Многообразия линейных алгебр полиномиального роста Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 4(33). С.7—14

Алгебра

УДК 512.572

МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА

О. И. Череватенко

Ульяновский государственный педагогический университет имени И. Н. Ульянова,

Россия, 432063, Ульяновск, пл. 100-летия со дня рождения В. И. Ленина, 4.

E-mail: chai@pisem.net

Приведён обзор результатов о многообразиях линейных алгебр полиномиального роста. Приводятся эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий ассоциативных алгебр, многообразий алгебр Ли, многообразий алгебр Лейбница, многообразий алгебр Пуассона и многообразий алгебр Лейбница—Пуассона. Показано, что при изучении многообразий линейных алгебр полиномиального роста важную роль играют многообразия почти полиномиального роста.

Ключевые слова: ассоциативная алгебра, алгебра Пуассона, алгебра Ли, многообразие алгебр, рост многообразия.

Введение. На протяжении всей работы предполагается, если это специально не оговорено, что основное поле имеет нулевую характеристику.

Пусть K (X) — свободная алгебра над полем K, где X = {xyx2,... } — счётное множество свободных образующих. Обозначим через A некоторую PI-алгебру. Совокупность всех тождеств алгебры A образует T-идеал Id(A) в свободной алгебре K(X). Пусть V — многообразие алгебр, порождённое алгеброй A. Тогда алгебра K(X, V) = K(X)/Id(A) является относительно свободной алгеброй многообразия V.

Пусть Pn — подпространство в пространстве K (X), состоящее из всех полилинейных элементов степени n от переменных xi, x2, ..., xn. В случае основного поля нулевой характеристики вся информация о многообразии V содержится в его полилинейных компонентах Pn(V) = Pn/(Pn П Id(V)), n = = 1, 2,.... Асимптотическое поведение последовательности cn(V) = dim Pn(V), n = 1, 2,..., называют ростом многообразия V. Говорят, что многообразие V имеет полиномиальный рост, если существуют такие константы C и k, что для любого n выполнено неравенство cn(V) ^ Cnk.

Пространство Pn(V) наделено структурой левого б^-модуля, где Sn — симметрическая группа степени n. Напомним, что последовательность Л = = (Л1, Л2,..., Л^) называют разбиением числа n и обозначают Л Ь n, если Л1 + Л2 + ■ ■ ■ + Лр = n и Л1 ^ Л2 ^ ... ^ Лк > 0. Пусть уд — характер неприводимого представления симметрической группы, соответствующий разбиению Л числа n. Тогда в силу вполне приводимости модуля Pn(V) для многообразия V имеет место разложение

Xn(V) = Xn(Pn(V)) = ^ mA(V)xA, (1)

Ahn

Ольга Ивановна Череватенко (к.ф.-м.н.), доцент, каф. высшей математики.

7

О. И. Череватенко

где m\(V) —степени неприводимых представлений, соответствующих разбиению Л числа п. Кодлина многообразия определяется как сумма

1n(V) = ^ mA(V).

Ahn

Если Л — разбиение некоторого числа п, то будем обозначать символом Л1 сопряженное разбиение к Л.

В следующей теореме приводится критерий полиномиального роста для общего случая.

Теорема 1 [1]. Пусть V — некоторое многообразие линейных алгебр. Последовательность {cn(V)}n>1 ограничена полиномом тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

(i) существует такая константа C, что в сумме (1) m\(V) = 0 в случае, если либо выполнено условие п — Л1 > C, либо п — Л[ > C;

(ii) существуют такие константы C и к, что для любого п существует m ^ Cпк расстановок скобок T1,T2, ..., Tm таких, что любой элемент f e Pn(V) может быть записан как

m

f = ^ fi (modId(V)),

i=1

где fi e PT (V).

Далее будут приведены более конкретные эквивалентные условия полиномиального роста для конкретных случаев.

