Научная статья на тему 'Эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона'

Эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
45
8
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
АЛГЕБРА ПУАССОНА / POISSON ALGEBRA / МНОГООБРАЗИЕ АЛГЕБР / VARIETY OF ALGEBRAS / РОСТ МНОГООБРАЗИЯ / GROWTH OF A VARIETY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Рацеев Сергей Михайлович

Приведены эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона в случае основного поля нулевой характеристики. Показано, что существуют только два многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Equivalent conditions for polynomial growth of the Poisson algebra manifolds

We present equivalent conditions of the polynomial codimension growth of a variety of Poisson algebras over a field of characteristic zero and show that there are only two varieties of Poisson algebras with almost polynomial growth.

Текст научной работы на тему «Эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона»

будут разными — они будут равны 4 и 5 соответственно, а обобщенное минимальное заполнение будет иметь граничное ребро отрицательного веса.

Авторы приносят благодарность академику А. Т. Фоменко за постоянное внимание к работе, а также всем участникам семинара "Минимальные сети", проходящего на механико-математическом факультете МГУ, за многочисленные полезные обсуждения.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект № 10-01-00748, программы "Ведущие научные школы", грант НШ-1410.2012.1, и гранта Правительства РФ по постановлению № 220, договор № 11.G34.31.0053.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов А.О., Тужилин А.А. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб. 2012. 203, № 5. 65-118.

2. Gromov M. Filling Riemannian manifolds // J. Diff. Geom. 1983. 18, N 1. 1-147.

Поступила в редакцию 13.12.2010

УДК 512.572

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УСЛОВИЯ ПОЛИНОМИАЛЬНОСТИ РОСТА МНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБР ПУАССОНА

С.М. Рацеев1

Приведены эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона в случае основного поля нулевой характеристики. Показано, что существуют только два многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста.

Ключевые слова: алгебра Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.

We present equivalent conditions of the polynomial codimension growth of a variety of Poisson algebras over a field of characteristic zero and show that there are only two varieties of Poisson algebras with almost polynomial growth.

Key words: Poisson algebra, variety of algebras, growth of a variety.

На протяжении всей работы предполагается, что основное поле имеет нулевую характеристику. Алгебра A = A(+, ■, {, },K) над полем K называется алгеброй Пуассона, если A(+, -,K) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, A(+, {, },K) — алгебра Ли (запись {,} означает умножение и называется скобками Пуассона) и выполняется правило Лейбница

{а ■ b,c} = а ■ {b, c} + {a, c} ■ b, a,b,c e A.

Свободную алгебру Пуассона F(X) с множеством свободных образующих X можно построить следующим образом. Пусть L(X) — свободная алгебра Ли над множеством X = {x\,Х2, ■ ■ ■} с лиевым умножением [,], и пусть R(X) = {vi,v2, ■ ■ ■} — базис Холла алгебры L(X) (см. [1]). Рассмотрим ассоциативную коммутативную алгебру полиномов K[vi, V2, ■ ■ ■]. В этой алгебре определим скобки Пуассона для порождающих элементов Vi как умножение в алгебре L(X), т.е. {vi,Vj} = [vi,vj]. Распространим скобки Пуассона на любые элементы из K[vi,v2, ■ ■ ■], используя линейность и правило

{f ■ g,h} = f ■ {g,h} + {f,h}■ g, f,g,h e K[vi,v2,■■■]■

Полученная алгебра будет свободной алгеброй Пуассона F(X).

Договоримся опускать скобки Пуассона при их левонормированной расстановке, т.е.

{{{xi,Х2},Х3}, ■ ■ ■ ,Хп} = {Х1,Х2, ■ ■ ■ ,Хп}■

1 Рацеев Сергей Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. информационной безопасности и теории управления ф-та математики и информационных технологий УлГУ, e-mail: [email protected].

