CC BY
41
MSC 17B63
О НЕКОТОРЫХ АЛГЕБРАХ ПУАССОНА С ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ
С.М. Рацеев
Ульяновский государственный университет, ул. Льва Толстого, 42, Ульяновск, 432017, Россия, e-mail: RatseevSMOmail.ru
Аннотация. Приводятся некоторые многообразия алгебр Пуассона с экстремальными свойствами, а также описывается наименьшее многообразие алгебр Пуассона, в котором не выполнено ни одно лиево стандартное тождество.
Ключевые слова: алгебра Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.
На протяжении всей работы, если это специально не оговорено, предполагается, что основное поле имеет нулевую характеристику. Алгебра А = А(+, •, {, }, К) над полем К называется алгеброй Пуассона, если А(+, •, К) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, А(+, {, },К) — алгебра Ли с операцией умножения {,}, которая называется скобкой Пуассона, и выполняется правило Лейбница:
{а • Ь,с} = а • {Ь, с} + {а, с} • Ь, а,Ь,е Е А.
Алгебры Пуассона возникают в различных разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физики (см., например [1]) и т.д.
Пусть Ь(Х) — свободная алгебра Ли с умножением [, ], где X = {х\, х2, ■ ■■} — счетное множество свободных образующих. Пусть также Г (X) — свободная алгебра Пуассона. Обозначим через Рп пространство в Г(X), состоящее из всех полилинейных элементов степени п от переменных XI, ...,хп, а через РП пространство полилинейных элементов степени п в свободной алгебре Ли Ь(Х).
Обозначим через Ь>2(Х) подалгебру в свободной алгебре Ли Ь(Х), каждый элемент которой является линейной комбинацией мономов степени > 2.
Пусть V — некоторое многообразие алгебр Пуассона, 1(1(У) — идеал тождеств многообразия V. Обозначим
Рп(У) = Рп/(Рп п ы(у )), сп(У) = а1ш Рп(у).
Соответственно, если У^ — некоторое многообразие алгебр Ли, то
РЦУь) = Р„£/(Р„1 п Ы(У\)), сьп(М) = *11 РЦУь).
Лемма [2]. Пусть А^ — некоторая алгебра Ли с лиевым умножением [, ] над произвольным полем К. Рассмотрим векторное пространство А = А^ Ф К, в котором определим операции • и {, } следующим образом:
(а + а) • (Ь + в) = (ва + аЬ) + ав, (1)
{а + а,Ь + в} =[а,Ь], а,Ь Е Аь, а, в Е К.
Тогда полученная алгебра (А, + , •, {, }, К) будет являться алгеброй Пуассона.
Если многообразие V имеет экспоненциальный рост, то введем в рассмотрение нижнюю и верхнюю экспоненты:
ЕХР(У) = Ищ у/сп(У), ЁХР(У) = Пт \ZcjV).
Если имеет место равенство EXP(V) = EXP(V), то будем обозначать EXP(V).
Теорема 1 [3]. Пусть VL — некоторое многообразие алгебр Ли над произвольным полем K, определенное системой тождеств {fi = О | fi Є L>2(X), i Є I}. Пусть также V — многообразие алгебр Пуассона, определенное тождествами fi = О, i Є I, и {x1,x2} • {x3,x4} = О. Тогда будут верны следующие утверждения.
1. Id(Vi) = Id(V) П L>2(X).
2. Для любого n выполнено равенство
cn(V) = l + V (n) • dim PL(Vl) .
^ \k
k=2 v -
3. Если существует EXP (VL), то EXP (V) = EXP (VL) + 1, в частности, если найдутся такие действительные числа d > 0, а и в, что для всех достаточно больших n выполнено двойное неравенство
n
tdn < cL(Vl) < nedn
то найдутся такие 7 и 8, что для всех достаточно больших п будет выполнено такое двойное неравенство:
п(й + 1)п < cra(V) < п(й + 1)п.
4. Если поле К бесконечно и некоторая алгебра Ли Аь порождает многообразие VI,, то алгебра А = Аь ф К с операциями (1) будет порождать многообразие V.
5. Пусть поле К бесконечно и Ш — некоторое собственное подмногообразие в V. Тогда идеал тождеств Ій(Ш) ПЬ>2(Х) определяет некоторое собственное подмногообразие в VL.
Теорема 2 [2]. Пусть V — нетривиальное многообразие алгебр Пуассона над произвольным полем. Тогда
(i) либо Оп(У) > 2П-1 для любого п,
(ii) либо найдется такой многочлен f (х) степени N > 0 из кольца О [ж], что для любого п > N будет выполнено равенство сп(У) = f (п).
На сегодняшний день известны всего пять многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста. Для однородности записи обозначим их через Vo, V1, У2, Vз,
V) = уаг(в12) — многообразие алгебр Ли, порожденное алгеброй матриц порядка 2 со следом 0. Это единственное известное многообразие алгебр Ли почти полиномиального роста, не являющееся разрешимым. Оно подробно исследовано в работах Ю.П. Размыслова [4,15] и В. Дренски [16].
Многообразие алгебр Ли Vi = N2A определяется таким тождеством (см. [17]):
[[xi,X2], [x3,x4], [x5,x6]] = 0 .
