CC BY
26
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. № 2(35). С.9—15
Алгебра
УДК 512.572
0 ТОЖДЕСТВАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В АЛГЕБРАХ ЛЕЙБНИЦА-ПУАССОНА
С. М. Рацеев1, О. И. Череватенко2
1 Ульяновский государственный университет,
Россия, 432017, Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42.
2 Ульяновский государственный педагогический университет имени И. Н. Ульянова,
Россия, 432063, Ульяновск, пл. 100-летия со дня рождения В. И. Ленина, 4.
Исследуются полиномиальные алгебры Лейбница-Пуассона. Рассматриваются тождества специального вида в данных алгебрах. Показано, что последовательность коразмерностей {rn(V)}n^1 любого пространства специального вида многообразия алгебр Лейбница-Пуассона V над произвольным полем либо ограничена полиномом, либо не ниже показательной функции. При этом, если данная последовательность ограничена полиномом, то найдется такой многочлен R(x) с рациональными коэффициентами, что rn(V) = R(n) для всех достаточно больших п. Из данного результата следует, что не существует многообразий алгебр Лейбница-Пуассона V, для которых последовательность {rn(V)}n^1 имела бы промежуточный рост между полиномиальным и экспоненциальным. Приводятся нижняя и верхняя границы для многочленов R(x) произвольной фиксированной степени.
Ключевые слова: алгебра Лейбница, алгебра Лейбница-Пуассона, многообразие алгебр.
Векторное пространство A над полем K с двумя K-билинейными операциями умножения ■ и {,} называется алгеброй Лейбница—Пуассона, если относительно операции ■ пространство A является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции {,} — алгеброй Лейбница, и данные операции связаны правилами
{а ■ b,c} = а ■ {b, c} + {a, c} ■ b, {c,a ■ b} = a ■ {c, b} + {c, a} ■ b,
где a,b,c e A. При этом алгебра Лейбница A(+, {,}, K) над полем K определяется тождеством
{{x,y},z} = {{x,z},y} + {x, {y,z}}.
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1298 © 2014 Самарский государственный технический университет.
Образец цитирования: С. М. Рацеев, О. И. Череватенко, “О тождествах специального вида в алгебрах Лейбница—Пуассона” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2(35). С. 9-15. doi: 10.14498/vsgtu1298.
Сведения об авторах: Сергей Михайлович Рацеев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. информационной безопасности и теории управления. Ольга Ивановна Череватенко (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. высшей математики.
E-mail addresses: RatseevSM@mail.ru (S.M. Ratseev, Corresponding author), chai@pisem.net (O.I. Cherevatenko)
9
С. М. Рацеев, О. И. Череватенко
Алгебры Лейбница—Пуассона были введены в работе [1] и активно изучались в работах [2-8]. Данные алгебры являются обобщениями алгебр Пуассона. Заметим, что если в алгебре Лейбница выполнено тождество {x, x} = 0, то она будет являться алгеброй Ли, поэтому, если данное тождество выполнено в алгебре Лейбница—Пуассона, то данная алгебра будет являться алгеброй Пуассона. Алгебры Пуассона возникают естественным образом в некоторых разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физики и т. д. Исследование полиномиальных алгебр Пуассона началось сравнительно недавно, но тем не менее в данном направлении получен ряд интересных результатов [9-17]. Заметим также, что с использованием свободных алгебр Пуассона и Пуассоновых скобок У. У. Умирбаевым и И. П. Шестаковым [18] была решена известная проблема Нагаты [19] о существовании диких автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры над полем характеристики 0 с тремя порождающими.
Пусть F(X) —свободная алгебра Лейбница—Пуассона, где X = {x\,x2, Хз,... } — счётное множество свободных образующих. Обозначим через Pn пространство в F(X), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных xi,...,xn. Выделим в пространстве P2n подпространство Q2n, порождённое элементами вида
{x«1 , x«2 } • {x«3 , x«4 } • ... • {x«2n-1 , x«2n }.
Тогда данное пространство есть линейная оболочка следующих элементов: Q2n ({xr(1), xt(2) } • {xt(3), xt(4)} • ... • {xt(2n-1), xt(2n) } 1 T e S2n,
T(1) < T(3) < • • • < T(2n — 1 ))k.
