Об оценке константы в теореме Буслаева - Гончара - Суетина Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.53

ОБ ОЦЕНКЕ КОНСТАНТЫ В ТЕОРЕМЕ БУСЛАЕВА - ГОНЧАРА - СУЕТИНА

В.М. Адуков

Пусть Xт с - класс мероморфных функций, для радиусов т -

мероморфности которых выполняется условие Ят < Ят+1 и для которых доминирующие полюсы лежат в вершинах правильного с -многоугольника. В работе предложен метод построения всех функций а(г) е Хт с, для которых не существует подпоследовательности т -й строки таблицы Паде, равномерно сходящейся к а(г) на компактах, принадлежащих кругу т -мероморфности и не содержащих полюсов а(г). На основе этого получены оценки константы из теоремы Буслаева - Гончара - Суетина.

1. Введение

Пусть а(г) - аналитическая в окрестности 2 = 0 функция, Бт = {г е С| | г |< Ят} - круг т -мероморфности функции а(г), т.е. максимальный открытый круг с центром в нуле, в который а(г) продолжается как мероморфная функция, имеющая не более т полюсов. Дж. Бейке-ром и П. Грейвс-Моррисом была высказана гипотеза (см., например, [1]), что для любых а(г) и т существует подпоследовательность аппроксимаций Паде пп т (г), п еАс N, т-й строки таблицы Паде для а(г), равномерно сходящаяся к а(г) на компактах, принадлежащих Бт и не содержащих полюсов а(г). В.И. Буслаевым, А.А. Гончаром и С.П. Суетиным [2] показано, что данное предположение справедливо для всех мероморфных функций при Ят = да. В общем же случае гипотеза оказалась неверной, как показывает следующий простой контрпример, приведенный этими авторами. Пусть

, Л 1 + 322

а( г) = -—г ■

1 - г

Тогда Я = Я2 = 1 и при т = 2 полюсы £п аппроксимаций Паде пп 2(г) легко вычисляются:

1 ± /л/3 1 ± 3 -1 ± 3

С, п = 232 при п = 0(mod3), С, п = при п = 1(mod3), и £п = при п = 2(mod3). Таким

образом, при любом п функция пп 2(г) имеет хотя бы один полюс, модуль которого не превос-

32

круге | г |< ^^ , компактно принадлежащем = = {г\ | г |< 1} .

Кроме того, в этой статье показано, что имеет место ослабленный вариант гипотезы Бейкера и Грейвс-Морриса с заменой круга | г | < Ят на круг | г | < стЯт , где 0 < ст < 1 - константа, зависящая только от т. В частности, из приведенного выше примера следует оценка 1 32

ходит . Поэтому не существует подпоследовательности кп 2 (г) равномерно сходящейся в

с2 = 0,7937005.... Задача о вычислении этой константы или о как можно более точной ее

2 31-

оценке, а также задача описания класса функций, для которых гипотеза Бейкера и Грейвс-Морриса выполняется, пока еще не решены.

Пусть для радиусов т -мероморфности функции а(2) справедливо неравенство Ят < Ят+1. Легко видеть, что это имеет место тогда и только тогда, когда в замкнутом круге | 2 | < Ят лежит ровно т +1 полюсов и на окружности | 2 | = Ят имеется хотя бы один полюс. Тогда к строке с номером т применима теория, развитая в статье [3]. В [4] на основе этой теории получены некоторые достаточные условия выполнимости гипотезы Бейкера - Грейвс-Морриса.

В данной работе для класса Тт а , состоящего из мероморфных функций, для которых

Ят < Ят+1 и доминирующие полюсы лежат в вершинах правильного а -многоугольника, мы укажем способ построения всех контрпримеров к гипотезе Бейкера - Грейвс-Морриса. Это позволит нам получить оценки константы ст в данном классе.

