Об экспонентах некоторых многообразий линейных алгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013 Теоретические основы прикладной дискретной математики №3(21)

УДК 512.572

ОБ ЭКСПОНЕНТАХ НЕКОТОРЫХ МНОГООБРАЗИЙ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР

С. М. Рацеев

Ульяновский государственный университет, г. Ульяновск, Россия E-mail: [email protected]

Пусть UTs — алгебра верхнетреугольных матриц порядка s. Приводятся эквивалентные условия для оценок роста подмногообразий многообразия var(UTs), многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом и многообразий алгебр Лейбница — Пуассона, идеалы тождеств которых содержат тождества вида {{xi,yi},..., {Xn, Уп}} = о, {xi,yi} ■ ... ■ {xn, Уп} = 0.

Ключевые слова: многообразие линейных алгебр, рост многообразия, экспонента многообразия.

Алгебра Лейбница над полем K — векторное пространство с K-билинейной операцией умножения {, }, относительно которого выполнено тождество Лейбница

{{x,y},z} = {{x,z},y} + {x, {У,z}},

превращающее правое умножение в дифференцирование этой алгебры. При этом заметим, что если в алгебре Лейбница выполняется тождество {x,x} = 0, то она является алгеброй Ли.

Векторное пространство A над полем K с двумя K-билинейными операциями умножения • и {, } называется алгеброй Лейбница — Пуассона, если относительно операции • пространство A является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции {,} — алгеброй Лейбница и для любых a,b,c Е A данные операции связаны правилами

{а ■ b,c} = a ■ {b, c} + {a, c} ■ b, {c,a ■ b} = a ■ {c, b} + {c, a} ■ b.

Алгебры Лейбница — Пуассона возникают в различных разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физики и являются обобщениями алгебр Пуассона.

Пусть V — некоторое многообразие линейных алгебр над полем K (необходимые сведения о многообразиях PI-алгебр можно найти, например, в [1, 2]), K(X, V) — свободная алгебра многообразия V, где X = {x1,x2,...} — счётное множество свободных образующих; Pn(V) —подпространство в K(X, V), состоящее из всех полилинейных элементов степени n от переменных x1,..., xn. Обозначим

cn(V) = dim Pn(V), exp(V) = lim /cn(V).

n—

Хорошо известно, что в ассоциативном случае при char K = 0 экспонента

произвольного нетривиального многообразия существует и является целым числом (М. В. Зайцев и А. Джамбруно [3]). В случае многообразий алгебр Ли при char K = 0 построен пример разрешимого многообразия [4], экспонента которого находится в интервале (3,4).

Напомним, что в случае основного поля нулевой характеристики £п-модуль Pn(V) является вполне приводимым и разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров имеет следующий вид:

Xn(V) = X(Pn(V)) = Е mл(V)Хл. (1)

ЛЬп

Обозначим через VsA многообразие ассоциативных алгебр, определённое тождеством

[Xl,X2][X3, X4] . . . [x2s-l,X2s] = О,

где [,] —операция коммутирования. В работах [5, б], в частности, показано, что для любого многообразия ассоциативных алгебр V над произвольным полем exp(V П VsA) существует и является целым числом. Пусть UTs = UTs(K) —алгебра верхнетреугольных матриц порядка s. Хорошо известно [Т], что при char K = О алгебра UTs порождает многообразие V^A.

Пусть VsL — многообразие алгебр Лейбница, определённое тождеством

{Xl,X2}{X3, X4} . . . {X2s+l,X2s+2} = 0.

В работе [8] показано, что для любого многообразия алгебр Лейбница V над произвольным полем exp(V П VsL) существует и является целым числом.

Обозначим через VsLP многообразие алгебр Лейбница — Пуассона, определённое всеми полилинейными тождествами степени 2s вида

Н^ЬШі^ {xl2,У12}, . . . , {x1Лl ,У1Л1 }} ■ {{x2l, У21}, {x22, У22}, . . . , {x2Л2 , У2Л2 }} ' ...

... ■ {{xkl, Ук1}, {xk2, Ук2}, . . . , {xkЛk , УкЛк }} 0, Л s.

