CC BY
19
УДК 512.572
ЭКСПОНЕНТЫ НЕКОТОРЫХ МНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА — ПУАССОНА1
© 2013 С.М. Рацеев,2 О.И. Череватенко3
В работе получены эквивалентные условия для оценок роста многообразий алгебр Лейбница — Пуассона с нильпотентным коммутантом.
Ключевые слова: алгебра Пуассона, алгебра Лейбница — Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.
1. Предварительные сведения
Алгебра А = А(+, {, },К) над полем К называется алгеброй Лейбница — Пуассона, если А(+, ■К) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, А(+, {, },К) — алгебра Лейбница с операцией умножения {,} и для любых а,Ь,с € А выполняются правила:
{а ■ Ь, с} = а ■ {Ь, с} + {а, с} ■ Ь, {с, а ■ Ь} = а ■ {с, Ь} + {с, а} ■ Ь.
При этом алгебра Лейбница А(+, {, },К) над полем К определяется тождеством
{{x, y}, = {{x, у} + {х, {у,
то есть правое умножение на элемент алгебры является дифференцированием.
Заметим, что если в алгебре Лейбница — Пуассона выполнено тождество {х, х} = 0, то данная алгебра будет являться алгеброй Пуассона. Таким образом, алгебры Лейбница — Пуассона являются обобщениями алгебр Пуассона, которые возникают в различных разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физики и т. д.
Пусть Ь(Х)—свободная алгебра Лейбница с умножением [,], где X = = {хх,х2,...} — счетное множество свободных образующих. В алгебре Ь(Х) зафиксируем упорядоченный базис г0\,г02,..., где VI < при г <]. Рассмотрим ассоциативную коммутативную алгебру полиномов К...]. В этой алгебре определим скобки {,} для порождающих элементов VI как умножение в алгебре Ь(Х):
хРабота частично поддержана грантом РФФИ 10-01-00209-а.
2Рацеев Сергей Михайлович ([email protected]), кафедра информационной безопасности и теории управления Ульяновского государственного университета, 432017, Российская Федерация, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42.
3Череватенко Ольга Ивановна ([email protected]), кафедра высшей математики Ульяновского государственного педагогического университета имени И.Н. Ульянова, 432700, Российская Федерация, г. Ульяновск, пл. 100-летия со дня рождения В.И. Ленина, 4.
[vi,vj} = [vi,vj]. Распространим скобки {,} на любые элементы из K[vi,v2,...], используя линейность и правила
{f ■ g, h} = f {g, h} + {f, h}g, {h, f ■ g} = f {h, g} + {h, f }g,
где f,g,h € K[vi, v2,...]. Тогда полученная алгебра будет свободной алгеброй Лейбница — Пуассона F(X), причем базис алгебры F(X) будут составлять все элементы вида vа ■ ... ■ va, где аь ..., а.к > 0, ii < ... < ik.
Договоримся опускать скобки {,} при их левонормированной расстановке:
{{{Ж1,Ж2},Ж3}, ...,Xn} = {xi,X2, ...,Xn}.
Обозначим через Pn пространство в F(X), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных xi,...,xn.
Предложение ([1]). Базис пространства Pn состоит из всех элементов вида
xk\ ■ ... ■ xkr ■ {xii , ..., xis } ■ ... ■ {xji , ..., xjt }, i1.1)
для каждого из которых выполнены следующие условия:
(i) r > 0, ki < ... < kr;
(ii) каждая из переменных xi,...,xn встречается в (1.1) ровно один раз;
(iii) каждый множитель {xi1 ,...,xis},..., {xj1 ,...,xjt} в (1.1) левонормирован и имеет длину ^ 2;
(iv) множители в (1.1) упорядочены по длине: s ^ ... ^ t;
(v) если два соседних множителя в (1.1), являющиеся скобками {,}, имеют одинаковую длину
... ■ {xpi, ..., xPs } ■ {xqi, ..., xqs } ■ ...,
то pi < qi.
