О явном описании множества предельных точек полюсов аппроксимаций Паде Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

О ЯВНОМ ОПИСАНИИ МНОЖЕСТВА ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧЕК ПОЛЮСОВ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ

Н.Н. Неряхин

Пусть а(г) - мероморфная функция, имеющая Я полюсов в круге | г\<К. Известно, что асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций Паде (Л -1) -й строки таблицы Паде для функции а(г) определяется доминирующими полюсами, то есть полюсами максимального модуля, имеющими максимальную кратность. В случае, когда а(г) имеет один или два доминирующих полюса, в работе [1] явно описано множество предельных точек полюсов аппроксимаций Паде для этой строки. В данной работе такое описание получено для случая трех доминирующих полюсов.

Пусть а{г) - мероморфная в круге £>я = {г е С| | г |< Я} и аналитическая в окрестности г = О функция, имеющая в точках полюсы кратностей 5!,...,5/ соответственно, и Я = 5]+...+л,

- число ее полюсов в круге Ок. Полюсы г1 = ре2т®х,2У = ре2ш@у, максимальные по модулю и имеющие максимальную кратность, мы будем называть доминирующими полюсами [1].

При изучении равномерной сходимости (Л -1) -й строки таблицы Паде для а(г) основную трудность представляет исследование асимптотического поведения знаменателей аппроксимаций Паде. Оказывается, что это поведение определяется предельным поведением вектора

£ = (е2т&], ...,е2т@1') е Т1', поэтому требуется замыкание в Т1' полугруппы {£"}„>0. В работе [1] показано, что это замыкание Г совпадает с замыканием циклической группы , то есть

является монотетической подгруппой тора Т1'. Опишем процедуру вычисления группы Р [1,2].

Пусть г +1 - ранг над полем рациональных чисел ((]> системы ©() = 1, ©15..., ©и. Расположим доминирующие полюсы в таком порядке, чтобы ©0 = 1, ©|,... ,©г составляли максимальную линейно независимую над <0> подсистему системы ©0, ©,,... ,0^, и

®J =Ц=о%0*’ % е®’ ] = г + \,...,У.

Пусть - наименьшее общее кратное знаменателей рациональных дробей qk] и

а1д=аккЯ1д Для к = 0,...,г, у = г + Составим целочисленную матрицу

а00 — 0 а0,г+1 — а0у

0 ... ССГГ СХГ>Г+] ап>

и приведем ее к диагональной форме Смита над кольцом целых чисел Ъ:

А = ВХЬ&?.

Здесь 5,, 52 - унимодулярные матрицы (то есть целочисленные матрицы с определителем ±1), причем .!?) соответствует операциям над строками, а 52 над столбцами. Обозначим через 5 матрицу, полученную из ^ вычеркиванием первой строки и первых г +1 столбцов. Приведем теперь £ к форме Смита:

5 = г1а0г2-1.

Тогда инвариантные факторы матрицы £ обязательно имеют вид 1,..., 1, сг, где сг - наибольший общий делитель миноров порядка V-г матрицы £. Явная формула для а получена в статье [3]. Обозначим через ()} строку матрицы 7]-1 с номером V-г + у, у = 0,...,г. Тогда группа Р

состоит из точек г = (Г[,..., Ту) тора Ту, имеющих вид

Здесь

2 ят

%п=е о , и = 0,...,сг-1,

{tx,...,tr) - произвольная точка тора Тг и мы употребили обозначение fi = (tq 1,..., tq v), где Q = (qu...,qy).

Значение группы F в том, что она параметризует семейство многочленов a>(z, г), нули которого составляют множество дополнительных предельных точек N¥ [1, 2], изучаемое в настоящей работе. Здесь

0}(z,r) = ^j=lCjAj(z)TJ,T = (Tu...,rl/)^¥, Aj = ~, A(z) = (z-z!)...(z-zy),

a Cj определяются через лорановские коэффициенты разложения a(z) в окрестности полюса Zj , причем С; ^ О при любом j [1,2].

Важность множества N¥ заключается в том, что оно является препятствием для равномерной сходимости. В работе [4] показано, что за исключением полюсов a(z) оно является единственным препятствием для равномерной сходимости (Л -1) -й строки в круге Dp - {z е С| | z |< р}, поэтому явное описание множества N¥ позволяет найти области равномерной сходимости (Л -1) -й строки таблицы Паде.