2. Построение контрпримеров в классе Тт а

Пусть 2^...,21 - полюсы а(2) в круге 121< Ят кратностей )1,...,)1, соответственно; ) +... + )1 = т +1. Предполагается, что на окружности | 2 | = Ят лежит хотя бы один полюс а(2). Асимптотическое поведение последовательности ппт (2) при п ^да в этом случае в основном определяется арифметической природой доминирующих полюсов 21,.,2У функции а(2). Доминирующими полюсами мы называем те полюсы а(2), лежащие на окружности | 2 |= Ят , которые имеют максимальную кратность. В работе [3] найдены пределы всех сходящихся подпоследовательностей пп т (2) и показано, что предельные точки множества полюсов последовательности

п,т у

{ппт(2)} о состоят из полюсов 21,.,21 функции а(2) и множества ИР дополнительных предельных точек, состоящего из нулей семейства многочленов ю( 2,т) = Су А у (2 )т у, т _(т1,...,тV) е Р. Здесь Р - монотетическая подгруппа тора Т , полученная замыканием цикли-

е 'К1~1,...,е ж'"у I; 2лг&у - аргумент 2у . Эта группа явно найдена в

[3]. Коэффициенты Су вычисляются следующим образом:

Су _--, (1)

()у - 1)!2/ (2у ) Ау

где И,(2) _ °, £(2) _ (2- 21))1 •••(2- 21))« и Ау - коэффициент при (2- 2у) 3 в разложении

у (2 - 2у) у у

а( 2) в ряд Лорана в окрестности полюса 2 _ 2 у. Многочлены А у (2) определяются следующим образом: А (2) _ А(г)з , А(2) _ (2 - 21)--(2 - 2У). Геометрия множества во многих важных

у (2-2у)у

случаях описана в [3].

Если Ят < Ят+1, то по теореме 1 из [4] контрпримеры надо искать, когда число доминирующих полюсов V не меньше 3. Вышеприведенный контрпример из [2] построен для рациональной функции в случае, когда Я2 < Я3, V _ 3 и доминирующие полюсы лежат в вершинах правильного треугольника (а _ 3).

Мы будем строить контрпримеры в классе мероморфных функций, для которых Ят < Ят+1 и доминирующие полюсы которых лежат в вершинах правильных а -многоугольников. Обозначим этот класс через Т т а . Напомним, что, если а( 2) еТта, то по теореме 2.7 из [3] множество

совпадает с множеством нулей последовательности многочленов со у (2) _1 Ск Ак (2) 2}к

у = 0,1,...,с -1, или, что то же самое, с множеством нулей последовательности рациональных дробей /у(г) _ ^^_1 • Здесь V (у < с) - число доминирующих полюсов.

Прежде всего, выясним, какими должны быть комплексные числа £0£1,---£с-1, чтобы существовала мероморфная функция а( г) еТтс, для которой £ у является корнем многочлена

Юу (г).

Предположим, что такая функция а(г) существует и г1,...,- ее доминирующие полюсы. Если 1,е,...,ес-1 - система корней степени с из единицы, то по условию гь...,лежат в точках Л, , 0 < к < с -1. Пусть гу _ е^1, у _ 1,...,у . Определим ненулевой вектор а _(а1,...,ас) , положив ак _ С,- для у _ 1,...,у и ак _ 0 для остальных значений к . Тогда справедливы следующие равенства:

/у(Су) _ г/-11ае _ 0, у _ 0Л...С -1,

к _1 Ху - е

ук

где Ху _ —. Поэтому ненулевой вектор а принадлежит ядру следующей матрицы:

у г

( 1

1

1

Хс -1 1 Х0 - е е ■ Х - ес-1 ес-1

Лс (Х0,. •, Хс-1) _ Х1 -1 Х1 - е ' Х - ес-1

1 ес-1 е(с-1)2

Хс-1 - 1 Хс-1 - е

V с

Хс-1 - е

с-1

Таким образом, числа £0,С,1,.£с-1 должны быть такими, чтобы выполнялось равенство а* Лс (X,,., Хс-1) _ 0.

Наоборот, возьмем любое с > 3 и пусть Х0, Х1,., Хс-1 - любой набор чисел, удовлетворяющих уравнению Лс (Х0,..., Хс-1) _ 0 . Пусть а _ (а1,...,ас)' - любой ненулевой вектор из ядра матрицы Лс (Х0,..., Хс-1). Обозначим через V , V < с , число ненулевых координат этого вектора. Выберем любое целое число т > V и любые действительные числа 0 < Ят < Ят+1. Положим

Су _ ак, Ф 0, г у _ ек Ятег(р , р - любое действительное число, у _ 1,...,у . Тогда точки г1,...,2У лежат в вершинах правильного с -угольника, а число £ у _ Хуг1 является корнем многочлена

Юу(г) СкАк (г)г(, у_ 0,...,с -1.

