CC BY
11
Математика
УДК 517.53
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ ЗНАМЕНАТЕЛЕЙ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ ДЛЯ ПРЕДПОСЛЕДНЕЙ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ СТРОКИ
ВЖ Адукое
Пусть а(г) - мероморфная функция, имеющая в круге | г |< Я точно Я полюсов. В работе изучается асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций Паде для (Л-~2)-й строки (предпоследней промежуточной строки) таблицы Паде функции а(г) в случае одного доминирующего полюса. Используется метод, разработанный ранее автором для последней промежуточной строки.
1. Введение
Пусть а{£) - функция, мероморфная в круге = е С1121< и аналитическая в начале координат. Пусть ее различные полюсы кратностей соответственно, и А = ^2 - число ее полюсов в Пусть рЩгх = \>...>\г(
Если т = sJ или т = ^^ +1 sJ , то по теореме Монтессу (см., например, [2]) аппроксимации Паде пп т {г) сходятся при п —» оо к а(г) равномерно на компактных подмножествах области Пк \ {г^...,^} или Вр \ , соответственно. Строка таблицы Паде с номером т,
удовлетворяющим неравенствам называется промежуточной стро-
кой. Достаточные условия сходимости всей промежуточной строки были получены в [3].
г-, £
Для строки с номером /» = ¿-1 = 2^ ^ -1 (<последняя промежуточная строка) известно асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций Паде яп1_х (г) и найдены
все предельные точки полюсов Оказалось, что асимптотика в основном
определяется арифметической природой доминирующих полюсов а(г), то есть полюсов, имеющих максимальный модуль и максимальную кратность. Знание предельных точек полюсов позволяет найти множество, внутри которого равномерно сходится вся последняя промежуточная строка. Тем самым для данной строки построена полная теория равномерной сходимости.
Метод работы [1] основан на соображениях устойчивости. Он позволяет свести изучение сходимости строки таблицы Паде мероморфной функции а(г) к такой же задаче, но для более простой рациональной функции (рациональной части а(г)).
Соображения устойчивости без каких-либо ограничений на функцию а{г) можно применять только к строкам с номерами т = Я, т - Я -1. Однако для некоторых классов функций метод может оказаться эффективным и для других промежуточных строк. Цель работы - продемонстрировать это на примере предпоследней промежуточной строки для мероморфной функции с одним доминирующим полюсом.
2. Критерий устойчивости
В работе [1] показано, что в задаче аппроксимаций Паде естественно возникают понятия индексов и существенных многочленов, введенные в [4]. (Определения и обозначения из этих работ
Серия «Математика, физика, химия», выпуск 5 3
мы часто будем использовать без напоминания.) Там показано, что знаменатели аппроксимаций Паде - это первые существенные многочлены соответствующей последовательности, а соображения устойчивости применимы, когда индексы этой последовательности устойчивы.
Поэтому мы начнем с установления критерия устойчивости и нахождения индексов и существенных многочленов последовательности ={rn_m+i,rn_m+2,...,rn+m}, составленной из ко-
N(z)
эффициентов Тейлора правильной рациональной и аналитической в z = 0 функции r(z) = -^ ' ,
deg D(z) = X, при m-Х- 2. Именно эта последовательность необходима для определения знаменателя аппроксимации Паде типа (п, т) (см. [1]).
Нам потребуются некоторые результаты по строке с номером m = Л -1 из статьи [1]. Для рациональной функции r(z) знаменателем Qnx„x{z) аппроксимации Паде типа (п,Л-1) является
многочлен V^+x , который находится из следующего рекуррентного соотношения
V^l(z) = zV£[)-v%)D(z), 0, где vjp- коэффициент при старшей степени гл~1 многочлена
V^\z), a VçjX\z) единственным образом находится из решения уравнения Безу
u2\z)D(z) + Vçp{z)N(z) = \ при условии, что deg V^\z)<X. Оказывается, что многочлены
vjp{z) удовлетворяют разностному уравнению
V^(z) + d^V^iz) + ... + d0V?\z) = О, к > 0, (1)
где D(z) - zx + dx_xzlA +... + dQ . Отсюда получается явная формула для v£l\z) :
V^ttd^ Aïjy~J> к>0. (2)
11=1
Отличие случая m-Х-2 от предыдущего в том, что теперь не для любой рациональной
дроби r(z) индексы последовательности будут устойчивыми. Например, если r{z)~—~—, то
z — 1
rn = 1 при п-4к + \ и гп~0 в остальных случаях. В круге | z |< R, R > 1, функция r(z) имеет
X = 4 полюсов. Легко проверить, что при т = Х~2 последовательность имеет устойчивые индексы только при п = 4к, 4к +1. Устойчивость же индексов является необходимым условием применимости нашего метода. Поэтому, прежде всего мы выясним условия устойчивости.
