CC BY
20
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
93
MSC 17B63
ОЦЕНКИ РОСТА
НЕКОТОРЫХ МНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБР ПУАССОНА
С.М. Рацеев
Ульяновский государственный университет, ул. Льва Толстого, 42, Ульяновск, 432017, Россия, e-mail: RatseevSMOmail.ru
Аннотация. В работе получены эквивалентные условия для оценок роста многообразий алгебр Пуассона, идеалы тождеств которых содержат тождества вида {{xi,yi},{xn,yn}} = 0, {xi,yi}- ... ■ {xn,Уп} = 0.
Ключевые слова: алгебра Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.
Алгебра A = A(+, ■, {, },K) над полем K называется алгеброй Пуассона, если A(+, -,K) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, A(+, {, },K) является алгеброй Ли с операцией умножения {■, ■}, которая называется скобкой Пуассона, для которой выполняется правило Лейбница:
{a ■ b,c} = a ■ {b, c} + {a, c} ■ b, a,b,c G A.
Пусть L(X) — свободная алгебра Ли с умножением [,], где X = {x1, x2,...} — счетное множество свободных образующих. В алгебре L(X) зафиксируем упорядоченный базис v1,v2,..., где vi < Vj при i < j. Рассмотрим ассоциативную коммутативную алгебру полиномов Q[v1, v2,...]. В этой алгебре определим скобки Пуассона для порождающих элементов vi как умножение в алгебре L(X): {vi,vj-} = [vi,vj-]. Распространим скобки Пуассона на любые элементы из Q[v1, v2,...], используя линейность и правило
{f ■ g, h} = f ■ {д, h} + {/, h} ■ g, f,g,h G B[vb ^...].
Тогда полученная алгебра будет свободной алгеброй Пуассона F (X), причем базис алгебры F(X) будут составлять все элементы вида vi)1 ■...■v“fc, где a1,...,ak > 0, i1 < ... < ik.
Далее будем опускать скобки Пуассона при их левонормированной расстановке, то есть введем следующую многоместную операцию
{Х1,Х2, ...,Хп} = {{{х1,Х2},Хз}, ...,Xn} .
Обозначим через Pn пространство в F(X), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных х1,...,хп, а через Гп — подпространство в Pn, являющееся линейной оболочкой элементов вида
{xil, ..., xis } ■ ... ■ {xji, ..., Xjt }
s > 2,..., t > 2.
Пусть V — некоторое многообразие алгебр Пуассона, Id(V) —множество всех тождеств многообразия V (хорошо известно, что это множество является идеалом свободной алгебры F(X)). Обозначим
Pn(V) = Pn/(Pn П Id(V)), Tn(V) = Гп/(Гп n Id(V)),
94 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
Cn(V) = dim Pn(V) , Yn(V) = dim Гп(У).
Если многообразие V имеет экспоненциальный рост, то введем в рассмотрение нижние и верхние экспоненты соответствующих последовательностей {cn(V)}n>i и
{7n(V ) }n>1-
EXP(V) = lim KjcniV),
n—
EXP(E) = lim y/cn(V).
n—<x>
EXPr(V) = lim ^7n(V),
n—<x>
EXP Г(У) = lim y/7ra(E).
n—^
Если EXP(E) = EXP(E), то будем обозначать EXP(E). Аналогично поступим и с отображением EXPr(V). При этом из предложения 4 работы [1] следует, что если для многообразия V алгебр Пуассона существует одна из экспонент EXP(V) или EXPr(V), то будет существовать и другая, причем EXP(V) = EXPr(V) + 1.
Хорошо известно ( [2]), что если V — нетривиальное многообразие ассоциативных алгебр, то рост многообразия V сверху ограничен экспоненциальной функцией. При этом в случае основного поля нулевой характеристики экспонента произвольного многообразия ассоциативных алгебр существует и является целым числом (см. [3,4]). В случае же алгебр Ли имеются многообразия со сверхэкспоненциальным ростом [5] и многообразия с дробной экспонентой [6].