Договоримся опускать скобки при их левонормированной расстановке:

((ab)c) = abc.

Ассоциативные алгебры. В теории ассоциативных алгебр очень важную роль играет бесконечно порожденная алгебра Грассмана Л и алгебра верхнетреугольных матриц порядка 2, которую обозначим через UT2.

Теорема 2 [2]. Для алгебры Л верны следующие утверждения:

(i) полилинейное тождество [x, y, z] = 0 порождает идеал тождеств алгебры Грассмана Л;

(ii) рост многообразия var(K), порождённого алгеброй Л, является почти полиномиальным, причём cn(Л) = 2n-1;

(iii) базис полилинейной компоненты Pn(Л) состоит из элементов вида

/у>. /у> . /у> . /у>. /у> . /у> .

[xil , xi2] . . . [xi2p-1 , xi2p ]xJ 1 xJ2

b3q ,

где {il, . . . , i2p ...,jq} = {l,...,n},h < i2 < ■■■ < i2p, j1 < ■■■ < jq.

Теорема 3 [2]. Для алгебры UT2 верны следующие утверждения:

(i) полилинейное тождество [x1,x2][x3,x4] = 0 порождает идеал тождеств алгебры UT2;

(ii) рост многообразия var(UT2), порождённого алгеброй UT2, является почти полиномиальным, причём cn(UT2) = 2п-1(п — 2) + 2;

8

Многообразия линейных алгебр полиномиального роста

(iii) базис полилинейной компоненты Pn(UT2) состоит из элементов вида

\ Гр . Гр . Гр . \ Гр . Гр . гр .

[xa , x%2 , , xip Jxjl xJ2 . . . xJq ,

где {ii,... ,ip,ji,... ,jq} = {1,... ,n}, ji < ■ ■ ■ < jq и переменные в коммутаторе [xil,..., xip] упорядочены следующим образом:

ii > i2 < i3 < ■ ■ ■ < ip.

Теорема 4 [3]. Для многообразия ассоциативных алгебр V следующие условия эквивалентны:

(i) последовательность {cn(V)}n>i ограничена полиномом;

(ii) UT2 £ V, Л £ V;

(iii) существует такая константа C, что в сумме (1) m\(V) = 0 в случае, если выполнено условие n — А1 > C;

(iv) кодлина многообразия V является конечной.

Алгебры Ли. Пусть NsA — многообразие алгебр Ли, определяемое тождеством [[xi,x2],..., [x2s+i,x2s+2]] =0. В работе [4] показано, что многообразие N2A имеет почти полиномиальный рост.

Теорема 5 [5,6]. Для многообразия алгебр Ли V следующие условия эквивалентны :

(i) многообразие V имеет полиномиальный рост;

(ii) для некоторого s выполнено условие N2A С V С NsA;

(iii) существует такая константа C, что в сумме (1) m\(V) = 0 в случае, если выполнено условие n — А1 > C.

Обозначим через A2 метабелево многообразие алгебр Ли, которое определяется тождеством [[xi,x2], [x3,x4]] = 0. Хорошо известно, что многообразие A2

является наименьшим многообразием среди всех многообразий алгебр Ли роста не ниже полиномиального, то есть если рост некоторого многообразия V не ниже полиномиального, то A2 С V.

Алгебры Лейбница. Алгебры Лейбница — неантикоммутативные алгебры Ли, которые определяются тождеством Лейбница

[[x,y],z] = [[x,z],y] + [x, [y,z]].

Тождество Лейбница представляет собой следующее условие: оператор правого умножения на любой элемент алгебры является дифференцированием.

Обозначим через NsA многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождеством

[[Xi,X2], . . . , [X2s+i,X2s+2]] = 0.

Понятно, что многообразие Ns A с тождеством [x, x] =0 — в точности многообразие NsA.

Обозначим через 'V1 многообразие алгебр Лейбница, определенное тождеством [xi, [x2,x3], [x4,x5]] = 0. Данное многообразие имеет почти полиномиальный рост (см. [7]).