Теорема 1. Последовательность > ассоциированная с аппроксимацией Паде типа
(п, Х-2), имеет устойчивые индексы п,п +1 тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел v^, отлично от нуля. Если при выполнении этого условия определить многочлен V^2\z) - (z) - Vjp(z) формальной степени X - 2, то существенные многочле-
ны Q[(z% Qiiz) последовательности находятся следующим образом:
V Ш = Q2(z) = V^(z), или Qx{z) = V^x{z), Q2(z) = V„%(z), или Q,(z) = = Q2(z) = V^+](z) при v^V.^O, v^ * 0 ;
2) Q(z) = v£\(z), Q2(z) = vVz+l(z) при v^ =0, V& *0;
V = Q2(z) = V^(z) при v^V^O, v«, =0.
Тестовое число <т0 для пары многочленов V„l\(z)} (z) совпадаете j , для пары
-с ¿»л_^}я,адля v£\(z), V«\+1(z)-с [v^f.
Доказательство. Необходимость. Покажем, что, если vj^_j=0, v^}À=09 то индексы неустойчивы. Поскольку v®^ = 0, то V$x(z) = zV^XA(z). Поэтому условие - 0
означает, что степень (г) не превосходит Л-3 и многочлен У^л(г) имеет нулевой сво-
бодный член и нулевой формальный старший коэффициент, то есть а00 = У^) = /3Х2 +...4- . По теореме 4.1 из [1] У^) принадлежит ЫП,Х(С^2).
Итак, ненулевой вектор (Д,...,/?^) принадлежит пространству кегГ„(г^"/~32). Это означает, что
индексы последовательности удовлетворяют неравенствам ¡лх <п-\у ¡л2>п + 2, то есть
являются неустойчивыми.
Достаточность. Пусть среди чисел х-\ > уп+л есть не равные нулю. Определим многочлен
формальной степени Л-2. Учитывая, что принадлежит а (z)€ Мп(С+я+12), получаем
= ^я^"1^-!^)} - = о для / = и + 1,...,л + А-2. Эти условия
означают, что ^^еЛ^). Также нетрудно проверить, что многочлены Уп+л(2)> ^Ря+1 (г) всегда принадлежат АгЛ+2(^"-я+~з2)• Положим теперь кх~п, к2=п + \ и вычислим тестовое число сг0 для многочленов {г), (г) . Для этого нам потребуется старший коэффициент у<2> многочлена У%2\г). Из рекуррентной формулы для УЦ:1\г) легко получить соотношение
(3)
из которого следует, что у[2) = [у^] ~~у£чу*+1 • Учитывая теперь соотношение (3), мы получаем
Легко видеть, что ст^г " '^,+¿-1(2)} = 0, сг|г " 1Уп+л+\(2)}= Таким образом, для многочленов имеем <70=(*2л-О*
Аналогичным образом показывается, что тестовое число ег0 для многочленов
совпадаете у^А , а для У%\(г), У^л+1(2) с (у(1)
п+л-\] •
Для завершения доказательства осталось применить критерий существенности из [4] в скалярном случае. ▲
Ниже мы покажем, что условия теоремы выполняются, если функция г(г) имеет один доминирующий полюс.
3. Асимптотика знаменателей аппроксимаций Паде
Мы начнем с асимптотики знаменателей аппроксимаций Паде для рациональной части г{г)
мероморфной функции а(г). Затем применение подготовительной теоремы 7.1 из [1] позволит
получить асимптотику и в мероморфном случае. Как правило, мы будем ограничиваться изложением только схемы доказательств, так как рассуждения такие же, как и в работе [1].
Из теоремы 1 и формулы (2) следует, что знаменатель аппроксимации Паде типа
(п,Л-2) выражается через коэффициент . Этот коэффициент, очевидно, удовлетворяет разностному уравнению (1). По теореме о структуре общего решения линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами имеем
+..лре(к)гк£, к> 0. (4)
Здесь р} (к) = С® + 4-... + С^^ - многочлен от к степени не выше ^ -1 и старший коэффициент С] находится по формуле:
с.= 1
где В Ах)- , \<]<£, А ~ коэффициент при (г-г в разложении а{г) в ряд
Лорана в окрестности полюса г = г (см.[1]).