В работе [7] показано, что если идеал тождеств некоторого многообразия алгебр Пуассона V над произвольным полем содержит тождества вида
{{x1,yi},..., {Xn,Vn}} = 0 , {х1,У1}- ... ■ {Xn,Vn} = 0 , (1)
то экспонента многообразия V существует и является целым числом. В настоящей работе для значений этих экспонент находятся эквивалентные условия.
Напомним, что последовательность натуральных чисел А = (А1, А2,..., Ак) называют разбиением натурального числа n и обозначают А h n, если А1 + А2 + ... + Ак = n и А1 У А2 А ... А Ак > 0.
Обозначим посредством Vs многообразие алгебр Пуассона, определенное всеми полилинейными тождествами степени 2 s вида
{{x11,y11}, {x12,y12}, ..., {x1Ai , y1Ai }} ' {{x21, y21}, {x22, y22}, ..., {x2A2 , y2A2 }} ' ...
... ■ {{xk1, yk1}, {xk2, yk2}, ..., {xkAk , ykA^ }} 0, А (А1, ..., Ак) h s.
Ниже, в качестве примера, выписаны все тождества, которыми задаются многообразия V1, V2, V3, V4.
V1 :
{x,y} = 0;
V2 :
{x2,y2}} = 0,
{x1,y1} ■ {x2,y2} = 0;
V3 :
{{xby1} {x2, У2}, {x3, Уз}} = 0,
{x2, У2}} ■ {x3, Уз} = 0,
{x1,y1} ■ {x2,y2} ■ {x3,y3} = 0;
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
95
V :
{Х2,Ы, {х3,Уз}, {Х4,У4}} = 0,
U^yih {х2,У2}, {х3,Уэ}} ■ {х4,У4} = 0,
{{xl,yi}, {х2,У2}} ■ {{х3,Уз}, {х4,У4}} = °,
{{х!,У1}, {х2,У2}} ■ {Х3,У3} ■ {х4,У4} = °,
{х!,У!} ■ {х2,У2} ■ {х3,У3} ■ {х4,У4} = °.
Заметим, что имеет место следующий изоморфизм линейных пространств:
s-l
rn(Vs) = 0 rra(Id(K)/Id(Vc+i)),
c=l
где пространство rn(Id(VC)/Id(VC+i)) есть прямая сумма линейных оболочек элементов следующего вида:
rra(Id(K)/Id(K+i)) =
^{{xl,l) х!,2) •••) Х!,ац } {x2,l) Х2,2, •••, x2,ai2 } {xAi,l, xAi,2, •••, xAi,«iAl }}'
Ah С
^{{у!,!, у!,2, •••, yl,а2l }, {у2,! , y2,2, •••, У2,а 22 }, •••, {уА2,! , yA2,2, •••, yA2,a^2 }} * ”
*{{zl,l, zl,2, •••, zl,«fci }, {z2,l, y2,2, •••, z2,«k2 }, •••, {zAk,l, zAk,2, •••, zAk,а^лк }}
{xii,ji ,yi2,j2 , Z*3,J3} {xl, x2, •••, xn}, aij > 2/ •
Элементы Xi,3, •••, х^аи, i = 1, •••, Ai; yi,3, •••, yi,«2i; i = 1, •••, A2,..., 2^3, •••, Zi,aki, i = 1, •••, Afc, можно менять местами, так как, меняя местами два рядом стоящих элемента, мы дополнительно получаем элемент из Id(VC+l).
Например, для многообразий V2, V3, V4 соответствующие пространства Гга(А)) будут выглядеть следующим образом.
