CC BY
15
УДК 517.53
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПОЛЮСОВ (А,-1)-й СТРОКИ ТАБЛИЦЫ ПАДЕ
В.М. Адуков, Д.Н. Микушин
Целью работы является численное моделирование асимптотического поведения знаменателей аппроксимацией Паде для строки с номером (^-1). Рассмотрены примеры, демонстрирующие разнообразие геометрии множества предельных точек полюсов аппроксимации Паде.
Эта работа является продолжением статей [1], [2]. В них рассматривалась мероморф-ная в круге < Я и аналитическая в окрестности г = О функция а^), имеющая в точках г\,..., ^ полюсы кратностей 51, .., 5^, соответственно. Пусть А = 51 + ... + - общее число полюсов а(г) в данном круге. В работах [1], [2] построена полная теория сходимости (А — 1)-й строки таблицы Паде для функции а{г) Оказалось, что предельное поведение полюсов аппроксимации Паде 7гП)д_1(^) = ПРИ п 00 полностью определяется арифметической природой доминирующих полюсов функции а(г) и коэффициентами ..., Аи старших членов ряда Лорана а(г) в окрестности этих полюсов. Доминирующими полюсами мы называем те полюсы а(х) максимального модуля, которые имеют максимальную кратность. Предельные точки множества полюсов семейства {тГп,Л-1(2:)}п^о состоят из точек ..., и нулей семейства многочленов г) — С3А3(г)т3. Последнее множество назовем множеством дополнительных предельных точек и обозначим Л/р. Формула для вычисления коэффициентов С3 имеет следующий вид
с, =--1=-, (1)
где В](г) = ' ^^ ~ " ^~~ и А/ ~ коэффициент при
[г — %3)~83 в разложении мероморфной функции а(г) в ряд Лорана в окрестности полюса £ — г3. Многочлены Д3(г) и параметры т3 определяются следующим образом: А3 = Д(г) = {х — г\)... {г — ги)\ г = (п,... ,г1/) Е Е, где ^монотетическая подгруппа тора Т", полученная замыканием циклической группы с образующей (е2™01,..., е27™9"); 2жг&3-аргумент %3. Группа F явно вычислена в [1]. Геометрия Л/р в некоторых важных частных случаях изучена в [2].
Цель данной работы - проиллюстрировать на числовых примерах результаты, полученные в [2]. Кроме того, вычисляя нули достаточно обширного подмножества семейства т)}ге5?, мы численно промоделируем геометрию Л^ в тех случаях, когда явно построить это множество не удается. Все вычисления выполнены с использованием системы "Мар1е6". Были созданы процедура нахождения группы Р по матрице линейных зависимостей аргументов 01, (см.§1 статьи [1]), процедура вычисления коэффициентов С3 и процедура нахождения знаменателей аппроксимаций Паде типа (п, А — 1) для рациональной дроби г (г) с помощью рекуррентного процесса
= - к > 0. (2)
Здесь Ук старший коэффициент многочлена а начальное условие Уо(г) находится
с помощью алгоритма Евклида из уравнения Безу ио(г)0{г) + — 1, г (г) = -
рациональная часть мероморфной функции а(г). Последняя процедура значительно эффективнее стандартной функции "рас!е" пакета "Мар1е6".
1° Рассмотрим прежде всего случай и = 1, Теорема 1 из [2] утверждает, что в этом и только в этом случае вся последовательность имеет предел. Продемонстрируем
этот факт примером.
Пример 1. Рассмотрим мероморфную функцию
а(г) = 6*+ (* - 1) (* + 2) (г - 2)2
с рациональной частью
Г(2) = (г-1) (г+ 2) (2-2)2-
В этом случае имеется только один доминирующий полюс z = 2 кратности 2 и v — 1, Л — 4. Обозначим через Qn(a, z) и Qn(r, z) нормированные знаменатели аппроксимаций Паде типа (гг, 3) для функций a(z) и соответственно. По теореме 1 имеем
lim Qn(a>z) = lim = И^(^),
n—toc n—>oo
где = (* - 1) (z + 2) (z - 2) - 4 - 4z - z2 + r5
В таблице (см. Приложение) приведены результаты численной проверки с помощью функции "pade" системы "Мар1е6" асимптотического поведения знаменателей Qn(a, z) и Qn(r,z) для п G [1; 200] , которые подтверждают этот вывод.