Обозначим через Гп подпространство в Pn, являющееся линейной оболочкой элементов вида
{xil , xis } ■ ... ■ {xjl , xjt } , S ^ 2?...? t ^ 2.
Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница — Пуассона, Id(V) — идеал тождеств многообразия V. Обозначим
Pn(v) = Pn/(Pn n Id(v)), rn(v) = Гп/(Гп n Id(v)),
Cn(V) = dim Pn(V), Yn(V) = dim rn(V).
Если многообразие V имеет экспоненциальный рост, то введем в рассмотрение нижние и верхние экспоненты соответствующих последовательностей {cn(V)}n^i
и {Yn(V)} n^ i :
EXP(V) = lim VCn(V), EXP(V) = HE VCn(V),
n—^^O n — ^
EXPr(V) = lim nYn(V), ExW(V) = nm nYn(V).
Если EXP(V) = EXP(V), то будем обозначать EXP(V). Аналогично и с EXPr(V). При этом из предложения 4 работы [1] следует, что если для многообразия алгебр Лейбница — Пуассона V существует одна из экспонент EXP(V) или EXPr(V), то будет существовать и другая, причем EXP(V) = EXPr(V) + 1.
Хорошо известно [2], что если V — нетривиальное многообразие ассоциативных алгебр, то рост многообразия V сверху ограничен экспоненциальной функцией.
При этом в случае основного поля нулевой характеристики экспонента произвольного многообразия ассоциативных алгебр существует и является целым числом (см. [3; 4]). В случае же алгебр Ли имеются многообразия со сверхэкспоненциальным ростом [5] и многообразия с дробной экспонентой [6]. Алгебры Пуассона наследуют некоторые свойства как ассоциативных алгебр, так и алгебр Ли. Например [7], в случае основного поля нулевой характеристики существует только два многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста (как и в ассоциативном случае). При этом хорошо известны пять многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста (до сих пор неизвестно, исчерпывают ли они весь набор многообразий алгебр Ли с данным свойством). В то же время, как и в случае алгебр Ли, существуют многообразия алгебр Пуассона со сверхэкспоненциальным ростом. Например, пусть и — многообразие алгебр Пуассона, определенное тождеством {х1,х2} ■ {хз,х4} = 0. Тогда сп(и) ^ [(п — 1)! ■ е], где е = 2, 71..., [ ] — целая часть числа (см. [8]).
2. Пространства специального вида
В работе [9] показано, что если идеал тождеств некоторого многообразия алгебр Лейбница — Пуассона V над произвольным полем содержит тождества вида
{{хл,у\},.., {хп,Уп}} = о, {хх,ух} ■ ... ■{хп,уп} = 0, (2.1)
то экспонента многообразия V существует и является целым числом. В данной работе приводятся эквивалентные условия для значений этих самых экспонент.
Напомним, что последовательность А = (Ах, А2,..., Аь) называют разбиением числа п и обозначают А Ь п, если Ах + А2 + ... + Аь = п и Ах ^ А2 ^ ... ^ Аь > 0.
Обозначим через Vs многообразие алгебр Лейбница — Пуассона, определенное всеми полилинейными тождествами степени 2в вида
{{хц,уц}, {х12,у12},..., {х1М ,у1Х1 }}{{х21,у21}, {х22,у22 },..., {х2х2 ,у2\2}} х ...
... х {{хи1,ун1}, {хн2,ун2},..., {хн\к ,ун\к}} =0, А = (Ах,...,Ак) Ь в.
Ниже в качестве примера выписаны все тождества, которыми задаются многообразия V2, V3, У4.