Обозначим через Pn пространство в F (X), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных xi,... ,xn. Базис пространства Pn состоит из всех элементов вида

' ... ' xkr ' {xii j ...j xis } ' ... ' {xji! ...j xjt }j

для каждого из которых выполнены следующие условия:

(i) r ^ 0, k1 < ... < kr;

(ii) каждая из переменных xi,... ,xn встречается ровно один раз;

(iii) каждый множитель {xi1, ...,Xis},..., {xj1,... ,xjt}, являющийся скобкой Пуассона, левонорми-рован, имеет длину ^ 2, и в каждой такой скобке Пуассона элемент с максимальным индексом находится на первом месте:

ii > i2j...jii > is,..., ji > ¿2, ...jji > jt;

(iv) множители, являющиеся скобками Пуассона, упорядочены по длине: s ^ ... ^ t;

(v) если два соседних множителя, являющиеся скобками Пуассона, имеют одинаковую длину

... • {xpi,..., xPs } ' {xqi,..., xqs } ' ...j

то pi < qi.

Пусть V — многообразие алгебр Пуассона, F (X, V) — относительно свободная алгебра многообразия V. Тогда пространство Pn(V) будет состоять из всех полилинейных элементов от xi,... ,xn в алгебре F(X,V). Действие a(xi)

— X(j(i) симметрической группы Sn естественным образом продолжается до автоморфизма алгебры F — F(X, V). Пространство Pn(V) становится при этом Sn-модулем. Исследование структуры Pn (V) как Sn-модуля играет важную роль при изучении многообразия V. Модуль Pn(V) является вполне приводимым, разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров имеет следующий вид:

Xn(V) — x(Pn(V)) — ^ mA(V )ха . (1)

Ahn

Асимптотическим поведением размерности cn(V) — dim Pn(V) определяется рост многообразия. Ко-длина многообразия определяется как сумма

1n (V) — J] mA(V).

ип\

АН п

Пусть Л — бесконечномерная алгебра Грассмана с единицей. Введем в алгебре Л два новых умножения: 1

а ■ Ь = - (аЬ + Ьа), {а, Ь} = аЬ — Ьа, а,Ь е Л.

Нетрудно проверить, что алгебра (Л, +, {, }) будет алгеброй Пуассона, которую обозначим через С. Теорема 1 [2]. Для алгебры С верны следующие утверждения.

(1) Полилинейное тождество {ж, у, ,г} =0 порождает идеал тождеств алгебры Пуассона С. (л) Рост многообразия уаг(С), порожденного алгеброй С, является почти полиномиальным, причем Сп(С) = 2п-1.

(ш) Базис полилинейной компоненты Рп(С) состоит из элементов вида

{жгх , хг2 } ■ . . . ■ {хг2р—1, хг2р } ' xjl ' xj2 ' • • • ' xjq, (2)

где {¿1, • • .,22Р ,¿1 ,• • .¿д} = {1, • • • , п}, ¿1 < ¿2 < ••• < ¿2р, ¿1 < ••• < ¿д.

Далее нам понадобится следующее предложение, которое легко проверяется.

Предложение. Пусть Ар — некоторая алгебра Ли с лиевым умножением [, ] над произвольным полем К. Рассмотрим векторное пространство А = Ар ф К, в котором определим операции ■ и {, } следующим образом:

(а + а) ■ (Ь + в) = (ва + аЬ) + ав,

{а + а,Ь + в} = [а, Ь], а, Ь е Ар, а, в € К.

Тогда полученная алгебра (А, +, ■, {, }, К) является алгеброй Пуассона, в которой выполнено тождество {Ж1 ,Ж2} ■ {хз,Х4} = 0.

Пусть ир — двумерная метабелева алгебра Ли с базисом {а, Ь} и таблицей умножения [а, Ь] = а. Обозначим через и2 алгебру Пуассона Цр ф К, построенную с помощью предыдущего предложения.

Теорема 2. Для алгебры и верны следующие утверждения. (1) Полилинейные тождества

{Ж1,Ж2} ■ {Жэ,Ж4} = 0, {{Ж1,Ж2}, {Х3,Х4}} =0 (3)

порождают идеал тождеств алгебры Пуассона 112-

(и) Рост многообразия уаг(^2), порожденного алгеброй ^2, является почти полиномиальным, причем Сп(и2) = 2п-1(п — 2) + 2.