2°. Полное описание геометрии множества Л/f имеется только при v — 2 (см. теорему 2 в [2]). Если доминирующие полюсы z\,z<i лежат в вершинах правильного сг-угольника. то Л/f состоит из конечного числа (а или а — 1) точек, лежащих на окружности Аполлония
Z — Z\ Ci
z — Z2 с2
(3)
В противном случае множество Л/р совпадает со всей окружностью Аполлония. Заметим,
fii с2
1.
что окружность Аполлония может вырождаться в прямую при
Проиллюстрируем случай, когда конечное число дополнительных предельных точек лежит на прямой.
Пример 2. Рассмотрим мероморфную функцию с рациональной частью
1 1 1
r(z)
+
4(» + ±)*(* + |)
+
Доминирующие полюсы есть Zl = 1 и гъ = —г, V = 2, полюсы лежат в точках деления окружности на 4 равные части. Лораиовские коэффициенты А\,Аъ равны соответственно Лг = 1>Л2=4(г + ^)-2.
Адуков В.М., Микушин Д,Н.
Вычисления показывают, что
Ci <?2
Ао
Аг
-*з)
-ъ)
1,
В данном примере формально мы имеем 4 дополнительные предельные точки, которые являются корнями многочленов
cjj(z) = Ci(z - z2) + (z - j = 0,1,2,3.
Легко показать, что 0J2 — const, следовательно, корней у данного многочлена нет, поэтому в действительности мы имеем только три дополнительные предельные точки (случай вырождения), являющиеся корнями многочленов Эти корни есть
Со = "~2~> Ci = 1 — г? С2 = -g + 2'
0.
Таким образом, множество Л/р состоит из конечного числа точек, лежащих на прямой. Расположение дополнительных предельных точек в данном случае изображено на рис. 1а.
Следующий пример демонстрирует случай, когда имеется континуум дополнительных предельных точек, лежащих на окружности Аполлония.
Пример 3- Рассмотрим мероморфную функцию с рациональной частью
1
(z-1) (z-eW2) {z-\)
Доминирующие полюсы: — 1 и ¿2 — е2?гг^, и = 2, Л = 3. Ясно, что полюсы ¿1, Z2 не лежат в точках деления окружности на равные части, следовательно множество дополнительных предельных точек заполняет всю окружность Аполлония (3), где
9i с2
= \J5 - 4 cos 2тгл/2.
Эта окружность построена на рис. 16. С помощью функции "рас!е" легко проверить, что многочлены фп(а, г) и становятся достаточно близкими уже начиная с п = 10. По-
этому предельные точки множества полюсов аппроксимаций Паде при большом п достаточно близки к нулям знаменателей г) аппроксимаций Паде для рациональной функции г(г).
Поскольку при больших п вычисления С}п(г, ¿) с помощью функции "рас1е" требуют больших затрат времени, мы найдем многочлены с помощью рекуррентной процедуры (2).
На рис. 16 показаны нули этих многочленов для п € [10,200]. Хорошо видно, что все они лежат на окружности Аполлония достаточно плотно заполняя ее.
3°. При V > 3 геометрия Л/да изучена только в некоторых частных случаях. Среди них самый важный - это случай линейно независимых над полем рациональных чисел аргументов ©о — 1, ©1,..., ©1/, когда Л/щ- состоит из замкнутых областей
< £ \CkAk(z)\,
(4)
k = 1 кфз
(теорема 3 в [3]). Это множество обозначим N. Легко показать, что всегда Л/р С N.
Рис. 1. а) Конечное число предельных точек на прямой (и = 2), Ь) континиум предельных точек на окружности Аполлония {и = 2).
Пример 4. Рассмотрим мероморфпую функцию
( \ z I Z Z
alz) = е Н--т=-т=--—
v ' (г _ (г - _ е2тгг^) ^ _ I)
с рациональной частью
r(z) =_+ *_
_ _ е2ттгл/3) _ e27nVS) (г _ 1)
Здесь доминирующие полюсы есть
zi = е2™4^ - -0.8582161855 + 0.5132883974 г,
z2 - е2™^ - —0.1125391807 - 0.9936472879 г, = e2ntVE = 0.08742571683 + 0.9961710416 г.