V :
{{хх,ух}, {х2,у2}} = 0, {х1,у1} ■ {х2,у2} = 0;
Vз :
{{х1,у\}, {х2,у2}, {хз, уз}} = 0, {{х1,у\}, {х2 ,у2}} ■ {хз ,уз} = 0, {х1,у1} ■ {х2,у2} ■ {хз,уз} = 0;
V: :
{{х1,у\}, {х2,у2}, {хз, уз}, {х4, уа}} = 0,
{{х1,у\}, {х2,у2}, {хз,уз}} ■ {ха,уа} = 0,
{{х1,у\}, {х2 ,у2}} ■{{хз,уз}, {ха, у 4 }} =0,
{{х1,у\}, {х2 ,у2}} ■ {хз ,уз} ■ {ха, уа} = 0,
{х1,у1} ■ {х2,у2} ■ {хз,уз} ■ {ха, уа} = 0.
в — 1
Заметим, что Гп(Уд) = 0 Гп(13,(Ус)/13,(Ус+1)), где пространство
с=1
Гп(13(Ус)/1й(ус+1)) есть прямая сумма линейных оболочек элементов следующего вида:
Гп(ВД)/ВД+1)) = 0 (
АЬс
{{хп,Ж12, ...,Х1а11 }, {Х21,Х22, —,Х2а12 }, [х\11,Хх12, ■■■,Хх1а1х1 }}х х{{Уl1,Уl2, ••;У1а21 } {У21,У22, •••,У2а22 }, •••, {УА2ЬУА22, •••,У\2а2Х2 }} х ••• ••• х {{^11, ^12, •••, 21аы }, {^21, У22, •••, г2ак2 } •••, {гАк1, гАк2, •••, ¿АкакХк }} | {х2101, У^2 32 , } {х1, х2, •••, хп}, ^ 2)К •
Элементы Х^з, ..^Х^ац, % = 1, •••, А1, У13, •••,У1а2г, % = 1, •••, ^2,..., •••,Хгак^_, % = = , можно менять местами, так как, меняя местами два рядом стоящих
элемента, мы дополнительно получаем элемент из 1й{ус+{).
Например, для многообразий У2, Уз, У4 соответствующие пространства Гп(У) будут выглядеть следующим образом:
Гп(У2) = ({хп ,..;хгп })К,
где
{%1, •••,%8} = {1, •••,п}, %з < ••• < %п. Гп(У0 = Гп(У2) © ({{хп , •••, хг3 }, {х^1 }})К Ф ({хг1 ,...,хг3 } ■ {xjl ,...,хзь }) К,
где
в > 2, г > 2, %з <...<%8, зз <...<3г.
Гп(У4) = Гп(У0 © ({{хН1 ,...,хН3 } {х01 }, {хк1 ,....,хки }})К©
©({{х«1 , •••,xis } {х01, •••,xjt }} ■ {хк1, ••••, хки })К© ©({х«1, •••,xis } ■ {х01 , •••,xjt } ■ {хк1 , ••••, хки })К,
где
в > 2, г > 2, и > 2, %з < ... < %8, зз < ... < 31, кз < ... < ки.
Пусть V — некоторое фиксированное подмногообразие в У8. Тогда
8-1
Гп(у) = Е0 ™слп(у),
с=1 АЬс
где
® ^ ) = Гп( с = .......-1
Замечание. Пусть элемент ] принадлежит пространству ШС,А,п. Тогда / имеет такой общий вид:
• ••{Х1,Х2, •••}•••{Х3,Х4, •••}•••{x2c-1,Х2c, •••}, (2.2)
где вместо многоточий, находящихся вне элементов {х1, Х2,...},..., {х2С-1, Х2с, •••}, каким-либо образом расставлены скобки {,} и умножения ■. Если нам неважно, каким образом расставлены данные операции, а важно что происходит внутри выписанных в (2.2) с скобок {, }, то будем использовать запись вида (2.2), чтобы не выписывать множество различных индексов.
