Об ассоциативных алгебрах слабого роста Текст научной статьи по специальности «Математика»

70

УДК 512.572

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2014■ № 7(118)

ОБ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБРАХ СЛАБОГО РОСТА

© 2014 С.М. Рацеев1

В статье показано, что если многообразие ассоциативных алгебр имеет слабый рост последовательности {сп(\)}п^1 и характеристика основного поля не равна двум, то для некоторого в в нем выполнено тождество [х1, х2][хз, х4] ... [х2а-1,х2а] =0. Как следствие, любое многообразие ассоциативных алгебр со слабым ростом последовательности коразмерностей имеет целую экспоненту. Также следствием этого является отсутствие многообразий ассоциативных алгебр, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным, если характеристика основного поля не равна двум.

Ключевые слова: ассоциативная алгебра, алгебра Ли, многообразие алгебр, рост многообразия.

Пусть A(X) — свободная ассоциативная алгебра над полем K, где X = = {xi,x2,...} — счетное множество свободных образующих, R — некоторая ассоциативная PI-алгебра, Id(R) — идеал тождеств алгебры R. Пусть V = var(R) — многообразие алгебр, порожденное алгеброй R, K(X, V) = A(X)/Id(R) — относительно свободная алгебра многообразия V над полем K. Обозначим через Pn подпространство в A(X), состоящее из всех полилинейных элементов степени n от переменных xi,... ,xn, Pn(V) = Pn/(Pn П Id(R)), cn(V) = dim Pn(V).

Так как любое нетривиальное многообразие V ассоциативных алгебр имеет экспоненциальный рост, то введем в рассмотрение нижнюю и верхнюю экспоненты:

Exp(V) = lim Vcn(V), Exp(V) = Um ^cn(V).

Если Ехр(У) = Ехр(У), то обозначим Ехр(У) = Ехр(У).

Хорошо известно, что ¿"„-модуль Рп(У) является вполне приводимым, и разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров имеет следующий вид:

Х„(У)= Х(Р„(У)) = £ тх(У)хх. (1)

ХЬп

Под обозначением [а, Ь, с] будем понимать левонормированную расстановку коммутаторов [[а, 6], с].

Обозначим через ия многообразие ассоциативных алгебр, определенное тождеством

[Х1,Х2][Х3,Х4] . . . [х28-1,х2з] = 0.

1 Рацеев Сергей Михайлович ([email protected]), кафедра информационной безопасности и теории управления Ульяновского государственного университета, 432017, Российская Федерация, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42.

В работах [1; 2], в частности, показано, что для любого многообразия ассоциативных алгебр V над произвольным полем Ехр(У П ия) существует и является целым числом.

Теорема 1 [1]. Пусть V — подмногообразие в над произвольным полем. Тогда существуют такие константы N, а, в и такое целое число 0 ^ с! ^ в, что для любого п ^ N будет выполнено следующее двойное неравенство:

Рассмотрим вопрос о значениях экспоненты с! из теоремы 1 для произвольного подмногообразия в Для упрощения записей, элементы, содержащие кососим-метрический набор, будем записывать без знака суммирования, помечая переменные этого набора чертой, волной или двумя чертами сверху. Например, гху = = гху — гух.

Теорема 2 [1]. Пусть V — многообразие ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики и с! — некоторое неотрицательное целое число. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Ехр^ П и^+1) < !;

2) для любого целого в > с! выполнено неравенство Ехр(Ч П Ия) ^ !;

3) существует такое неотрицательное целое р, что в многообразии V П И^+1 выполнено полилинейное тождество

4) для любого целого в> с! существует такое неотрицательное целое р = р(в), что в многообразии V П выполнено полилинейное тождество (2);

5) существует такая константа С, что в сумме (1) шд(УПИ^+1) =0 в случае, если выполнено условие п — (А1 + А2 + ... + Аа) > С;

6) для любого целого в > с! существует такая константа С = С (в), что в сумме (1) шд(V П ия) =0 в случае, если выполнено условие п — (А1 + А2 + ... + Аа) > С.

Заметим, что аналоги теорем 1 и 2 имеют место и в алгебрах Ли (Лейбница) [3-5], а также в алгебрах Пуассона (Лейбница — Пуассона) [6-8], при этом алгебры Лейбница — Пуассона были введены в работе [9].