где
Гга(^2) ({xii , •••,xin })k ,
{ii, •••, is} = {1, •••,«}, i3 < ••• < ir
rn(V3) = rn(V2) © ( {{xii ,•••,xis }, {xji ,•••,xjt }} ) © ({xii ,•••,xis } ■ {xji ,•••,xjt })K,
K
где
s > 2, t > 2, i3 < ••• < is, j3 <•••<© •
Гп( V4) Гп( V3) © ^ {{xii, •••, Xis }, {xji, •••, Xjt }, {xfci, , xku }} ^ ©
©^UXii ,•••,Xis h {xji ,•••,Xjt }} ■ {xfci ,••••,Xfcu }^ ©
96 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
где
®( (ж
гг >
31 >
•, Xjt
} ' (xki, —, xku }
1
K
s > 2, t > 2, u > 2, гз < ••• < is, jз < ••• < jt, k3 < ••• < ku •
Пусть V — некоторое фиксированное подмногообразие в Vs. Тогда
S—1
rn(V) = ф® Wcx,n(V),
c=1 Ahc
где
Wc,A,ra(V)
Ahc
г
1 ri
u(v n vc)
ld(V П Vc+1)
c = 1, •••, s — 1 •
Замечание. Пусть элемент f принадлежит пространству WC)A,n. Тогда f имеет такой общий вид:
• ••(x1,x2, •••} ••• (x3, x4, •••}••• (x2c-1, x2c, •••} ,
(2)
где вместо многоточий, находящихся вне элементов (ж1,ж2, •••},..., (ж2с-1,ж2с, •••}, каким-либо образом расставлены скобки Пуассона (■, ■} и умножения (■). Если не важно каким образом расставлены данные операции, а важно что происходит внутри выписанных в
(2) c скобок Пуассона, то будем использовать запись вида (2), чтобы не выписывать множество различных индексов.
Пусть даны два целых числа k и m. В матрице размера k х m расставим числа
1,2, •••, km следующим образом. В первый столбец расставим числа 1,2, •••, k по порядку сверху вниз. Также расставим числа k + 1,k + 2, •••, 2k по порядку сверху вниз во второй столбец. Таким же способом заполним оставшиеся столбцы. В результате, получим матрицу A:
1 к+ 1 (га — 1 )к + 1
2 к + 2 (га — 1 )к + 2
к 2 к km
Пусть перестановка а1 £ Sk действует на элементы первого столбца матрицы A. Пусть, далее, а2 £ Sk действует на элементы второго столбца (так как каждый элемент второго столбца представим в виде k + г, где 1 < г < k, то будем считать, что результатом действия перестановки а2 на элемент k + г будет k + a2(i)) и т.д.
Назовем значения 1,2, •••, k, входящие в первый столбец матрицы A, первым набором длины k, во второй столбец — вторым набором длины k и т.д. Назовем также значения а1(1), a2(k + 1),..., am((m — 1)k + 1) — первыми номерами, значения а1(2), a2(k + 2), ...,am((m — 1)k + 2) — вторыми номерами и т.д. Эти обозначения используются в следующей лемме.