Пусть даны два целых числа к и т. В матрице размера к х т расставим числа 1, 2,...,кт следующим образом. В первый столбец расставим числа 1, 2,...,к по порядку сверху вниз. Также расставим числа к + 1,к + 2,..., 2к по порядку
сверху вниз во второй столбец. Таким же способом заполним оставшиеся столбцы. Получим такую матрицу А:
1 к + 1 (т — 1)к +1
2 к + 2 (т — 1)к + 2
к 2к кт
Пусть перестановка 01 € Бк действует на элементы первого столбца матрицы А. Также пусть 02 € Бк действует на элементы второго столбца (так как каждый элемент второго столбца представим в виде к + г, где 1 ^ г ^ к, то будем считать, что результатом действия перестановки 02 на элемент к + г будет к + 02(г)) и т. д.
Назовем значения 1, 2, ... , к, входящие в первый столбец матрицы А, первым набором длины к, во второй столбец — вторым набором длины к и т. д. Назовем также значения 01(1), 02(к +1),..., от((т — 1)к +1) — первыми номерами, значения 01(2), 02(к+2), ...,0т((т—1)к+2) — вторыми номерами и т. д. Данные обозначения нам понадобятся в следующей лемме.
Лемма 1. Пусть V — подмногообразие в Vв над произвольным полем К. Также пусть имеется некоторый набор чисел а7 € К, 0 € Б^, где 3 — некоторое положительное целое число, что для некоторого целого числа т ^ 0 в пространствах ), А Ь 3 выполнены полилинейные тождества (с учетом замечания выше)
вида
X ... X ..а°1 ...{у1,у2,х1а1{1),х2а2{1),...,хтат{1)}... (2.3)
7mESd alESd
...{у2,уз, х1а1(2),х2а2(2), .., хтат(2)} ...{у2й—1,у2й, х1а1(а),х2а2(а), .., хтат(а)} = 0, где у переменных хиндекс г означает порядковый номер набора, а ] — порядковый номер элемента в г-м наборе. Тогда
(г) существует такое целое число к, что в пространствах WCt\ní(V), А Ь с, с = = + 1,...,в — 1 будут выполнены все полилинейные тождества вида
— X а7к ...аа1 ..¿1...{и1 ,xlal(l),x2a2(1), ...,хкак(1)}...
...{1-г2 , x1l7l(2), x2o^2(2), хкяк(2)} ...{Ъгл , xl7l(d), x272(d), .. хкак(4)} -^с = 0
где Ь1,...,Ьс — некоторые скобки {,}, содержащие не менее двух переменных;
(гг) если а7 = ( — 1)7, 0 € Sd, то существует такое целое р ^ 0, что в многообразии V выполнены все полилинейные тождества (с учетом замечания) вида
X) ."12 ( — 1)7Р ...( — 1)71 ...{у1,у2,х171(1),х272(1),...,хр7р(1)}... (2.4)
7pESd 7lESd
...{у2, уз, х171(2),х272(2), ..., Xp7p(2)}...{У2d—1,У2d, х^^), х272^), .. хР7р^)} = 0. Доказательство. (г) Покажем, что если элемент V из Wc\nn(V), А Ь с, с = = 3,...,в — 1, содержит к = к(с,3) наборов длины 3, то в пространстве WCt\ní(V) выполнено такое тождество
X ... X а7к ...а71v = (2.5)
7k^Sd 7lESd
Если с = 3, тогда тождества вида (2.5) следуют из тождества (2.3), причем к(с, 3) = т. База индукции проверена.
Пусть c ^ d+1. Предположим, что существует такое целое число k = k(c — 1, d), что для элемента v G Wc-1,\,n(V), содержащего не менее k(c — 1,d) наборов длины d, выполнено тождество (2.5) в Wc-i^n(V). Пусть k(c,d) — достаточно большое число, значительно большее, чем k(c—1,d), и элемент v G Wc¡\ní(V) содержит не менее k(c,d) наборов длины d. Пусть Л = (\\,...,\к). Элемент v имеет следующий общий вид:
v = {t1b ■■■,t1X1 } • {t2b ■■■,t2\2 } • ■■■ • {tk1, ■■■,tkXk },
где tij — скобки {, }, каждая из которых содержит не менее двух переменных.