В случае алгебр Ли известен такой результат С.П. Мищенко [10]: если характеристика основного поля не равна двум и для некоторого многообразия алгебр Ли V существует такое п, что выполнено неравенство сп(V) < 2[ 2 ], где квадратные скобки означают целую часть числа, то коммутант многообразия V будет нильпо-тентным. Покажем, что данный результат имеет место и в случае ассоциативных алгебр.

Предложение. Если характеристика основного поля К не равна двум, то в случае ассоциативных алгебр тождество ЛхугБ = 0 является следствием тождества Ах2В = 0, где Л, Б — некоторые, в частности пустые, ассоциативные слова, не имеющие в своем составе переменную х.

Доказательство. Линеаризация тождества Ах2Б = 0 по переменной х дает тождество А(ху + ух)Б = 0. Поэтому тождества

па!п < сп (V) < пв!п.

хцх12, . . . х1р[уь у2, х21, х22,. .., х2р] . . .

... [У2d-l, у2а, х(а+1)1 ,x(d+l)2,..х(а+1)р] = 0;

(2)

Л(хуг + гху)Б = 0, Л(угх + хуг)Б = 0, Л(гху + угх)Б = 0

являются следствиями тождества Ах2 В = 0. Матрица данной системы относительно неизвестных АхугВ, АугхВ, АгхуВ имеет определитель, равный двум. Поэтому данная система имеет единственное решение

АхугВ = АугхВ = АгхуВ = 0.

□

Теорема 3. Пусть V — некоторое многообразие ассоциативных алгебр и характеристика основного поля не равна двум. Если для некоторого п выполнено неравенство

еп(V) < 2[

то существует такое целое число в, что V является подмногообразием в

Доказательство. Обозначим через Я^', где т ^ к, абелеву подгруппу симметрической группы Б2к, порожденную транспозициями = (2г — 1,2г), г = = 1,... ,т. Понятно, что Нт^ = 2т.

Пусть для некоторого п выполнено условие теоремы. Обозначим т = Щ и рассмотрим элементы пространства Рп(V) следующего вида:

шха(2т) ...xa(1), а € Н

где ш — либо пустое слово, либо ш = хп (в зависимости от четности числа п). Так как оп(У) < 2[21, то данные элементы линейно зависимы в Рп(V), поэтому в многообразии V выполнено нетривиальное тождество вида

аашха(2т) . . . ха(1) = ° (3)

*ент)

где не все аа равны нулю. Если для всех а € Н^^ выполнено равенство аа = = —аазт, то тождество (3) можно записать в таком виде

ва ш[ха(2т),ха(2т-1)]ха(2т-2)

К1)

где не все ва равны нулю. Если же для некоторого а € выполнено неравен-

ство аа = —аа$т, тогда следствием тождества (3) является такое нетривиальное тождество

У^ вашу2ха(2т-2) ...ха(1) =0.

аен(т),

^ т — 1

Данный процесс продолжим для 5^, г = т — 1,..., 1. В итоге получим тождество вида

ш...у11 ... [хп ,х32] ...у22 ... [хГз ,х34]... = 0,

полилинейное относительно переменных, находящихся в коммутаторах, и каждая переменная (если таковые имеются) имеет степень два. Теперь осталось применить предложение. □

Из теорем 1 и 3 вытекает следующее

Следствие. (г) Пусть V — подмногообразие в над произвольным полем, такое, что (V) < (2 — е)п для некоторых констант в, 0 < е < 1 и некоторой подпоследовательности щ, г = 1,2,... Тогда рост многообразия V является полиномиальным.

0

.. х

(ii) Если характеристика основного поля не равна двум, то не существует многообразий ассоциативных алгебр, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным.

Литература

[1] Рацеев С.М. Тождества в многообразиях, порожденных алгебрами верхнетреугольных матриц // Сиб. матем. журн. 2011. № 2 (54). С. 416-429.

[2] Petrogradsky V.M. Exponents of subvarieties of upper triangular matrices over arbitrary fields are integral // Serdika Math. 2000. № 2 (26). P. 1001-1010.

[3] Рацеев С.М. Рост многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом //Матем. заметки. 2007. № 1 (82). С. 108-117.

