О некоторых многообразиях алгебр Лейбница Пуассона с экстремальными свойствами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 2(22)

УДК 512.572

С.М. Рацеев, О.И. Череватенко

О НЕКОТОРЫХ МНОГООБРАЗИЯХ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА - ПУАССОНА С ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ

В работе приводятся некоторые многообразия алгебр Лейбница - Пуассона с экстремальными свойствами. Также приводится наименьшее многообразие алгебр Лейбница - Пуассона, в котором не выполнено ни одно лейбницево стандартное тождество.

Ключевые слова: алгебра Пуассона, алгебра Лейбница - Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.

Определим алгебру Лейбница - Пуассона следующим образом. Алгебру A = A(+, ■, {,}, K) над полем K назовем алгеброй Лейбница - Пуассона, если A(+, ■, K) - ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, A(+,{,}, K) - алгебра Лейбница с операцией умножения {,} и для любых a, b, c A A выполняются

правила:

{a ■ b, c} = a ■ {b, c} + {a, c} ■ b,

{c, a ■ b} = a ■ {c, b} + {c, a} ■ b.

При этом алгебра Лейбница A(+,{,}, K) над полем K определяется тождеством {{X, y}, z} = {{X, z}, y}+{X,{y, z}}.

Договоримся опускать скобки {,} при их левонормированной расстановке, т.е.

{{X1, X2}, X3} = {X1, X2, X3}.

Пусть L(X) - свободная алгебра Лейбница, где X = {x1, x2,... } - счетное множество свободных образующих. Пусть также F(X) - свободная алгебра Лейбница -Пуассона. Обозначим через Pn пространство в F(X), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных x1,..., xn, а через P, пространство полилинейных элементов степени n в свободной алгебре Лейбница L(X).

Обозначим через L>2(X) подалгебру в свободной алгебре Лейбница L(X), каждый элемент которой является линейной комбинацией мономов степени > 2. Пусть V - некоторое многообразие алгебр Лейбница - Пуассона, Id(V) - идеал тождеств многообразия V. Обозначим

Pn(V) = PAPnrM(V)), cn(V) = dim Pn(V).

Соответственно, если VL - некоторое многообразие алгебр Лейбница, то PLn(V) = FLr/(PLn^Id(VL)), cLn(V) = dim PLn(VL).

Предложение ([І]). Пусть AL - некоторая ненулевая алгебра Лейбница с умножением [,] над бесконечным полем K. Рассмотрим векторное пространство

A = Al@K, в котором определим операции • и {,} следующим образом:

(a + а) • (b + в) = (Pa + ab) + ав,

{a + а, b + в} = [a, b], a, b A AL, а, в A K. (1)

Тогда полученная алгебраA(+,^,{,},K) будет являться алгеброй Лейбница - Пуассона.

Если многообразие V имеет экспоненциальный рост, то введем в рассмотрение нижнюю и верхнюю экспоненты:

ЕЖУ) = Ит„^ш фП(р), ЕХР(У) = Ш фП(р).

Если имеет место равенство ЕХР(У) = ЕХР(У), то будем обозначать ЕХР(У).

На сегодняшний день известны всего четыре многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста. Для однородности записи обозначим их через

Гі,Г2,Уз,У4.

Многообразие ¥\ определяется тождеством [х\,[х2,х3],[х4,х5]]=0 (см. [2]).

Пусть О - бесконечномерная алгебра Грассмана с умножением Л над произвольным полем К. На векторном пространстве О =ОхО определим операцию умножения [,]:

где \хг, уг] = хгАуг -у\Кх1, (хг, х2), (уу2) £ О. Полученная алгебра О является алгеброй Лейбница, которая порождает многообразие V2. В работе \3] показано, что многообразие V2 порождается тождествами

и является наименьшим многообразием алгебр Лейбница, в котором не выполняется ни одно лейбницево стандартное тождество, то есть тождества вида

Многообразия Кз и К4 определяются следующим образом \4]. Рассмотрим кольцо многочленов Я от переменной t как алгебру Лейбница с нулевым умножением. Алгебру Я будем считать правым Ж3-модулем алгебры Гейзенберга N со следующим действием:

Обозначим через N прямую сумму алгебр Ы3 и Я. Умножение в N задается так:

где х, у еЫ3, А?), g(t) ЕЯ. Алгебра Лейбница N порождает многообразие Vз. Зададим действие элементов двумерной метабелевой алгебры Ли М2 на элементы Я:

где ш\,ш2 Є М2, Дґ), g(t) Є Я. Алгебра Лейбница М порождает многообразие V 4. Обозначим через О © К, N © К и М © К алгебры Лейбница - Пуассона с

~ р ~ р ~ р

операциями (\), а через V2 , Vз и V4 - многообразия алгебр Лейбница - Пуассона, порожденные соответственно алгебрами О © К, N © К и А! © К . Также

~ р

обозначим через У\ многообразие алгебр Лейбница - Пуассона, порожденное тождествами

{Х\, {Х2, Хз}, {Х4, Х5}} = 0, {Х\, Х2}-{Хз, Х4} = 0.