(Ш) Базис полилинейной компоненты Рп(и2) состоит из элементов вида

{ х ■ х ■ х ■ } ■ х ■ ■ х ■ ■ ■ х ■ (4)

{хп, хг2, ■■■, хгр} хл хп ■■■ х3д, (4)

где {11, ■ ■ ■ ■ ■ ■, ]д} = {1, ■ ■ ■ , п}, ]1 < ■ ■ ■ < ]д и переменные в мономе {жг1, ■ ■ ■, хгр } упорядочены

следующим образом,: ¿1 > ¿2 < ¿3 < ■ ■ ■ < ¿Р-

Доказательство. Понятно, что в алгебре и выполнены тождества (3). Покажем, что базис полилинейной компоненты Рп(и) состоит из элементов вида (4).

Обозначим через V многообразие алгебр Пуассона, порожденное тождествами (3). Покажем, что полилинейная компонента Рп(V) является линейной оболочкой элементов вида (4). Из первого тождества {ж1, Ж2} ■ {хз, х4} = 0 следует, что Рп(V) есть линейная оболочка элементов вида

) гу . /у>. /у>. К- . ¡У ■ • 'У ■ • • 'У ■

{хг1, хг2 , ■■■, хгр } хл х]2 ■■■ ■

Так как умножение ■ обладает свойством коммутативности, то можно считать, что ]1 < ■■■ < ]д. Далее, применяя тождество антикоммутативности, тождество Якоби и тождество {{х1 ,х2}, {хз,Ж4}} = 0, можно упорядочить в мономе {жг1 ,хг2, ■ ■ ■ ,хгр} переменные таким образом, что ¿1 > ¿2 < ¿з < ■■■ < ¿р. Поэтому Рп(V) есть линейная оболочка элементов вида (4).

Покажем, что по модулю идеала тождеств алгебры и элементы (4) являются линейно независимыми. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого п в алгебре и2 выполнено нетривиальное тождество вида

У] аг1,...,грЛ1,...Лд {хг-1, ■ ■ ■ ,хгр } ■ ■ ■■■ ■ Жjq =

где суммирование пробегает по всем значениям индексов ¿1, ■ ■ ■ ,1Р,]1, ■ ■ ■ ,]д, удовлетворяющих условию (4). Пусть ¿1 ,■■■, гР0 ,]1, ■ ■■,]д0 — набор индексов, при котором значение ро минимально и аг1}..,гр0= 0. Сделаем следующую подстановку:

хг1 — {уо,У1},хг2 — У2,■■■, хгр0 — УРо ,Жjl — 1,■■■, Жjq0 — 1

Тогда тождество {уо, У1, ■ ■ ■, УР0} = 0 является следствием последнего тождества. Но данное тождество не выполняется в алгебре и2, о чем свидетельствует подстановка уо — а, У1 — Ь, ..., уР0 — Ь. Противоречие. Тем самым пп. (1) и (ш) доказаны, причем сп(и2) = 2п-1 (п — 2) + 2.

Покажем, что многообразие уаг( 112) является почти полиномиальным. Пусть Ш — некоторое собственное подмногообразие в уаг(и2). Тогда, как установлено выше, в многообразии Ш выполнено тождество {х1 ,Ж2,■■■,Жk} = 0 для некоторого к ^ 2. Учитывая данное тождество и строение полилинейной компоненты Рп(и2) (см. п. (ш)), получим, что рост многообразия Ш не выше полиномиального. Теорема доказана.

Лемма 1. Пусть в многообразии алгебр Пуассона V имеет место тождество вида

п ,У}Лх,У}к = 0, (5)

где п ^ 1, к ^ 0, и данное тождество полилинейно относительно переменных ¿1 ,...,гп. Тогда в V выполняется тождество {ж, у}к+п = 0^

Доказательство. Проведем индукцию по п с очевидным основанием п = 1.