Определим также подпространство Rn в Pn, порождённое элементами вида
{
x«1 , x«2 } {x«3 , x«4 } ... {x«2m-1 , x»2m } x«2m + 1 ... x«n .
Тогда пространство Rn является линейной оболочкой элементов следующего вида:
Rn ({xt(1), xt(2) } • {xt(3), xt(4) } • . . . • {xt(2m-1), xt(2m)} • xt(2m+1) • . . . • xt(n) 1
t e Sn, 0 ^ 2m ^ n, t(1) < t(3) < • • • < t(2m — 1), t(2m + 1) < t(2m + 2) < • • • < t(n))K.
Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница—Пуассона (все необходимые сведения о многообразиях PI-алгебр можно найти, например, в монографиях [20-22]), Id(V) — идеал тождеств многообразия V. Обозначим
Pn(V) = Pn/(Pn П Id(V)), cn(V) = dimPn(V),
Q2n(V) = Q2n/(Q2n П Id(V)), q2n(V) = dim Q2n(V),
Rn(V) = Rn/(Rn П Id(V)), rn(V) = dim Rn(V).
Пространства Q2n(V) и Rn(V) многообразий алгебр Пуассона V активно изучались в работах [9-11,13,23]. Это обусловлено следующим обстоятельством. Обозначим
T2n = {t e S2n | T(1) < t(2), T(3) < t(4),..., T(2n — 1) < t(2n),
10
О тождествах специального вида в алгебрах Лейбница-Пуассона
т(1) < т(3) < ■ ■ ■ < т(2n — 1)}.
Теорема 1 [9]. Пусть V —многообразие алгебр Пуассона над полем нулевой характеристики, в котором выполнено нетривиальное тождество. Тогда в V выполняется нетривиальное тождество вида
'У ' ат{хт(1), хт(2) } " {хт(3), хт(4)} " ... " {хт(2n- 1), хт(2n) } 0, ат S К.
т GT2n
Далее нам понадобится следующая лемма, которую приведем без доказательства, так как она является частным случаем предложения 4 работы [1].
Лемма. Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница—Пуассона над произвольным полем. Тогда справедливы следующий утверждения:
(г) полилинейные элементы
U2n(xi, . . . , X2n), s = 1, . . . , q2n(V),
образуют базис пространства Q2n(V) тогда и только тогда, когда полилинейные элементы от переменных xi,... ,xn вида
х1 ■
ь%\
■ u2sk (х
П 1
' х32к ) ,
х
х
n
г
2 к
n
2 ^ 2 k ^ n, s = 1,...,q2k (V), ii < ■■■ < in-2k, ji < ■■■ < j2k,
образуют базис пространства Rn(V);
(гг) для любого натурального числа n выполнено равенство
rn(V) = 1+ Е Cf q2k (V),
2^2k^n
где C2k — число сочетаний из n по 2k.
Теорема 2. Пусть V — нетривиальное многообразие алгебр Лейбница— Пуассона над произвольным полем. Тогда либо
1) rn(V) ^ 2n-1 для любого п, либо
2) найдется такой многочлен a2Nх2И + ■ ■ ■ + а1х + а0 степени 2N ^ 0 из кольца 0>[х], что для любого п ^ 2N будет выполнено равенство
rn(V) = a2N n2N +--+ арп + ао, a2N = 0,
причем
либо 2а) rn(V) ^ 1 +
n(n — 1)
n ^ 1, и
1
(2N)! ^ “2N ^
1
N!,
либо 2b) rn(V) = 1 для любого n.
11
С. М. Рацеев, О. И. Череватенко
Доказательство. Пусть последовательность {rn(V)}rayi не ограничена полиномом. Тогда из предложения 5 работы [1] следует, что для любого натурального n выполнено неравенство q2n(V) > 0. С учётом леммы получаем
rn(V) = 1+ £ Cf Q2k(V) ^ 1+ £ Cf = 2n-1.
2^2k^n 2^2k^n
Пусть теперь последовательность {rn(V)}nyi ограничена полиномом. Пусть N — максимальное число, при котором q2N(V) > 0. Тогда из леммы следует, что для любого n ^ 2N будет выполнено равенство
N
rn(V) = 1 + £ Cf q2k (V),
k=i
то есть найдётся такой многочлен степени 2N ^ 0 с рациональными коэффициентами, что
rn(V) = a2Nn2N +----+ ain + ao, a2N = 0, n ^ 2N.