Теорема 6 [8,9]. Для многообразия алгебр Лейбница V следующие условия эквивалентны:

9

О. И. Череватенко

(i) многообразие V имеет полиномиальный рост;

(ii) для некоторого s выполнено условие

N2A, Vi £ V С NSA;

(iii) существует такая константа C, что в сумме (1) m\(V) = 0 в случае, если выполнено условие n — А1 > C.

Пусть B — многообразие алгебр Лейбница, определённое тождеством

[x, [y,z\\ = 0.

В работе [10] показано, что многообразия A2 и B исчерпывают весь список минимальных многообразий среди всех многообразий алгебр Лейбница роста не ниже полиномиального, то есть если рост некоторого многообразия V не ниже полиномиального, то либо A2 С V, либо B С V.

Алгебры Пуассона. Алгебра A = A( + , ■ , { , },K) над произвольным полем K называется алгеброй Пуассона, если А( + , ■ , K) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, А(+, { , },K) — алгебра Ли с операцией умножения { , }, которая называется скобкой Пуассона, и выполняется правило Лейбница:

{а ■ b,c} = а ■ {b, c} + {a, c} ■ b, a,b,c e A.

Пусть Л — бесконечномерная алгебра Грассмана с единицей и операцией умножения Л. Введём в алгебре Л два новых умножения:

а ■ b =-(а Л b + b Л а), {а, b} = а Л b — b Л а, а, b e Л.

Нетрудно проверить, что алгебра (Л, +, ■, { , }) будет алгеброй Пуассона, которую обозначим через G.

Теорема 7 [11]. Для алгебры G верны следующие утверждения:

(i) полилинейное тождество {x, y,z} = 0 порождает идеал тождеств алгебры Пуассона G;

(ii) рост многообразия var(G), порождённого алгеброй G, является почти полиномиальным, причём cn (G) = 2п-1;

(iii) базис полилинейной компоненты Pn(G) состоит из элементов вида

{

xii ,xi2 } ... {xi2p-1 , xi2p} Х31 xj2 ... x.

jq,

где {i h . . .,i2p ...,jq} = {l, ... ,n}, *1 <i2 < ■■■ < i2p, j 1 < ■■■ < jq.

Пусть Al — некоторая ненулевая алгебра Ли с лиевым умножением [ , \ над произвольным полем K. Рассмотрим векторное пространство A = Al®K, в котором определим операции ■и { , } следующим образом:

(а + а) ■ (b + в) = (ва + ab) + ав, (2)

{а + a,b + в} = [a,b\, a,b e AL, а, в e K.

Тогда полученная алгебра (A, + , ■ , { , },K) будет являться алгеброй Пуассона.

10

Многообразия линейных алгебр полиномиального роста

Пусть u2l — двумерная метабелева алгебра Ли с базисом {a, b} и таблицей умножения [a, b] = a, [b, a] = -a, [a, a] = [b, b] = 0. Обозначим через U2 алгебру Пуассона Up ® K с операциями (2).

Теорема 8 [12]. Для алгебры U2 верны следующие утверждения:

(i) полилинейные тождества

{xi,x2} ■ {хз,Х4} = 0, {{xi,x2}, {хз,Х4}} = 0

порождают идеал тождеств алгебры Пуассона U2;

(ii) рост многообразия var(U2), порождённого алгеброй U2, является почти полиномиальным, причём cn(U2) = 2n-1(n — 2) + 2;

(iii) базис полилинейной компоненты Pn(U2) состоит из элементов вида

{xil, xi

,x,

,}■ x

Л

x

Л

b3q’

где {i1,..., ip,j 1,... ,jq} = {1,... ,n}, j1 < ■ ■ ■ < jq и переменные в мо-

номе {x

>xip } упорядочены следующим образом:

ii > i2 < iз < ■ ■ ■ < ip

Следующая теорема показывает, что в случае алгебр Пуассона алгебры U2 и G играют ту же роль, что и алгебры UT2 и Л в ассоциативном случае.