Аргументы ©1 = у/2, ©2 — \/3, ©з = \/5 линейно независимы по модулю Z над полем Q. Вычисления коэффициентов Cj формуле (1) дают следующие значения:
Сг = 0.7040076094 + 0.1709505671*, С2 = 0.07853024260 + 0.1743759673г,
С3 = 0.2927491140 + 0.04486932302 г.
Граница множества ЛГ состоит из 4 связных компонент. Область Af выделена на рис. 2а серым цветом. Для проверки равенства Afp = Af мы используем рекуррентную процедуру (2). Результат работы процедуры представлен на рис. 26. Видно, что нули Qn,A—i(r'z) действительно заполняют область ЛЛ
4°. В теореме 4 [2] представлен еще один случай, когда множество Afp вычисляется явно. Из указанной теоремы нетрудно получить два важных следствия.
Аду ков В.М., Ми куши н Д.Н.
Рис. 2. а) Область Л/^ — Л/" для линейно независимых аргументов, Ь) результат работы рекуррентного процесса (4000 итераций).
Следствие 1. Пусть ©о = 1, ©1 линейно независимы над <0> (г = 1) и ©2,.. ., ©I/ ™ рациональные числа, причем
пк
©/с — —> к = 2,..., I/, 0 < п& < а — 1. <т
Тогда множество Л/^ состоит из а линий
V
\Сг= /ГП|]Гп = 0,1,..., - 1.
к—2
Рассмотрим числовой пример, иллюстрирующий это следствие. Пример 5. Пусть
Г(г) = 2г — 5
Пг) (* - е2^) (г + 1) (* - 1) (г - \)'
Тогда г = 1, сг = 2 и множество Л/^ состоит из двух линий
: |С1Д2(г)| = |с2д2(2) + С3А3(г)\
и
ЛЛ : |СгА1(^)| = |С2Д2(*) - СзАз(г)|.
Здесь
С\ - 0.007700973064 - 0.08883928653 г,
С2 = 0.02380952381 - 0.02181147435 г,
Сз = -0.1666666667 - 0.1819342381 г.
На рис. За построены эти линии. Оказалось, что М1 распадается на две связные компоненты. На этом же рисунке показаны нули многочленов Т'Цг), т.е. нули знаменателей аппроксимаций Паде рациональной функции г[г), для п € [10, 500]. Видно, что они действительно заполняют линии № и ЛЛ.
а)
Й
Рис, 3. а) Пример множества Л/ь состоящего из конечного числа линий в случае г = 1, Ь) заполнение множества N нулями многочленов из семейства о;(г,т) в случае г = и - 1.
Следствие 2. Если ©о = 1, ©1,.. -, ©^-1 линейно независимы над (($ (г = V — 1) и Операциональное число, то множество Л/^ = ЛЛ
Рассмотрим пример. Пример 6. Пусть
В этом случае и = 3, г = 2, а — 2.
По следствию 2 имеем Л/ж = Л/". Для проверки этого равенства найдем нули достаточно обширного подмножества семейства многочленов т 6 Р. На рис. ЗЬ область N пока-
зана серым цветом и продемонстрировано ее заполнение нулями семейства ш(г, т), когда на
Продемонстрируем теорему 4 [2] в случае 1 < г < и — 1. Следующий пример показывает, что при этом множество Л/яг является подмножеством ЛЛ
Пример 7. Пусть
^ (г - е2™^) (г - + 1 ){г-\)
торе Т2 взято 1402 точек.
з
г(г) =
Доминирующие полюсы в этом случае есть
гг = в
2тгп/5
, ¿2 = е
2т\Д
- 1, ¿4 = —1.
Адуков В.М., Микушин Д.Н. Асимптотическое поведение полюсов (Л-1)-й ______________ строки таблицы Паде
Рис. 4. Пример множества Л/дг не совпадающего с ЛЛ
Здесь ©о = 1,©1 = л/5, ©2 = \/3 линейно независимы над <0>, ©з = 0,04 = По теореме 4 [2] область Л/]? является частью области ЛЛ Границы множества Л/р, найденные по этой теореме, есть
С'з С4
Ьц Ь2:
Ь6:
+
[г - гз) (г - г4)
Сз
+
+
{г - гз) (г-¿4)
Сх
Сз^з
о-
(2 - 22)
Сз*з
+
+
С1 + с2
(г-^1) {г - г2)
с4 1
0 - ч) (г - 22)
с4 + С\
(2 - г4) (г - гг)
Сх + с2
(г - 0 - г2)
С'424 + с2
(-г - ^4) (г - 22)
С424 [ + С1
(г - 24) 1 (2 - 21)
На рис. 4 построена граница области М, область С Л/" окрашена серым цветом, и показаны нули знаменателей аппроксимаций Паде г (г), найденные с помощью рекуррентной процедуры (2) при 3500 итерациях.
