Оценки роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.572

ОЦЕНКИ РОСТА МНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА С НИЛЬПОТЕНТНЫМ КОММУТАНТОМ

© 2010 С.М. Рацеев1

В работе получены эквивалентные условия для оценок роста многообразий алгебр Лейбница, в частности многообразий алгебр Ли, с нильпотентным коммутантом.

Ключевые слова: алгебра Лейбница, рост многообразия, экспонента многообразия.

Введение

Алгебры Лейбница над полем K определяются тождеством

(xy)z = (xz)y + x(yz),

то есть правое умножение на элемент алгебры является дифференцированием. Любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница.

Пусть V — многообразие алгебр Лейбница. Обозначим через L = K(X, V) относительно свободную алгебру данного многообразия, где X = {xi,x2,...} — счетное множество свободных образующих. В случае основного поля нулевой характеристики вся информация о многообразии V содержится в его полилинейных компонентах Pn(V), n = 1, 2,..., где Pn(V) — это линейное подпространство в пространстве L, состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных xi, ...,xn. Асимптотическое поведение последовательности cn(V) = dim Pn(V), n = 1, 2,..., определяет рост многообразия V. Например, если cn(V) ^ an и последовательность cn(V) не ограничена никаким полиномом, то V называют многообразием экспоненциального роста.

Известно, что полилинейную компоненту Pn(V) можно рассматривать как модуль над групповым кольцом KSn, где Sn — симметрическая группа порядка n. Тогда Pn(V) можно разложить в прямую сумму неприводимых подмодулей.

Неприводимые представления Sn можно описывать на языке разбиений и диаграмм Юнга. Последовательность А = (Ai, A2,..., Ak) называют разбиением числа n и обозначают A h n, если Ai + А2 +... + Ak = n и Ai ^ A2 ^ ... ^ Ak > 0. По каждому разбиению A строится диаграмма Юнга, которая представляет из себя таблицу из к строк, а i-я строка состоит из Ai клеток. Известно, что каждой диаграмме Юнга соответствует неприводимый S^-модуль из разложения полилинейной части,

хРацеев Сергей Михайлович (RatseevSMarambler.ru), кафедра информационной безопасности и теории управления Ульяновского государственного университета, 432970, Россия, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

и два модуля изоморфны тогда и только тогда, когда они соответствуют одной диаграмме.

Пусть ха — характер неприводимого представления симметрической группы, соответствующий разбиению Л числа п. Тогда, в силу вполне приводимости модуля Pn(V), для многообразия V имеет место разложение

Xn{V ) = mAXA, (1)

Ahn

где ша — степени неприводимых представлений, соответствующих разбиению Л числа п. Тогда размерность полилинейной части можно записать в следующем виде:

Cn(V) = шаЗ,а-

Ahn

Если многообразие V имеет экспоненциальный рост, то вводятся в рассмотрение нижняя и верхняя экспоненты:

Exp(V) = lim Vcn(V), Exp(V) = HS n/ÜV).

n—n

Если имеет место равенство Exp(V) = Exp(V), то это обозначается как Exp(V).

В элементах будем опускать скобки при их левонормированной расстановке, то есть aia2...an = (((0,10,2)0,3...)an). Все необходимые определения можно найти, например, в монографии [1].

1. Рост подмногообразий в NsA

Обозначим через NsA многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождеством

s + 1x2s +2) = 0.

В случае поля нулевой характеристики многообразие NsA является шпехто-вым [2]. В работе [3], в частности, показано, что экспоненты многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом существуют и являются целыми числами:

Теорема 1. Пусть V — подмногообразие в NsA, и основное поле произвольно. Тогда существуют такие константы N, а, ß и такое целое число d, причем 0 ^ ^ d ^ s, что для любого п ^ N будут выполняться неравенства

пвdn < Cn(V) < nadn, (2)

в частности,

nßsn < cn(NsA) < nasn.

