CC BY
34
Краткие сообщения
Алгебра
УДК 512.572
0 НИЛЫЮТЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ ЛЕЙБНИЦА-ПУАССОНА
С. М. Рацеев1, О. И. Череватенко2
1 Ульяновский государственный университет,
432063, Россия, Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42.
2 Ульяновский государственный педагогический университет им. И. Н. Ульянова,
432063, Россия, Ульяновск, пл. 100-летия со дня рождения В. И. Ленина, д. 4.
E-mails: ratseevsm@rambler .ru, [email protected]
В данной работе изучаются алгебры Лейбница и алгебры Лейбница—Пуассона с точки зрения выполнения в этих алгебрах тех или иных тождеств, рассматриваются многообразия данных алгебр. Пусть К — основное поле нулевой характеристики. Хорошо известно, что в этом случае вся информация о многообразии линейных алгебр V содержится в его полилинейных компонентах P„(V), п £ N, где Pn(V) —линейная оболочка полилинейных слов отп различных букв в свободной алгебре К(Х, V). В работе приводятся конструкции алгебр, порождающих класс нильпотентных многообразий алгебр Лейбница, а также конструкции алгебр, порождающих класс лейбницево нильпотентных многообразий алгебр Лейбница—Пуассона с тождеством {211,212} • {213,214} = 0.
Ключевые слова: алгебра Лейбница, алгебра Лейбница—Пуассона, многообразие алгебр.
Алгебра Лейбница над полем К — неассоциативная алгебра с умножением {, }, определяемая тождеством Лейбница {{x,y},z\ = {{х, z},y} + {х, {у, z}}, которое превращает правое умножение в дифференцирование этой алгебры. При этом заметим, что если в алгебре Лейбница выполняется тождество {ж, х} = 0, то она является алгеброй Ли. Таким образом, любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница.
Пусть V — многообразие алгебр Лейбница (все необходимые сведения о многообразиях PI-алгебр можно найти, например, в монографии [1]). Обозначим через К(Х, V) относительно свободную алгебру данного многообразия, где X = {х\, х2, ■ ■ •} — счетное множество свободных образующих. В случае основного поля нулевой характеристики вся информация о многообразии V содержится в его полилинейных компонентах Рп(у), п = 1,2,..., где P„(V) —линейное подпространство в пространстве К(Х, V), состоящее из полилинейных элементов степени п от переменных х\,..., хп. Обозначим c„(V) = dimP„(V).
Договоримся опускать скобки {, } при их левонормированной расстановке, т.е. {...{{х1,х2},х3},...,хп} = {хих2,. .. ,хп}.
Сергей Михайлович Рацеев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. информационной безопасности и теории управления.
Ольга Ивановна Череватенко (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. высшей математики.
Далее понадобится следующее утверждение, которое несложно проверить.
Предложение 1. Пусть А—некоторая ассоциативная алгебра с операцией умножения А над произвольным полем К. На декартовом квадрате В = А х А определим операции сложения и умножения {,} элементов множества В:
(жь ж2) + («/1,2/2) = (*1 + 2/1, х2 + у2),
{(жьж2), (2/1, 2/2)} = ([ж1, 2/1], ж2 А г/1),
где [ж 1,2/1 ] = *1 Лг/1 — г/1 Лж1, (ж1, ж2), (г/1, г/г) € В. Тогда полученная алгебра В будет являться алгеброй Лейбница.
Пусть й'Г/дг = 811}у{К) — алгебра строго верхнетреугольных матриц порядка N над полем К. Хорошо известно, что в случае бесконечного поля К элемент свободной ассоциативной алгебры Ж1 Л ... Л ждг является базисом тождеств алгебры й'С/дг [2].
Обозначим через £/дг = $11м х й'С/дг алгебру Лейбница, построенную с помощью предложения 1. Тогда справедливо следующее утверждение.
Предложение 2. В случае основного поля К пулевой характеристики элемент свободной алгебры Лейбница {х\, ж2, ■ ■ ■, ждг} является базисом тождеств алгебры 11^.
