Определение длины, плотности и модуля упругости коррозионного участка стержня по собственным частотам продольных колебаний Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.113

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ, ПЛОТНОСТИ И МОДУЛЯ УПРУГОСТИ КОРРОЗИОННОГО УЧАСТКА СТЕРЖНЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ

ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

© А. М. Ахтямов12, Д. Р. Галеева1*

1Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

2Институт механики Уфимского НЦ РАН им. Р.Р. Мавлютова Россия, Республика Башкортостан, 450054 г. Уфа, пр. Октября, 71.

*Етай: lara_wood@mail.ru.

Сформулирована математическая модель неоднородного стержня с коррозионным участком. Решена задача определения длины, модуля упругости и плотности коррозионного участка стрежня по трем собственным частотам продольных колебаний. Выведены уравнения для вычисления собственных частот неоднородного и однородного стержней. Исследована зависимость собственных частот от свойств коррозионного участка. Показано, что увеличение длины коррозионного участка или удаление его от свободного конца стержня приводит к уменьшению первой собственной частоты колебаний. Представлены графики зависимости собственных частот продольных колебаний от длины и местоположения коррозионного участка. Приведены соответствующие примеры.

Ключевые слова: коррозия, неоднородный стержень, собственные частоты, скорость распространения волны, колебания.

Введение

Несмотря на изоляционное покрытие большинство металлических конструкций подвержено постепенному коррозионному разрушению под влиянием окружающей среды. Но зачастую визуально определить наличие и масштабы коррозионного износа практически невозможно. Поэтому в настоящее время активно развиваются различные направления неразру-шающего контроля, одним из которых является вибродиагностика [1]. В работах [2-4] изучалась возможность расчетной оценки скорости утонения стальных резервуаров, а также прогнозировался риск возникновения коррозионных дефектов и их идентификация. В работах [5-12] рассматривались задачи идентификации трещин в стержнях и трубах по собственным частотам колебаний.

В отличие от них в настоящей работе рассматривается случай идентификации коррозии по собственным частотам продольных колебаний в случае, когда известно начало коррозионного участка, но неизвестно насколько далеко распространилось коррозионное разрушение, так как дальнейший участок стержня скрыт от визуального осмотра. Представлен метод определения длины, плотности и модуля упругости коррозионного участка стержня по собственным частотам колебаний. Для упрощения задачи авторами предполагается, что коррозионный участок является однородным.

Рассматривается стержень длины Ь . Один конец стержня (х = 0) свободен, другой (х = Ь) -жестко закреплен. Известно, что коррозионный участок начинается с координаты Хс. Однако его длина,

равная I, неизвестна, т.к. коррозионный участок частично недоступен для визуального обзора (см. рис.

1). Требуется определить I, модуль упругости Е2 и

плотность коррозионного участка р^ по собственным частотам колебаний, вызванных ударом по торцу стержня.

В дальнейшем показано, что три неизвестных

собственным частотам, а два - по двум. Перед решением этой обратной задачи приведена постановка прямой задачи и показано, что увеличение длины коррозионного участка, а также удаление его от свободного конца стержня приводит к уменьшению первой собственной частоты колебаний.

Рис. 1. Неоднородный стержень с коррозионным участком.

1. Зависимость собственных частот стержня от длины и местоположения коррозионного участка

Перед изложением результатов по обратной задаче, рассмотрим прямую задачу. По свободному концу производится удар вдоль оси Х, от которого в стержне возникают продольные колебания. Необходимо найти собственные частоты

с, к = 1,2,

к ' '

продольных колебаний стержня. Модули упругости участков Е^, Ег^ и плотности р, р^ считаются известными.

Так как стержень состоит из трех участков, уравнение его продольных колебаний имеет вид [13, с. 160]:

= 0,

д2 и1 1 д 2м1

дх2 с2 дл2

д2 и2 1 д2 и

дх2 с2 Ы2

д2 и3 1 д2и

дх2 с 2 Ы2

- = 0,

параметра

I, Е.

и р2 можно определить по трем

где щ, щ, щ - продольные смещения точек стержня от положения равновесия в сечении х,

С =у1 Е/Р , С = VЕ / А - скорости распространения волны.