к_1

Выберем произвольно различные точки гу+1,...,, принадлежащие замкнутому кругу | 2 |< Ят , и припишем точкам г1,...,кратности э >... > так, чтобы выполнялись условия Э +... + _ т +1 и 51 _ ... _ > +1. По формулам (1) восстановим по C1,..., Су старшие лора-новские коэффициенты А1,..., А , оставшиеся лорановские коэффициенты можем выбрать произвольным образом. По вышеуказанным данным восстановим правильную рациональную дробь г(г). Пусть Ь(г) - любая аналитическая в круге | г | < Ят+1 функция. Тогда мероморфная функция а(г) _ Ь(г) + г(г) принадлежит классу Тт с , множество нулей набора многочленов Юу (г), у _ 0,...,с -1, является для нее множеством Ы¥, причем - один из корней многочлена Юу(г).

Множество всех векторов (А,-,,...,Я0._1) таких, что Ла(Л0,...,Ла-1) = 0 и | Лу |< 1 для всех

у - 0,...,а _ 1, обозначим через Оа . Ясно, что каждый вектор из Оа порождает по описанной выше процедуре функцию, являющуюся контрпримером к гипотезе Бейкера - Грейвс-Морриса, причем каждый контрпример из класса Тт а может быть построен таким способом. Таким образом, рациональные функции г(2), доставляющие контрпримеры в классе Тт а , параметризуются по существу точкой множества Оа . Однако надо быть уверенным в том, что это множество не пусто для любого а . Для доказательства этого факта введем матрицу

( 1 а _1 1 а—2 -1 1

Л0 Ло ••• Ло 1

(Л0Ла—1) -

о а—1 о 2 о

Л • • • Л1 Л1

о а—2 о а—3 1 о а—1

VЛа—1 Ла—1 1 Ла—1)

Пусть ¥а - матрица Вандермонда для системы корней 1,е,...,еа 1 (матрица дискретного преобразования Фурье). Тогда непосредственные вычисления показывают, что

11

Ла (Л0Ла—1) -

а —1 а —1

Лз Ла—1

(Л0Ла—1)Ра,

т.е. уравнение Ла(Л0,...,Ла-1) - 0 равносильно уравнению 2а(Л,,...,Ла-1) - 0. Теорема 1. Для любого а > 3 множество Оа не пусто.

Доказательство. Предъявим элемент этого множества. Обозначим е - еа и пусть dа (Л0) - 2а (Л0,Л0е,.,Л0еа—1). Из вида матрицы 2а следует, что йа (Ло) есть многочлен от Л0 степени а(а — 1) со старшим коэффициентом (—1)а—1. Так как для любых Л0,...,Ла-1 справедливо равенство

^ ^а Л,..., Ла—1, Л0,., Лк—1) - (— 1)(а—11)к 2а (Л0,..., Ла—1), то для любого корня Л0 уравнения dа(Ло) - 0 числа Л0е,...,Л0еа—1 также являются корнями этого уравнения. Это означает, что dа (Ло) есть многочлен от 2 - Л степени а — 1. Обозначим его через 2а(г). Каждый корень ¡л многочлена 2а(2) дает набор чисел Л0,Л0е,...,Ла—1еа—1, лежащих

на окружности | 2 | - | ¡л |а в вершинах правильного а -многоугольника и удовлетворяющих уравнению 2а(Ло,...,Ла-1) - 0.

Рассмотрим теперь матрицу 2а(Ло"1,Л0"1е,.,Л0"1еа—1). Если в ней каждую строку умножить на Л0а—1, записать все столбцы и все строки кроме первой в обратном порядке, а затем из каждой к -й строки (0 < к < а — 1) вынести множитель ек, то после перехода к определителям, получаем

dа (Ло—1) - (—Ч (Ло). Поэтому, если Л0 - корень многочлена dа (Ло), то Л0"1 - также его корень.