Теорема 9 [12]. Для многообразия алгебр Пуассона V следующие условия эквивалентны:

(i) последовательность {cn(V)}n>1 ограничена полиномом;

(ii) U2 i V,G £ V;

(iii) существует такая константа C, что в сумме (1) m\(V) = 0 в случае, если выполнено условие n — А1 > C;

(iv) кодлина многообразия V является конечной.

Пусть NL — трёхмерная нильпотентная алгебра Ли с базисом {a,b,c} и таблицей умножения [b, a] = c, [a, c] = [b, c] = 0. Обозначим через N3 алгебру Пуассона NL ® K с операциями (2).

Пусть Л2n — алгебра Грассмана с единицей и 2n образующими элементами {e1,..., e2n}. Определим в алгебре Л2п операции умножения (). Полученную алгебру Пуассона обозначим через G2n.

Следующая теорема показывает, что многообразие, порождённое либо алгеброй N3, либо алгеброй G2, является наименьшим многообразием алгебр Пуассона в классе всех многообразий алгебр Пуассона, имеющих рост не ниже полиномиального.

Теорема 10 [13]. Для алгебр N3 и G2 верны следующие утверждения:

(i) var(N3) = var(G2) = V;

(ii) тождества {x1,x2,x3} = 0, {x1,x2} ■ {x3,x4} = 0 порождают идеал тождеств многообразия V;

(iii) для любого n выполнено равенство cn(V) = 1 + n(n — 1)/2;

(iv) многообразие V является наименьшим многообразием среди всех многообразий алгебр Пуассона роста не ниже полиномиального, то есть если рост некоторого многообразия W не ниже полиномиального, то V С W.

11

О. И. Череватенко

Алгебры Лейбница—Пуассона. В данном пункте рассматриваются алгебры Пуассона с неантикоммутативной операцией { , }, которые будем называть алгебрами Лейбница—Пуассона. Более точно векторное пространство A над полем K с двумя K-биллинейными операциями умножения ■ и { , } называется алгеброй Лейбница—Пуассона, если относительно операции ■ пространство A является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции { , } — алгеброй Лейбница, и данные операции связаны правилами

{a ■ b,c} = a ■ {b, c} + {a, c} ■ b, {c,a ■ b} = a ■ {c, b} + {c, a} ■ b, где a,b,c e A.

Обозначим через Гп пространство в свободной алгебре Лейбница—Пуассона, состоящее из всех полилинейных элементов степени п от переменных xi,... ,xn и являющееся линейной оболочкой элементов вида

{xh,... ,xi3 }■ ... ■{xil ,...,xjt}, s ^ 2,..., t ^ 2.

Теорема 11 [14]. Пусть V —нетривиальное многообразие алгебр Лейбница-Пуассона над произвольным полем. Тогда либо

(i) cn(V) ^ 2n-i для любого п, либо

(ii) найдётся такой многочлен f (x) e Q[x], что для всех достаточно больших п будет выполнено равенство cn(V) = f (п).

Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница—Пуассона, Id(V) — идеал тождеств многообразия V. Обозначим

rn(V) = Гп/(Гп П Id(V)), Yn(V) = dimTn(V).

Теорема 12 [14]. Для многообразия алгебр Лейбница—Пуассона V над произвольным полем следующие условия эквивалентны:

(i) последовательность {cn(V)}ny1 ограничена полиномом;

(ii) для некоторого m ^ 2 в V выполнены полилинейные тождества

{xi,..., xm} = 0, {xi,yi} ■ ... ■ {xm,ym} = 0;

(iii) найдётся такое число N, что для любого п > N выполнено равенство Yn(V) = 0;

(iv) найдётся такое число N, что для любого п ^ N будет выполнено равенство

N

cn(V) = l + £ Ckn ■ Yk(V). k=2

Рассмотрим двумерную алгебру Лейбница L2 над полем K с базисом a, b и таблицей умножения [a, b] = a, [a, a] = [b, b] = [b, a] = 0. Обозначим через B2 алгебру Лейбница—Пуассона L2 ® K с операциями (2).