Пусть п > 1. Обозначим А = {¿1, ■ ■ ■ ,гп-1}. Тогда тождество (5) примет вид {А, хп,у} ■ {ж,У}к = 0. Подставим в него вместо переменной гп произведение ж ■ Ж. Применяя правило Лейбница, получаем

{А, ж ■ Ж, У} ■ {Ж, У}к = 2{{А, Ж} ■Ж, У}■ {Ж, У}к = 2{А, Ж} ■ {Ж, У} ■ {Ж, У}к + 2ж ■ {А, Ж, У} ■ {Ж, У}к■

Поэтому из тождества (5) будет следовать тождество {А, ж} ■ {ж, у}к+1 = 0, применив к которому предположение индукции, придем к доказательству леммы.

Лемма 2. Пусть V — некоторое многообразие алгебр Пуассона и Ц / V. Тогда для некоторого числа т ^ 2 в многообразии V будут выполнены тождества

{Ж1,Ж2,...,Жт} = 0, (6)

{ж,у}т = 0.

Доказательство. Пусть Ц2 / V. Тогда из теоремы 2 следует, что для некоторого п элементы вида (4) будут линейно зависимы в Рп(V) по модулю тождеств алгебры Ц^. Поэтому в V будет выполнено полилинейное тождество вида

^^ аг1,...,гр{жп , . . . , ж'р } ' жл ' ... ' +

+ Е...-{А

А'4}• ... + £ ... • {{В. , В.}, {В.,В4}} • ... = 0, (7)

где первое суммирование пробегает по всем значениям индексов ¿1 , ...,гр, 3 , ...,3, удовлетворяющих условию (4), а в остальных суммах участвуют следствия тождеств (3). Пусть ¿1,...,гр0 , 3ь...,3д0 — такой набор индексов, при котором значение ро минимально и а^,...,' = 0. Подставим в тождество (7)

вместо переменных ж.,..., ж./ единицу. Тогда полилинейное тождество от переменных Ж1,... , жр0 вида

Р0

^ ^ вг{жг, Ж1, . . . , Жг, . . . , жр0} +

'=2

+ ^ ... •{С41 ,С'2 } • {С'3 ,С'4 }•... ... •{{Я. }, {^ }}• ... =0 (8)

является следствием тождества (7), где не все в равны нулю, а символ " означает, что элемент опущен. Пусть в'0 = 0 для некоторого ¿о. В тождестве (8) сделаем такую подстановку:

Ж'0 ^ Ж, ж. ^ у, 3 = 1,... ,ро, 3 = ¿0.

Тогда ввиду тождества {ж, ж} =0 в многообразии V будет выполнено следующее тождество Энгеля:

= 0.

Р0-1

Поэтому с учетом работы [3] в многообразии V будет выполнено тождество (6) для некоторого т.

Из леммы 1 вытекает, что тождество {ж, у}т = 0 является следствием тождества (6). Лемма доказана. Лемма 3. Пусть V — некоторое многообразие алгебр Пуассона.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(1) Если элементы вида (4) линейно зависимы в Рп(V) для некоторого п, то в многообразии V выполняется тождество (6).

(п) Если для некоторого п элементы вида (2) линейно зависимы в ), то в многообразии V

выполняется тождество

{Ж1,У1} • {Ж2, У2} • ... • {Жт, Ут} = 0. (9)

Доказательство. (1) Пусть элементы вида (4) линейно зависимы в ) для некоторого п. Тогда из теоремы 2 следует, что Ц / V. Поэтому, согласно лемме 2, в V выполнено тождество (6). (п) Пусть в многообразии V выполнено нетривиальное тождество вида

а!1,...,!2р,Л,...,/д {ж'1 , Ж'2 } • ... • {ж'2р-1 , Ж'2р } • ЖЛ • Ж.2 • ... • = 0, (10)

где суммирование пробегает по всем значениям индексов ¿1, ...,«2р ,31, ...,33, удовлетворяющих условию (2). Пусть ¿1 ,...,«2р0,31,...,3д0 — такой набор индексов, при котором значение ро минимально и аг1,...,г2р0 ,/1,...,/д0 = 0. Подставим в тождество (10) вместо переменных ж.,... , ж.,ад единицу. Тогда в многообразии V будет выполнено тождество

{ж'1 , Ж'2 } • ... • {ж'2р0-1 , Ж'2р0 } = 0

Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть в многообразии алгебр Пуассона V выполнены полилинейные тождества (6) и (9). Тогда

(I) рост многообразия V является полиномиальным;

(II) кодлина многообразия V является конечной.