Для завершения доказательства осталось показать, что все корни dа (Ло) не могут лежать на единичной окружности | Л0 | - 1 . Предположим противное. Тогда

2а(г) - (—1)а—1(2 — — Га—1), 1Гу |- 1,

и

| dа (1) |-| 2а (1) |< 2а—1.

Найдем теперь | dа(1) | -1 2а(1,е,.,еа—1) |. Вынося из к -й строки 2а(1,е,.,еа—1) множитель sk-1 (2 < к < а — 1), мы приходим к определителю матрицы Вандермонда IV(1,еа—1,.,е).

1

Следовательно | dс (1) | _ | Гс |. Известно, что для матрицы дискретного преобразования Фурье Гс справедливо соотношение ГсГ* _ с 1с , где Г* - сопряженная к Гс матрица. Поэтому

2 с

| Гс | _ сс и окончательно получаем | dс (1) |_ с2 . Таким образом, предположение о том, что все корни d с (X) лежат на единичной окружности, приводит к неверному при с > 3 неравенству

с -1

с2 < 2 с . Поэтому для любого с > 3 существует корень уравнения d с (X) _ 0, лежащий внутри единичного круга и, следовательно, набор Х0, Х0е,..., Х0е с-1 принадлежит Ос . ▲

Приведем пример применения описанной в этом разделе процедуры для построения контрпримера при _ 3 .

Пример 1. Пусть с _ 3 и е _ е2ш13. Многочлен d3(X0) имеет вид

( Х02 Х0 1 ^ 1 Х^е2 Х^е

У Х0е2 1 Х02е4 у

d3(X0)

_ Х6 + (1 - 3е)Х3 +1 _ (Х2 + Хо + е)(Х2 + е2Х0 + е2)(Х02 + еХ0 +1).

В качестве Х0 возьмем корень уравнения Х + Х0 + е _ 0, лежащий внутри единичной окружности:

Х0 = 0,4735614832 - 0,44477180861, |Х01 = г3 = 0,6496787208. Тогда Х1 _ Хе _ 0,1484029436 + 0,6325021792г, X _ Х0е2 _-0,6219644270 - 0,1877303704г.

Ненулевой вектор в _(Х - Х0е, Х0 - Х^е, 1 - Х03 е) , являющийся первым столбцом присоединенной к ,Х1,Х2) матрицы, принадлежит ядру Z3(X0,Х1,X). С учетом уравнения Х02 + Х0 + е _ 0 его можно переписать в виде

Тогда вектор

в _ I (е - 1)(Х + е), (е - 1)(Х + е), (е2 - е)Х +1 - е2"

а _ Г3*в _ -3(Х + е,е2Х0 +1,Х0 + е)

принадлежит ядру матрицы Л3(Х, Х1, X). Все его компоненты отличны от нуля, поэтому V _ 3 .

В качестве С1, С2, С3 можно взять С1 _ Х0 + е, С2 _ е2Х0 +1, С3 _ Х0 + е.

Простейший контрпример получим, взяв в качестве полюсов г1 _ 1, г2 _ е , г3 _ е2, положив их кратности равными 1 и считая, что других полюсов функция не имеет. В этом случае из формулы (1) имеем

, 1 . _ е е2

Ал — , Ат — , Аъ — .

1 9С/ 2 9С2 3 9С3

Тогда рациональная дробь

А А А —— + —— + ——

г 2Л г 2Т г г-з

с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией

22

. . г2 + г + е г(г) _-.

г -1

Для нее для всех к > 1 числа Х0, Х1, Х2 являются полюсами аппроксимаций Паде типа (3к, 2), (3к +1,2), (3к + 2,2), соответственно. Таким образом, внутри любого круга | г | < р , р > г3, для г(г) не существует сходящейся подпоследовательности пп 2 (г). ▲

Приведем значения минимальных модулей га корней многочлена da (Л^) для нескольких первых значений а:

Г3 = 0,6496787208, г4 = 0,5882298353, г 5 = 0,5867107544, г6 = 0,6063459057.

3. Оценки константы ст

Построенные в теореме 1 элементы множества Оа позволяют получить оценку сверху для константы ст из теоремы Буслаева - Гончара - Суетина [2].