Граничные условия и условия сопряжения принимают вид [14, с. 192]

du

x — 0

dx

U (L,t)=0 u1(xc, *) = u2(xc, t),

= 0,

du E 1

1 dx

x — x'c>

— E du2

2 dx

(3)

x = x

Щ(xc +1, t) — u(xc +1, t),

-г

du

E

2 dx du

x — xc + l

(4)

— E

1 dx

x — xc + l .

Воспользуемся методом разделения переменных (методом Фурье) и представим решение задачи (1) -(4) в виде произведения:

щ(х,0 = хп(х) • тп(г), п = 1,3, (5)

X (х) = А • бт(—х) + В • соб(-—х) 6

С С '

Тп (?) = С• бгп(—• ?)+Б • соб—• ?), (7)

где I = 1,2..., А, В, С, Б - произвольные постоянные, — - собственные частоты продольных колебаний.

Подставляя формы решений (6), (7) в задачу (1) и учитывая условия (2)-(4), переходим к вспомогательной задаче на собственные значения, откуда стандартными методами находим характеристический определитель и получаем следующее характеристическое уравнение:

Еге1 БШ

Ok (L - l - xc )

O x„

O l

+ Ec cos

O x„

O l

(8)

rnt (L -1 - xc)

- Ec cos

• соб

a„ l

Если известны ^ следующие 2 'характеристики стрежня: хс, I, Еу, Е2 Р\, Р2 то найти собственные частоты , к = 1,2,... можно из уравнения (8). Уравнение трансцендентное, решений будет бесконечно много.

В случае однородного стрежня (коррозия отсутствует: Е^ = Е2 , Р = р2) собственные частоты вычисляются аналитически по следующей формуле: С1Ж(\ + 2к)

C —

2L

k —1,2...

(9)

Пример 1. Решение прямой задачи

Рассмотрим стержень длиной Ь = 3 м. Стержень сделан из железа [15, с. 63]: р= 7.87-103 кг/м3,

Е = 2110 0 Па, с = 5166 м/с.

Участок, подвергшийся коррозии [16, 17], начинается с координаты хо = 0.75 м,

р2 » 7.6• 103кг/м3, Е = 18.9•Ю10Па,

с2 = 4987 м/с.

Вычислим по формуле (9) собственные частоты для однородного стрежня:

— = 2704.911 рад/с, — = 8114.734

рад/с, — = 13524.556 рад/с.

Собственные частоты — , — и — для стержня с коррозионным участком находим из (8). На рисунке 2 показана зависимость первых трех собственных частот продольных колебаний стержня от длины коррозионного участка. Для наглядности частоты представлены в безразмерном виде.

х

с

+

V С1

V С2

х

+

V c1

V С2

+ E c cos

х

c

O x

k c

E c sm

V c1

v c2

0

х

O x

kc

: 0.99

! 0,985 ь

; 0.98 ' 0.975 0.97 -0,965

\

\ \

>>

------ \

\

\

■

■ ох/сс£

(О ¡ы\

О 0,25 0.5 0,75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 длина коррозионного участка (м)

Рис. 2. Зависимость собственных частот от длины зионного участка.

корро-

Первая частота колебаний (частота основного тона) Щ (I) уменьшается с увеличением I . Вторая и

третья частоты Щ (I), Щ (I) изменяются волнообразно: одному значению С может соответствовать несколько значений I . Это говорит о том, что при решении обратной задачи (поиске I и р по этой

частоте) может возникнуть неоднозначность решения. Поэтому поиск неизвестных величин проводится с использованием как минимум двух частот, а также с учетом таких физических свойств стержня, как

например I е[0, Ь-хс ].

На рис. 3 показана зависимость безразмерных собственных частот от координаты начала коррозионного участка хс . При этом длина коррозионного

участка в данном случае постоянна I = 0.75 м.

— <ч/Ч

- - - - ах/соЦ --

/ \

/ \ > / V /-

/ / \ • Ч'' / /

/ / / \ \\ / /

\ /

\

0,25 0.5 0,75

1,25 1,5 1,75

координата начала коррозии Хс (м)

Рис. 3. Зависимость собственных частот от начала коррозионного участка.

По графику видно, что с удалением коррозионного участка от свободного конца стержня частота основного тона уменьшается. Вторая и третья частоты изменяются волнообразно, что по аналогии с рис. 2 говорит о возможности неоднозначности решения обратной задачи.