Следствие 1 [3, 4]. Не существует многообразий алгебр Лейбница, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным, если характеристика основного поля не равна двум.

Пусть N2 А — многообразие алгебр Ли, определяемое тождеством

(Ж1Ж2)(Ж3Ж4)(Ж5Ж6) = 0,

VI — многообразие алгебр Лейбница, которое определяется таким тождеством

Ж1(Ж2Жз)(Ж4Ж5) = 0.

В работах [4, 5] показаны следующие эквивалентные условия полиномиального роста многообразий алгебр Лейбница:

Теорема 2. В случае нулевой характеристики основного поля для многообразия алгебр Лейбница V следующие условия эквивалентны: (г) многообразие V имеет полиномиальный рост; (гг) существует такое число в, что выполнено условие

С V с кГЛ]

(ггг) существует такое число С, что в сумме (1) ш\ = 0 в случае, если выполнено условие п — Ах > С.

2. Экспоненты подмногообразий в .ЖА

Пусть Л — некоторая алгебра Лейбница и I — идеал этой алгебры. Тогда Iе для любого натурального с тоже будет идеалом алгебры Л. Это обстоятельство позволяет рассматривать следующие векторные пространства, которые нам понадобятся в дальнейшем:

Яе,и = Рп ((Ь2)е/(Ь2)е+1) , С = 1, 2,... .

---- в

Причем имеет место изоморфизм Рп(^Л) = 0 Яе,п. Данный изоморфизм яв-

е=1 '

ляется справедливым в силу такого изоморфизма: Ь/(Ь2)8+1 = К(Х,М3Л). Пространство Яе<п представляет собой линейную оболочку следующих элементов:

Ре,п = < (жц...Ж1а1 )(Х21 ...Х2а2 ) ...(Хе1...Хеас ) |

аг > 2, г = 1,...,с; а1 + ... + ае = п; {х^} = {х1 ,...,ХГ} >к .

Для удобства записи элементы, содержащие кососимметричный набор, будем записывать без знака суммирования, помечая переменные этого набора чертой, волной или двумя чертами сверху. Например,

22

УХ1ХХ2 = УХ1ХХ2 — УХ2 гХ1, УХ1ХХ2 = УХ1Х1ХХ2Х2.

Лемма 1. Пусть V С М8Л над полем нулевой характеристики и с! — некоторое неотрицательное целое число. Если существует такое целое р ^ 0, что в многообразии V справедливо полилинейное тождество

(У1У2Х11Х12...Х1р)(узУ4Х21Х22...Х2р)...(у2а+1У2а+2 Х(а+1)1Х(а+1)2...Х(а+1)Р ) = 0, (3) тогда Ехр(У) ^ <±

Доказательство. Обозначим Ь = К(X^). Тогда

Рп^) = 01 Хе,п; Хе,п = Рп (¿Ь2)е / (Ь2)е+1) ,С = 1, 2, .., в.

Заметим, что в элементах алгебры (Х2)е / (ь2)е+1 можно менять местами переменные в любой скобке, начиная с 3-й позиции, поскольку, применяя правило дифференцирования, мы дополнительно получаем элемент из идеала (Х2)е+1. Данное свойство назовем (*).

В работе [6] показано, что Ехр(У) ^ ё тогда и только тогда, когда существует такое целое число г, что для любого с = (! +1), (!+2)..., в в алгебре (Ь2)е/(х2)е+1 будут выполняться все полилинейные тождества вида:

(г^...^ Хц Х12...Х1Г )...(и2 Х21Х22...Х2Г)...

)...(гс) = 0, (4)

где в левой части стоит произведение с скобок и ^ — моном, содержащий не менее двух переменных, ] = 1,..., с.

Предположим, что в многообразии V выполнено тождество (3) для некоторого целого значения р. Достаточно показать, что для любого с = (! +1), (! +2)...,в в алгебре (Ь2)с/(Ь2)с+1 выполняются все полилинейные тождества (4) для некоторого целого г. Доказательство проведем методом математической индукции по с.