В самом деле, для любого т > 3 положим Ят _ Тт+1 и а _ т +1. По этим данным мы можем построить мероморфную функцию а(2) еТта, которая имеет т +1 полюсов, лежащих в замкнутом круге | 2 |< Ят , и для которой точки _ Л,С1 _ Л0е,...,^а-1 _ Л^-1 лежат на окружности | 2 |= Ят . Здесь Л0 - корень уравнения dа (Л)) = 0 такой, что | Л |_ гт+1. Это означает, что в любом круге 121< Ят + е, е > 0, с выброшенными полюсами а( 2), не существует сходящейся подпоследовательности пп т (2). Таким образом, мы получили

Предложение 1.

ст < Г т+1-

▲

В классе Тт а для констант ст можно получить и оценку снизу. Для данного класса функций константу ст будем обозначать ст а .

Теорема 2. Пусть а(2) еТт а. Обозначим г а единственный положительный корень уравнения 2а-1 + 2а-2 +... + 2 -1 = 0 . Тогда существует подпоследовательность пп т(2), которая сходится равномерно к а(2) внутри области, полученной из круга | 2 |< г аЯт выбрасыванием полюсов а(2) и, таким образом, ст а > г а .

Доказательство. Пусть 2Ь ...,2У - доминирующие полюсы а(2), лежащие в вершинах правильного а -угольника (у < а). В этом случае множество дополнительных предельных точек Ы¥

совпадает с множеством нулей последовательности многочленов (Оу (2) _1 СкАк (2)2}к ,

у _ 0,1,.,а -1. Предположим, что сходящейся подпоследовательности ппт(2) не существует,

т.е. каждый из многочленов ((2) имеет хотя бы один корень £ у такой, что | £ у |< г аЯт . Тогда

£ ■

числа Л у _ удовлетворяют неравенствам | Л у |< г а , у _ 0,1,., а -1, и для них матрица

Ла(Л0,...,Ла-1), азначити 2а(Л0,...,Ла-1) необратима. С другой стороны, легко видеть, что матрица

(0 0 - 0 1Л

10 - 0 0

^а (0,.,0) _ . . . .

у0 0 - 1 0у

обратима и для максимальной строчной нормы ее обратной справедливо равенство Кроме того,

1^-1(0,., 0) у 1.

I^а(ЛЛа-1)-^а(0,.,0) || тах (|Л- | + |Л-2 |+...+ |Л} |).

0< у<а-П -1 -1 -1 '

Поскольку многочлен za 1 + za 2 + ... + z -1 возрастает при z > 0, то при | Xj |< r a, выполняются неравенства | Xj_1 | + | Xj-2 | + ...+ | Xj |< 1, j = 0,1,., a -1. Это означает, что

II Za(Xo,...,Xa-1) - Za (0,.,0)||„<|| Z-1(0,.,0)||1, т.е. матрица Za (X0,..., Xa-1) обратима.

Противоречие показывает, что хотя бы для одного j = j0 многочлен (oj0(z) не имеет корней в круге | z |< raRm . Поэтому для n = j0(mod a ) последовательность nnm (z) сходится равномерно к a(z) внутри круга | z |< r aRm с выброшенными полюсами a(z). ▲

Итак, в классе Ym a для констант cm a справедлива оценка:

r a < cm, a < Fm+1-

В частности,

0,6180339887 < с2 3 < 0,6496787208; 0,5436890127 < c3 , 4 < 0,5882298353;

0,5187900637 < c4 5 < 0,5867107544; 0,5086603916 < c56 < 0,6063459057.

Работа выполнена при поддержке РФФИ-Урал, грант № 04-01-96006.

Литература

1. Бейкер Дж., мл., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. - М.: Мир, 1986. - 502 с.

2. Буслаев В.И., Гончар А.А., Суетин С.П. О сходимости подпоследовательностей m -й строки таблицы Паде// Матем. сборник. - 1983. - Т. 120. - № 4. - С. 540-545.

3. Adukov V.M. The uniform convergence of subsequences of the last intermediate row of the Pade table// J. Approx. Theory - 2003. - V. 122. - P. 160-207.

4. Адуков В.М. О существовании сходящихся подпоследовательностей строки таблицы Паде для мероморфной функции// Известия Челябинского научного центра. - 2002. - Вып. 3. - С. 3-7.

Поступила в редакцию 10 июня 2005 г.