвящена способу обнаружения шпал, потеряв-
числа). К тому же, основной целью этих работ яв-
ших плотный контакт с балластом насыпи, при помощи ударного возбуждения колебаний и анализа акустических сигналов. В отличие от всех этих работ и других, им подобных, в настоящей работе отыскиваются не форма области, размеры объекта
установить его форму? В [2, 3] решались задачи акустической диагностики механизмов. В [4] по сдвигам собственных частот определялись размеры
ляется восстановление коэффициентов в уравнении.
Наиболее близки нашим исследованиям работы четвертой группы, где по собственным частотам
определяются краевые условия и условия сопряжения. Это работы О. А. Ватульяна [10], М. Г. Гладвэлла [11], М. А. Ильгамова [12, 13], А. М. Ах-тямова [14-18] и др.
Например, в работе [18] рассматривалась задача об идентификации закрепления треугольной мембраны по первой собственной частоте ее колебаний. Показано, что для мембраны, имеющей форму равнобедренного прямоугольного треугольника, закрепление сторон определяется по первому собственному значению однозначно.
Близкие постановки прямой задачи также рассмотрены в работах [19-22] где рассматриваются колебания пластин различных форм при различных закреплениях по краям пластины и решаются прямые задачи определения собственных частот.
Постановка обратной задачи
Прямая задача состоит в поиске собственных частот колебаний пластины с известными параметрами и условиями закрепления. Однако на практике часто возникает обратная к ней задача, состоящая в следующем: пусть известны параметры круглой однородной пластины (ее радиус, толщина и цилиндрическая жесткость) и собственные частоты ее изгибных колебаний, но не известны условия закрепления пластины. Требуется определить по первой собственной частоте ее колебаний, на какую длину по контуру закреплена пластина. На протяжении всей статьи под закреплением будем понимать ее защемление.
Моделирование задачи
В пакете SolidWorks была смоделирована стальная пластина со следующими параметрами: радиус R = 50 мм, толщина s = 1 мм, модуль упругости материала Е = 2.1 • 1011 Па.
Пластина была разбита на 20 секторов с шагом в ^ рад (рис. 1). Было рассмотрено последовательное закрепление внешнего контура секторов (рис. 1). После чего вычислялась частота колебаний У;, соответствующая данному закреплению X;, где Хг е [0; 1].
В результате вычислений была получена зависимость первой частоты колебаний круглой пластины от длины закрепления по контуру. Частота измерялась в герцах, а длина - в обезразмеренных величинах, длина всего контура круговой пластины
принималась за единицу. Результаты вычислений даны в табл. 1.
Рис. 1. Пластина, разбитая на сектора и закрепленная по контуру.
Зависимость 1-й частоты колебаний круговой пластины от длины закрепления по контуру приведен на рис. 2. Функция, выражающая эту зависимость, является возрастающей. При этом до определенного значения эта функция возрастает быстро (выпукла вниз), после чего возрастание становится медленным (функция становится выпуклой вверх). Перегиб достигается, когда длина защемленной дуги становится в 3 раза больше его свободной части. Из графика видно также, что функция, выражающая зависимость длины защемленного контура от 1-й частоты, также является возрастающей. При этом до определенного значения эта функция возрастает медленно (выпукла вверх), после чего возрастание становится быстрым (функция становится выпуклой вниз).
С помощью пакета Ма1ЬаЪ был найден аппроксимирующий полином 6-й степени
у(х) = 17691.50663137003х6 --57542.6463745946822Х5 + +69114.0082458889083 х4 --37892.3672264006236х3 + +9881.14840132755672х2 -
-1050.26876017393148х + 52.94270463.
Графики частот и аппроксимирующего полинома приведены на рис. 3.
Вычислим значения частот в точках , I = 0,.. ,19.