Геометрия множества N¥ полностью еще не изучена. Известно, что всегда N¥qN , а при r = v имеет место совпадение этих множеств [1, 2]. Здесь N - множество точек комплексной плоскости С , удовлетворяющих неравенствам

2|с,Д/ф£|С*Д*(г)|, j = 1.....V.

k=\

В случае, когда функция a(z) имеет один или два доминирующих полюса (то есть при v = 1 или v = 2) множество Щ полностью изучено [1,2]. Оказалось, что если v -1, то всегда Щ = 0, а если v = 2, то Щ либо состоит из конечного числа точек, лежащих на окружности Аполлония (или прямой), либо совпадает с этой окружностью (или прямой). Настоящая работа посвящена полному описанию множества N¥ для первого не полностью изученного случая v = 3. Следующая теорема объединяет известные факты и новые результаты.

Теорема. Пусть у-3, то есть мероморфная функция a(z) имеет три доминирующих полюса zt = pe2m&i, z2 = ре2т®2, z3 = /зе2/7703. Пусть г 4-1 - ранг над полем Q системы вещественных чисел 0О = 1,0j, ©2, ©з • Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если г = О, то N¥ состоит из конечного числа точек..

2. Пусть г = 1 и полюсы zuz2, гъ пронумерованы таким образом, что ©0 = 1, ©j - максимальная линейно независимая над Q подсистема системы ©0,@,,©2,©з и

02=^©о+^01; 03=|o0o+|i@i Чо Ч\ Чо Ч\

Тогда, если у- = 41 = 1, то Щ также состоит из конечного числа точек. В противном случае

N¥ состоит из нескольких алгебраических кривых.

3. Пусть г = 2 и полюсы z1,z2, z3 пронумерованы таким образом, что ©0 = 1, ©j, ©2 - максимальная линейно независимая над Q подсистема системы ©0,©],©2,@з и

©3=^0 +£2 ©2.

% Ч\ Чг

Тогда, если & + = 1, то И¥ также состоит из нескольких алгебраических кривых. В против-

ном случае Щ=И.

4. Если г-Ъ,то = N.

Доказательство. 1. Пусть г = 0. Тогда @[,@2,03 - рациональные числа. Приводя их к наименьшему общему знаменателю сг, получим

©! — —, ©2 = ©з = —П.е%.

а а су

Следовательно,

2я7— 2я г— 2 я1/—

2) = ре а, г2 - ре а , гъ - ре а лежат в точках деления окружности на а равных частей, поэтому по теореме 2.7 из [1] множество Щ состоит из нулей многочленов

3

®у(г) = ЕС*А*(2)24» У -0,1, ...,сг-1, (1)

*=1

то есть состоит из конечного числа точек.

2. Рассмотрим следующий случай г-1. Пронумеруем полюсы гх,г2,23 таким образом, чтобы ©0 = 1, ©[ составляли максимальную линейно независимую над (2 подсистему системы ©^©^©г.вз и

©2 =£1 ©0 +Я©„ ©3 =^©0 +^©,.

% Ч\ Чо Ч\

Согласно теореме 2.7 из [1] множество Щ конечно в точности тогда, когда доминирующие полюсы 2х,2г,2ъ лежат в точках деления окружности \г \ -р на а равных частей. Если взять за точку отсчета, например, полюс = ре2т&1, то это условие можно записать в таком виде:

2я1— 2 Я!— , .

г2=г1е вГ,г3=г1е а ,\<кьк2 <сг-1. и то, что аргумент определяется с точностью до целого, кратного

(2)

ЛГ 2я1&.

Учитывая, что г} = ре 1

2т, получаем

©2 =^©о+0„ ©з =-©0+0], 1р12е: а а

(3)

Сравнивая (2) и (3), заключаем, что — = ~ = 1. Итак, в этом и только в этом случае конечно

Ч\ Ч\

и состоит из нулей многочленов (1). В остальных случаях, в силу теоремы 4.22 из [2], множество Ы¥ состоит из сг алгебраических кривых, способ составления параметрических уравнений которых приведен в доказательстве вышеуказанной теоремы.

3. Пусть теперь г = 2. Это - наиболее интересный из неизученных случаев. Пронумеруем полюсы гх,22,гъ таким образом, чтобы 0О =1,©],©2 составляли максимальную линейно независимую над <0> подсистему системы ©0, ©,, ©2, ©з и

©3 = Л>©0+Я©1 + Л©2_

Чо Ч\ 42

Опишем группу Р, используя процедуру для ее вычисления, приведенную в начале статьи. Пусть

Ч1 у1з' Г \ 51

II у21 у22 Р23 , 5 = 52

Л1 У32 ^з; 3,

Так как матрица Т2 имеет размер 1x1 и унимодулярна (то есть с1егГ2 = ±1 ), т° Т2=± 1. Можно