Доказательство. (1) Пусть в многообразии V выполнены тождества (6) и (9). Тогда Рп(V) является линейной оболочкой элементов такого вида:

{Ж11, ■ ■ ^,Ж1к1 } ■ {Ж21, ■ ■ ■ ,Ж2к2 } ■ ■■■ ■ {Жз1, ■ ■ ■ , Ж3кв } ■ У1 ■ ■■■ ■ Уг,

где

{жll,■■■,жsks,у1, ■ ■ ■ ,Уг} = ^^■^Жп}, в<ш, ^^■^кз <т■

Очевидно, что число элементов такого вида ограничено некоторым полиномом.

(II) Доказательство основано на следующих фактах.

1. Число элементов вида

1к1,..,ка = {жl, ■ ■ ■ , Жк1 } ■ {Жк 1+1, ■ ■■, Жк1+к2 } ■■■■ ■{Жк 1+...+к3_1+1, ■■■, Жк1+...+ке } ■ Жк1+...+к3+1 ■ ■■■ ■ Жп,

где в < т, к1, ■■■,к.з < т, ограничено некоторой константой, не зависящей от п.

2. Из п. (1) и работы [4, теорема 12] следует, что существует такая константа С, не зависящая от п, что ненулевые неприводимые К£п-подмодули из разложения Рп(V) соответствуют лишь диаграммам Юнга, у которых число клеток вне первой строки не превышает числа С. Поэтому достаточно показать, что кратности тд(у) в разложении (1) ограничены некоторой константой. Это доказывается в следующем пункте.

3. Зафиксируем элемент /к1,...,к3 степени п и диаграмму й, соответствующую разбиению Л числа п, где п — Л1 ^ С. Пусть Л = (^^■■■^г, 1,---,1) — сопряженное разбиение к разбиению Л, где Ь ^ С, У1, ■ ■ ■, Уг ^ С + 1. Тогда диаграмме й будет соответствовать п — (р1 + ■ ■ ■ + уг) экземпляров переменной У1 и Ь кососимметричных наборов

VI ■■■У2---Уц1, Ъ-'-Ъ-'-Им, (И)

где чертой, тильдой,..., двумя чертами отмечены переменные, входящие в кососимметричные наборы. Вместо переменных Ж1, ■ ■ ■ ,жп в элементе /к1,...,к3 требуется расставить кососимметричные наборы (11), а на оставшиеся места поставить У1 .

Так как переменные Жк1+...+кв+1, ■ ■ ■ ,жп в элементе /к1,..,к3, находящиеся вне скобок Пуассона, симметричны, то любой кососимметричный набор может иметь не более одного представителя за пределами скобок Пуассона. Поэтому число способов расстановки наборов (11) и переменной у1 в элементе /к1,...,к3 ограничено некоторой константой М, не зависящей от п. Следовательно, тд^) ^ М. Лемма доказана.

Следующая теорема показывает, что в случае алгебр Пуассона алгебры 112 и О играют ту же роль, что и алгебры иТ2 и Л в ассоциативном случае (см. [5]).

Теорема 3. Для многообразия алгебр Пуассона V следующие условия эквивалентны: (1) последовательность {с-п(V)}п^1 ограничена полиномом;

(и) в многообразии V для некоторого т ^ 2 выполнены полилинейные тождества (6) и (9);

(III) и2 /V, О / V ;

(гу) существует такая константа С, что в сумме (1) тд^) =0 в случае, если выполнено условие п — Л1 > С;

(у) кодлина многообразия V является конечной.

