CC BY
15
Серия «Математика»
2013. Т. б, № 1. С. 72-77
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 512.572
О метабелевых многообразиях алгебр Лейбница — Пуассона *
С. М. Рацеев
Ульяновский государственный университет
О. И. Череватенко
Ульяновский государственный педагогический университет имени И. Н. Ульянова
Аннотация. В работе приводится конструкция алгебр, порождающих многообразие метабелевых алгебр Лейбница - Пуассона с тождеством {х, у} • {г, Ь} = 0. Также асимптотически описаны все классы подмногообразий данного многообразия.
Ключевые слова: алгебра Пуассона; алгебра Лейбница - Пуассона; многообразие метабелевых алгебр; рост многообразия.
На протяжении всей работы, если это специально не оговорено, предполагается, что основное поле имеет нулевую характеристику. Алгебра Лейбница над полем К — неассоциативная алгебра с умножением {, }, определяемая тождеством Лейбница
которое превращает правое умножение в дифференцирование этой алгебры. При этом заметим, что если в алгебре Лейбница выполнено тождество {х, х} = 0, то она является алгеброй Ли. Таким образом, любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница.
Напомним, что многообразие метабелевых алгебр Лейбница определяется тождеством {{XI ,х2}, {х3 ,х4}} = 0.
Данное многообразие подробно изучено в работе [4]. Если в данном многообразие выполнено тождество {х, х} = 0, то из работы [1] следует, что полученное многообразие метабелевых алгебр Ли, которое обозначим А2, является наименьшим многообразием алгебр Ли, не являющееся нильпотентным. Другими словами, многообразие алгебр Ли V является нильпотентным тогда и только тогда, когда А2 ^ V.
{{x,y},z} = {{x,z},y} + {x, {y,z}},
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 10-01-00209-а.
Алгебра А = А(+, ■, {, },К) над произвольным полем К называется алгеброй Лейбница-Пуассона, если А(+, ■К) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, А(+, {, },К) — алгебра Лейбница с операцией умножения {, } и для любых а,Ь,с Є А выполнены правила:
{а ■ Ь,с} = а ■ {Ь, с} + {а, с}^Ь, {с, а ■ Ь} = а ■ {с, Ь} + {с, а} ■ Ь.
Заметим, что если в алгебре Лейбница - Пуассона выполнено тождество {х, х} = 0, то данная алгебра будет являться алгеброй Пуассона. Таким образом, алгебры Лейбница-Пуассона являются обобщениями алгебр Пуассона, которые возникают в различных разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физики и т. д.
Пусть Сь — двумерная метабелева алгебра Ли с базисом а,Ь и таблицей умножения [а, Ь] = -[Ь, а] = а. Обозначим через С алгебру Пуассона Сь ® К с операциями
(а + а) ■ (Ь + в) = (ва + аЬ) + ав,
{а + а,Ь + в} = [а,Ь], а,Ь Є Сь, а,в Є К.
В работе [2] показано, что многообразие алгебр Пуассона, определенное тождествами
{Х1,Х2} ■ {хз, Х4} = 0, {{хі, Х2}, {Х3,Х4}} = 0,
порождается алгеброй Пуассона С и имеет почти полиномиальный рост последовательности коразмерностей, т.е. рост самого многообразия экспоненциален, в то время как рост любого собственного подмногообразия данного многообразия является полиномиальным.
Пусть Е (X) — свободная алгебра Лейбница-Пуассона со счетным множеством свободных образующих X = {Хі,Х2,...}. Договоримся опускать скобки {, } при их левонормированной расстановке:
{{{Х1 ,Х2},Хз },..., Хп } = {Х1,Х2,...,Хп }.
Обозначим через Рп пространство в Е(X), состоящее из полилинейных элементов степени П от переменных Хі, ...,Хп.
Предложение 1. ([3]). Базис пространства Рп состоит из всех элементов вида
Хк-1 ■ ... ■ Хкг ■ {ХЧ ,...,Хів} ■ ... ■ {Хп ,...,Хіь } (0.1)
для каждого из которых выполнены следующие условия:
(i) г > 0, к1 < ... < кг;
(ii) каждая из переменных Х1,...,Хп встречается в (0.1) ровно один раз;
74 С. М. РАЦЕЕВ, О. И. ЧЕРЕВАТЕНКО
(iii) каждый множитель {xil ,...,xis{xj1 ,...,Xjt} в (0.1) левонормирован и имеет длину > 2;
(iv) множители в (0.1) упорядочены по длине: s < ... < t;
(v) если два соседних множителя в (0.1), являющиеся скобками {, }, имеют одинаковую длину
... • {xpi, ..., XPs } ' {xqi, ..., xqs } ' ...,
то pi < qi.