5°. Рассмотрим теперь примеры функций, для которых множество Л/р в явном виде в работах [1], [2] не найдено. Прежде всего изучим случай г — 1.
Пример 8. Пусть мероморфная функция имеет рациональную часть
z2 - 2г + 5
Ф)
(з - е2тггл/5)(2 - е2тгг(1/2-^3/3))(2 _ е2тгг(1+3ч/5/4))^ „ I)
Ь)
.... '.-с*
..> ~ V С* v. ♦ V< >\-'/>л> , . Ч Л •;
. ~ .. / V .
/л * V . *: С » л»
-1
-0.5
л* *
V г -;X
-2
-1
--2
0.5
Рис. 5. а) Расположение предельных точек в случае г рекуррентного процесса (3500 итераций).
1,1/ = 3, Ь) результат работы
Тогда ©о = 1,©х = \/3,©2 = ^©о - 4вьв
3 = ©о + |€>1 и матрица линейных зависимостей
имеет вид
/1/2 -1/3 V 1 3/4
Вычисление группы параметров ¥ для данных линейных зависимостей дает следующий результат:
В нашем случае теория не дает точного ответа о геометрии множества дополнительных предельных точек, поэтому промоделируем построение этого множества, вычисляя нули достаточно обширного подмножества семейства и (г, г). Результаты этого моделирования показаны на рис. 5а. Здесь окружность Т разбита на двадцать тысяч равных сегментов и параметр ¿х принимает дискретные значения. Этот и другие аналогичные примеры позволяют сделать предположение о том, что множество Л/дг в случае г = 1 состоит из конечного числа линий.
Сравним теперь результаты моделирования множества Л/р с численным экспериментом. Для этого воспользуемся рекурренным процессом (2). На рис. 56 показаны результаты этого эксперимента.
Как мы видели выше (см. пример 6) множество Л/^ может совпадать с N не только для линейно независимых ©о — 1, ©1,..., ©„. Как показывают следующие примеры это может осуществляется достаточно часто. Рассмотрим вначале такой случай, когда г ~ у — 1, но не выполняются условия следствия 2.
Пример 9.
Ф)
Адуков В.М., Микушин Д.Н.
Рис. 6. а) Совпадение Л/г = Л/" в случае г — и - 1 (пример 9), Ь) совпадение Л/р = Л/* в случае 1 < г < ^ - 2 (пример 10).
Здесь 0з = ^©о + ©1 + |©2- На рис. ба показано заполнение множества Л/р нулями семейства многочленов ш{гу т), когда на торе Т2 взято 1602 точек. Это моделирование достаточно убедительно подтверждает равенство Л/р = ЛЛ
Промоделируем построение множества Л/р для 1 < г < V — 2. Оказывается, что и в этом случае возможно совпадение множеств Л/р и ЛЛ
Пример 10.
/ ч _ Аг А2 Аз А\
_ е2тггч/3) _ е2тггч/5) (г ~ е2?гг0з) (г - е2™04) '
©3 = ^©4 = ©1 + |©2.
Здесь нам удобнее задать значения С3\
Сг = 10, С2 = -1, Сз — -2, С4 = -1
и по формуле (1) восстановить следующие значения Аэ:
Аг = 0.002650640428 + 0.004101033363г,
А2 = - 0.06279967837 - 0.08717534896г, Аз = 0.2925425007 + 0.2844910223г, А4 = —0.3431243703 + 0.9610937484г. Группа параметров ¥ имеет следующий вид
Р = € Т2,7 = 0,1}.
На рис. 6Ъ показано заполнение множества Л/р нулями семейства многочленов и(г,т), когда на торе Т2 взято 2 х 802 точек. Скорее всего и в этом случае выполняется равенство ЛЛг = Л/*.
Заключение
Моделирование на числовых примерах асимтотического поведения полюсов аппроксимаций Паде (Л — 1)-й строки показало полное согласие с ранее развитой теорией. Продемонстрировано разнообразие геометрии множества предельных точек В случаях, когда множество Л/^ явно не найдено, численное моделирование позволило выдвинуть ряд предположений о его структуре.
