О росте некоторых ассоциативных алгебр и алгебр Лейбница Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.572

О РОСТЕ НЕКОТОРЫХ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР И АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА1

© 2008 С.М.Рацеев2

В случае произвольного поля получено асимптотическое поведение роста ассоциативной алгебры верхнетреугольных матриц. Показано, что если идеал тождеств ассоциативного многообразия содержит элемент [х\, Х2]...[х2!-1, Х2з], то экспонента такого многообразия является целой. Также для некоторых алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом получен базис тождеств и оценки роста.

Ключевые слова: ассоциативная алгебра, алгебра Лейбница, многообразие, базис, оценка роста.

Введение

Пусть K(X) — свободная алгебра над полем K, где X = {xi, Х2,...} — счетное множество свободных образующих. Обозначим через A некоторую PI-алгебру. Совокупность всех тождеств алгебры A образует Г-идеал Id(A) в свободной алгебре K(X). Пусть V — многообразие алгебр, порожденное алгеброй A. Тогда алгебра K(X, V) = K(X)/Id(A) является относительно свободной алгеброй многообразия V.

Пусть Pn — подпространство в пространстве K(X), состоящее из всех полилинейных элементов степени n от переменных xi,..., xn. В случае основного поля нулевой характеристики вся информация о многообразии V содержится в его полилинейных компонентах Pn(V) = Pn/(Pn П Id(A)), n = = 1,2,.... Асимптотическое поведение последовательности cn(V) = dim Pn(V), n = 1,2,..., называют ростом многообразия V.

Для произвольного многообразия V можно определить нижнюю и верхнюю экспоненты:

Exp(V) = Urn у}сп(У), Вф(Т) = Шп л/сп(У).

n—

n—

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Ю.Н. Радаевым.

2Рацеев Сергей Михайлович (RatseevSM@rambler.ru), кафедра информационной безопасности Ульяновского государственного университета, 432700, Россия, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42.

В случае их равенства введем обозначив Ехр(У) = Ехр(У) = Ехр(У).

1. Рост ассоциативных многообразий, в которых выполнено тождество [х\, х2]...[х25-1, х25] = 0

Хорошо известно (А. Регев [1]), что если в ассоциативной алгебре А выполнено нетривиальное тождество, а значит многообразие V нетривиально, то последовательность с„(Г) экспоненциально ограничена, то есть существуют такие константы а и а, что с„(Г) ^ аап для любого п. В случае основного поля нулевой характеристики М.В.Зайцев и А.Джамбруно [2-3] доказали, что экспонента произвольного нетривиального ассоциативного многообразия существует и является целым числом.

Под обозначением [Х\, Х2,..., хп] будем понимать левонормированную расстановку коммутаторов [[[х\, х2], Х3],..., хп]. Обозначим через Vs ассоциативное многообразие, определенное тождеством

[Х1, Х2][Х3, Х4]...[Х2^-1, Х2^] = 0. (1.1)

Пусть иТц = иТц(К) — алгебра верхнетреугольных матриц порядка 5 над полем К. Очевидно, что иТ5 е Vs. Более того, для данной алгебры имеют место следующие свойства (см. [4-5. С. 52]).

Теорема 1: (1) В случае произвольного поля К базис полилинейной компоненты Рп(иТ5) состоит из элементов вида

Х11 ...Х1к [х11 , ..., Х1а1 ]...[Хс1, ..., Хсас], (1.2)

где {Х{1,..., хк, Х(у) = {Х1.....Хп}, Х{1 < ... < хк, к ^ 0, аь..., ас ^ 2, с ^ 5 - 1

и переменные в каждом коммутаторе [ху1,..., Хуа]] упорядочены следующим образом:

Ху1 > Ху2 < Хуз < ... < Хуау.

(п) Если поле К бесконечно, то полилинейное тождество (1.1) порождает идеал тождеств алгебры иТ5.

В работе [6] показано, что в случае поля нулевой характеристики ассоциативное многообразие V имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда О, иТ2 € V, где О — бесконечномерная алгебра Грассмана.

Пусть Ас = {[Х1, Х2]...[Х2с-1, Х2с]}Т — идеал тождеств многообразия Ус. Оче-5-1

видно, что Рп^х) = Ф Рп(Ас/Ас+1), так как Ао/Ах = К(Х, Vs), где Ао = К(Х) —

с=0

свободная ассоциативная алгебра. Пространство Рп(Ас/Ас+1) есть линейная оболочка следующих элементов:

Рп(Ас/Ас+1) = < Хг*1...Х1к[Х11, ..., Х1 а1]...[Хс1, ..., Хсас] I к ^ 0, а1,..., ас ^ 2; Х ,..., хк, х¡у) = {хь..., Хп) >к .