Доказательство. Очевидно, что в алгебре идг выполнено тождество
{ж1, ж2, • • •, ждг} О,
т.е. для произвольных элементов (01,61), (а2,Ь2), ..., (адг, Ьдг) (Е £/дг выполнено равенство
{(аЪ Ы, (а2,Ь2), • • • , (адг, Ьдг)} =
= ([... [аь а2],. .., адг], 61 А а2 А аз А ... А адг) = (0, 0). (1)
Покажем, что с„(£/дг) = п!, 1 ^ п < Ж. Для этого рассмотрим линейное соотношение
^ ^ а<т{^(т(1)? ^<т(2)? • • • ? ^<т(п)} 0, ^
(7^5'1г
Зафиксируем некоторое <т € «Яг и сделаем подстановку
х<т(1) (0, е12), ха(2) —> (б23, 0), . . . , Жо-^) —> (е„ п+1, 0),
где е^-—матричная единица. Тогда, используя равенство (1), получаем равенство аа(0,е1 „+1) = (0,0). Отсюда следует, что о.а = 0. В силу произвольности выбора а делаем вывод, что система {ха^, ха^,..., ха^}, а € вп, линейно независима. Предложение доказано. □
Алгебра А = А(+, •,{,}, К) над полем К называется алгеброй Лейбница—Пуассона, если А{+, •, К) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, А{+, {, }, К) — алгебра Лейбница с операцией умножения {, } и для любых а, Ь, с € А выполнены правила:
{а ■ Ь, с} = а ■ {6, с} + {а, с} • 6, {с, а ■ 6} = а ■ {с, 6} + {с, а} • Ь.
Заметим, что если в алгебре Лейбница—Пуассона выполнено тождество {ж, ж} =
= 0, то данная алгебра будет являться алгеброй Пуассона. Об алгебрах Пуассона можно найти подробную информацию в работе [3]. Алгебры Пуассона возникают в различных разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физики (см., например [4]) и т.д.
Нетрудно проверить следующее утверждение.
Предложение 3. Пусть А—некоторая ассоциативная алгебра с операцией умножения А над произвольным полем К. Рассмотрим декартово произведение С = Ах Ах К, в котором определим операцию сложения и две операции умножения ■ и {, } элементов множества С:
(жьж2,а) + (у\,У2,Р) = (жі +у і,ж2 +у2,а + /3),
(жь ж2, а) ■ (г/і, г/2, /3) = (/Зжі + ау1,/3х2 + ау2,а[3),
{(жьж2,а), (г/і, у2, /3)} = ([жьг/і],ж2 Аг/ь0),
где [жі, у\] = жі А г/і — г/і А жі, (жі, ж2, а), (г/і, г/2, /3) Є С. Тогда полученная алгебра С будет являться алгеброй Лейбница—Пуассона, в которой выполнено тождество {жі,ж2} • {ж3,ж4} = 0.
Пусть и^р = й'Г/дг х й'Г/дг х К — алгебра Лейбница—Пуассона, построенная с помощью предложения 3.
Теорема. В случае основного поля К пулевой характеристики для алгебры Лейбница—Пуассона и^р справедливы следующие утверждения:
(г) полилинейные тождества
{жьж2} • {ж3,ж4} = 0, {жьж2,... ,ждг} = 0 (2)
порождают идеал тождеств алгебры и^р;
(И) для любого натурального п базис полилинейной компоненты Рп(и^р) состоит из элементов вида
*1 (3)
' ХІ2 ' ' ' ХІп-к ' \ХЗі 5 Х32 1 • • • 1 Х3к ї 5
где к = 2,... ,тіп{п, N - 1}, {н,..., ■ ■ - ,Ік\ = {1, 2,..., п} как мно-
жества и І\ < І>2 < ■ ■ ■ < Іп-к
(Ні) для любого натурального п выполнено равенство
тіп{п, ТУ — 1}
сп(ирр) = 1 + ]Г Скп-к\,
к=2
где — число сочетаний из п по к.
Доказательство. Очевидно, что в алгебре и^р выполняются тождества (2), т.е. для произвольных элементов (аі, Ьі, аі), (а2, Ь2, а2), .. ., (адг, Ьдг, адг) Є и^р выполнены равенства
{(аі, Ьі, аі), (а2, Ь2, а2), .. ., (адг, Ьдг, адг)} =
= ([••• [аі, а2\,, адг], Ьі А о2 А о3 А ... А адг, 0) = (0, 0, 0), (4)
{(аі,Ьі,аі),(а2,Ь2,а2)} • {(а3, Ь3, а3), (а4, Ь4, а4)} = (0,0,0).