Доказательство. Пусть выполнено условие (1). Так как элементы вида (4) линейно независимы в свободной алгебре Пуассона для любого п и их количество равно 2п-1 (п — 2) + 2, то найдется такое число п, что элементы вида (4) будут линейно зависимы в Рп(V). Тогда в силу леммы 3 в многообразии V выполнено тождество (6). Аналогично число линейно независимых элементов вида (2) в свободной алгебре Пуассона для любого п равно 2п-1. Поэтому найдется такое число п, что элементы вида (2) будут линейно зависимы в Рп(V). С учетом леммы 3 в многообразии V будет выполнено тождество (9). Поэтому из условия (1) следует условие (11).

Импликация (11) ^ (1) следует из леммы 4. Импликация (1) ^ (111) следует из теорем 1 и 2.

Пусть выполнено условие (111). Так как 112 / V, то, согласно лемме 2, в многообразии V выполнены тождества (6) и {ж,у}т = 0. Далее, в работе [2, теорема 7.3] показано, что если О / V и выполнено

тождество {x,y}m = 0, то в многообразии V будет выполнено тождество (9). Таким образом, из условия (iii) получаем условие (ii).

Равносильность условий (i) и (iv) следует из работы [3, теорема 12]. Импликация (ii) ^ (v) следует из леммы 4.

Докажем импликацию (v) ^ (iii). Для начала покажем, что ln(U2) ^ n для любого n. Фиксируем n. Обозначим через Mk множество всех элементов вида (4), у которых p = k. Тогда линейная оболочка элементов множества Mk будет являться К£га-модулем. Так как для ненулевых модулей Mk число k может принимать любое значение из множества {0, 2, 3,--- , n}, то ln(U2) ^ n.

Далее, в работе [2] показано, что ln(G) = n для любого n. Поэтому если кодлина многообразия V является конечной, то U2 / V, G / V. Теорема доказана.

Следствие. (i) Существуют только два многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста: var(G) и var(U2).

(ii) Если рост многообразия алгебр Пуассона не является полиномиально ограниченным, то c„(V) ^ 2п-1 для любого n.

Доказательство следует из теорем 1-3.

Автор выражает благодарность профессору С. П. Мищенко за внимание к работе. Работа частично поддержана грантом РФФИ № 10-01-00209а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

2. Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M., Regev A. Poisson PI algebras ^ Trans. Amer. Math. Soc. 2007. 359, N 10. 4669-4694.

3. Зельманов Е.И. Об энгелевых алгебрах Ли ^ Сиб. матем. журн. 1988. 29, № 5. 112-117.

4. Рацеев С.М. Рост в алгебрах Пуассона У У Алгебра и логика. 2011. 5G, № 1. 68-88.

5. Кемер А.Р. Шпехтовость T-идеалов со степенным ростом коразмерностей ^ Сиб. матем. журн. 1978. 19, № 1. 54-69.

Поступила в редакцию 1б.09.2011

УДК 515.12

К ГИПОТЕЗЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ

С. А. Богатый1

В некоторых частных случаях доказывается плотность множества таких отображений n-мерного компакта в m-мерное евклидово пространство, что множество всех d-мерных плоскостей, мощность прообраза которых ^ q, имеет размерность ^ qn — (q — d — 1)(m — d).

Ключевые слова: размерность, вложение, евклидово пространство.

We prove that for some special cases the set of all continuous mappings of an n-dimensional compactum in an m-dimensional Euclidean space such that the set of all d-dimensional planes having the cardinality of the preimage ^ q has the dimension ^ qn — (q — d — 1)(m — d), is dense.

Key words: dimension, embedding, Euclidean space.

1. Введение. В работе [1, вопрос 5] сформулирована параметрическая проблема маломерности множества наборов точек, попадающих на плоскость заданной размерности. Приведем аналогичную непараметрическую гипотезу на языке плоскостей.

1 Богатый Семеон Антонович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.