Пусть N > 0. Так как
q2n(F(X)) < ^ n!
для любого n, для любого n ^ 2N будет выполнено двойное неравенство
N
Ecf
k=o
N
< rn(V) < £ cf ■
k=o
(2k)!
k!
Поэтому
11
(2N)! ^ a2N ^ N!.
При этом заметим, что
(1)
о n(n — 1)
rn(V) ^ 1 + C2n ■ q2(V) ^ 1 + ( 2 ).
Если N = 0, то rn(V) = 1 для любого n. □
Заметим, что аналогичный результат для полилинейных частей унитарных ассоциативных алгебр над произвольным полем получен в работе [24].
Пусть Л2п — алгебра Грассмана с единицей, 2n образующими элементами {ei,..., e2n} и операцией умножения Л. Введём в алгебре Л2П два новых умножения:
a ■ b =-(a Л b + b Л a), {a, b} = a Л b — b Л a, a, b e Л2п.
Обозначим полученную алгебру Пуассона (Л2п, +, ■, {,}) через G2n. В работе [12] показано, что в случае основного поля нулевой характеристики для
12
О тождествах специального вида в алгебрах Лейбница-Пуассона
произвольного натурального числа N последовательность {rn(G2N)}nyi достигает нижней границы в неравенстве (1):
N
Cn(G2N) = rn(G2N) = £ cnk, n > 2N.
k=0
Заметим, что существует бесконечно много попарно различных многообразий алгебр Лейбница-Пуассона V, у которых последовательность {rn (V)}ny1 достигает нижней границы полиномиального роста. Пусть SUn = SUn (K) — алгебра строго верхнетреугольных матриц порядка N над полем K и операцией умножения Л. В векторном пространстве UNp = SUn х SUn х K над полем K определим две операции умножения ■ и {,} следующим образом:
(ж1,Ж2,а) ■ (у1,У2,в) = (вх1 + ayi,fix2 + ау2,ав),
{(Х1,Х2 ,а), (у1,У2,в)} = ([xi,yi],X2 Л yi,0),
где [xi,yi] = xi Л yi - yi Л xi, (xi,X2,а), (yi,У2,в) е U^p. В работе [25] показано, что для полученной алгебры Лейбница—Пуассона UNp над полем нулевой характеристики верны следующие равенства:
д2(и^Р) = 1, Q2n(U^P) =0, n > 1,
rn(ULP) = 1 +----2—^ n ^ 1,
min{n,N — 1}
Cn(U^P) = 1+ £ Cn ■ k!, n ^ 1.
k=2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ/ REFERENCES
1. С. М. Рацеев, “Коммутативные алгебры Лейбница-Пуассона полиномиального роста”// Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2012. №3/1(94). С. 54-65. [S. M. Rat-seev, “Commutative Leibniz-Poisson algebras of polynomial growth”, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2012, no. 3/1(94), pp. 54-65 (In Russian)].
2. S. M. Ratseev, “On varieties of Leibniz-Poisson algebras with the identity {x, y}^[z, t} = 0”, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2013, vol. 6, no. 1, pp. 97-104.
3. С. М. Рацеев, “Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница-Пуассона”// Изв. вузов. Матем., 2014. №3. С. 33-39; S. M. Ratseev, “Necessary and sufficient conditions of polynomial growth of varieties of Leibniz-Poisson algebras”, Russian Math. (Iz. VUZ), 2014, vol. 58, no. 3, pp. 26-30 doi: 10.3103/S1066369X14030037.
4. С. М. Рацеев, О. И. Череватенко, “Экспоненты некоторых многообразий алгебр Лейбница-Пуассона”// Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2013. №3(104). С. 4252. [S. M. Ratseev, O. I. Cherevatenko, “Exponents of some varieties of Leibniz—Poisson algebras”, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2013, no. 3(104), pp. 42-52 (In Russian)].
5. С. М. Рацеев, “Об экспонентах некоторых многообразий линейных алгебр” // ПДМ, 2013. №3. С. 32-34. [S. M. Ratseev, “On exponents of some varieties of linear algebras”, Prikl. Diskr. Mat., 2013, no. 3, pp. 32-34 (In Russian)].