2. Определение длины, плотности и модуля упругости коррозионного участка стержня по собственным частотам колебаний

Обратная задача заключается в поиске различных параметров стержня и коррозионного участка по зафиксированным данным собственных частот продольных колебаний. Начало коррозионного участка известно - хс . Известны также модуль упругости

Е и плотность р участков, не подверженных коррозии. Необходимо определить длину Д плотность Р и модуль упругости Е^ коррозионного участка

по трем собственным частотам.

Постановка обратной задачи аналогична постановке задачи (1)-(4). Чтобы найти плотность коррозионного участка, необходимо определить, с какой скоростью с2 на нем распространяется волна. Искомые

параметры

I е[0,Е-хс], с, Е

находятся чис-

ленно из решения системы трех нелинейных уравнений (8) по трем известным собственным частотам колебаний:

Е2с1 б1П

( с(Ь-1-хс

Ехсг б1П

^ а.х ^

СОБ

V с1 У

V с2 У

+ Егсх СОБ

^ сх ^

( „А

юл

Б1П

V с1 У

V с2 У

+ Е1сг СОБ

( ю(Ь-1-хс

(10)

Ехсг б1П

( юх ^

Б1П

V с1 У

V с2 У

/-„п {„ 1 \

™ юл

- Ес СОБ I = 1,2,3.

• СОБ

V с1 У

V с2 У

= 0,

Плотность коррозионного участка вычисляется по формуле:

Е

Рг = ~Г (11)

с „

Пример 2. Решение обратной задачи

Рассмотрим образец из предыдущего примера. Известны три собственные частоты колебаний

Щ , С?2, Щ , длина L = 3 м, Р = 7.87-103 кг/м3, Е = 21-1010 Па, с = 5166 м/с. Коррозионный

участок начинается с координаты х = 0-75 м.

Численно решая систему (10), найдем Д с и

на коррозионном участке. В табл. 1 показаны

вычисленные значения, а также плотность участка , рассчитанная по формуле (11).

х

с

+

+

х

х

с

х

Из табл. 1 видно, что все параметры восстанавливаются однозначно с хорошей точностью по первым трем собственным частотам продольных колебаний стержня с учетом ограничения на длину коррозионного участка: I е[0, Ь — хс ].

Аналогичным образом по двум собственным частотам можно определить три параметра, например, длину, скорость волны и плотность коррозионного участка. Для этого необходимо решить систему из двух уравнений (8). В табл. 2 показаны вычисленные

значения l,

С, с.

с, Рг по двум известным частотам

Таблица 2

Поиск длины l и плотности по первым двум ((

l с, i = 1,2 , Полученные Скорость Плотность

м рад/с l' , м с2, м/с Р , кг/м3

0.5

2703.811 7978.343

0.50000

4987.00340 7599.466

Из табл. 2 видно, что все параметры восстанавливаются однозначно с хорошей точностью по первым двум собственным частотам продольных колебаний стержня с учетом ограничения на длину коррозионного участка: I £ [0, Ь — х, ] .

Заключение

В настоящей работе представлен метод решения прямой и обратной задач для неоднородного стержня, подвергшегося коррозионному разрушению. Показано, что частоты продольных колебаний зависят не только от свойств материалов стержня, но также от длины коррозионного участка и его местоположения. С увеличением длины коррозии, а также с удалением коррозионного участка от свободного конца стержня частота основного тона уменьшается. При решении обратной задачи по трем собственным частотам продольных колебаний можно однозначно определить длину, плотность, модуль упругости коррозионного участка и скорость распространения волны на этом участке. Значения, полученные путем численного решения системы трансцендентных частотных уравнений, с достаточно высокой точностью совпадают с исходными параметрами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахтямов А. М., Каримов А. Р. Диагностирование местоположения трещины в стержне по собственным частотам продольных колебаний // Техническая акустика. 2010. Т. 10. С. 3.

2. Макаренко О. А., Кравцов В. В., Лакман И. А., Ахтямов А. М., Ибрагимов И. Г. Оценочный расчет скорости утонения стенок стальных резервуаров // Проблемы сбора, подго-

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

товки и транспорта нефти и нефтепродуктов. 2009. №3. С. 56-62.

Лакман И. А., Хуснияров М. Х., Гареева И. Ю., Искакова З. М. Подход к прогнозированию риска возникновения дефектов и их идентификации на трубопроводах компрессорных станций // Проблемы сбора, подготовки и транспорта нефти и нефтепродуктов. 2011. №4. С. 94. Гареева И. Ю., Смольникова Т. В., Лакман И. А., Искакова З. М. Повышение безопасности эксплуатации элементов трубопроводов за счет преддиагностики возникновения дефектов // Башкирский химический журнал. 2011. Т. 18. №2. С. 67-71.