Обозначим через Гп подпространство в Pn, являющееся линейной оболочкой элементов вида
{x*i ,...,xis }•... -{xji ,...,xjt}, s > 2,..., t > 2.
Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница - Пуассона с идеалом тождеств Id(V). Обозначим
Pn(V) = Pn/(Pn П Id(V)), rn(V) = Гп/(Гп n Id(V)),
Cn(V) = dim Pn(V), Yn(V) = dim rn(V).
Далее нам понадобится следующее утверждение.
Предложение 2. Пусть Al — некоторая алгебра Ли с операцией умножения [, ] над произвольным полем K. В линейном пространстве A = Al х Al х K над полем K определим операции умножения • и {, } элементов множества A следующим образом:
(xi,x2,a) • (yi,y2,e) = (fixi + ay 1,^x2 + ay2,af3),
{(xi ,x2 ,a), (yi ,y2,e)} = ([xi,yi], [x2,yi ], 0),
где xi,x2,yi,y2 € Al, a, в € K. Тогда полученная алгебра A будет являться алгеброй Лейбница-Пуассона, в которой выполнено тождество {xi, x2 } • {x3 ,x4 } = 0.
Пусть a € Sn, где Sn — симметрическая группа порядка n. Действие a(xi) = xa(i) естественным образом продолжается до автоморфизма свободной алгебры Лейбница-Пуассона F(X). Пространство rn(V) становится при этом Sn-модулем. Исследование структуры Гп (V) как Sn-модуля играет важную роль при изучении многообразия V, так как из работы [3] следует, что идеал тождеств многообразия алгебр Лейбница-Пуассона V порождается системой тождеств из множества
U(rn n id(V)).
n>2
Модуль Гп^) является вполне приводимым, разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров имеет следующий вид:
ХЬп
Обозначим через и2 алгебру Лейбница-Пуассона Сь х Сь х К, построенную с помощью предыдущего предложения.
Теорема 1. В случае основного поля нулевой характеристики для алгебры Лейбница-Пуассона и2 справедливы следующие утверждения. (г) Полилинейные тождества
где {і1,і2,І1,..., ,]п-1} = {1,2,...,п} как множества, ]1 < ... < ]п-2, образуют базис пространства Гп(и2).
(ііі) Для любого натурального п элементы вида
где в = 2, ...,п, {к\,..., кп-3, г\,г2,]\,..., з3-2} = {1, 2, ...,п} как множества, к\ < ... < кп-3, < ... < ]3-2, образуют базис пространства
Доказательство. Очевидно, что в алгебре и2 выполнены тождества
Обозначим через V многообразие алгебр Лейбница - Пуассона, порожденное тождествами (0.3). Понятно, что пространство Гп(V) является линейной оболочкой элементов вида (0.3). Покажем, что по модулю идеала тождеств алгебры и элементы (0.3) являются линейно независимыми. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого п > 2 в алгебре и2 выполнено нетривиальное тождество
{х1,х2} ■ {х3,х4} = 0, {{х1,х2}, {хз ,х4}} = 0
порождают идеал тождеств алгебры и2.
(гг) Для любого натурального п > 2 элементы вида
{Гр . Гр . Гр . Гр . I
х1\ , х12 , хл , ..., хЗи-2 },
(0.2)
(0.3)
Х1 ■ ... ■ Хп
Хк± ■ Хк2 ■ ... ■ Хкп-.3 ■ Х , ХІ2 , ХІі, ..., ХЗв—2 },
Рп и).
(іу) Чп(и) = п(п — 1), п > 2, и
Х (и2) = х(п) + 2 ■ Х(п-1,1) + Х(п-2,2) + Х(п-2,12).
(у) сп(и2) = 1 + п(п — 1)2п-2, п > 1.
(0.2).
іі,і2,Зі,...,Зи-2
76 С. М. РАЦЕЕВ, О. И. ЧЕРЕВАТЕНКО
Пусть і1, І2,31, ■ ■■, ]п—2 такой набор индексов, при котором коэффициент
аіі,і2,зі,---,зп-2 = 0- Сделаем следующую подстановку:
Хіі ^ (0,Ь,0), Хі2 ^ (а, 0,0), х^ ^ (Ь, 0,0), ■■■, хіп_2 ^ (Ь, 0,0). Тогда получаем равенство
аіі,і2,зі,... ,Зп-2(0, -а 0) = (0, 0 0)^
Отсюда аіі,і2,зі,...,зп-2 = 0- Таким образом, условия (і) и (іі) доказаны. Условие (ііі) следует из условия (іі) и предложения 4 работы [3]. Условие (іу) следует из условия (іі) и работы [4].