Заметим, что элементы х¿1,..., х¡к, а также элементы Хуз,..., Хуа], у = 1,..., с можно менять местами, так как, меняя местами два рядом стоящих элемента, мы дополнительно получаем элемент из Ас+1. Данное свойство назовем (*).

Теорема 2: Пусть V —подмногообразие в У5 и основное поле произвольно. Тогда существуют такие константы й, N, а и в, причем й е{0,1,..., s}, что для любого п ^ N будет выполняться следующее двойное неравенство:

пвйп < сп(У) < пайп.

Доказательство данной теоремы проходит аналогичным образом, как и доказательство такого же двойного неравенства для многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом (см. [7]), с использованием пространств Рп(1й(У П Ус)/1й(У П Ус+\)) и свойства (*).

2. Взаимосвязь алгебры иТ5 и многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом

Алгебра Лейбница над полем К — неассоциативная алгебра, которая определяется тождеством

(ху)г = (хг)у + х(ут),

т.е. правое умножение на элемент алгебры является дифференцированием. Любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница.

В элементах будем опускать скобки при их левонормированной расстановке, то есть а\а2...ап = (((а\а2)аз...)ап).

Пусть Шц — многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождеством

Хо(Х1 Х2)(Хз Х4)...(Х2х-1 Х2х) = 0.

В случае если характеристика основного поля равна нулю, то многообразие Ш2 имеет почти полиномиальный рост (см. [8]). Более того, в работе [9] было показано, что многообразие алгебр Лейбница У имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда Ш2, ЩА £ У с Шц для некоторого 5, где N2A — многообразие алгебр Ли, определяемое тождеством

(XI Х2)(Хз х4)(х5 х6) = 0.

Обозначим через иТ0 алгебру верхнетреугольных 5 X 5 матриц над полем К с нулевым умножением, то есть а0Ь0 = 0 для любых а0, Ь0 е иТ° Рассмотрим прямую сумму векторных пространств иТ50 и иТ5:

и5 = ит0 Ф иТ5.

В пространстве и5 определим умножение элементов следующим образом:

(а0 + а)(Ь0 + Ь) = (а0Ь)0 + [а, Ь].

Нетрудно проверить, что и5 е Шц.

Обозначим через X, оператор правого умножения на элемент х,:

уХ, = ух,, у(Х,Х]) = (ух, )х],

где у, х,, X] — элементы свободной неассоциативной алгебры К(Х). Предложение: Пусть поле К бесконечно.

1) В алгебре иТ5 выполнено полилинейное тождество

/(Х1, Х2, ..., Хп) = 0 (2.1)

тогда и только тогда, когда в алгебре и5 выполняется полилинейное тождество

у/(Хь Х2,..., Хп) = 0. (2.2)

2) Полиномы

/1(Х1, Х2, ..., Хп), /2(Х1 , Х2, ..., Хп), ..., Iт(Х1, Х2, ..., Хп) (2.3)

линейно независимы в пространстве Рп(иТ5) тогда и только тогда, когда линейно независимы в пространстве Pn+l(Us) следующие полиномы:

Х1 ЖХиX2,...,Xn+l),..., Хп+1 / (Xl,X2,...,Xn+l), i = 1...т, (2.4)

где символ ^ означает, что соответствующий элемент пропущен.

Доказательство: 1) Пусть в UTs выполнено тождество (2.1). Тогда полином /(Х1,...,хп) есть линейная комбинация элементов следующего вида (теорема 1):

...[Хц , xi2 ]... [xiз , xi4 ]... [xi2s-1 , ]... .

Подействовав эндоморфизмом ...[Х^,Х(-2]...[Х,-3,Х^.^Х^,Xi2s]... на элемент у, получим такой элемент:

у...[Хц , Х,2]...[Х,з , , Х^ ]... = у...( Хц Х^)...( Х,з Хц)...( Хп, ),

который принадлежит идеалу тождеств алгебры и5. Поэтому в алгебре и5 выполнено тождество у/(Х1, Х2,..., Хп) = 0.

Обратно, пусть в алгебре и5 выполнено тождество (2.2). Предположим, что тождество (2.1) не выполнено в алгебре иТ5. Тогда найдутся такие элементы а1,...,ап е иТ5, что /(а1,...,ап) = Ь Ф 0. Произведем следующую подстановку в (2.2):

0

у — Е , Х1 — а1, Х2 — а2,..., хп — ап,

где Е0 —единичная матрица из алгебры иТ° Получаем, что

У/(Х1, Х2, ..., Хп) |у-Е0, Х1 -аъ..,хп-ап = Ь° + с,

где 0 Ф Ь0 е иТс е иТ5. Поэтому тождество (2.2) не выполнено в алгебре иц. Противоречие. Таким образом, тождество (2.2) в алгебре и5 влечет тождество (2.1) в алгебре иТ5.