Пусть в элементе v наборы длины d, каждый из которых содержит не менее k(c, d) элементов, проходят таким образом, что некоторая скобка tilj1 содержит не менее k(c, d) первых номеров, скобка ti2 j2 содержит не менее k(c, d) вторых номеров и т. д., скобка tidjd содержит не менее k(c,d) d-х номеров. При этом данные скобки являются попарно различными.
Если Л = (n), то v G L(X), и доказательство в данном случае следует из леммы 1 работы [10]. Поэтому пусть для разбиения Л = (Л^^Лк) числа c выполнено неравенство k > 1.
Так как c > d, то в элементе v найдется такая скобка t = tij, которая не содержит ни первых, ни вторых и т. д., ни d-х номеров:
v = ■■■ • {tii, ■■■,t, ■■■, tiXi}■■■
Для краткости записи передвинем скобку {tii, ■■■,t, ■■■,ti\i} на последнее место в элементе v, используя коммутативность операции •, и запишем элемент v в виде
v = A • {qu ■■■,qj-l,t,qj+l,
где h = Л^^. Если в скобке {qi, ■■■,t, ■■■, qh} = u ни один из элементов qj, j = 1, ■■■, h, не содержит ни первых,..., ни d-х номеров, то к элементу A можно применить предположение индукции. Поэтому, не ограничивая общности, пусть хотя бы один из элементов qj содержит не менее k(c, d) первых номеров. Будем считать, что t является самой крайней слева скобкой в элементе u, которая не содержит ни первых и т. д., ни d-х номеров (иначе просто сделаем переобозначение). Применим индукцию по h к элементу u. Пусть h = 2. Тогда либо u = {q,t}, либо u = {t,q}, где скобка q содержит не менее k(c, d) первых номеров.
В элементе {q,t} будем передвигать t влево. Учитывая правило дифференцирования, будут получаться слагаемые вида {q , t , ■■■}, где в скобке q содержится не менее k(c — 1, d) первых номеров, скобка t' содержит скобку t и некоторое количество первых номеров. Если в элементе {q , t , ■■■} вне скобок q и t содержится не менее k(c— 1, d) первых номеров, то, обозначив {q' ,t'} новой переменной, применим к элементу A^{{q',t'},■■■} предположение индукции по c. В противном случае в t попадет не менее k(c — 1, d) первых номеров. Представим элемент {q , t , ■■■} в виде линейной комбинации слагаемых вида {q, t}, где q' содержится в q, t' — в t. При этом
A • {q, q = {A • q, q — {A, q • q.
Применим к элементам A • q и {A,q} предположение индукции по c. Если же u = = {t,q}, то, применяя правило дифференцирования, представим данный элемент в виде линейной комбинации элементов вида {tf,q' g}, где скобка q' содержит не менее чем k(c — 1, d) первых номеров, f, g — многочлены от внутренних дифференцирований, состоящие из первых номеров. Если многочлен g содержит не
менее к(с — 1,3) первых номеров, то, обозначив {Ь/,д'} новой переменной, применим предположение индукции по с. Если же в многочлене д содержится менее к(с — 1,3) первых номеров, то их в многочлене / будет не менее чем к(с — 1,3). Поэтому в каждом из элементов Ь = Ь/ и д = д'д будет не менее к(с —1,3) первых номеров. Тогда
А ■{д,д} = {А ■ 1д} — {А,д}■ д
и, как и ранее, применяем предположение индукции по с, только к элементам А ■ £ и {А, д}. Таким образом, база индукции по Н при Н = 2 проверена.
Предположим, что для всех г < Н утверждение верно. Покажем для г = Н.
Так как скобка Ь является самой крайней слева в элементе и, в которой не содержится ни первых,... , ни 3-х номеров, то возможны следующие случаи.