считать, что Т2-\. Запишем уравнение Тх 1БТ2 = Д0 в матричном виде:

Ч1 ^2 V / \ м

% у22 у23 *2 = 0

^31 *32 узз. А

Группа Р, по определению, состоит из точек г е Т3, имеющих вид

т = (г1,т2,т3) = (^(^^, ес2^32- е^233), (4)

2 жт

где £,п-г а , и = 0, ...,<т-1, причем выполняются соотношения

(ад+'вд+эд= 0> (5)

Ьз151+^252+ЗД подскажем, что если 5) + 52 + ^ 0, то Л|- = N. Включение с: N следует непосредственно

из определений множеств и N. Покажем, что N с Щ. Для этого нужно доказать, что выполнение условий

2|СуА/2)|<|С1Д1(2)| + |С2Д2(2)| + |С3Дз(2)|, у -1,2,3 (6)

достаточно для существования решения т = (г,, т2, г3) уравнения

Сх Д ] (г)тх + С2 Д 2 (г)т2 + С3 Д 3 (г)т3 = О, (7)

принадлежащего группе Р. В силу леммы 9.1 из [1] условия (6) достаточны для существования решения т° =(тх ,т2,т3), принадлежащего тору Т3, поэтому, в силу однородности уравнения (7), достаточно доказать, что существует Яе Т такое, что Лт° =(Лтх, Лт2, Лт3) принадлежит группе Р . Итак, нужно доказать, что система уравнений относительно гх, г2, Л

С2*\22(12, Лт2, Яг3°) (8)

имеет решение. Докажем, что на самом деле существует решение системы (8) при п = 0 . В этом случае она имеет вид

>^31 = Яг1° ,

.^?*=Лт1 (х23/233 =Лт3.

Полагая (х = е2ящ, 12 = е2т<р2, Я = е2т(Рз, = е тГ1 и переходя к аргументам, перепишем эту сис-

тему в эквивалентном виде:

\>2\(Р\ +у31<% -<?з =У? + Щ,

' + УъгФг ~<Рг=Г2+ Щ, (9)

у23(рх+у33<р2-(р3=г! + т3.

Здесь тх,т2,т3 - некоторые целые числа. Покажем, что если определитель матрицы системы (9)

Ч1 *31 -1

£) = *22 *32 -1

чу23 *33 -1

равен нулю, то ^ + з2 + я3 = 0.

Итак, пусть ё&П = 0. Умножая первую строку матрицы О на и прибавляя затем к ней вторую, умноженную на з2, и третью, умноженную на 53, получим в силу соотношений (5)

сЫ

О О -(^ + л’2 + л'з)

22 у32

4*23 *33

Следовательно, либо ^ + я2 + 53 = О, либо сЫ

-1

-1

*22 *32

= 0.

1*23

угг)

= 0.

Выполняя аналогичные действия над второй и третьей строками, придем к заключению, что либо Я) + «2 + ^3 = 0> либо

сіеі

*22 *32 = СІЄІ *21 *зГ = <іеІ *21 *зГ

,*23 *33, 1^*23 *33, .*22 *32/

= 0.

Но это соотношение невозможно в силу обратимости Т{х, поэтому 5] + 52 + = 0. Отсюда выте-

кает, что в случае 5; + з2 + з3 Ф 0 система (9) имеет решение при любых значениях целых чисел тх,т2,тъ. Так как из этого следует включение N с, Щ, то мы доказали, что при ^ + я2 + $3 Ф 0 имеет место равенство Щ = N.

Перейдем к случаю 5, + я2 + .?3 = 0. Покажем, что в этой ситуации множество Щ состоит из конечного числа алгебраических кривых. Матрица 5 имеет вид

5і

Приведем к форме Смита столбец, состоящий из элементов Л[ и і2:

Тогда

( > ’ \ *11 *12 / \

.*21 *22 > ^2,

"*іі *12 \ 0’

*21 *22 0 0

1 V 1 1 / ІА

В силу единственности канонической формы Смита это означает, что

Т\Х =

21

1

у\2

о

Отсюда и из определения множества Щ получаем, что оно состоит из нулей многочленов

, , , , 2тп

СхА^)Си^21 +С2А2(г)С^ +С3Д3(г), ГеТГ, - , п = 0,...,а-\.

В доказательстве теоремы 4.22 из [2] показано, что при каждом фиксированном п соответствующее уравнение определяет (когда t пробегает единичную окружность Т) алгебраическую кривую и указан способ составления ее параметрического уравнения. Таким образом, в случае 5] + 52 + 53 = 0 множество Щ состоит из а алгебраических кривых.