Таким образом, для изучения асимптотики У^2\г) при к -» со нам нужно исследовать асимптотику Пусть Н-.-Н^ \>\2/л+\ I- Упорядочим полюсы максимального модуля так, чтобы для их кратностей выполнялось ^ > ^ ^. Пусть ^ = =„я = $у1+у2 >.... Полюсы г19...9гу будем называть доминирующими полюсами первого уровня, - второго и т.д. В этой работе мы будем рассматривать только случай, когда ух= 1. Тогда из формулы (4) следует, что для коэффициентов справедлива следующая асимптотика
и, следовательно, у^ * 0 для всех достаточно больших к .
По теореме 1 это означает, что для всех достаточно больших п последовательность при т = А-2 имеет устойчивые индексы ¡Л\-п9 //2 = и +1 и существенные многочлены Ш = = и е^)^;^). Учитывая явную формулу (2)
для У^(г), получаем
7=1
(=1
(5)
Здесь Ак =
Ч 4-1 к+т+1 к+т
Итак, для получения асимптотики знаменателя требуется асимптотика определите-
лей Ак^т. Принимая во внимание формулу (4) для нетрудно прийти к следующему результату:
АКт =к1^221к+т[{т +1)(5, -1)С,2 +0(1)] +
I / N с ( \ ОТ+П
2 2к+т 1- +0(1)
1-2 V )
(6)
Далее все зависит от соотношения между ^ и б2 .
1 случай. Если число полюсов максимального модуля ¡л = 1, то второе слагаемое в асимптотике (6) отсутствует, а при р > 1, ях> 2 преобладает первое слагаемое. Поэтому, в этих случаях
Дм, ^-^[(т + 1)^ -1)С,2 +0(1)].
В частности, это означает, что старший коэффициент ДА0 многочлена отличен от
нуля для всех достаточно больших к и потому этот многочлен может быть (Л -2) -нормирован.
Пусть УЦ:2\г) - (Л - 2) -нормирован. Так как - ~> (т + 1)г|" при к ~> оо, то существует 1ш1А->00 У£2\г). Вычисление этого предела не представляет труда, и мы получаем
I ыгри^-ещ*.
к-> со
Применение подготовительной теоремы дает следующий результат.
Теорема 2. Пусть р-1 или /л> 1, >+ 2. Тогда при всех достаточно большихп знаменатель (2пл-2(2) аппроксимации Паде типа (п,Л-2) мероморфной функции а(г) может быть {Л- 2) -нормирован и для нормированных знаменателей существует
к-* со О"^)
▲
Ясно, что в условиях этой теоремы существует предел кп)Я_2 для всей (Я -2) -й строки.
2 случай. Пусть = ¿-2 -н 1. В этой ситуации в асимптотике (6) остается только второе слагаемое:
2 2к-\
У2+\
1=2 \
т+1 *т+1| + о(1)
(7)
^ 22 2л-г©р> ^2+1 2**©£>
Пусть — = е 1 ,..., —-— ~е 2. Обозначим =
1 ^
монотетиче-
«>о
скую подгруппу тора ТУ2, порожденную Она может быть найдена явно таким же
образом, как и группа ^ , соответствующая доминирующим полюсам первого уровня (см.
[I])-
По определению этой группы для любого т = (ти...,тУ2)еГ2 существует последовательность
номеров Аг такая, что Ит
ТХ—►оо
' 2*ш©{2> гтгВ^] 1 г
= г, пеАТ.
v2+\
Обозначим S(2\t) = £ Ctrt
r \
I-Z
/=2
V
•l j
m+1 _ m+1
Эти суммы играют роль сумм
= которые были определены в [1] для полюсов первого уровня. Следующее пред-
ложение является аналогом предложения 6.1 из [1] и доказывается подобным образом.
Предложение 1. Среди любых v2 чисел существует хотя бы
одно отличное от нуля, к
Целое неотрицательное число S[2\t) будем называть плюс-дефектом точки те F2, если S^\z) наименьшее число такое, что S^^Jj) * 0. Из предложения 1 следует, что
О <S[2\r)<v2 -1. При фиксированном т мы будем использовать более короткое обозначение
Теорема 3. Пусть v¡ = 1, sx = s2 +1, т - произвольная точка группы F2, а АТ - соответствующая ей последовательность номеров. Пусть
8<2> - плюс-дефект точки г. Тогда для всех достаточно больших п е Лг - X знаменатель Qn ¿^2(z) аппроксимации Паде
типа (п, Х-2) для a(z) можно (Х- S^ -2) -нормировать и для последовательности нормированных многочленов Qn (z) существует предел
lmQn>Á_2(z) = W{2\z,T), пе\г-Л.