Ильгамов М. А., Хакимов А. Г. Отражение продольной волны от воздушной полости в трубопроводе // Известия Уфимского научного центра РАН. 2012. №4. С. 15-21. Ильгамов М. А. Диагностика повреждений вертикальной штанги // Труды института механики УНЦ РАН. Вып. 5. Уфа: Гилем, 2007. С. 201-211.

Ахтямова А. А., Ахтямов А. М. Об однозначности идентификации сосредоточенного инерционного элемента на одном из концов стержня // Вестник Башкирского университета. 2013. №1. С. 7-10.

Ахтямов А. М., Галеева Д. Р. Исследование прямой и обратной задачи о колебаниях неоднородного стержня, состоящего из двух различных участков. // Контроль. Диагностика. 2014. №4. С. 58-63.

Ахтямов А. М., Галеева Д. Р. Определение длины и плотности коррозионного участка стержня по собственным частотам продольных колебаний // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании. VII Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых: сборник трудов. Т. 1. Математика. Уфа: БашГУ, 2014. С. 53-58.

Галеева Д. Р. Исследование прямой и обратной задачи о колебаниях неоднородного стержня, состоящего из трех участков разной плотности и упругости // Математическое моделирование процессов и систем: Сборник трудов II Всерос. науч.-практ. конф. с междунар. уч. Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2013. С. 55-59. Galeeva D. R. Investigation of direct and inverse problems for the rod with corrosion section // Тез.докл. Иностранный язык в профессиональной коммуникации: материалы IV студенческой научно-практической конференции. г. Уфа. 21-30 апреля 2014 г. Уфа: РИЦ БашГУ, 2014. С. 167-168. Ахтямов А. М., Ильгамов М. А. Модель изгиба балки с надрезом: прямая и обратная задачи // Прикладная механика и техническая физика. 2013. Т. 54. №1 (317). С. 152-162. Пейн Г. Физика колебаний и волн. М.: Мир, 1979. 542 с. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. совет: В. Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1978. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. 1978. 352 с, ил.

Нордлинг К., Остерман Д. Справочник по физике для ученого и инженера - СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 528 с.: ил. Гиниятуллин Р. Р. Исследование изменений механических характеристик металлических тонкостенных элементов, находящихся в агрессивных средах и при воздействии физических полей: автореферат дис. ... кандидата технических наук: 01.02.04 / Гиниятуллин Р. Р.; [Место защиты: Институт проблем машиноведения РАН]. Санкт-Петербург, 2013. С. 8-9.

Якупов Н. М., Гиниятуллин Р. Р., Якупов С. Н. Влияние характера деформирования поверхности элементов конструкции на коррозионный износ // Проблемы прочности. 2012. №2. С. 76-84.

Поступила в редакцию 08.04.2015 г.

Поиск длины, плотности и модуля упругости по трем ((

Таблица 1

С, i = 1,3 , рад/с

Полученные l',

Модуль упругости E х Ю10 Па

Скорость с2, м/с

Плотность Р , кг/м3

2686.829 7936.127 13416.430

0.99998

18.90004

4986.99482

7599.771

l

м

м

1

IDENTIFICATION OF LENGTH, DENSITY AND ELASTIC MODULUS OF CORROSION PART OF THE ROD BY NATURAL FREQUENCIES OF LONGITUDINAL VIBRATIONS

© A. M. Akhtyamov12, D. R. Galeeva2*

1Institute of Mechanics, Ufa Scientific Centre of RAS 71 Oktyabrya Ave, 450054 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

2Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 96 36.

*Email: lara_wood@mail.ru

A method for determining length, density and elastic modulus of corrosion part of the rod by the natural frequencies of longitudinal vibrations is presented in the article. A mathematical model of heterogeneous rod containing corrosion part is formulated. The problems of two types are being solved: direct and inverse. The direct problem is to find the natural frequencies of longitudinal vibrations of the rod containing corrosion part. The inverse problem is to define length, average density and elastic modulus of corrosion part from three natural frequencies of longitudinal vibrations. The formulas for calculating the natural frequencies of longitudinal vibrations of heterogeneous and homogeneous rods are presented. It was shown that the natural frequencies of longitudinal vibrations depend not only on the properties of the materials from which the parts of heterogeneous rod are made, but also on the ratio of the lengths of these parts. For example, the first frequency decreases when corrosion area is moved away from the free end of the rod or the length of the corrosion area increases. The formula for calculating length, density and modulus of elasticity of heterogeneous rods is presented. The influence of the material properties of the rod on its natural frequencies is analyzed. Some examples are also given.