Лемма 1. Пусть V — подмногообразие в Vs над произвольным полем K. Также пусть имеется некоторый набор чисел aa £ K, a £ Sd, где d — некоторое положительное
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
97
целое число, что для некоторого целого числа m > 0 в пространствах Wd,A,n(V), A h d, выполнены полилинейные тождества (с учетом замечания выше) вида
Е -Е aam ••• {y1, У2, x1,cti(1) , x2,CT2(1), •••, xm,am( 1) }•••
Vm€Sd &l^Sd
••• {y2, y3, x 1,o-i (2), x2,CT2(2) , •••, xm,am( 2) }••• {y2d-1, y2d, x1,<ri(d), x2,a2 (d), •••, xm,am(d) } 0 ,
(3)
где у переменных индекс i означает порядковый номер набора, а j — порядковый
номер элемента в i-ом наборе. Тогда:
(i) существует такое целое число k, что в пространствах WC)A,n(V), A h c, c = d,d + 1, •••, s — 1, будут выполнены все полилинейные тождества вида
•••
a<Jk •••aai •••t1 ••• {tii, x1ai (1) j x2<T2 (1)j •••, xka^ (1) } •••
Vk £-Sd Vi £Sd
••• {ti2 j x1ci(2)j x2<T2(2) j •••, xk&k(2) }••• {tid j X1oi(d)j x2a2(d)j •••, xkak(d) } •••tC 0 j
где 11, •••, tc — набор элементов, представимых в виде скобок Пуассона, содержащих не менее двух переменных;
(ii) если aa = (—1)V, a E Sr, то существует такое целое p > 0, что в многообразии V выполнены все полилинейные тождества (с учетом замечания) вида
^ у ••• ^ у ( 1) 1) ••• {y1, y2, x1ai (1), x2v 2(1), •••, ХР^р(1) }•••
°'p£Sd ai ^=Sd
••• {y2, y3, x1vi(2) , X2V2(2), •••, xpVp(2) } ••• {y2d-1, y2d, x1vi(d), x2o2(d), •••, xpop(d) } 0, (4)
□ (i) Покажем, что если элемент v из WC)A,n(V), A h c, c =,•••, s — 1, содержит k = k(c, d) наборов длины d, то в пространстве WC)A,n(V) выполнено такое тождество
X! ••• a^•••aviv = 0 • (5)
ak ^=Sd Vi^Sd
Если c = d, тогда тождества вида (5) следуют из тождества (3), причем k(d,r) = m. Таким образом, база индукции проверена.
Пусть c > d +1. Предположим, что существует такое целое число k = k(c — 1,d), что для элемента v E WC-1)A,n(V), содержащего не менее k(c — 1, d) наборов длины d, выполнено тождество (5) в WC-1,A,n(V). Пусть k(c, d) — достаточно большое число, значительно большее чем k(c — 1, d), и элемент v E WC)A,n(V) содержит не менее k(c, d) наборов длины d. Пусть A = (A1, •••, Ak). Элемент v имеет следующий общий вид:
v {t1,1, •••, t1,Ai } • {t2,1, •••, t2,A2 } • ••• • {tk,1, •••, tk,Ak },
где tij — скобки Пуассона, каждая из которых содержит не менее двух переменных.
Пусть в элементе v наборы длины d, каждый из которых содержит не менее k(c, d) элементов, входят таким образом, что некоторая скобка Пуассона tiiji содержит не
98 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
менее k(c, d) первых номеров, скобка Пуассона ti2)j2 содержит не менее k(c, d) вторых номеров,..., скобка Пуассона tid)jd содержит не менее k(c, d) d-х номеров. При этом данные скобки Пуассона являются попарно различными.
Если Л = (n), то v £ L(X) и доказательство в данном случае следует из леммы 1 работы [8]. Поэтому пусть для разбиения Л = (Л1,..., Лк) числа c выполнено неравенство k > 1.
Так как c > d, то в элементе v найдется такая скобка Пуассона t = ti;j, которая не содержит ни первых, ни вторых,..., ни d-х номеров:
v ... ■ {ti,1, ..., ti,j, ..., ti,Ai} ' ...