Многообразие V2 построено И.Б. Воличенко в работах [18, 19]. Оно порождается ( G G \
алгеброй Ли Al = ( о о ) ’ где G — бесконечномерная алгебра Грассмана, а 0 —
нулевая алгебра. Это многообразие является наименьшим в классе многообразий алгебр Ли, в которых не выполняется ни одно лиево стандартное тождество.
Многообразия V3 и V4 построены С.П. Мищенко следующим образом [20]. Рассмотрим кольцо многочленов R = K [t] от переменной t, трехмерную нильпотентную алгебру Гейзенберга N3 с базисом {a,b,c} и таблицей умножения ba = c,ac = bc = 0, и двумерную метабелеву (разрешимую ступени 2) алгебру М2 с базисом {h, e} и таблицей умножения he = h. Гомоморфизмы а : N3 ^ Der R и ф : М2 ^ Der R определяются так:
а(е)/(t) = t//(t), a(a)f(t) = tf (t);
ф(а)/(t) = //(t), ф(Ь)/(t) = tf (t), ф(c)/(t) = f (t) •
Полупрямые произведения алгебр Nl = R X N3, Ml = R X M2 порождают соответственно многообразия V3 и V4.
Обозначим через sl2(K) ® K, AL ® K, NL ф K и Ml ® K алгебры Пуассона с операциями (1), а через V0P, V2P, V3P и VP — многообразия алгебр Пуассона, порожденные
соответственно алгебрами sl2(K) ф K, AL ф K, NL ф K и Ml ф K. Также обозначим через ViP многообразие алгебр Пуассона, порожденное тождествами
{{Xi,X2}, {Хз, Х4}, {Х5,Х6}} = 0, {Xi,X2} ■ {Хз,Х4} = 0.
Теорема 3. Экспоненты многообразий VP, i = 0,..., 4, существуют, причем
EXP(V0P) = 4, EXP(Vf) = 3, EXP(V2P) = 3, EXP(V3P) = 4, EXP(V4P) = 3.
Если V — некоторое собственное подмногообразие одного из многообразий Vp, 0 < i <
4, то рост многообразия V либо ограничен полиномом, либо найдется такое в, что для любого n будет выполнено неравенство
2n-i < cn(V) < ne2n. (2)
□ Для экспонент рассмотренных выше многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста выполнены следующие равенства: EXP(V0) = 3 (см. [16]), EXP(V1) = 2 (см. [17]), EXP(V2) = 2 (см. [18,19]), EXP(V3) = 3 и EXP(V4) = 2 (см. [20]). Поэтому значения экспонент многообразий VP, i = 0,..., 4, следуют из данных равенств и теоремы 1.
Пусть V — некоторое собственное подмногообразие одного из многообразий V.P, i = 0,..., 4. Тогда идеал тождеств Id(V) П L>2(X) определяет некоторое собственное подмногообразие в Vi, которое будет иметь рост не выше полиномиального. Поэтому, с
учетом теорем І и 2, либо рост многообразия V будет ограничен полиномом, либо для него будет выполнено двойное неравенство (2). Ш
Теорема 4. V2P является наименьшим многообразием алгебр Пуассона, в котором не выполнено ни одно лиево стандартное тождество.
□ Доказательство следует из работ [18,19] и теоремы 1. Ш
Литература
1. Борисов А.В., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике j М.-Иж.: РХД, 1999.
2. Рацеев С.М. Коммутативные алгебры Лейбница-Пуассона полиномиального роста jj Вестн. Сам. гос. ун-та. Естеств. сер. - 2012. - 94;№ 3j1. - C.54-65.
3. Рацеев С.М. О многообразии алгебр Пуассона с тождеством {x1;x2} • {x3,x4} = 0 jj Тольятти: Изд-во ТГУ. - Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов. Материалы III международной школы-конференции, посвящённой 75-летию Э.Б. Вин-берга (25-30 июня 2012 г.), 2012. - С.43-45.
4. Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль j j Алгебра и логика. - 1973. - 12;1. - C.83-113.
5. Размыслов Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр j j Алгебра и логика. - 1974. - 13;6. - C.685-693.
6. Дренски В.С. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр j j Матем. сб. - 1981. - 115;1. - C.98-115.
7. Мищенко С.П. Многообразия алгебр Ли с двуступенно нильпотентным коммутантом j j Вєсці АН БССР: Сер. Фіз. матем. наук. - 1987. - 6. - C.39-43.
8. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами jj Весці АН БССР: Сер. фіз. матем. наук. - 1980. - 1. - C.23-30.
9. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами jj Весці АН БССР: Сер. фіз. матем. наук. - 1980. - 2. - C.22-29.
10. Мищенко С.П. О многообразиях разрешимых алгебр Ли j j ДАН СССР. - 1990. - 313;6. -C.1345-1348.
ON VARIETIES OF POISSON ALGEBRAS WITH EXTREMAL PROPERTIES
S.M. Ratseev
Ulyanovsk State University,
Lev Tolstoy St., 42, Ulyanovsk, 432017, Russia, e-mail: RatseevSMOmail.ru
Abstract. Varieties of Poisson algebras with extremal properties are studied. It is proposed the least variety of Poisson algebras where all Lie standard identities are not hold.
Key words: Poisson algebra, variety of algebras, growth of variety.