2) Пусть элементы (2.3) линейно независимы в Рп(иТ5). Рассмотрим линейную комбинацию

^ ауХу/(Хъ ..., Ху,..., Хп+1) = 0.

Предположим, что а,. Ф 0 для некоторых i и у. Подставим в данную ли

ттитттт х. вместо элемента ХУ у -1

нейную комбинацию элемент х2 вместо элемента Ху. Применяя тождество

y(xx) = 0, которое справедливо в любой алгебре Лейбница, получим такую линейную комбинацию:

2 aijx2jfi(Xl,...,Xj,...,Xn+i) = 0.

i^i^m

В силу пункта 1), приходим к выводу, что a,-j = 0. Поэтому элементы (2.4) линейно независимы в пространстве Pn+i(Us).

Если же элементы (2.3) линейно зависимы в Pn(UTs), то по пункту 1) элементы

yfi(Xi, Xj,..., Xn), i = 1,..., m,

будут линейно зависимыми в Pn+i(Us), что означало бы линейную зависимость элементов (2.4). Предложение доказано.

Теорема 3: Пусть K — произвольное поле. Тогда верно следующее.

(i) Базис полилинейной компоненты Pn(Us) состоит из элементов вида

xmxii... xk (x11... x1ai )...(xci...xcac ), (2.5)

где m = 1, j,...n, {xm, xi1,..., xik, xij} = {xi,..., xn}, k ^ 0, ai,..., ac ^ j, c ^ s — — 1, xi1 < ... < xik и переменные в каждой скобке (xji...xjaj) упорядочены следующим образом:

xji > xjj < xj3 < ... < xjaj.

(ii) Если char K = 0, то тождество x0(xixj)(x3x4)...(xjs-ixjs) = 0 порождает идеал тождеств алгебры Us.

Доказательство: Покажем справедливость пункта (i). Сначала установим, что пространство Pn(Ws) является линейной оболочкой элементов вида (2.5). Для упрощения записей рассмотрим только случаи s = 1 и s = j.

Пусть s = 1. В этом случае в многообразии W1 выполнено тождество yxa(1) x0(1)...x0(n) = yx1 xj... xn, где о e Sn. Поэтому Pn(Wi) есть линейная оболочка таких элементов: xixi..."xi... xn, i = 1,..., n.

Пусть s = j. Применяя правило дифференцирования, будем передвигать переменные в элементе xmxi1...xin—1, начиная со второй позиции. При этом будут получаться элементы вида

xmxi1 xij ...xip(xj1 xjj...xjq),

где q ^ j. Меняя местами переменные xi1, xij,..., xip, будем дополнительно получать элемент из идеала тождеств многообразия Wj, поэтому можно считать, что i1 < ij < ... < ip. В скобке (xj1 xjj...xjq) можно менять местами переменные xj3,..., xjq, поскольку также будем дополнительно получать элемент из Id(Wj). Применяя тождество x(yz) = — x(zy), которое выполняется в любой алгебре Лейбница, можно менять местами переменные xj1 и xjj. Далее, применяя тождество

y(x3 xj xi) = —y(x1(x3 xj)) = —y(x1 x3 xj) + y(x1 xj x3) = y(x3 x1 xj) — y(xj x1 x3),

получим, что пространство Pn(Wj) есть линейная оболочка элементов требуемого вида.

Покажем линейную независимость элементов (2.5) в пространстве Pn(US). Предположим, что для некоторого n элементы вида (2.5) линейно зависимы по модулю идеала тождеств алгебры Us. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация этих элементов, которая принадлежит Id(US):

Пусть для некоторого набора чисел

m, /1,..., ik, (11,..., 1«1),..., (c1,..., cac),

удовлетворяющего условию (2.5), am,i1,...,ik,(11,...,1a1),...,(c1,...,cac) * 0. Сделаем следующую подстановку:

Xm — e(°1, Xi1 — en, Xi2 — вц,..., Xik — en,

X11 — в12, X12 — в22, X13 — в22,..., X1a1 — в22,

X21 — в23, X22 — взз, X23 — взз, ..., X2a2 — взз, ...,

Xc1 — ec,c+1, Xc2 — ec+1,c+1, xc3 — ec+1,c+1, ..., Xcac — ec+1,c+1.

Тогда получим, что am,i1,...,ik,(11,...,1a1),...,(c1,...,cac)e0l c+1 = 0. Противоречие. Поэтому элементы (2.5) линейно независимы в Pn(Us) и Pn П Id(Us) = Pn П Id(Ws). Тем самым мы установили справедливость пунктов (i) и (ii). Теорема доказана.