1) и = {Ь,Ц2,Цз,...}, где д2 содержит (без ограничения общности) не менее к(с, 3) первых номеров. Применяя правило дифференцирования, представим и в виде линейной комбинации слагаемых вида
{t/,q2g,qз,...},
где скобка д2 содержит не менее чем к(с—1, 3) первых номеров, /, д — многочлены от внутренних дифференцирований, состоящие из первых номеров. Как и ранее, либо в многочлене /, либо в многочлене в д содержится не менее к (с—1,3) первых номеров. Если их менее к(с — 1, 3) в многочлене д, то применим предположение индукции по с. В противном же случае в каждом из элементов д = Ь/ и д = = Ч2д будет не менее к(с — 1,3) первых номеров. В элементе {Ь,д,дз,..} будем передвигать скобку д вправо. При этом будут получаться элементы, каждый из которых принадлежит одному из следующих случаев;
1.1) {с,дз,..., д}. Тогда
А ■ {Ь, дз,..., д} = {А ■ {I, дз,...}, д} — {А,д} ■ {I, дз,...}.
К элементу А ■{Ь,дз,..} применим предположение индукции по с, а к элементу {¿,дз,..} — по Н. При этом, так как д содержит необходимое количество первых номеров, то можно считать, что Ь в элементе {¿,дз,..} не содержит ни первых,..., ни 3-х номеров;
1.2) {д,..., {дг,с[},...}. Если д^ не содержит ни первых,..., ни 3-х номеров, то применим к этому элементу предположение индукции по с. Поэтому пусть в элементе дг не менее к(с, 3) вторых номеров. В этом случае можно считать, что д не содержит ни первых,... , ни 3-х номеров (те первые номера, которые она содержит, уже не понадобятся, необходимое количество первых номеров имеется в Ь). В скобке {дг,д} будем передвигать д влево. При этом будут получаться слагаемые вида {Ъ,..., {д'г,д',..},..}, где скобка д'г содержит не менее к(с —1,3) вторых номеров, а д содержит дд и некоторое количество вторых номеров. Если вне скобок д'г и д' содержится не менее к(с —1,3) вторых номеров, то применим предположение индукции по с. В противном случае скобка д содержит не менее к(с — 1, 3) вторых номеров. Элемент {Ь,..., {д'г,д' ,..},..} представим в виде линейной комбинации элементов вида {с, ...,д'г,д' ,..} и элементов вида {Ь, ...,д',д'г,...}. В элементе {Ъ,..., дг, д',...} будем двигать вправо скобку д', а в элементе {Ъ,..., д', дг,...} — д'г. Через конечное количество таких преобразований мы либо будем попадать в случай 1.1, либо в предположение индукции по с;
2) и = {Ь,д2,дз,...}, где скобка д2 не содержит ни первых,..., ни 3-х номеров. Пусть ду — самая крайняя слева скобка, которая содержит не менее к(с, 3) неко-
торых номеров. Переобозначив через t скобку {t,q\, ...,qj-i}, попадем в ранее рассмотренный случай 1;
3) u = {q2,...,t,...}. В данном элементе будем передвигать скобку t влево. Когда t окажется на втором месте в элементе u, то в скобке {q2,t} будем перемещать t влево, получая при этом слагаемые вида {q2,t'...}, где скобка q2 содержит не менее k(c — l,d) первых номеров, а t' содержит t и некоторое количество первых номеров. Если в скобке {q2,t'...} вне q2 и t' не менее k(c — l,d) первых номеров, то применим предположение индукции по с. Иначе в каждой из скобок q' и t' не менее k(c — l,d) первых номеров. В элементе {q',t',...} будем передвигать вправо скобку t и при этом будем попадать в ранее разобранные случаи.