Теорема 13 [14]. Для алгебры Лейбница—Пуассона B2 верны следующие утверждения:

12

Многообразия линейных алгебр полиномиального роста

(i) полилинейные тождества

{Xi, Х2} ■ {Хз, Ж4} = 0, {Xi, {x2,x3}} = 0

порождают идеал тождеств алгебры B2;

(ii) рост многообразия var(B2), порождённого алгеброй B2, является почти полиномиальным, причём для любого натурального n выполнено равенство

Cn(B2) = n ■ 2n-i - n + 1;

(iii) базис полилинейной компоненты Pn(B2) состоит из элементов вида

xii ■ ... ■ xis

{xJl,..., Xjt },

где {ii,...,is,ji,...,jt} = {1,...,n}, ii < ■■■ < is, h < ■■■ < jt.

Обозначим через Ws многообразие алгебр Лейбница-Пуассона, порождённое полилинейным тождеством

{xi,yi}- ... ■{xs,Vs} = 0.

Теорема 14 [15]. Для многообразия алгебр Лейбница-Пуассона V следующие условия эквивалентны:

(i) последовательность {cn(V)}ny1 ограничена полиномом;

(ii) U2 V, B2 </ V и для некоторого s ^ 2 выполнено включение V С Ws;

(iii) существует такая константа C, что в сумме (1) m\(V) = 0 в случае, если выполнено условие n — Х1 > C.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. A. Giambruno, S. P. Mishchenko, “Polynomial growth of the codimentions: a

characterization”// Proc. Amer. Math. Soc., 2010. Vol. 138, no. 3. Pp. 853-859.

2. V. Drensky, Free algebras and PI-algebras. Graduate course in algebra. Singapore: Springer-Verlag, 2000. xii+271 pp.

3. А. Р. Кемер, “Шпехтовость T-идеалов со степенным ростом коразмерностей” // Сив. матем. журнал, 1978. Т. 19, №1. С. 54-69. [A. R. Kemer, “Spechtianess of T-ideals with polynomial growth of the co-dimensions” // Sib. Mat. Zh., 1978. Vol. 19, no. 1. Pp. 54-69].

4. С. П. Мищенко, “Многообразия алгебр Ли с двуступенно нильпотентным коммутантом”// Весщ Акадэмп навук БССР. Сер. ф'1з.-мат. навук, 1987. №6. С. 39-43. [ “Varieties of Lie algebras with two-step nilpotent commutant” // Vestsi Akad. Navuk BSSR. Ser. Fiz.-Mat. Navuk, 1987. no. 6. Pp. 39-43].

5. И. И. Бенедиктович, А. Е. Залесский, “T-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей”// Весщ Акадэмп навук БССР. Сер. ф'1з.-мат. навук., 1980. №3. С. 5-10. [I. I. Benediktovich, A. E. Zalesskiy, “T-ideals of free Lie algebras with polynomial growth of a sequence of codimensionalities” // Vestsi Akad. Navuk BSSR Ser. Fiz.-Mat. Navuk, 1980. no. 3. Pp. 5-10].

6. С. П. Мищенко, “О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над полем характеристики нуль”// Матем. заметки, 1986. Т. 40, №6. С. 713-721; англ. пер.: S. P. Mishchenko, “Varieties of polynomial growth of Lie algebras over a field of characteristic zero” // Math. Notes, 1986. Vol. 40, no. 6. Pp. 901-905.

7. S. Mishchenko, A. Valenti, “A Leibniz variety with almost polynomial growth”// J. Pure Appl. Algebra, 2005. Т. 202, №1-3. С. 82-101.