Условие (у) следует из (ІІІ), при этом
п п
Сп(и2) = 1 + СП7к (и2) = 1 + СПк(к — 1) = 1 + п(п — 1)2п 2,
к=2 к=2
где Сп — число сочетаний из п по і □
Пусть и и V — два многообразия алгебр Лейбница-Пуассона с соответствующими идеалами тождеств Ы(И) и Ы(у)- Будем говорить, что многообразия И и V асимптотически равны, если существует такое N, что для любого п > N выполнено равенство М(И) П Рп = Ы(у) П Рп.
Рассмотрим двумерную алгебру Лейбница Иь над полем К с базисом а, Ь и таблицей умножения {а, Ь} = а, {а, а} = {Ь, Ь} = {Ь, а} = 0. Обозначим через И алгебру Лейбница-Пуассона Иь ® К с операциями
(а + а) ■ (Ь + в) = (ва + аЬ) + ав,
{а + а,Ь + в} = {а,Ь}, а,Ь є Иь, а,в Є К■
В работе [3] показано, что многообразие алгебр Лейбница-Пуассона, определенное тождествами
{Х1,Х2}^{Хз,Х4} = 0, {Хі, {Х2,Хз }} = 0, (0.4)
порождается алгеброй Лейбница-Пуассона И и имеет почти полиномиальный рост последовательности коразмерностей.
Теорема 2. Пусть V — подмногообразие в уат(и2) над полем нулевой характеристики, где уат(и2) — многообразие алгебр Лейбница-Пуассона, порожденное алгеброй и2. Тогда многообразие V асимптотически совпадает с одним из следующих многообразий:
(і) многообразие абелевых алгебр Лейбница - Пуассона, определенное тождеством {х, у} = 0;
(ІІ) многообразие алгебр Пуассона, определенное тождествами (0^2), которое порождается алгеброй С;
(ггг) многообразие алгебр Лейбница - Пуассона, определенное тождествами (0.4), которое порождается алгеброй Н;
(гу) многообразие алгебр Лейбница - Пуассона, определенное тождествами (0.2) и тождеством ^ае8з(—1)а{ха(1) ,ха(2) ,ха(з)} = 0, которое порождается прямой суммой алгебр С ® Н;
(у) многообразие уат(и2).
Доказательство следует из теоремы 1 и теоремы 4.1 работы [4].
Список литературы
1. Зельманов Е. И. Об энгелевых алгебрах Ли / Е. И. Зельманов // Сиб. мат. журн. - 1988. - Vol. 29, N 5. - P. 112-117.
2. Рацеев С. М. Эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона / С. М. Рацеев // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. - 2012. - Т. 67, вып. 5. - С. 8-13.
3. Рацеев С. М. Коммутативные алгебры Лейбница-Пуассона полиномиального роста / С. М. Рацеев // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонауч. сер. -2012. - Т. 94, вып. 3/1. - С. 54-65.
4. Drensky V. Varieties of metabelian Leibniz algebras / V. Drensky, G.M. Piacentini Cattaneo // J. Algebra and its Applications. - 2002. - Vol. 1. - P. 31-50.
S. M. Ratseev, O. I. Cherevatenko
On metabelian varieties of Leibniz-Poisson algebras
Abstract. In this paper we give algebra constructions that generate the metabelian variety of Leibniz-Poisson algebras with the identity {x,y} ■ {z,t} = 0. We give the asymptotic description of the metabelian varieties.
Keywords: Poisson algebra, Leibniz-Poisson algebra, variety of algebras, growth of variety.
Рацеев Сергей Михайлович, кандидат физико-математических наук, Ульяновский государственный университет, 432017, Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42. тел.: (8422)323247 (ratseevsm@mail.ru)
Череватенко Ольга Ивановна, кандидат физико-математических наук, Ульяновский государственный педагогический университет им. И. Н.Ульянова, 432063, Ульяновск, пл. 100-летия со дня рождения В. И. Ленина, 4. тел.: (8422)441109 (chai@pisem.net)
Ratseev Sergey, Ulyanovsk State University, 432017, Ulyanovsk, Lev Tolstoy, 42, associate professor, Phone: (8422)323247 (ratseevsm@mail.ru)
Cherevatenko Olga, Ulyanovsk State I.N.Ulyanov Pedagogical University, Ploshchad’ 100-letiya so dnya rozhdeniya V.I. Lenina, 4, associate professor, Phone: (8422)441109 (chai@pisem.net)