Покажем теперь, что условие + 52 + 53 = 0 равносильно ^ = 1, что и завершит доказательство теоремы для г = 2. Матрица А в данном случае (то есть при у = 3, г - 2) имеет вид:

'Чо 0 0 Ра

А= 0 <?! 0 рх

0 Чг Рг)

Пусть сначала для элементов матрицы £ выполняется соотношение 5, + $2 + х3 = 0. Запишем

уравнение А ^ Д в следующем виде:

'Чо 0 0 Ро * * * * * * * >11 8x2 8п Ч 0 0 0"

0 Ч\ 0 Р\ * * * ч 5т = #21 822 823 0 сг2 0 0

0 Чг Рг, * V * * 2. -51 -52, ч&31 832 833; 0 ст3 о,

Здесь учтено, что матрица 5 получается из £2 вычеркиванием первой строки и первых трех столбцов, а значками * обозначены несущественные для нас элементы матрицы 52 . Перемножая матрицы и сравнивая элементы (начиная со второго) последних столбцов, приходим к системе однородных линейных уравнений

\ (С1\-Р\)3\-Р\*2=Ъ’

1-ВД +(д2 -Р2)*2 =0-

Как известно, эта система имеет ненулевое решение в точности тогда, когда ее определитель равен нулю, то есть если дхд2 ~4\Р2~ рх42 - 0. Это соотношение равносильно -^- + -^- = 1.

Пусть, обратно, — + = 1. Так как —, — несократимы, то дх = q2, Р\-ц2~ р2- Матрица А

Я\ Й2 Я\ 42

принимает вид

'Чо 0 0 Ро 'Чо 0 0 Ро

А = 0 42 0 42-Р2 ~ 0 Чг Ч2 Ч2

0 \ 0 42 Рг . 0 ч 0 Чг Рг,

Значок ~ означает, что одна матрица получена из другой выполнением операций над строками, не дающими вклада в интересующую нас матрицу 52 при приведении А к форме Смита. Умножая теперь (справа) полученную матрицу на унимодулярную матрицу

"10 0 о'

и =

о о о о

будем иметь

'Чо 0 0 Ро

0 Чг 4г 4г

0 V 0 4г Рг>

0 1 0 0 0

Если мы приведем теперь к форме Смита матрицу

-1 -і

) 1 0 5

) 0 1

О о

-1 -1 'Чо 0 0

1 0 = О (Ч О

о і о о ю

Ро

0

'Чо 0 А>1

0 \ Чг Рг)

*\\

21

изх

“12

22

ихз

и23

и32 и33

Чо

0

/*21

0 Ро 42 Р2 (

Ъ\2

сг,

1

0

то непосредственные вычисления показывают, что

'Чо 0 0 Ро' 'щ\ 0 0 1 м12 0 и\з" 0 >1 0 ^12 0 0 о'

0 Чг 0 0 0 0 — 0 1 0 0 Чг 0 0

0 \ 0 Чг Р2; М21 чм31 и22 изг м23 игг) Лі 0 ^22 у V 0 0 ^2 0,

Диагональная матрица из правой части уравнения может отличаться от формы Смита матрицы А разве лишь порядком первых трех столбцов, поэтому и квадратная матрица

/ * * * * '1 0 0 0' «11 0 м12 и\3

* * * —м23 ~ М33 0 1 -1 -1 0 1 0 0

* * * и23 0 0 1 0 М21 0 и22 М23

* * * и33 ,0 0 0 к «31 0 и32 “зз,

может отличаться от 52 так же. Так как матрица 5 получается из 6'2 вычеркиванием первой строки и первых трех столбцов, то можно утверждать, что

23

К33

23

«зз

Отсюда

" м33 ^23 w33 —

Случай г = 2 полностью разобран.

4. Утверждение для г = 3 является частным случаем теоремы 2.6 из работы [1]. Теорема доказана.

Литература

1. Adukov, V.M. The uniform convergence of subsequences of the last intermediate row of the Pade table / Adukov V.M. // J. Approx. Theory - 2003. - V. 122. - 160-207.

2. Адуков, B.M. Факторизация Винера-Хопфа и аппроксимации Паде матриц-функций: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / В.М. Адуков. - Челябинск, 2006. - 314 с.

3. Неряхин, Н.Н. Замечание о монотетических подгруппах тора / Н.Н. Неряхин // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2005. - Вып. 6. - № 6 (46). - С. 40-42.

4. Adukov, V.M. On the set of uniform convergence of the last intermediate row in Pade table / V.M. Adukov // East Journal on Approximations. - 2005. - Vol. 11, № 4. - P. 375-380.

Поступила в редакцию 12 марта 2007 г.