13

О. И. Че ре в ате нко

8. С. П. Мищенко, О. И. Череватенко, “Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразия алгебр Лейбница” // Фундамент. и прикл. матем., 2006. Т. 12, №8. С. 207-215; англ. пер.: S. P. Mishchenko, O. I. Cherevatenko, “Necessary and sufficient conditions for a variety of Leibniz algebras to have polynomial growth” // J. Math. Sci., 2008. Vol. 152, no. 2. Pp. 282-287.

9. С. П. Мищенко, О. И. Череватенко, “Многообразия алгебр Лейбница слабого роста” // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2012. №9(49). С. 19-23. [S. P. Mishchenko, O. I. Cherevatenko, “Variety of Leibniz algebras of weak growth” // Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2012. no. 9(49). Pp. 19-23].

10. О. И. Череватенко, “О нильпотентных алгебрах Лейбница” // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика, 2012. №17(136). С. 132-136. [O. I. Cherevatenko, “On nilpotent Leibnitz algebras” // Nauchnyye vedomosti BelGU. Matematika. Fizika, 2012. no. 17(136). Pp. 132-136].

11. S. P. Mishchenko, V. M. Petrogradsky, A. Regev, “Poisson PI algebras”// Trans. Amer. Math. Soc, 2007. Т. 359, №10. С. 4669-4694.

12. С. М. Рацеев, “Эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона” // Вестн. Моск. унив. Сер. 1. Математика. Механика, 2012. Т. 67, №5. С. 813; англ. пер.^. M. Ratseev, “Equivalent conditions of polynomial growth of a variety of Poisson algebras” // Mosc. Univ. Math. Bull., 2012. Vol. 67, no. 5-6. Pp. 195-199.

13. С. М. Рацеев, “Алгебры Пуассона полиномиального роста”// Сиб. матем. журн., 2013. Т. 54, №3. С. 700-711; англ. пер.: S. M. Ratseev, “Poisson algebras of polynomial growth” // Siberian Math. J., 2013. Vol. 54, no. 3. Pp. 555-565.

14. С. М. Рацеев, “Коммутативные алгебры Лейбница-Пуассона полиномиального

роста”// Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2012. №3/1(94). С. 54-65.

[S. M. Ratseev, “Commutative Leibniz-Poisson algebras of polynomial growth” // Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2012. no. 3/1(94). Pp. 54-65].

15. С. М. Рацеев, “Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница—Пуассона”// Изв. вузов. Матем., 2014. №3. С. 33-39; англ. пер.: S. M. Ratseev, “Necessary and sufficient conditions of polynom ial growth of varieties of Leibniz-Poisson algebras” // Russian Math. (Iz. VUZ), 2014. Vol. 58, no. 3 (to appear).

Поступила в редакцию 27/IX/2013; в окончательном варианте — 12/X/2013.

MSC: 16R10, 17A32, 17B01, 17B63

VARIETIES OF LINEAR ALGEBRAS OF POLYNOMIAL GROWTH

O. I. Cherevatenko

Ulyanovsk State I. N. Ulyanov Pedagogical University,

4, Ploshchad’ 100-letiya so dnya rozhdeniya V. I. Lenina, 432063, Ulyanovsk, Russia.

E-mail: chai@pisem.net

The paper is survey of results of investigations on varieties of linear algebras of polynomial growth. We give equivalent conditions of the polynomial codimension growth of a variety of associative algebras, Lie algebras, Leibniz algebras, Poisson algebras, Leibniz-Poisson algebras. It is shown that in the study of varieties of linear algebras of polynomial growth varieties of almost polynomial growth play an important role.

Keywords: associative algebra, Poisson algebra, Lie algebra, variety of algebras, growth of a variety.

Original article submitted 27/IX/2013; revision submitted 12/X/2013.

Olga I. Cherevatenko (Ph. D. Phys. & Math.), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics.

14