Зависимость первой частоты колебаний круглой пластины от длины закрепления
Таблица 1
Длина закрепления, 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Частота колебаний, у;, Гц 17.735 20.497 23.11 25.997 29.366 33.47 38.518 44.941 53.144 63.847
Длина закрепления, х; 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
Частота колебаний, у;, Гц 78.17 97.446 124.5 162.16 208.41 235.91 246.15 251.91 255.64 256.81
300
250
я
[—1
« 200
й ю
ё 150 о и й
g 100
ä
50 0
♦ ♦ ♦
♦ ♦ ♦ ♦ ♦
♦ ♦
Рис. 2. Зависимость первой частоты колебаний круговой пластины от длины закрепления по контуру.
Для характеристики точности модели воспользуемся показателем средней относительной ошибки аппроксимации, который рассчитывается по формуле [23]:
= 1 У \yi - Vi п Vi
• 100%.
Таблица 2
Оценка точности аппроксимирующего полинома 6-го порядка
Длина закрепления, xt Частота, вычисленная в SolidWorks, Уь Гц
0.05 17.992
0.1 20.548
0.15 23.152
0.2 25.997
0.25 29.356
0.3 33.541
0.35 38.528
0.4 44.921
0.45 53.119
0.5 63.794
0.55 77.960
0.6 97.167
0.65 124.310
0.7 161.560
0.75 207.790
0.8 235.670
0.85 245.990
0.9 251.780
0.95 255.480
1 256.600
Частота, найденная по аппроксимирующему полиному 6-го порядка, Уь Гц
Погрешность вычислений, Ы-Уг1
20.8098486 15.1886113 20.6623295 28.2969736 33.9808714 36.963462 38.5930796 41.2537657 47.5011113 59.3971289 78.0441532 103.317772 133.798786 166.904198 199.217232 227.016381 247.003487 257.230846 258.227342 254.323622
У1-У1
Vi 100%
2.817849 5.359389 2.48967 2.299974 4.624871 3.422462 0.06508 3.667234 5.617889 4.396871 0.084153 6.150772 9.488786 5.344198 8.572768 8.653619 1.013487 5.450846 2.747342 2.276378
15.66 26.08 10.75 8.85 15.75 10.20 0.17 8.16 10.58 6.89 0.11 6.33 7.63 3.31 4.13 3.67 0.41 2.16 1.08 0.89 142.82
Для построенной модели ошибка аппроксимации ёотн = 7.14. Полученное значение средней относительной ошибки говорит о среднем уровне точности построенного полинома.
С помощью пакета Maple был найден интерполирующий кубический сплайн [24]:
W(x) =
W,
(х) = 1
со
(х - X) ,
а=0
хе [xi, Xi+1] х0 = 0.05 xi+1 = Xi + 0.05
1 = 0.19
Коэффициенты а(^) представим в виде матрицы, элементы которой приведем в таблице (табл. 3). Вычислим значения частот в точках х1.
В качестве примера решения прямой задачи по найденному сплайну найдем значения в точках 0.025, 0.075, 0.125, ..., 0.975 и сравним их со значениями, найденными в пакете SolidWorks. Полученные результаты приведем в таблице (табл. 5). Средняя относительная ошибка равна ёатн = 0.7.
Полученное значение говорит о высоком уровне точности построенного кубического сплайна.
Перейдем к решению обратной задачи: по известному значению частоты необходимо найти длину закрепления пластины по контуру. Исходя из полученной таблицы зависимости 1-й частоты колебаний от длины закрепления попытаемся восстановить обратную функцию для неизвестной длины закрепления, т.е. найти функцию С (у) такую, что в{Ш(х)) = х или же эквивалентно, Ш(<С(у)) = у. Разумеется, точно эту функцию для сплайна W(x) построить крайне сложно, но ведь и сам интерполяционный сплайн является лишь некоторым приближением реальности. Поэтому имеет смысл решить поставленную задачу непосредственным использованием результатов таблицы, которая имеет
и
соответствие х « Ж для некоторых пар значений; это соответствие можно использовать не только в отношении х ^ Ж, но и в направлении х ^ Ш, то есть строить интерполяционный полином для х как функцию от W (фактически перевернуть интерполяционную таблицу).