13
С. М. Рацее в, О. И. Череватенко
6. С. М. Рацеев, О. И. Череватенко, “О некоторых многообразиях алгебр Лейбница-Пуассона с экстремальными свойствами”// Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2013. №2. С. 57-59. [S. M. Ratseev, O. I. Cherevatenko, “On some varieties of Leibniz-Poisson algebras with extreme properties”, Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh., 2013, no. 2, pp. 57-59 (In Russian)].
7. С. М. Рацеев, О. И. Череватенко, “О метабелевых многообразиях алгебр Лейбница-Пуассона”// Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика, 2013. Т. 6, №1. С. 72-77. [S. M. Ratseev, O. I. Cherevatenko, “On metabelian varieties of Leibniz-Poisson algebras”, IIGU Ser. Matematika, 2013, vol. 6, no. 1, pp. 72-77 (In Russian)].
8. О. И. Череватенко, “Многообразия линейных алгебр полиномиального роста” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. №4(33). С. 7-14 doi: 10.14498/ vsgtu1262. [O. I. Cherevatenko, “Varieties of linear algebras of polynomial growth”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2013, no. 4(33), pp. 7-14 (In Russian)].
9. D. R. Farkas, “Poisson polynomial identities”, Comm. Algebra, 1998, vol. 26, no. 2, pp. 401416 doi: 10.1080/00927879808826136.
10. D. R. Farkas, “Poisson polynomial identities II”, Arch. Math. (Basel), 1999, vol. 72, no. 4, pp. 252-260 doi: 10.1007/s000130050329.
11. S. P. Mishchenko, V. M. Petrogradsky, A. Regev, “Poisson PI algebras”, Trans. Amer. Math. Soc., 2007, vol. 359, no. 10, pp. 4669-4694 doi: 10.1090/S0002-9947-07-04008-1.
12. С. М. Рацеев, “Алгебры Пуассона полиномиального роста” // Сиб. матем. журн., 2013. Т. 54, №3. С. 700-711; S. M. Ratseev, “Poisson algebras of polynomial growth”, Siberian Math. J., 2013, vol. 54, no. 3, pp. 555-565 doi: 10.1134/S0037446613030191.
13. С. М. Рацеев, “Рост в алгебрах Пуассона”// Алгебра и логика, 2011. Т. 50, №1. С. 6888; S. M. Ratseev, “Growth in Poisson algebras”, Algebra and Logic, 2011, vol. 50, no. 1, pp. 46-61 doi: 10.1007/s10469-011-9123-z.
14. С. М. Рацеев, “Эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона”// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 2012. Т. 67, №5. С. 8-13; S. M. Ratseev, “Equivalent conditions of polynomial growth of a variety of Poisson algebras”, Moscow University Mathematics Bulletin, 2012, vol. 67, no. 5-6, pp. 195-199 doi: 10.3103/S0027132212050026.
15. С. М. Рацеев, “О некоторых алгебрах Пуассона с экстремальными свойствами” // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Мат. Физ., 2013. Т. 30, №5(148). С. 107-110. [S. M. Ratseev, “On varieties of Poisson algebras with extremal properties”, Nauch. vedomosti BelGU. Mat. Fiz., 2013, vol. 30, no. 5(148), pp. 107-110 (In Russian)].
16. С. М. Рацеев, “Оценки роста некоторых многообразий алгебр Пуассона” // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Мат. Физ., 2013. Т. 31, №11. С. 93-101. [S. M. Ratseev, “Estimates of the growth of certain varieties of Poisson algebras”, Nauch. vedomosti BelGU. Mat. Fiz., 2013, vol. 31, no. 11, pp. 93-101 (In Russian)].
17. О. И. Череватенко, “О лиево нильпотентных алгебрах Пуассона” // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Мат. Физ., 2013. Т. 29, №23(142). С. 14-16. [O. I. Cherevatenko, “On Lie nilpotent Poisson algebras”, Nauch. vedomosti BelGU. Mat. Fiz., 2013, vol. 29, no. 23(142), pp. 14-16 (In Russian)].