Авторы благодарят за финансовую поддержку Российский фонд фундаментальных исследований (проект N 01-01-96422). Кроме того, один из авторов (Д.Н. Микушин) благодарит за финансовую поддержку программу молодежных грантов для студентов, аспирантов и молодых ученых Челябинской области.
Литература
1. Адуков В.М. - О равномерной сходимости подпоследовательностей (Л — 1)-й строки таблицы Паде// Известия Челябинского научного центра. - 2001. - Вып. 1. - С. 3-7.
2. Адуков В.М. - О геометрии множества предельных точек полюсов (А — 1)-й строки таблицы Паде// Известия Челябинского научного центра. - 2001. - Вып. 1. - С. 8-11.
Адуков В.М., Микушин Д.Н.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Сравнение предельного поведения знаменателей аппроксимаций Паде для мероморфной функции и для ее рациональной части
Табл. Знаменатели аппроксимаций Паде для примера 1
71 Яп{г,г), (Эп{а,г)
1 <31 (г, г) = 2.181818182 - 2.545454545 2 - 0.5454545455 г2 + г3 (¡1(а, г) = 2.195765082 + 0.2253296045 г - 0.8365960847 г2 + .г3
2 <32(г,;г) = 3.259259259 - 4.000000000 г - 0.2222222222 г2 + г3 <32(а, г) = -5.112562852 + 8.917347241 г - 4.541724681 г2 + г3
3 <3з(г, г) = 2.880000000 - 3.146666667г - 0.7200000000г2 + г3 <3з(а, г) = -6.078460011 + 10.22941291 г - 4.956565554 г2 + г3
4 ф4(г, г) = 3.508771930 - 4.000000000 г - 0.5029239766 г2 + г3 ¿4(0, г) = 51.00773518 - 63.97380408 г + 11.88952593г2 + г3
5 <2ь(г, г) = 3.203747073 - 3.400468384 г - 0.8009367681 ^ + г3 (¿¡¡(а, г) = 4.476359610 - 2.522937121 г - 2.974811072 г2 + г3
20 <32о(г, г) = 3.875000031 - 4.000000000 г - 0.8750000084 z2 + г3 <22о(а, 2) = 3.875000029 - 3.999999998 г - 0.8750000092 г2 + г3
21 <321 (г, г) = 3.764705897 - 3.823529412 2 - 0.9411764743 г2 + г3 <321 (а, г) = 3.764705897 - 3.823529413 г - 0.9411764742 г2 + г3
22 <322(г, г) = 3.885714293 - 4.000000000 г - 0.8857142876 г2 + г3 <¿22(а, г) = 3.885714293 - 4.000000000 г - 0.8857142876 22 + г3
23 <3гз(г, г) = 3.783783787 - 3.837837838 г - 0.9459459468 г2 + z3 <323(а, г) = 3.783783787 - 3.837837838 г - 0.9459459468 г2 + г3
195 $195(г, г) = 3.972881356 - 3.979661017 г - 0.9932203390 г2 + г3 <3195(а, %) = 3.972881356 - 3.979661017 г - 0.9932203390 г2 + z3
196 <3196(г, г) = 3.986486486 - 4.000000000 г - 0.9864864865 г2 + г3 = 3.986486486 - 4.000000000 г - 0.9864864865 г2 + г3
197 <3197(л = 3.973154362 - 3.979865772 г - 0.9932885906 г2 + г3 <3197(а, г) = 3.973154362 - 3.979865772 г - 0.9932885906 г2 + г3
198 <3198(г, г) = 3.986622074 - 4.000000000 г - 0.9866220736 г2 + г6 <3198(а, г) = 3.986622074 - 4.000000000 г - 0.9866220736 г2 + г3
199 <3199(г, г) = 3.973421927 - 3.980066445 г - 0.9933554817 г2 + ,г3 <3199(а, г) = 3.973421927 - 3.980066445 г - 0.9933554817 г2 + л3
200 <Згоо(г, г) = 3.986754967 - 4.000000000 г - 0.9867549669 ¿2 + г3 <3200 (а, г) = 3.986754967 - 4.000000000 г - 0.9867549669 г2 + г3
1¥(г) = 4-4г~ г2 + г3