Поступив именно таким образом, получен кубический сплайн О(у):
С(у) =
Сз(у) = ^Ь®(у-
Уг)0
Коэффициенты Ь„1) представим в виде матрицы, коэффициенты которой приведем в табл. 6.
Решим теперь обратную задачу с помощью интерполирующего кубического сплайна на конкретных примерах и сравним их с известными ре-
шениями прямой задачи. Для этого с помощью SolidWorks вычислим сначала значения первой частоты при длинах закрепления контуров равных 0.025, 0.075, 0.125, ..., 0.975. Получим первые частоты, равные соответственно 20.79, 21.833, 27.662, ..., 256.37 Гц (см. 1-й и 2-й столбцы табл. 7). По полученным частотам 20.79, 21.833, 27.662, ..., 256.37 Гц решим обратную задачу с помощью интерполирующего кубического сплайна С (у) и табл. 6. Получим значения дуг закрепления, указанные в 3-м столбце табл. 7. В столбцах 4 и 5 табл. 7 даны соответственно абсолютные и относительные погрешности вычислений.
Средняя относительная ошибка равна еотн = 2.31. Полученное значение говорит о том, что построенный кубический сплайн позволяет с высокой точностью решать обратную задачу.
Таблица 3
Коэффициенты интерполирующего кубического сплайна для решения прямой задачи
Интервал изменения длины закрепления
(х - х;)°
(х-х;)!
(х - х;)2
(х -х;)3
3
а=0
[0; 0.05] 442.5714991 -33092.59965
[0.05; 0.1] 17.992 51.08184189 0 15.26324506
[0.1; 0.15] 20.54800000 51.19631623 2.28948676 307.68377470
[0.15; 0.2] 23.15200000 53.73289321 48.44205296 298.00165620
[0.2; 0.25] 25.99700000 60.81211093 93.14230139 684.30960070
[0.25; 0.3] 29.35600000 75.25866307 195.78874149 -539.24005870
[0.3; 0.35] 33.54100000 90.79323678 114.90273266 1280.65063500
[0.35; 0.4] 38.52800000 111.88838980 307.00032787 248.63752000
[0.4; 0.45] 44.92100000 144.45320400 344.29595585 916.79928530
[0.45; 0.5] 53.11900000 185.75879420 481.81584871 1460.16533700
[0.5; 0.55] 63.79399995 244.89161910 700.84064931 1354.53936500
[0.55; 0.6] 77.96000002 325.13472930 904.02155406 5521.67720000
[0.6; 0.65] 97.16700002 456.94946370 1732.27313446 -281.24817330
[0.65; 0.7] 124.31000004 628.06741590 1690.08590810 12971.31550000
[0.7; 0.75] 161.56000003 894.36087290 3635.78323314 -60620.01383000
[0.75; 0.8] 207.78999997 803.28909250 -5457.21884068 10868.73981000
[0.8; 0.85] 235.67000000 339.08275700 -3826.90787044 23465.05461000
[0.85; 0.9] 245.98999996 132.37987960 -307.14967756 -488.95827800
[0.9; 0.95] 251.77999996 97.99772473 -380.49341932 -1989.22150600
[0.95; 1] 255.48000003 45.02922150 -678.87664517 4525.84430000
Рис. 4. Графики частоты и интерполирующего кубического сплайна.