Для краткости записи передвинем скобку {ti;1, ...,ti;j, ...,ti,\i} на последнее место в элементе v, используя коммутативность операции (■), и запишем элемент v в виде
v = A ■ {qi,...,qj-i,t,qj+i,...,qh},
где h = Лi. Если в скобке {q1,..., t,..., qh} = и ни один из элементов qj, j = 1,...,h, не содержит ни первых,..., ни d-х номеров, то к элементу A можно применить предположение индукции. Поэтому, не ограничивая общности, пусть хотя бы один из элементов qj содержит не менее k(c, d) первых номеров. Будем считать, что t является самой крайней слева скобкой в элементе и, которая не содержит ни первых,..., ни d-х номеров (иначе просто сделаем переобозначение). Применим индукцию по h к элементу и. Пусть h = 2. Учитывая правило антикоммутативности, можно записать и в виде: u = {q, t}, где скобка q содержит не менее k(c, d) первых номеров. В элементе и будем передвигать t влево. Учитывая правило дифференцирования, будут получаться слагаемые вида {q',t',...}, где в скобке Пуассона q1 содержится не менее k(c — 1,d) первых номеров, скобка t' содержит скобку t и некоторое количество первых номеров. Если в элементе {q',t',...} вне скобок q' и t' содержится не менее k(c — 1, d) первых номеров, то, обозначив {q', t'} новой переменной, применим к элементу A ■ {{q', t'},...} предположение индукции по d. В противном случае, в t' попадет не менее k(c — 1, d) первых номеров. Представим элемент {q', t',...} в виде линейной комбинации слагаемых вида {ф t}, где q' содержится в ф t' — в t. При этом
A ■ {ф ф} = {А ■ № ф} — {А ф} ■ ф
Применим к элементам А ■ ф и {A, ф} предположение индукции по c. Таким образом, база индукции по h при h = 2 проверена.
Предположим, что для всех r < h утверждение верно. Покажем его справедливость для r = h.
Так как скобка t является самой крайней слева в элементе и, в которой не содержится ни первых,..., ни d-х номеров, то возможны следующие случаи.
1. и = {t, q2, q3,...}, где q2 содержит (без ограничения общности) не менее k(c, d) первых номеров. Применяя правило дифференцирования, представим и в виде линейной комбинации слагаемых вида
{tf,q2 £^з,...},
где скобка q2 содержит не менее чем k(c — 1,d) первых номеров, f, g — многочлены от внутренних дифференцирований, состоящие из первых номеров. Если многочлен g
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
99
содержит не менее к(с — 1, d) первых номеров, то, обозначив {tf, q2} новой переменной, применим предположение индукции по с. Если же в многочлене д содержится менее к (с — 1, d) первых номеров, то их в многочлене f будет не менее чем к (с — 1, d). Поэтому в каждом из элементов t = tf и д = q'2д будет не менее к(с — 1, d) первых номеров. В элементе {t,g,q3,...} будем передвигать скобку д вправо. При этом будут получаться элементы, каждый из которых принадлежит одному из следующих случаев.
1.1. {t,q3,..., д}. Тогда
А ■ {gqз,...,g} = {A ■ {t,q3,...},q} — {А,д} ■ {g,q3,...}.
К элементу A-{t, q3,...} применим предположение индукции по с, а к элементу {t,q3,...}
— по h. При этом, так как д содержит необходимое количество первых номеров, то можно считать, что t в элементе {t, q3,...} не содержит ни первых,..., ни d-х номеров.
1.2. {t,..., {gi, д},...}. Если qi не содержит ни первых,..., ни d-х номеров, то применим к этому элементу предположение индукции по с. Поэтому пусть в элементе qi не менее к(с, d) вторых номеров. В этом случае можно считать, что д не содержит ни первых,..., ни d-х номеров (те первые номера, которые она содержит, уже не понадобятся, необходимое количество первых номеров имеется в t). В скобке {q%,(p} будем передвигать д влево. При этом будут получаться слагаемые вида {t,..., {q(,q/,...},...}, где скобка qi содержит не менее к(с — 1, d) вторых номеров, а q/ содержит д и некоторое количество вторых номеров. Если вне скобок qi и q/ содержится не менее к (с — 1, d) вторых номеров, то применим предположение индукции по с. В противном случае скобка q/ содержит не менее к(с — 1, d) вторых номеров. Элемент {t,..., {qi, q/,...},...} представим в виде линейной комбинации элементов вида {t,..., qi, q/,...} и элементах вида {t,..., q/, qi,...}. В элементе {t,..., qi, q/,...} будем двигать вправо скобку q/, а в элементе {t,..., q/, qi,...} — q(. Через конечное количество таких преобразований мы либо будем попадать в случай 1.1, либо в предположение индукции по с.