~ Р ~ Р ~ Р ~ Р

Теорема 1. ЕХР(У\ )=3, ЕХР(У2 )=3, ЕХР(Уз )=4, ЕХР(¥4 )=3. Пусть V- не-

~ р

которое собственное подмногообразие одного из многообразий Vі і=\,...,4. Тогда

[(Х\, х2), (у\, У2)] = ([Х\, У\], Х2Лу\),

[Х\, [Х2, [Хз, Х4]]] = 0, [2, [х, у], [х, у]] = 0

Дґ)а = Дґ), Д(ґ)Ь = Дґ), Д(ґ)с = Дґ).

(х + Аґ))(У + g(t)) = ХУ + Дґ)У,

А*)е = ґґ(ґ), Д(ґ)И = ґДґ).

Пусть М - прямая сумма алгебр Ы3 и Я с умножением (Ш\ + А0)(Ш2 + g(t)) = Ш\Ш2 + ДІ)Ш2,

рост многообразия V либо ограничен полиномом, либо найдется такое в, что для любого n будет выполнено неравенство

2й-1 < cn(V) < ne2n (2)

Доказательство. Для экспонент рассмотренных выше многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста выполнены следующие равенства:

EXP(Vi)=2 [2], EXP(V2)=2 [3], ЕХР(Уз)=3 и EXP(V4)=2 [4]. Поэтому значения

~ p

экспонент многообразий Vi , i = 1,...,4, следуют из данных равенств и теоремы 2 работы [5].

Пусть V - некоторое собственное подмногообразие одного из многообразий

~ p

Vi , i=1,...,4. Тогда идеал тождеств Id(V) П Ь> 2(Х определяет некоторое собственное подмногообразие в Vi, которое будет иметь рост не выше полиномиального. Поэтому, с учетом теоремы 2 работы [5] и теоремы 3 работы [1], либо рост многообразия V будет ограничен полиномом, либо для него будет выполнено двойное неравенство (2).

~ p

Теорема 2. Многообразие V2 порождается тождествами

{Х1, {Х2, {Хз, Х4}}} = 0, {z, {x, y}, {x, y}} = 0, {Xi, X2}-{X3, X4} = 0 и является наименьшим многообразием алгебр Лейбница - Пуассона, в котором не выполнено ни одно лейбницево стандартное тождество.

Доказательство следует из работ [1, 3, 5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Рацеев С.М. Коммутативные алгебры Лейбница - Пуассона полиномиального роста // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2012. № 3/1 (94). С. 54-65.

2. Mishchenko S., Valenti A. A Leibniz variety with almost polynomial growth // J. Pure Appl. Algebra. 2005. V. 202. No. 1-3. P. 82-101.

3. Абанина Л.Е., Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2005. № 6. С. 36-50.

4. Абанина Л.Е., Мищенко С.П. Некоторые многообразия алгебр Лейбница // Математические методы и приложения. Труды Десятых математических чтений МГСУ. М: Союз, 2002. С. 95-99.

5. Ratseev S.M. On varieties of Leibniz-Poisson algebras with the identity {xy}-{z,t}=0 // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2013. № 1 (6). С. 97-104.

Статья поступила 21.10.2012 г.

Ratseev S.M., Cherevatenko O.I. ON SOME VARIETIES OF LEIBNIZ-POISSON ALGEBRAS WITH EXTREME PROPERTIES. Some varieties of Leibniz - Poisson algebras with extreme properties are presented. We give the least variety of Leibniz - Poisson algebras in which no Leibniz standard identities are valid.

Keywords: Poisson algebra, Leibniz - Poisson algebra, variety of algebras, growth of a variety.

RATSEEV Sergey Mihailovich (Ulyanovsk State University).

E-mail: [email protected]

CHEREVATENKO Olga Ivanovna (Ulyanovsk State I.N.Ulyanov Pedagogical University) E-mail: [email protected]