[4] Рацеев С.М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница // Вестник СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2006. № 6/1 (46). С. 70-77.

[5] Рацеев С.М. Оценки роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом // Вестник СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2010. № 4 (78). С. 65-72.

[6] Рацеев С.М. Рост в алгебрах Пуассона // Алгебра и логика. 2011. № 1 (50). С. 68-88.

[7] Ratseev S.M. Growth of some varieties of Leibniz-Poisson algebras // Serdica Math. J. 2011. V. 37. № 4 (37). P. 331-340.

[8] Рацеев С.М., Череватенко О.И. Экспоненты некоторых многообразий алгебр Лейбница-Пуассона // Вестник СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2013. № 3 (104). С. 42-52.

[9] Рацеев С.М. Коммутативные алгебры Лейбница-Пуассона полиномиального роста // Вестник СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2012. № 3/1 (94). С. 54-65.

[10] Мищенко С.П. Многообразия алгебр Ли со слабым ростом последовательности коразмерностей // Вестник Московского университета. 1982. Сер. 1. Матем., механ. № 5. С. 63-66.

References

[1] Ratseev S.M. Identities in the varieties generated by algebras of upper triangular matrices. Sib. matem. zhurn [Siberian Mathematical Journal], 2011, no. 2(54), pp. 416-429 (in Russian)

[2] Petrogradsky V.M. Exponents of subvarieties of upper triangular matrices over arbitrary fields are integral. Serdika Math, 2000, no. 2(26), pp. 1001-1010.

[3] Ratseev S.M. Growth of varieties of Leibniz algebras with nilpotent commutator. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes ], 2007, no. 1-2(82), pp. 108-117 (in Russian)

[4] Ratseev S.M. Growth of some varieties of Leibniz algebras. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvenno-nauchnaya seriia [Vestnik of Samara State University. Natural Science Series], 2006, no. 6/1 (46), pp. 70-77 (in Russian)

[5] Ratseev S.M. Estimate of growth of Leibniz algebras with nilpotent commutator. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvenno-Nauchnaya Seriia [Vestnik of Samara State University. Natural Science Series ], 2010, no. 4 (78), pp. 65-72 (in Russian)

[6] Ratseev S.M. Growth in Poisson algebras. Algebra i logika [Algebra and Logic, 2011, no. 1(50), pp. 68-88 (in Russian)

[7] Ratseev S.M. Growth of some varieties of Leibniz-Poisson algebras. Serdica Math. J., 2011, Vol. 37, no. 4, pp. 331-340.

[8] Ratseev S.M., Cherevatenko O.I. Exponents of some varieties of Leibniz-Poisson algebras. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvenno-Nauchnaya Seriia. [Vestnik of Samara State University. Natural Science Series], 2013, no. 3(104), pp. 42-52 (in Russian)

[9] Ratseev S.M. Commutative Leibniz-Poisson algebras of polynomial growth. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. Natural Science Series, [Vestnik of Samara State University], 2012, no. 3/1(94), pp. 54-65 (in Russian)

[10] Mishchenko S.P. Varieties of Lie algebras with weak growth of sequence of codimensions. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriia 1. Matematika, mekhanika [Vestnik of Moscow Universiteta. Series 1. Mathematics, mechanics], 1982, no. 5, pp. 63-66 (in Russian)

Поступила в редакцию 3/II/2014; в окончательном варианте — 3/II/2014.

ON VARIETIES OF ASSOCIATIVE ALGEBRAS WITH

WEAK GROWTH

© 2014 S.M. Ratseev2

We prove that any variety of associative algebras with weak growth of the sequence {cn(V)}n^i satisfies the identity ,x2][x3,x4] ... [x2s-i,x2s] = 0 for some s. As a consequence, the exponent of an arbitrary associative variety with weak growth exists and is an integer and if the characteristic of the ground field is distinct from 2 then there exists no varieties of associative algebras whose growth is intermediate between polynomial and exponential.

Key words: associative algebra, Lie algebra, variety of algebras, growth of a variety.

Paper received 3/II/2014. Paper accepted 3/II/2014.

2Ratseev Sergey Mikhailovich ([email protected]), the Dept. of Information Security and Theory of Management, Ulyanovsk State University, Ulyanovsk, 432017, Russian Federation