Таблица 4
Сравнение частот, найденных в SoHdWorks _и по сплайну_
Длина за- Частота, Частота, найден-
крепления, найденная по ная в БоШШогкз,
X; сплайну, у, Гц У;, Гц
0.05 17.992 17.992
0.1 20.548 20.548
0.15 23.152 23.152
0.2 25.997 25.997
0.25 29.356 29.356
0.3 33.541 33.541
0.35 38.528 38.528
0.4 44.921 44.921
0.45 53.119 53.119
0.5 63.794 63.794
0.55 77.960 77.960
0.6 97.167 97.167
0.65 124.310 124.310
0.7 161.560 161.560
0.75 207.790 207.790
0.8 235.670 235.670
0.85 245.990 245.990
0.9 251.780 251.780
0.95 255.480 255.480
1 256.600 256.600
Выводы
Рассмотрены две задачи. Первая задача - это (прямая) задача нахождения 1-й частоты колебаний круговой пластины по длине закрепления ее контура. Вторая задача - это обратная задача, связанная с нахождением длины закрепления пластины по первой частоте свободных колебаний пластины. Для описания зависимости частоты колебаний от длины защемления были построены две математические модели. Первая модель - аппроксимирующий по-
Таблица 5 Оценка точности кубического сплайна _для решения прямой задачи _
Длина закреп-ле-ния, х; Частота, найденная по сплайну, У, Гц Частота, найденная в SolidWorks, У;, Гц Погрешность вычислений, 1Уг -£1, Гц У; - У У; • 100%
0.025 16.71472 15.999 0.715715 4.28
0.075 19.26928 20.79 1.520715 7.89
0.125 21.83415 21.833 0.001146 0.01
0.175 24.53025 24.552 0.021745 0.09
0.225 27.58621 27.662 0.075791 0.27
0.275 31.35141 31.299 0.052409 0.17
0.325 35.90266 35.835 0.067655 0.19
0.375 41.52097 41.528 0.007030 0.02
0.425 48.76184 48.782 0.020160 0.04
0.475 58.08692 58.074 0.012920 0.02
0.525 70.37548 70.441 0.065519 0.09
0.575 86.73966 86.935 0.195342 0.23
0.625 109.669 109.42 0.249013 0.23
0.675 141.2707 141.17 0.100666 0.07
0.725 185.2442 184.98 0.264199 0.14
0.775 224.6313 225.63 0.998710 0.44
0.825 242.1219 241.78 0.341893 0.14
0.875 249.0999 249.17 0.070112 0.03
0.925 253.9611 253.89 0.071053 0.03
0.975 256.2521 256.37 0.117851 0.05 14.43
лином 6-го порядка для решения прямой задачи. Средняя относительная ошибка при решении прямой задачи равна 7.14 %. Вторая модель - кубический сплайн. При решении прямой задачи средняя относительная ошибка равна 0.7%, что гораздо меньше, чем у первой модели. Для решения обратной задачи математическая модель в виде кубиче-
Таблица 6
Коэффициенты интерполирующего кубического сплайна для решения обратной задачи_
Интервал изменения частоты (у-у)0 (у - У;)1 (У - У;)2 (У - У;)3
[0, 17.992] [17.992, 20.548] [20.548, 23.152] [23.512, 25.997] [25.997, 29.356] [29.356, 33.541] [33.541, 38.528] [38.528, 44.921] [44.921, 53.119] [53.119, 63.794] [63.794, 77.96] [77.96, 97.167] [97.167, 124.31] [124.31, 161.56] [161.56, 207.79] [207.79, 235.67] [235.67, 245.99] [245.99, 251.78] [251.78, 255.48] [255.48, 256.6]
0.0500000000 0.1000000000 0.1500000000 0.2000000000 0.2500000000 0.3000000000 0.3500000000 0.4000000000 0.4500000000 0.5000000000 0.5500000000 0.6000000000 0.6500000000 0.5194381070 0.7500000000 0.8000000000 0.8499999997 0.9000000003 0.9500000002 0.0500000000
0.0195817122 0.0195220217 0.0186204546 0.0164017357 0.0133877233 0.0109095001 0.0090165723 0.0068857284 0.0053914397 0.0040870915 0.0030593519 0.0022101565 0.0015723067 0.0011176151 0.0012815945 0.0025539775 0.0090533104 0.0043633041 0.0370072352 0.0195817122
0
-0.0000233531
-0.0003228709
-0.0004569952
-0.0004402993
-0.0001518687
-0.0002277038
-0.0001056051
-0.0000766697
0.0000455175
-0.0000270322
-0.0000171806
-0.0000063190
-0.0000058875
0.0000094345
0.0000362033
0.0005935770
-0.0014035954
0.0102262794
0.0000000000
-0.0000030455 -0.0000383407 -0.0000157146 0.0000016568 0.0000229734 -0.0000050689 0.0000063663 0.0000011765 0.0000009727 0.0000004350 0.0000001710 0.0000001334 0.0000000039 0.0000001105 0.0000003200 0.0000180030 -0.0001149783 0.0010477365 -0.0030435355 -0.0000030455
300 4 250
йни 200
! 150
а т
тто тса
аЧ
100 50
^ «V «V 4
Рис. 3. Графики частоты и аппроксимирующего полинома 6-го порядка.