С элементами же вида {q2,..., {qi,t},...} поступим следующим образом. Так как t — самая крайняя слева скобка, не содержащая ни первых,..., ни d-х номеров, то в скобке qi содержится не менее k(c, d) некоторых номеров (без ограничения общности, будем считать, что первых номеров). В скобке {qi,t} будем передвигать скобку t влево. При этом будут получаться слагаемые вида {q2,..., {qi,t ',...},...}, где в скобке qi содержится не менее k(c — l,d) первых номеров, а скобка t' содержит t и некоторое количество первых номеров. Если в скобке {qi,t',...} вне скобок qi и t' содержится не менее k(c — l,d), то применим предположение индукции по c. В противном случае в t' попадет не менее k(c — l,d) первых номеров. Представим элемент {q2,..., {qi,t ',...},...} в виде линейной комбинации элементов вида {q2,..., qi,t ',...} и элементов вида {q2,...,t ',qi,...}. В элементах вида {q2,...,qi ,t',...} будем передвигать вправо скобку t', а в элементе {q2,...,t',qi,...} — qi. При этом будем попадать в ранее разобранные случаи.
(ii) Данный случай является частным случаем (i). Лемма доказана.
3. Экспоненты некоторых многообразий алгебр Лейбница — Пуассона
Лемма 2. Пусть V — подмногообразие в Vs над произвольным полем K и d — некоторое положительное целое число. Также пусть имеется некоторый набор чисел аа £ K, а £ Sd, в котором найдется хотя бы один ненулевой элемент, что для некоторого целого числа m ^ 0 в пространствах Wdt\n(V), X h d, выполнены все полилинейные тождества вида (2.3). Тогда Exp(V) ^ d
Доказательство следует из леммы 1 и теоремы 1 работы [9].
Лемма 3. Если выполнены все условия леммы 2, но тождества (2.3) выполнены в многообразии V, то Exp(V) ^ d.
Доказательство следует из леммы 2, так как если некоторое тождество выполнено в многообразии V, то данное тождество будет выполнено во всех пространствах вида Wc,\,n(V).
Лемма 4. Пусть V С Vs над полем нулевой характеристики. Тогда если для некоторого целого d выполнено неравенство Exp(V) ^ d, то в многообразии V для некоторого целого p будут выполнены все полилинейные тождества вида (2.4).
Доказательство данной леммы аналогично доказательству леммы 7 работы [12].
Пусть char K = 0 и а £ Sn, где Sn — симметрическая группа порядка п. Действие a(xi) = xa(i) естественным образом продолжается до автоморфизма свободной алгебры Лейбница — Пуассона F(X). Пространство Pn (V) становится при этом Sn-модулем. Исследование структуры Pn(V) как Sn-модуля играет важную
роль при изучении многообразия V. Модуль PU(V) является вполне приводимым, разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров имеет следующий вид:
Хu(V) = х(Рп(V)) = £ тх (V )хх. (3.1)
ХЬи
Теорема. Пусть V — многообразие алгебр Лейбница — Пуассона над полем нулевой характеристики, идеал тождеств которого для некоторого целого п содержит полилинейные тождества вида (2.1). Также пусть с! — некоторое положительное целое число. Тогда следующие условия эквивалентны.
(г) Ехр(V) < !;
(гг) ExpГ(V) < ! — 1;
(ггг) найдется некоторый набор чисел аа € К, а € Б в, в котором содержится хотя бы один ненулевой элемент, что для некоторого целого числа т ^ 0 в многообразии V выполнены все тождества (с учетом замечания выше) вида
... аат ...аах ... (1)}... (3.2)
аmESd alESd
...{У2, У3, ха1(2),ха2(2), .. хат(2) } ...{У2в-1, У2^ х а^в.), ха2(в.), .. хат(в)} = 0;
(г у) найдется такое целое р ^ 0, что в многообразии V выполнены все полилинейные тождества вида (2.4).
(у) существует такая константа С, что в сумме (3.1) т\(У) = 0 в случае, если выполнено условие п — (А1 + А2 + ... + Ав) > С.
Доказательство. Для начала заметим, что если в многообразии V выполнены тождества (2.1), то найдется такое в, что V С V,, (лемма 2 работы [11]).