Обозначим через NsA многообразие алгебр Ли, определяемое тождеством (X1 X2)(X3 X4)...(X2s+1 X2s+2) = 0,

а через UT( ^ — алгебру верхнетреугольных матриц порядка s с умножением [, ]: [a,b] = ab — ba, где a,b e UTs. Понятно, что UtS+1 e NsA. Аналогично доказательству теоремы 3 проходит доказательство следующей теоремы.

Теорема 4: (i) В случае произвольного поля K базис полилинейной компоненты Pn(UT<s—1) состоит из элементов вида

X1 XmXi1 '"Xik (x11 •••X1a1 )-"(Xc1 •••Xcac ),

где m = 2,3,".n, {Xm, x/1 ,..., Xik, xj = {X2,.", Xn}, k ^ 0, a1,.„, ac ^ 2, xh < ... < Xik, c ^ s — 1 и переменные в каждой скобке (Xj1".Xjaj) упорядочены следующим образом:

Xj1 > Xj2 < Xj3 < ... < Xjaj.

(ii) Если char K = 0, то тождество (X1 X2)."(x2s+1 X2s+2) = 0 порождает идеал тождеств алгебры UTS-1.

Пусть f(n) и g(n) —две функции натурального аргумента. Будем обозначать f (n) ~ g(n), если lim f (n)/g(n) = 1.

n—

Следствие: В случае произвольного поля выполнены следующие соотношения:

cn(UT(~ 1) « nSsn—s—1, cn(Ws) = cn(Us) « nSSn—S,

cn(Vs) = cn(UTs) « ns—1 sn+1—s,

где равенство "=" имеет место для любого n ^ 1.

Доказательство: В работе [10] показано, что cn(NsA) ~ nssn—s—1. Из теорем 1, 3 и 4 следуют такие равенства для любого n ^ 1:

cn(NsA) = cn(UT((+\), cn(Ws) = cn(Us), cn(Vs) = cn(UTs),

(n + i)cn(UTs) = cn+i(Us), cn+i(UT((+\) = cn(Us).

Тем самым следствие доказано.

Литература

[1] Regev, A. Existence of polynomial identities in A <g> B / A. Regev // Bull. Amer. Math. Soc. - 1971. - V. 77. - №6. - P. 1067-1069.

[2] Giambruno, A. On codimension growth of finitely generated associative algebras / A. Giambruno, M. Zaicev // Adv. Math. - 1998. - V. 140. -P. 145-155.

[3] Giambruno, A., Zaicev, M. Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate / A. Giambruno, M. Zaicev // Adv. Math. - 1999. -V. 142. - P. 221-243.

[4] Мальцев, Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц / Ю.Н.Мальцев // Алгебра и логика. - 1971. - Т. 10. С. 393-400.

[5] Drensky, V. Free algebras and Pi-algebras. Graduate course in algebra / V. Drensky - Singapore: Springer-Verlag Singapore, 2000.

[6] Кемер, А.Р. Многообразия конечного ранга / А.Р. Кемер //15 Всесоюзная алгебраическая конференция. - Красноярск, 1979. - Т.2. - С. 73.

[7] Рацеев, С.М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница / С.М. Рацеев // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - 2006. - №8 6(46). - С. 70-77.

[8] Mishchenko, S. A Leibniz variety with almost polynomial growth / S. Mishchenko, A.Valenti // J. Pure Appl. Algebra. - 2005. - V.202. -№1-3. - P. 82-101.

[9] Мищенко, С.П. Необходимые и достаточные условия полиноми-альности роста многообразия алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, О.И. Череватенко // Фундаментальная и прикладная математика. -2006. - Т. 12. - №8. - С. 207-215.

[10] Петроградский, В.М. Рост полинильпотентных многообразий алгебр Ли и быстро растущие целые функции / В.М. Петроградский // Матем. сб. - 1997. - Т. 188. - №6. - С. 119-138.

Поступила в редакцию 15/ VIII/2008;

в окончательном варианте — 15/VIII/2008.

ON THE GROWTH OF ASSOCIATIVE AND LEIBNIZ

ALGEBRAS3

© 2008 S.M. Ratseev4

In the paper asymptotic behavior of the growth of the algebra of upper triangular matrices is studied. We prove that the growth exponent of any associative variety satisfying identity [x\, x2]...[x2s-i, X2s] = 0 is integral. For some Leibniz algebras with nilpotent commutator subalgebra a basis of identities and asymptotic behavior of codimensions is obtained.

Keywords and phrases: associative algebra, Leibniz algebra, manifold, basis, growth estimate.

Paper received 15/ VIII/2008. Paper accepted 15/VIII/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. Yu.N. Radayev.

4Ratseev Sergey Mihaylovich (RatseevSM@rambler.ru), Dept. of Information Security, Ulyanovsk State University, Ulyanovsk, 432700, Russia.