Таблица 7
Оценка точности кубического сплайна для решения обратной задачи
Частота, Гц
Длина дуги, xt
Длина дуги, найденная по сплайну, xl
Погрешность вычислений _lxi-xll_
100%
20.790
21.833
24.552
27.662
31.299
35.835
41.528
48.782
58.074
70.441
86.935
109.420
141.170
184.980
225.630
241.780
249.170
253.890
256.370
0.075 0.125 0.175 0.225 0.275 0.325 0.375 0.425 0.475 0.525 0.575 0.625 0.675 0.725 0.775 0.825 0.875 0.925 0.975
0.105 0.125 0.175 0.226 0.275 0.324 0.375 0.425 0.475 0.529 0.575 0.625 0.675 0.724 0.778 0.821 0.881 0.913 0.989
ского сплайна также оказалась достаточно точной. Средняя относительная ошибка модели составила 2.31%. Таким образом, вторая модель - кубический сплайн G(y) - позволяет с высокой точностью решать прямую и обратную задачу. И если круговая пластина недоступна для визуального осмотра, то длину ее защемления по контуру достаточно точно можно оценить по первой собственной частоте ее свободных колебаний с помощью кубического сплайна G(y).
ЛИТЕРАТУРА
1. Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly. 1966. Vol. 73. No. 4. P. 1-23.
2. Павлов Б. В. Акустическая диагностика механизмов. М.: Машиностроение. 1971. 223 с.
3. Биргер И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение. 1978. 239 с.
4. Quinli W. W., Fricke F. Determination of the size of an object and its location in a cavity by eigenfrequency shifts // Nat. Conf. Publ. Inst. Eng. Austral. 1990. No. 9. P. 329-333.
5. Васильев Н. А., Дворников С. И. Экспериментальные исследования колебательных характеристик железнодорожных шпал // Акуст. журнал. 2000. Т. 46. №3. С. 424-426.
10. 11. 12.
13.
14.
15.
0.029723 39.63
0.000034 0.03
0.000393 0.22
0.001050 0.47
0.000481 0.18
0.000834 0.26
0.000172 0.05
0.000079 0.02
0.000049 0.01
0.004306 0.82
0.000404 0.07
0.000253 0.04
0.000269 0.04
0.000636 0.09
0.002684 0.35
0.003937 0.48
0.006095 0.70
0.012200 1.32
0.013891 1.42
46.18
Oh S., Kim H., Park Y. Active control of road booming noise in automotive interiors // J. Acoust. Soc. Amer. 2002. Vol. 111. No. 1. P. 180-188.
Frikha S., Coffignal G., Trolle J. L. Boundary condition identification using condensation and inversion // J. Sound and Vib. 2000. Vol. 233. No. 3. P. 495-514.
Frikha S., Gaudin M., Coffignal G. Boundary condition error for parametric updating of In-operation systems application to piping systems // J. Sound and Vib. 2001. Vol. 241. No. 3. P. 373-399. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: Изд-во Саратов: Изд-во Сарат. педагогич. Ин-та. 2001. 499 с.
Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит. 2007. 224 с. Gladwell G. M. L. Inverse Problems in Vibration. 2nd ed. London: Kluwer Academic Publishers, 2004. Ильгамов М. А. Диагностика повреждений вертикальной штанги // Труды института механики УНЦ РАН. Уфа: Ги-лем, 2007. Вып. 5. C. 201-211.