Обозначим через V многообразие алгебр Лейбница—Пуассона, порожденное тождествами (2). Полилинейная компонента Рп(У) есть линейная оболочка элементов вида (3).
Покажем, что по модулю идеала тождеств алгебры и^р элементы (3) являются линейно независимыми. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого п в алгебре и^р выполнено нетривиальное тождество
^ ' ХП ' Ж*2 • • • • • Х1п-к ' {Х31>Х32> ■ ■ ■ тХ]к\ = О-
Пусть *1,..., *п-й0; Л; • • • тЭк0 — такой набор индексов, при котором значение ко минимально и сц 1,...,1п_к 7^ 0- Сделаем следующую подстановку:
хг\ (0; 0, 1); ж*2 “^ (0; 0,1),..., Х^п_кд —> (0, 0, 1).
Тогда мы получим нетривиальное тождество
^ ) а<т{хсг(1), ха{2), • • • : х<т(ко ) } ®-сг ^ К.
<т£3к0
Зафиксируем некоторое а £ Як0 и сделаем подстановку
ха{ 1) (0, 612, 0), ха(2) (е23, 0, 0), ... , Ха(^ко^ —> (еко к0 + 1, 0, 0).
Тогда, используя равенство (4), получаем равенство аа(0,е1 к0+1,0) = (0,0,0). Отсюда аа = 0. Таким образом, условия (г) и (гг) доказаны. Условие (пг) следует из условия (и). Теорема доказана. □
Работа частично поддержана РФФИ (проект № 10—01 —004209—а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985. 448 с. [Bakhturin Yu. А. Identities in Lie algebras. Moscow: Nauka, 1985. 448 pp.]
2. Мальцев Ю. H. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц// Алгебра и логит, 1971. Т. 10, №4. С. 393-400; Mal’tsev Yu. N. Basis for identities of the algebra of upper triangular matrices // Algebra and Logic, 1971. Vol. 10, no. 4. Pp. 242-247.
3. Рацеев С. М. Рост в алгебрах Пуассона// Алгебра и логит, 2011. Т. 50, №1. С. 68-88; Ratseev S. М. Growth in Poisson algebras // Algebra and Logic, 2011. Vol. 50, no. 1. Pp. 46-61.
4. Борисов А. В, Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. М.-Ижевск: РХД, 1999. 464 с. [Borisov А. V., Mamaev I. S. Poisson structures and Lie algebras in Hamiltonian mechanics. Moscow, Izhevsk: RKhD, 1999. 464 pp.]
Поступила в редакцию 06/V/2012; в окончательном варианте — 03/VII/2012.
MSC: 17A32; 17B63
ON THE NILPOTENT LEIBNIZ-POISSON ALGEBRAS S.M. Ratseev1, O.I. Cherevatenko2
1 Ulyanovsk State University,
42, L. Tolstogo St., Ul’yanovsk, 432970, Russia.
2 Ul’yanovsk State Pedagogical University,
4, pi. im. 100-letiya so dnya rozhdeniya V. I. Lenina, Ul’yanovsk, 432700, Russia.
E-mails: [email protected], [email protected]
In this article Leibniz and Leibniz-Poisson algebras in terms of correctness of different identities are investigated. We also examine varieties of these algebras. Let K be a base field of characteristics zero. It is well known that in this case all information about varieties of linear algebras V contains in its polylinear components P„(V), n £ N, where PniV) is a linear span of polylinear words of n different letters in a free algebra K(X,V). In this article we give algebra constructions that generate class of nilpotent varieties of Leibniz algebras and also algebra constructions that generate class of nilpotent by Leibniz varieties of Leibniz-Poisson algebras with the identity {xi, X2 } ■
■ {x3,x4} = 0.
Key words: Leibniz algebra, Leibniz-Poisson algebra, variety of algebras.
Original article submitted 06/V/2012; revision submitted 03/VII/2012.
Sergey M. Ratseev (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Information Security & Control Theory.
Olga I. Cherevatenko (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Higher Mathematics.