00
Здесь
,т) -многочлен степени , вычисляющийся по формуле:
i .(2) /-_ од
W{2\z,t) =
S^ir)
со (z, г)
(z-zx)...(z-zV2+l)
co{-2\z,T)^JjCJT]
v2+l
s
;=2
д(2)(г) = д(2)(г) = (Z_Z2 ) ÁZ _ }
z-z
В частности, при vx~v2~ 1 существует предел всей последовательности Qn^i(z) равный D{z)
(z-zl)(z-z2)
Все возможные пределы сходящихся подпоследовательностей каким-либо образом нормированных 0,Пьх„2{?) исчерпываются многочленами
Схема доказательства этой теоремы теперь уже стандартна. Асимптотика (7) вместе с явной формулой (5) для позволяет явно найти Иш^^ , к е АТ, а следовательно и предел
знаменателя вп,л-2(*) ~ ^я+лОО аппроксимации Паде для рациональной дроби г (г). Применение подготовительной теоремы заканчивает доказательство. Заметим, что, как и в работе [1], можно было определить минус-дефект точки г. При этом кратность нуля г = 0 многочлена Ж® (г, г) совпадает с минус-дефектом. А
3 случай. Пусть ^ = $2 + 2 - Теперь асимптотика ДА имеет вид
д _ Л-4 2k+mr
Ькм~К Z\ Ч
v2+l
(от+ 1X^-1)0,+ 2] С,
1=2
f \ к ( \ / / \ т+Л
[ i I Z.
_ 1- 1
kz\) 1 ZJ V )
группа F2 определяется так же, как в предыдущем случае; и
V2+1
/ \
V h)
1=2
Для сумм справедлив аналог предложения 1 (только длина последовательности те-
перь равна у2 +1), так же определяется плюс-дефект д[2\т), 0 < <5"® (г) < г2. Как и ранее, может быть доказана
Теорема 4. Пусть я1~52+2, г - произвольная точка группы ¥2, а АТ ~
соответствующая ей последовательность номеров. Пусть - плюс-дефект точки т.
Тогда для всех достаточно больших пеАТ - Л знаменатель бия- 2(г) аппроксимации Паде
типа (я, Л-2) для мероморфной функции а(г) можно (Я - 8^ - 2) -нормировать и для последовательности нормированных многочленов ()пх„2{г) существует предел
1 „(2), D(z)
S$)(r) (z-z1)¿(z-z2)...(z-zV2+i)
п б Лг - Я, где
v2+i (z —z Y
j=2 zj
д(2)(2) = А^ д(2)(2) = ( _
'v2+l
z-z.
5 частности, при = v2 = 1 существует предел всей последовательности Qn ¿_2(z) равный D(z)
(z-z{)(z-z2)
Все возможные пределы сходящихся подпоследовательностей каким-либо образом нормированных Qnx-z(z) исчерпываются многочленами W(-2\z,t) . ▲
Таким образом, асимптотика знаменателей Qn¿_2{z) для одного доминирующего полюса
первого уровня получена и в этом случае мы знаем все предельные точки полюсов аппроксимаций Паде. Как и в работе [1] мы можем теперь исследовать равномерную сходимость подпоследовательностей аппроксимаций Паде л"„д_2 (z), что в свою очередь позволяет найти множество,
внутри которой предпоследняя промежуточная строка сходится равномерно.
Асимптотика знаменателя для предпоследней промежуточной строки может быть
исследована и в других случаях, которые мы здесь не рассматриваем, поскольку цель этой работы - продемонстрировать, что эффективность метода статьи [1] не ограничивается последней промежуточной строкой.
Работа выполнена при поддержке РФФИ-Урал, грант № 04-01-96006.
Литература
1.Adukov V.M. The uniform convergence of subsequences of the last intermediate row of the Padé table// J. Approx. Theory - 2003. - V. 122. - P. 160-207.
2.Бейкер Дж., мл., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. - М: Мир, 1986. - 502 с.
3.Sidi A. Quantitative and constructive aspects of the generalized Koenig's and de Montessus's theorems for Padé approximants// J. Comput. Appl. Math. - 1990. - V. 29. - P. 257-291.
4.Adukov V.M. Generalized inversion of block Toeplitz matrices// Linear Algebra Appl. - 1998. -V. 274.-P. 85-124.
Поступила в редакцию 24 сентября 2004 г.