18. I. P. Shestakov, U. U. Umirbaev, “The tame and the wild automorphisms of polynomial rings in three variables”, J. Amer. Math. Soc., 2004, vol. 17, no. 1, pp. 197-227 doi: 10. 1090/S0894-0347-03-00440-5.
19. M. Nagata, On the automorphism group on k[x, y], Department of Mathematics, Kyoto University, Lectures in Mathematics, vol. 5, Tokyo, Kinokuniya Book-Store Co., 1972, v+53 pp.
20. Ю. А. Бахтурин, Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985. 448 с. [Yu. A. Bakhturin, Tozhdestva v algebrakh Li [Identities in Lie Algebras], Moscow, Nauka, 1985, 448 pp. (In Russian)]
21. A. Giambruno, M. V. Zaicev, Polynomial Identities and Asymptotic Methods, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 122, Providence, RI, American Mathematical Society, 2005, xiv+352 pp. doi: 10.1090/surv/122.
14
О тождествах специального вида в алгебрах Лейбница-Пуассона
22. V. Drensky, Free algebras and Pi-algebras. Graduate course in algebra, Singapore, Springer-Verlag, 2000, xii+271 pp.
23. С. М. Рацеев, “Рост и кодлина пространств специального вида многообразий алгебр Пуассона”// Известия высших учебных заведений. Поволжский регион, 2006. №5(26). С. 125-135. [S. M. Ratseev, “Growth and colength of special type spaces of varieties of Poisson algebras”, Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region, 2006, no. 5(26), pp. 125-135 (In Russian)].
24. V. Drensky, A. Regev, “Exact asymptotic behaviour of the codimention of some P.I. algebras”, Israel J. Math, 1996, vol. 96, no. 1, pp. 231-242 doi: 10.1007/BF02785540.
25. С. М. Рацеев, О. И. Череватенко, “О нильпотентных алгебрах Лейбница-Пуассона” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. №4(29). С. 207-211 doi: 10. 14498/vsgtu1075. [S. M. Ratseev, O. I. Cherevatenko, “On the nilpotent Leibniz-Poisson algebras”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2012, no. 4(29), pp. 207211 (In Russian)].
Поступила в редакцию 19/II/2014; в окончательном варианте — 17/III/2014; принята в печать — 19/III/2014.
MSC: 17A32, 17B63
ON LEIBNIZ-POISSON SPECIAL POLYNOMIAL IDENTITIES
S. M. Ratseev1, O. I. Cherevatenko2
1 Ulyanovsk State University,
42, L. Tolstoy st., Ulyanovsk, 432017, Russian Federation.
2 Ulyanovsk State I. N. Ulyanov Pedagogical University,
4, Ploshchad’ 100-letiya so dnya rozhdeniya V. I. Lenina, Ulyanovsk, 432063, Russian Federation.
In this paper we study Leibniz-Poisson algebras satisfying polynomial identities. We study Leibniz-Poisson special and Leibniz-Poisson extended special polynomials. We show that the sequence of codimensions {rn(V)}n^1 of every extended special space of variety V of Leibniz-Poisson algebras over an arbitrary field is either bounded by a polynomial or at least exponential. Furthermore, if this sequence is bounded by polynomial then there is a polynomial R(x) with rational coefficients such that rn(V) = R(n) for all sufficiently large n. It follows that there exists no variety of Leibniz-Poisson algebras with intermediate growth of the sequence {rn(V)}n^1 between polynomial and, exponential. We present lower and upper bounds for the polynomials R(x) of an arbitrary fixed degree.
Keywords: Leibniz algebra, Leibniz-Poisson algebra, variety of algebras.
Received 19/II/2014;
received in revised form 17/III/2014;
accepted 19/III/2014.
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1298 © 2014 Samara State Technical University.
Citation: S. M. Ratseev, O. I. Cherevatenko, “On Leibniz-Poisson Special Polynomial Identities”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2014, no. 2(35), pp. 9-15. doi: 10.14498/vsgtu1298. (In Russian)
Author Details: Sergey M. Ratseev (Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Information Security & Control Theory. Olga I. Cherevatenko (Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics.
E-mail addresses: RatseevSM@mail.ru (S.M. Ratseev, Corresponding author), chai@pisem.net (O.I. Cherevatenko)
15