Например, многообразие V4LP определяется полилинейными тождествами

Н^Уі}, {x2, У2}, ^3^3^ {x4,У4}} = 0,

И^Уі^ {x2, У2}, {X3,У3}} ■ {x4,У4} = °

}, {x2, У2}} ■ {{X3,У3}, {x4,У4}} = 0,

{x2,У2}} ■ {X3,У3} ■ {x4,У4} = 0,

{Xl, Уі} ■ {X2, У2} ■ {X3, У3} ■ {X4, У4} = 0.

В работе [9] показано, что для любого многообразия алгебр Лейбница — Пуассона V

над произвольным полем exp(V П VsLP) существует и является целым числом. Заме-

тим, что если в многообразии алгебр Лейбница — Пуассона выполнены полилинейные тождества вида

{{Xl, Уі}, . . . , {Xn, Уп}} = 0, {Xl, Уі} ■ ... ■ {Xn, Уп} = 0,

то для некоторого s данное многообразие является подмногообразием в VsLP.

Теорема 1. Пусть характеристика основного поля равна нулю, Vа —многообразие ассоциативных алгебр, VL — многообразие алгебр Лейбница, VLP — многообразие алгебр Лейбница — Пуассона и d — некоторое неотрицательное целое число. Тогда для любого значения a = A, L, LP следующие условия эквивалентны:

1) exp(V“ П Vd+l) ^ d;

2) для любого целого s > d выполнено неравенство exp(V“ П Vs“) ^ d;

3) существует такая константа C, что в сумме (1) m,A(V“ П Vok) = 0 в случае, если выполнено условие n — (Л1 + Л2 + ... + Ad) > C;

4) для любого целого s > d существует такая константа C = C(s), что в сумме (1) mA(V“ П Vsa) = 0 в случае, если выполнено условие n — (Л1 + Л2 + ... + Ad) > C.

Доказательство. При a = A утверждение теоремы следует из работы [6], при a = L — из работ [8, 10], при a = LP — из работ [9, 11]. ■

Теорема 2. Пусть для некоторого многообразия линейных алгебр Va, a Е {A,L, LP}, над полем нулевой характеристики и некоторого целого неотрицательного d выполнено равенство exp(Va П Vok) = d. Тогда для любого целого s > d выполнено равенство exp(Va П V“) = d.

Доказательство. Так как для любого s выполнено неравенство exp(Va П V“) ^ ^ exp(Va П VSa+1), то для любого целого s > d, с учётом теоремы 1, выполнено двойное неравенство d ^ exp(Va П Vsa) ^ d. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985. 448 с.

2. Drensky V. Free algebras and Pl-algebras. Graduate course in algebra. Singapore: Springer

Verlag, 2000. 272 с.

3. Giambruno A. and Zaicev M. V. On codimention growth of finitely generated associative

algebras // Adv. Math. 1998. V. 140. P. 145-155.

4. Zaitcev M. V. and Mishchenko S. P. Example of variety of Lie algebras with fractional exponent // J. Math. Sci. 1999. V. 93. No. 6. P. 977-982.

5. Petrogradsky V. M. Exponents of subvarieties of upper triangular matrices over arbitrary fields are integral // Serdika Math. 2000. V. 26. No. 2. P. 1001-1010.

6. Рацеев С. М. Тождества в многообразиях, порожденных алгебрами верхнетреугольных матриц // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 54. №2. С. 416-429.

7. Мальцев Ю. Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц // Алгебра и логика. 1971. Т. 10. С. 393-400.

8. Рацеев С. М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2006. Т. 46. №6. С. 70-77.

9. Ratseev S. M. Growth of some varieties of Leibniz — Poisson algebras // Serdica Math. J. 2011. V. 37. No. 4. P. 331-340.

10. Рацеев С. М. Оценки роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2010. Т. 78. №4. С. 65-72.

11. Рацеев С. М., Череватенко О. И. Экспоненты некоторых многообразий алгебр Лейбница — Пуассона // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2013. Т. 104. №3. С. 42-52.