2. Элемент и имеет такой вид: u = {t,q2,q3,...}, где скобка q2 не содержит ни первых,..., ни d-х номеров. Пусть q2 — самая крайняя слева скобка, которая содержит не менее к(с, d) некоторых номеров. Переобозначив через t скобку {t,q3, ...,qj-i}, попадем в ранее рассмотренный случай 1.
3. u = {q2,..., t,...}. В данном элементе будем передвигать скобку t влево. Когда t окажется на первом месте в элементе и, мы попадем в ранее рассмотренные случаи 1 и
2. С элементами же вида {q2,..., {q^t},...} поступим следующим образом. Так как t — самая крайняя слева с скобка, не содержащая ни первых,..., ни d-х номеров, то в скобке qi содержится не менее к(с, d) некоторых номеров (без ограничения общности, будем считать, что первых номеров). В скобке {qi,t} будем передвигать скобку t влево. При этом будут получаться слагаемые вида {q2,..., {qi, t/,...},...}, где в скобке qi содержится не менее к (с — 1, d) первых номеров, а скобка t/ содержит t и некоторое количество первых номеров. Если в скобке {qi, t/,...} вне скобок qi и t/ содержится не менее к(с — 1, d), то применим предположение индукции по с. В противном случае, в t/ попадет не менее к(с — 1,d) первых номеров. Представим элемент {q2,..., {qi, t/,...},...} в виде линейной комбинации элементов вида {q2,..., qi, t/,...} и элементов вида {q2,..., t/, qi,...}. В элементах вида {q2,..., qi, t/,...} будем передвигать вправо скобку t/, а в элементе {q2,..., t/, qi,...}
— qi. При этом будем попадать в ранее разобранные случаи.
100 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
(гг) Этот случай является частным случаем п. (i). U
Лемма 2. Пусть V — подмногообразие в Vs над произвольным полем K и d — некоторое положительное целое число. Пусть также имеется некоторый набор чисел aa £ K, о £ Sr, в котором найдется хотя бы один ненулевой элемент такой, что для некоторого целого числа m > 0 в пространствах Wd,A,n(V), А Ь d, выполнены все полилинейные тождества вида (3). Тогда EXP(V) < d.
Доказательство следует из леммы 1 и теоремы 8 работы [7].
Лемма 3. Если выполнены все условия леммы 2, но тождества (3) выполнены в многообразии V, то EXP(V) < d.
□ Доказательство следует из леммы 2, так как если некоторое тождество выполнено в многообразии V, то оно будет выполнено во всех пространствах вида WC)A,n(V).
Лемма 4. Пусть V С VS над полем нулевой характеристики. Тогда если для некоторого целого d выполнено неравенство EXP(V) < d, то в многообразии V для некоторого целого p будут выполнены все полилинейные тождества вида (4).
Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 7 работы [9].
Пусть char K = 0 и о £ Sn, где Sn — симметрическая группа порядка n. Действие o(xi) = xa(i) естественным образом продолжается до автоморфизма свободной алгебры Пуассона F(X). Пространство Pn(V) становится при этом Sn-модулем. Исследование структуры Pn(V) как Sn-модуля играет важную роль при изучении многообразия V. Модуль Pn(V) является вполне приводимым, разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров имеет следующий вид:
Xn(V) = X(Pn(V)) = ^ mx(V )Хх- (6)
Ahn
Теорема. Пусть V — многообразие алгебр Пуассона над полем нулевой характеристики, идеал тождеств которого для некоторого целого n содержит полилинейные тождества вида (1). Также пусть d — некоторое положительное целое число. Тогда следующие условия эквивалентны.