Keywords: corrosion, heterogeneous rod, natural frequencies, wave velocity, vibrations.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Akhtyamov A. M., Karimov A. R. Tekhnicheskaya akustika. 2010. Vol. 10. Pp. 3.

2. Makarenko O. A., Kravtsov V. V, Lakman I. A., Akhtyamov A. M., Ibragimov I. G. Problemy sbora, podgotovki i transporta nefti i nefteproduktov. 2009. No. 3. Pp. 56-62.

3. Lakman I. A., Khusniyarov M. Kh., Gareeva I. Yu., Iskakova Z. M. Problemy sbora, podgotovki i transporta nefti i nefteproduktov. 2011. No. 4. Pp. 94.

4. Gareeva I. Yu., Smol'nikova T. V, Lakman I. A., Iskakova Z. M. Bashkirskii khimicheskii zhurnal. 2011. Vol. 18. No. 2. Pp. 67-71.

5. Il'gamov M. A., Khakimov A. G. Izvestiya Ufimskogo nauchnogo tsentra RAN. 2012. No. 4. Pp. 15-21.

6. Il'gamov M. A. Trudy instituta mekhaniki UNTs RAN. No. 5. Ufa: Gilem, 2007. Pp. 201-211.

7. Akhtyamova A. A., Akhtyamov A. M. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2013. No. 1. Pp. 7-10.

8. Akhtyamov A. M., Galeeva D. R. Kontrol'. Diagnostika. 2014. No. 4. Pp. 58-63.

9. Akhtyamov A. M., Galeeva D. R. Fundamental'naya matematika i ee prilozheniya v estestvoznanii. VII Mezhdunarodnaya shkola-konferentsiya dlya studentov, aspirantov i molodykh uchenykh: sbornik trudov. Vol. 1. Matematika. Ufa: BashGU, 2014. Pp. 53-58.

10. Galeeva D. R. Matematicheskoe modelirovanie protsessov i sistem: Cbornik trudov II Vseros. nauch.-prakt. konf. s mezhdunar. uch. Sterlitamak: Sterlitamakskii filial BashGU, 2013. Pp. 55-59.

11. Galeeva D. R. Tez.dokl. Inostrannyi yazyk v professional'noi kommunikatsii: materialy IV studencheskoi nauchno-prakticheskoi kon-ferentsii. g. Ufa. 21-30 aprelya 2014 g. Ufa: RITs BashGU, 2014. Pp. 167-168.

12. Akhtyamov A. M., Il'gamov M. A. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika. 2013. Vol. 54. No. 1 (317). Pp. 152-162.

13. Pein G. Fizika kolebanii i voln. Moscow: Mir, 1979.

14. Vibratsii v tekhnike: Spravochnik. V 6-ti t. / Red. sovet: V. N. Chelomei (pred.). Moscow: Mashinostroenie, 1978. Vol. 1. Kolebaniya lineinykh sistem. Ed. V. V. Bolotina. 1978. 352 s, il.

15. Nordling K., Osterman D. Spravochnik po fizike dlya uchenogo i inzhenera [Handbook of physics for scientist and engineer]. Saint Petersburg: BKhV-Peterburg, 2011. 528 pp.: il.

16. Giniyatullin R. R. Issledovanie izmenenii mekhanicheskikh kharakteristik metallicheskikh tonkostennykh elementov, nakhodyash-chikhsya v agressivnykh sredakh i pri vozdeistvii fizicheskikh polei: avtoreferat dis. ... kandidata tekhnicheskikh nauk: 01.02.04 / Gini-yatullin R. R.; [Mesto zashchity: Institut problem mashinovedeniya RAN]. Sankt-Peterburg, 2013. Pp. 8-9.

17. Yakupov N. M., Giniyatullin R. R., Yakupov S. N. Problemy prochnosti. 2012. No. 2. Pp. 76-84.

Received 08.04.2015.