Ахтямов А. М., Ильгамов М. А. Модель изгиба балки с надрезом: прямая и обратная задачи // Прикладная механика и техническая физика. 2013. Т. 54. №>1 (317). С. 152-162. Ахтямов А. М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. М.: Физматлит. 2009. 272 с. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. М.: Изд-во МГУ, 2009. 184 с.
0
x — x
16. Ахтямов А. М. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины по ее звучанию? // Акустический журнал. 2003. Т. 49. №3. С. 325-331.
17. Ахтямов А. М. Диагностика закрепления прямоугольной мембраны по собственным частотам ее колебаний // Акустический журнал. 2006. Т. 52, №3. С. 293-296.
18. Ахтямов А. М., Семин Н. В. Идентификация закрепленности треугольной мембраны по первой собственной частоте ее колебаний // Акустический журнал. 2011. Т. 57. №4. С. 435-437.
19. Андрианов И. В., Данишевский В. В., Иванков А. О. Асимптотические методы в теории колебаний балок и пластин. Днепропетровск: Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры, 2010. 216 с.
20. Варвак П. М., Рябов А. Ф. Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей). Киев: Буд1вельник, 1971. С. 418.
21. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968. 503 с.
22. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.
23. Федосеев В. В., Гармаш А. Н., Орлова И. В. Экономико-математические методы и прикладные модели. 2-е издание. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 304 с.
24. Павлов В. П. Метод сплайнов и другие численные методы решения одномерных задач механики деформируемых твердых тел. Уфа, 2003. 197 с.
Поступила в редакцию 15.02.2015 г. После доработки - 15.03.2015 г.
THE DEPENDENCE OF THE FIRST FREQUENCY VIBRATIONS OF CIRCULAR PLATES ON THE LENGTH OF THE FASTENING CONTOUR
© ^ M. Akhtyamov12, L. R. Nusratullina3, E. M. Nusratullin4*
1Institute of Mechanics, Ufa Scientific Center, Russian Academy of Sciences 71 Oktyabrya Ave., 450054 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
2Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
3Interdistrict inspection of Federal tax service No. 2 in the Republic of Bashkortostan 144/3 Oktyabrya Ave., 450055 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
4Ufa State Aviation Technical University 12Karl Marx St., 450000 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
*Email: nusratullinem@rambler.ru
A homogeneous circular plate, which is clamped along an arc of circular contour of this plate, is considered. Circular plate fixing is free outside of this arc. Parameters homogeneous circular plate (its radius, thickness and stiffness of cylindrical) are known. The direct problem of determining the first natural frequency of plate free oscillations and the boundary inverse problem article are solved in the article. The boundary inverse problem is the problem of determining the length of a clamped arc of the circular plate. The following facts are revealed: the function, which expresses the frequency dependence on the length of clamped arc, is increasing. Moreover, this function is increasing rapidly (the function is concave) up to a certain value, then increase becomes slow (the function becomes convex). The inflection point is achieved when the length of clamped arc becomes three times more than the free arc length. The function, which expresses the length dependence of clamped arc on the frequency, is increasing. Moreover, this function is increasing slowly (the function is convex) up to a certain value, then increase becomes rapidly (the function becomes concave). Two mathematical models for solving direct and inverse problems are compiled. The first mathematical model is the approximating polynomial of order 6. The second mathematical model is a cubic spline. It is shown that the second mathematical model allows solving direct and inverse problems with higher precision than the first mathematical model.
Keywords: circular plate, modeling, natural frequencies, oscillations, fastening, inverse problem, identification. Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Kac M. Amer. Math. Monthly. 1966. Vol. 73. No. 4. Pp. 1-23.
2. Pavlov B. V. Akusticheskaya diagnostika mekhanizmov [Acoustic diagnostics of mechanisms]. Moscow: Mashinostroenie. 1971.
