CC BY
30
Математика
УДК 517.53
О ЗАДАЧЕ А.А. ГОНЧАРА ДЛЯ ПРЕДПОСЛЕДНЕЙ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ СТРОКИ ТАБЛИЦЫ ПАДЕ
В.М. Адуков
Пусть a(z) = b{z) + r(z), где b{z) - аналитическая в круге | z |< R функция, a r(z) - рациональная дробь, имеющая в данном круге точно Я полюсов. В работе изучается задача А.А. Гончара о влиянии возмущения аналитической функции b{z) рациональной дробью r(z) на сходимость аппроксимаций Паде для (Я - 2) -й строки таблицы Паде мероморфной функции a{z). Оказалось, что в устойчивом случае асимптотическое поведение аппроксимаций Паде для a(z) полностью определяется r(z).
1. Введение
В работе [1] А.А. Гончаром была сформулирована следующая задача: требуется ответить на вопрос о том, как влияет на сходимость аппроксимаций Паде переход от аналитической функции b(z) к мероморфной функции a(z)-b{z) + r{z), где r(z) - рациональная функция. Там же отмечено, что в общем случае задача не поддается анализу ввиду того, что конструкция аппроксимаций Паде является существенно нелинейной.
Однако, если b(z) является марковской функцией конечной положительной борелевской меры с носителем, компактно принадлежащем вещественной оси, то, при некоторых ограничениях на меру, А.А. Гончаром эта задача была полностью исследована для последовательности аппроксимаций Паде в бесконечно удаленной точке [1]. При r{z) = 0 имеется теорема о равномерной сходимости последовательности аппроксимаций Паде для b(z) - это классическая теорема Маркова (см., например, [2]). В данном случае все полюсы яп(г) принадлежат к минимальному отрезку А вещественной оси, содержащему носитель меры. Добавление рациональной функции r(z) можно рассматривать, как своего рода возмущение b{z). Оказалось, что, если носитель меры есть отрезок А вещественной оси и производная меры относительно меры Лебега положительна почти всюду на этом отрезке, a r{z) не имеет полюсов на нем, то каждый полюс r{z)
«притягивает» столько полюсов аппроксимаций Паде nn{z), какова его кратность; остальные полюсы itn(z) «притягиваются» отрезком А [1].
Если носитель меры состоит из нескольких отрезков, то при r{z) = 0 предельные точки множества полюсов диагональных аппроксимаций Паде для b(z) могут принадлежать лакунам между отрезками. Более того, при выполнении некоторых условий «общего положения» (подробнее см. [4, 5]) множество предельных точек совпадает с А . Поведение аппроксимаций Паде для возмущенной функции a(z) при комплексных возмущений r(z) становится теперь значительно сложнее (теорема Гончара остается справедливой, если коэффициенты r{z) вещественны) [3]. Подробно был исследован случай, когда носитель меры состоит из двух непересекающихся отрезков Е{ и Е2 . Тогда множество «лишних» (т.е. отличных от полюсов r(z)) предельных точек полюсов аппроксимаций Паде либо совпадает с Ех и Е2 и Г, где Г - аналитическая дуга, которая зависит только от Ех и Ег и полюсов r(z) и концы которой принадлежат отрезкам Ех, Ег ; либо «лишние» предельные точки множества полюсов nn{z) лежат на Ех и Е2 и лишь конечное число предельных точек лежит на дуге Г. Это направление исследования множества «лишних» предельных точек в настоящее время продолжает интенсивно развиваться [6, 7].
Задача А.А. Гончара может быть также решена для некоторых строчных последовательностей аппроксимаций Паде мероморфных функций [8, 9]. В отличие от диагональных аппроксимаций Паде оказалось, что асимптотическое поведение этих последовательностей полностью определяется рациональной частью r(z) мероморфной функции a(z), а аналитическую функцию b(z) следует рассматривать как возмущение r(z). Изложим подробнее эти результаты.
Пусть a{z) - функция, мероморфная в круге DR = \z е С11 z |< Щ и аналитическая в начале координат. Пусть zu...,z( - ее различные полюсы кратностей su...,st, соответственно, и Я = sx+... + se - число полюсов функции a(z) в круге DR. Предположим, что р :=| zx |=... =| |>| zp+l |>...>| zc I, пусть g = д, +... + sM - число полюсов максимального модуля.
Без ограничения общности можно считать, что R > 1, р < 1.