Покажем, что если элемент из (Ь2)с содержит к(с,!) кососимметричных наборов длины с! +1, то по модулю тождеств многообразия V данный элемент принадлежит идеалу (Ь2)с+1. Пусть с = ! +1. Тогда в алгебре (Ь2)с/(Ь2)с+1 тождества (4) следуют из тождества (3). База индукции проверена, причем к(с,!)= р.

Предположим, что существует такое целое число к(с — 1,!), что элемент из (Ь2)с-1, содержащий не менее к(с — 1,!) кососимметричных наборов длины ! + + 1, принадлежит идеалу (Ь2)с. Пусть к(с,!) — достаточно большое число, значительно большее, чем к(с — 1,!), и элемент V € (Ь2)с содержит не менее к(с,!) кососимметричных наборов длины с! + 1. Элемент V имеет следующий вид:

V = (¿1 ...)^2...)...(*с...).

Через первые два места в каждой скобке может проходить не более 2с кососим-метричных наборов, поэтому через оставшиеся места проходит как угодно много кососимметричных наборов. Учитывая свойство (*), кососимметричный набор может иметь не более одного представителя в скобке. Для удобства будем называть переменные, входящие в кососимметричный набор, первым, вторым,..., (с! + 1)-м номером.

Выделим в элементе V самую крайнюю справа из скобок (¿1...),..., (¿с...), в которой нет ни первых, ни вторых, ..., ни (! + 1)-х номеров. Обозначим эту скобку через ¿. Возможны три случая.

1. Скобка £ находится на последнем месте в элементе V. Тогда к первым с — 1 скобкам можно применить предположение индукции.

2. Скобка £ отлична от первой и последней скобки: пусть элемент V имеет такой вид: V = ...¿Ц1Ц2...Цг. Будем передвигать скобку £ вправо, используя правило дифференцирования. Получаем:

V = ...9^92 ...41 — ...(9^)92...®. (5)

Обозначим первое слагаемое через V!, а второе через V2. Рассмотрим V2. Не ограничивая общности, можно считать, что скобка 91 содержит некоторое количество вторых номеров, в частности, ни одного, и не содержит других номеров. Если вне скобки 91 содержится не менее к(с — 1,!) вторых номеров, то, обозначив (91^) новой переменной, можно применить индуктивный переход и представить V2 в виде линейной комбинации элементов из (Ь2)с+1. Если же вне скобки 91 содержится менее к(с — 1,!) вторых номеров, значит, в эту скобку попало не менее 3к(с — 1,!) вторых номеров. В элементе V2 будем передвигать скобку £ влево. При этом будут получаться слагаемые вида

...(91£ /)92...9г,

где в скобке 91 находится не менее к(с — 1,!) вторых номеров, скобка £ содержит скобку £ и некоторое количество вторых номеров, ] — многочлен от внутренних дифференцирований, состоящий из вторых номеров. Если f содержит не менее к(с—1,!) вторых номеров, то, обозначив (91 £) новой переменной, можно применить

индуктивный переход. В противном же случае в скобку г попадут не менее к(с — — 1,!) вторых номеров. Тогда, применяя правило дифференцирования, представим элемент г2 в виде линейной комбинации элементов следующего вида: ...ц^ /Ц2...цг и ...г Ц1 дц2...цг, где /,д — многочлены от внутренних дифференцирований. В первом элементе будем передвигать вправо скобку г , а во втором — щ Тем самым элемент г2 принадлежит идеалу (Ь2)е+1. Продолжив передвигать скобку г вправо в элементе г^ указанным выше способом, получим, что г^ также принадлежит

(Х2)е+1.

3. Скобка г находится на первом месте в элементе г. Тогда элемент г будет иметь следующий вид:

V = ЬЦ1Ц2...Це-1.