(г) (гг) следует из предложения 4 работы [1].
(ггг) ^ (г) Если в многообразии V выполнены тождества вида (3.2), то в пространствах ), А Ь !, выполнены тождества вида (2.3). Поэтому из леммы 3 следует, что условие (ггг) влечет (г).
(гу) ^ (ггг) очевидно.
(г) ^ (гу) следует из леммы 4.
(г) (у) следует из теоремы 2 работы [9]. Теорема доказана.
Заметим, что тождества (3.2) не являются полилинейными при т > 1. Из данной теоремы следует, что если, например, идеал тождеств многообразия алгебр Лейбница — Пуассона V содержит тождества (2.1) и для некоторого т в многообразии V выполнены тождества
{{У1,У2, х^}, {уз, У4, хт}, {уб, У6, х^}} = 0,
{{У1,У2,хт}, {Уз,У4,хтт}} • {У5,Уб,хт} = 0,
{У1,У2,хт} • {У3,У4,х%} • {У5,Уб,хтт} = 0,
то Exp(V) < 3.
Литература
[1] Рацеев С.М. Коммутативные алгебры Лейбница — Пуассона полиномиального роста // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2012. № 3/1(94). С. 54-65.
[2] Regev A. Existence of polynomial identities in A ® B// Bull. Amer. Math. Soc. 1971. № 6(77). P. 1067-1069.
[3] Giambruno A., Zaicev M.V. On codimention growth of finitely generated associative algebras // Adv. Math. 1998. V. 140. P. 145-155.
[4] Giambruno A., Zaicev M.V. Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate // Adv. Math. 1999. V. 142. P. 221-243.
[5] Воличенко И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [[xi,x2,x3], [x4,x5,xn]] = 0 над полем характеристики нуль // Сиб. ма-тем. журнал. 1984. № 3 (25). С. 40-54.
[6] Mishchenko S.P., Zaicev M.V. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent// Journal of Mathematical Sciences. 1999. № 6(93). P. 977-982.
[7] Рацеев С.М. О многообразиях алгебр Пуассона полиномиального роста// Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова. Казань: КФУ, 2011. С. 156-157.
[8] Рацеев С.М. О многообразии алгебр Пуассона с тождеством {x\,x2} х х {x3,x4} = 0 // Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов: тез. докл. 3 междунар. школы-конф. Тольятти, 2012. С. 43-45.
[9] Ratseev S.M. Growth of some varieties of Leibniz — Poisson algebras// Serdica Math. J. 2011. № 4(37). P. 331-340.
[10] Рацеев С.М. Оценки роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом// Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2010. № 4(78). C. 65-72.
[11] Рацеев С.М. Рост в алгебрах Пуассона // Алгебра и логика. 2011. № 1(50). С. 68-88.
[12] Рацеев С.М. Тождества в многообразиях, порожденных алгебрами верхнетреугольных матриц // Сибирский математический журнал. 2011. № 2(52). С. 416-429.
Поступила в редакцию 22/III/2013;
в окончательном варианте — 22/III/2013.
EXPONENTS OF SOME VARIETIES OF LEIBNIZ — POISSON ALGEBRAS
© 2013 S.M. Ratseev,4 O.I. Cherevatenko5
In the paper equivalent conditions for the estimation of growth of varieties of Leibniz — Poisson algebras with nilpotent commutant are received.
Key words: Poisson algebra, Leibniz-Poisson algebra, variety of algebras, growth of a variety.
Paper received 22/III/2013. Paper accepted 22/III/2013.
4Ratseev Sergey Mihailovich ([email protected]), the Dept. of Information Security and Control Theory, Ulyanovsk State University, Ulyanovsk, 432017, Russian Federation.
5Cherevatenko Olga Ivanovna ([email protected]), the Dept. of Higher Mathematics, Ulyanovsk State Pedagogical University, Ulyanovsk, 432700, Russian Federation.