3. Birger I. A. Tekhnicheskaya diagnostika [Technical diagnostics]. Moscow: Mashinostroenie. 1978.
4. Quinli W. W., Fricke F. Nat. Conf. Publ. Inst. Eng. Austral. 1990. No. 9. Pp. 329-333.
5. Vasil'ev N. A., Dvornikov S. I. Akust. zhurnal. 2000. Vol. 46. No. 3. Pp. 424-426.
6. Oh S., Kim H., Park Y. J. Acoust. Soc. Amer. 2002. Vol. 111. No. 1. Pp. 180-188.
7. Frikha S., Coffignal G., Trolle J. L. J. Sound and Vib. 2000. Vol. 233. No. 3. Pp. 495-514.
8. Frikha S., Gaudin M., Coffignal G. J. Sound and Vib. 2001. Vol. 241. No. 3. Pp. 373-399.
9. Yurko V. A. Obratnye spektral'nye zadachi i ikh prilozheniya [Inverse spectral problems and their applications]. Saratov: Izd-vo Saratov: Izd-vo Sarat. pedagogich. In-ta. 2001.
10. Vatul'yan A. O. Obratnye zadachi v mekhanike deformiruemogo tverdogo tela [Inverse problems in mechanics of deformable solids]. Moscow: Fizmatlit. 2007.
11. Gladwell G. M. L. Inverse Problems in Vibration. 2nd ed. London: Kluwer Academic Publishers, 2004.
12. Il'gamov M. A. Trudy instituta mekhaniki UNTs RAN. Ufa: Gilem, 2007. No. 5. Pp. 201-211.
13. Akhtyamov A. M., Il'gamov M. A. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika. 2013. Vol. 54. No. 1 (317). Pp. 152-162.
14. Akhtyamov A. M. Teoriya identifikatsii kraevykh uslovii i ee prilozheniya [The theory of identification of boundary conditions and its applications]. Moscow: Fizmatlit. 2009.
15. Sadovnichii V A., Sultanaev Ya. T., Akhtyamov A. M. Obratnye zadachi Shturma-Liuvillya s neraspadayushchimisya kraevymi uslovi-yami [Inverse Sturm-Liouville problem with nonseparated boundary conditions]. Moscow: Izd-vo MGU, 2009.
16. Akhtyamov A. M. Akusticheskii zhurnal. 2003. Vol. 49. No. 3. Pp. 325-331.
17. Akhtyamov A. M. Akusticheskii zhurnal. 2006. Vol. 52, No. 3. Pp. 293-296.
18. Akhtyamov A. M., Semin N. V. Akusticheskii zhurnal. 2011. Vol. 57. No. 4. Pp. 435-437.
19. Andrianov I. V, Danishevskii V. V, Ivankov A. O. Asimptoticheskie metody v teorii kolebanii balok i plastin [Asymptotic methods in the theory of vibrations of beams and plates]. Dnepropetrovsk: Pridneprovskaya gosudarstvennaya akademiya stroitel'stva i arkhitektury, 2010.
20. Varvak P. M., Ryabov A. F. Spravochnik po teorii uprugosti (dlya inzhenerov-stroitelei) [Handbook of theory of elasticity (for civil engineers)]. Kiev: Budivel'nik, 1971. Pp. 418.
21. Kollatts L. Zadachi na sobstvennye znacheniya (s tekhnicheskimi prilozheniyami) [Tasks on the problems of eigenvalues (with technical appendices)]. Moscow: Nauka, 1968.
22. Vibratsii v tekhnike: Spravochnik. Vol. 1. Kolebaniya lineinykh system [Vibration in engineering: Handbook. Vol. 1. Vibrations of linear systems]. Ed. V. V. Bolotina. Moscow: Mashinostroenie, 1978.
23. Fedoseev V. V., Garmash A. N., Orlova I. V. Ekonomiko-matematicheskie metody i prikladnye modeli [Economic-mathematical methods and applied models]. 2-e izdanie. Moscow: YuNITI-DANA, 2005.
24. Pavlov V. P. Metod splainov i drugie chislennye metody resheniya odnomernykh zadach mekhaniki deformiruemykh tverdykh tel [Method of splines and other numerical methods for solving one-dimensional problems of mechanics of deformable solids]. Ufa, 2003.
Received 15.02.2015. Revised 15.03.2015.