Применяя правило дифференцирования, добьемся, чтобы в скобке Ц1 осталось ровно к(с — 1,!) первых номеров. При этом элемент г будет равен линейной комбинации элементов такого вида:

г/Ц1 дЯ2...Яе-1,

где скобка содержит ровно к(с — 1,!) первых номеров, /, д — многочлены от внутренних дифференцирований, состоящие из первых номеров. В случае, если многочлен д содержит не менее к(с—1,!) первых номеров, то, переобозначив (г/д[) новой переменной, применим предположение индукции. Если же в многочлене д содержится менее к (с — 1,!) первых номеров, то их в многочлене / будет более чем к(с — 1,!), и тем самым мы попадаем в ранее разобранный случай 2.

Таким образом, элемент г из (х2)е, содержащий не менее к (с,!) кососиммет-ричных наборов длины ! + 1, принадлежит идеалу (Ь2)е+1. Если положить г = = к(в,!), то для любого с = (! + 1), (! + 2)..., в в алгебре (Ь2)е/(Ь2)е+1 будут выполняться все полилинейные тождества вида (4). Поэтому Ехр(У) ^ ё. Лемма доказана.

Следующая лемма служит обобщением леммы 1 в том смысле, что рассматриваются элементы, в которых проходят не обязательно кососимметричные наборы вида

У^ ( — 1)...Ха(1)...Ха(2)...Ха(п)... = ...Х1...Х2...Хп..., а наборы такого вида

аа...Ха(1)...Ха(2)...Ха(п)... .

Лемма 2. Пусть V С М8Л над полем нулевой характеристики и с! — некоторое неотрицательное целое число. Также пусть имеется такой набор элементов поля К {аа I а € 5^+1}, который состоит не из одних нулей, что в многообразии V выполнено тождество

". Щ (У1У2Ха1(1)Ха2(1)...Хат(1)) .

... (У2а+1У2а+2Х^1 (й+1)Ха2{й+1)...Хат{й+1)) = (6)

для некоторого целого т. Тогда Ехр(У) ^ ё.

Доказательство. В работе [3] показано, что Ехр(У) ^ ё в том и только том случае, когда существует такое целое число к, что для любого с = (!+1), (!+2)..., в

в (Ь2)с/(ь2)с+1, где Ь = К(X, V), будут выполняться нетривиальные тождества вида:

XI ... Ш ^ ...а*1 ^^...^п Жа1(1)Жа2(1) ...Жак(1)) .

... Жа1(а+1)Жа2(а+1)...Жак(а+1))...(^с) = 0, (7)

где под знаком суммы стоят элементы, в каждом из которых перемножаются ровно с скобок, а £1, £2,..., £с — произвольные мономы, каждый из которых содержит не менее двух переменных.

В тождестве (6) назовем переменные жСТ1(1), ж0-1(2),...,ж0-1(а+1) первым набором длины !+1, переменные жСТ2(1), ж0-2(2),...,ж0-2(а+1) вторым набором длины !+1 и т. д. Также по аналогии с леммой 1 назовем переменные жСТ1(1), жСТ2(1),...,жСТт(1) первыми номерами и т. п.

Доказательство того, что в алгебре (ь2)с/(ь2)с+1, где с = (! + 1), (! +2)..., в, выполнены нетривиальные тождества (7), проходит тем же способом, что и в лемме 1, используя метод математической индукции по значению с. Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть V — подмногообразие в М3Л над полем нулевой характеристики и ! — некоторое неотрицательное целое число. Тогда следующие условия эквивалентны:

(г) Ехр(У) < ё.

(и) Имеется такой набор элементов поля К {аа | а € 5^+1}, который состоит не из одних нулей, что в многообразии V выполнено тождество (6) для некоторого целого т.

(ггг) существует такое целое р ^ 0, что в многообразии V справедливо полилинейное тождество (3).

(гу) существует такая константа С = С(V), что в сумме (1) т\ = 0 в случае, если выполнено условие п — (А1 + А2 + ... + Аа) > С.

Замечание. Справедливость данной теоремы в случае ! =1 неявным образом следует из теоремы 2.