(i) EXP(V) < d;
(ii) EXPr(V) < d — 1;
(iii) найдется некоторый набор чисел aa £ K, о £ Sd, в котором имеется хотя бы один такой ненулевой элемент, что для некоторого целого числа m > 0 в многообразии V выполнены все тождества (с учетом замечания выше) вида X
X ■■■ X а^..а»... ■{Vl,V2 , xai(1), ха2(1), ■■■, xam(1) }■■■
Vm^Sd &i €Sd
■■■{V2,V3,xai(2) ,xa2(2), ■■■,xam(2) } ■■■ {V2d-1, V2d , xai(d), xa2(d), ■■■, xam(d)} 0; (7)
(iv) найдется такое целое p > 0, что в многообразии V выполнены все полилинейные тождества вида (4).
(v) существует такая константа C, что в сумме (6) mA(V) = 0 в случае, если выполнено условие n — (А1 + А2 + ... + Ad) > C.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31 101
□ Для начала заметим, что если в многообразии V выполнены тождества (1), то найдется такое s, что V С V (лемма 2 работы [7]).
(г) ^ (гг) следует из предложения 4 работы [1].
(ггг) ^ (г) Если в многообразии V выполнены тождества вида (7), то в пространствах Wd,x,n(V), Л h d, выполнены тождества вида (3). Поэтому из леммы 3 следует, что условие (ггг) влечет (г).
(гу) ^ (ггг) очевидно.
(г) ^ (гу) следует из леммы 4.
(г) ^(у) следует из теоремы 11 работы [7]. ■
Заметим, что тождества (7) не являются полилинейными при m > 1. Из доказанной теоремы следует, что если, например, идеал тождеств многообразии V содержит тождества (1) и для некоторого m в многообразии V выполнены тождества
ХГ}, {Уз, У4, x(T}, {V5, Уе, ХГ}} = 0,
{{Уъ У2,xm}, {Уз, У4,хт}} ■ {Уъ,Уе, ХГ} = 0,
{У1,У2,ХГ} ■ {Уз,У4,х(Т} ■ {У5,У6,ХГ} = 0,
то EXP(V) < 3.
Литература
1. Рацеев С.М. Коммутативные алгебры Лейбница-Пуассона полиномиального роста // Вестн. Сам. гос. ун-та. Естеств. сер. - 2012. - 94,№3/1. - C.54-65.
2. Regev A. Existence of polynomial identities in A 0 B // Bull. Amer. Math. Soc. - 1971. -77,№6. - C.1067-1069.
3. Giambruno A., Zaicev M.V. On codimention growth of finitely generated associative algebras // Adv. Math. - 1998. - 140. - C.145-155.
4. Giambruno A., Zaicev M.V. Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate // Adv. Math. - 1999. - 142. - С.221-243.
5. Воличенко И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [[ж1,ж2,ж3], [ж4,ж5,же|] = 0 над полем характеристики нуль // Сиб. матем. журнал. - 1984. - 25,№3. - С.40-54.
6. Mishchenko S.P., Zaicev M.V. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent // Journal of Mathematical Sciences (New York). - 1999. - 93,№6. - C.977-982.
7. Рацеев С.М. Рост в алгебрах Пуассона // Алгебра и логика. - 2011. - 50,№1. - C.68-88.
8. Рацеев С.М. Оценки роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом // Вестн. Сам. гос. ун-та. Естеств. сер. - 2010. - 78,№4. - C.65-72.
9. Рацеев С.М. Тождества в многообразиях, порожденных алгебрами верхнетреугольных матриц // Сиб. матем. журнал. - 2011. - 52,№2. - C.416-429.
GROWTH ESTIMATES OF SOME POISSON ALGEBRAS MANIFOLDS
S.M. Ratseev Ulyanovsk State University,
Lev Tolstoy Str., 42, Ulyanovsk, 432017, Russia, e-mail: RatseevSMOmail.ru
Abstract. Some equivalent conditions connected estimates of manifold growth of Poisson’s algebras with identities {{x1,y1},..., {xn,yn}} = 0, {x1,y1} ■... ■ {xn,yn} = 0 are obtained.
Key words: Poisson’s algebra, manifolds of algebras, growth of manifold.