Доказательство теоремы 3. Пусть V С N3 Л и ! — некоторое фиксированное неотрицательное целое число. Если в ^ !, то из работы [6] и теоремы 1 следует, что для многообразия V одновременно выполнены условия пунктов (г), (гг), (ггг) и (гу), так как Ехр(У) ^ Ехр(МнА) = в. Поэтому докажем теорему для случая в > ! + 1.

Условие (гг) влечет условие (г) по лемме 2.

Покажем, что из условия (г) следует (ггг). Пусть Ехр(У) ^ ё. В этом случае из работы [6] следует существование такого целого числа г, что если диаграмма Юнга Б содержит прямоугольник (! +1) х г, то все модули из разложения Рп(У), соответствующие диаграмме Б, будут нулевыми, и поэтому для всех с = (! + + 1), (! +2)..., в в (ь2)с/(ь2)с+1 будут выполняться все полилинейные тождества вида (4).

Рассмотрим полилинейный элемент из левой части тождества (3), назовем его ]. Методом математической индукции покажем, что для достаточно большого числа р элемент f по модулю тождеств многообразия V принадлежит вербальному идеалу многообразия NsЛ для произвольного в. Пусть в = ! +1. Тогда 5п-модуль, порожденный элементом ], раскладывается в сумму неприводимых 5п-модулей, соответствующих только тем диаграммам, которые содержат прямоугольник (! + 1) х р. Если взять р = г, то база индукции показана. Мы показали,

что элемент ] по модулю тождеств многообразия V принадлежит вербальному идеалу многообразия N¿+1 Л. Используя тождества (4) и свойство (*), можно легко показать индуктивный переход, это завершает доказательство того, что условие (г) влечет условие (ггг).

Импликация (ггг) ^ (гг) очевидна. Эквивалентность условий (г) и (гу) следует из работы [6]. Теорема доказана.

Следствие 2. Пусть V С NsЛ над полем нулевой характеристики и ! — некоторое целое число, причем ! ^ 1. Тогда следующие условия эквивалентны:

(г) для последовательности коразмерностей сп(V) выполняется двойное неравенство (2), то есть Ехр(У) = ё;

(гг) существует такое целое р ^ 0, что в многообразии V выполнено тождество

(У1У2Ж1)(УзУ4Ж2)...(У2(+1У2(+2 Ж2+1) = ° и ни для какого целого 9 ^ 0 не выполнены следующие тождества:

(У1У2Ж\)(узУ4Ж1)...(У2а-1У2аЖ<1(1) = 0.

Литература

[1] Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

[2] Рацеев С.М. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Лейбница // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. 2007. № 6(33). С. 12-16.

[3] Рацеев С.М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница // Вестник Самарского государственного университета. 2006. № 6(46). С. 70-77.

[4] Мищенко С.П., Череватенко О.И. Многообразия алгебр Лейбница слабого роста // Вестник Самарского государственного университета. 2006. № 9(49). С. 19-23.

[5] Мищенко С.П., Череватенко О.И. Необходимые и достаточные условия по-линомиальности роста многообразия алгебр Лейбница // Фундаментальная и прикладная математика. 2006 № 12:8. С. 207-215.

[6] Рацеев С.М. Рост многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом // Матем. заметки. 2007. № 82:1. С. 108-117.

Поступила в редакцию 24/111/2010; в окончательном варианте — 24/111/2010.

THE ESTIMATION OF GROWTH OF VARIETY OF LEIBNITZ ALGEBRAS WITH A NILPOTENT COMMUTANT

© 2010 S.M. Ratseev2

In the paper equivalent conditions for the estimation of growth of variety of Leibnitz algebras, particularly, variety of Li algebras with nilpotent commutant are received.

Key words: Leibniz algebra, growth of variety, exponent of a variety.

Paper received 24/III/2010. Paper accepted 24/III/2010.

2Ratseev Sergey Mihailovich (RatseevSMarambler.ru), Dept. of Information Security and Control Theory, Ulyanovsk State University, Ulyanovsk, 432700, Russia.