Если номер т строки таблицы Паде совпадает с Л или т = A-q, то вопрос о сходимости последовательности аппроксимаций Паде япт{г) при и ->со полностью решается теоремой Монтессу де Болора (см., например, [10]). В этих случаях лп т (г) сходится к a{z) равномерно на компактных подмножествах области DR\{zi,...,z^} (при т = А) или Dp\\zM+x,...,ze} (при т = A-q).
Строка таблицы Паде с номером т таким, что A-q <т< А, называется промежуточной строкой. Достаточные условия сходимости всей промежуточной строки были получены в [11].
Представим a(z) в виде a(z) = b(z) + r(z), где b(z) - аналитическая в круге | z |< R функция, a r{z) - рациональная дробь, являющаяся суммой главных частей рядов Лорана a{z) в окрестности полюсов z},...,ze. В работе [8] для строки с номером т = А-1 {последняя промежуточная строка) вначале были явно получены знаменатели аппроксимаций Паде рациональной функции r(z). Это позволило затем изучить их асимптотическое поведение и найти все предельные точки полюсов аппроксимаций Паде для r(z). Оказалось, что асимптотика знаменателей в основном определяется арифметической природой доминирующих полюсов r(z) на окружности \z\- р, то есть полюсов, имеющих максимальную кратность. Далее b(z) рассматривалось как малое возмущение дроби r(z), и соображения устойчивости позволили сделать вывод о том, что асимптотическое поведение знаменатели аппроксимаций Паде функций a(z) и r(z) одинаково. Тем самым для данной строки построена полная теория равномерной сходимости: явно найдено множество всех предельных точек полюсов аппроксимаций Паде и описаны области, внутри которых равномерно сходится вся последняя промежуточная строка (последний факт установлен в [9]).
Соображения устойчивости без каких-либо ограничений на функцию a(z) можно применять только к строкам с номерами т- Л, т = Л -1. Однако в некоторых случаях метод оказался эффективным и для других промежуточных строк. Это было продемонстрировано в работе [12] на примере предпоследней промежуточной строки для мероморфной функции с одним доминирующим полюсом. Этот случай также оказался устойчивым. В данной работе для предпоследней промежуточной строки мы рассмотрим случай, когда число доминирующих полюсов больше одного.
2. Явная формула для знаменателей аппроксимаций Паде r(z)
В работе [8] показано, что в задаче аппроксимаций Паде естественно возникают понятия индексов и существенных многочленов, впервые введенные в [13]. (Определения и обозначения из этих работ мы часто будем использовать без напоминания.) Там показано, что знаменатели аппроксимаций Паде функции a(z) - это первые существенные многочлены подходящей конечной последовательности, составленной из тейлоровских коэффициентов a(z). При этом, соображения устойчивости применимы, когда индексы данной последовательности устойчивы. Для того, чтобы свести изучение сходимости строки таблицы Паде мероморфной функции a(z) к такой же
задаче для рациональной функции г(г) (рациональной части а(г)) потребуется второй существенный многочлен последовательности.
Поэтому при т = А - 2 (предпоследняя промежуточная строка) мы начнем с установления критерия устойчивости и нахождения индексов и существенных многочленов последовательности ] ={гп-т+\,—,гп+т) > составленной из коэффициентов Тейлора правильной рациональной
и аналитической в г = 0 функции г(г) = . Именно эта последовательность необходима для
определения знаменателя аппроксимации Паде типа (п,т) (см. [8], §3).
Нам потребуются некоторые результаты по строке с номером т = Л -1 (см. [8]). Для рациональной функции г(г) знаменатель вп,л-1(2) аппроксимации Паде типа (п,Л-1) есть многочлен К+л, 1(*> К+л(2) > который находится из следующего рекуррентного соотношения
Vk+x(z) = zVk-vkD(z), к> О, (1)
где Ук - коэффициент при старшей степени гл~1 многочлена Ук(г), а У0(г) единственным образом находится из решения уравнения Безу
С/0(*)ОД + К0(г)ВД = 1,
при условии, что degУ0(г)<Л. Многочлены Ук(г) удовлетворяют разностному уравнению
П+л(2) + ^_1Ук+л_1(г) +... + </0Ук(г) = О, к > 0, (2)
где П(г) -гл+ с!л_хгл~] +...+ с!0. Отсюда можно получить явную формулу для Ук(г):
Ук(2) = £'£4л_мук+/_1.2Л-', к>0. (3)
]=1 (=1
Отличие случая т = Л-2 от случаев т = А, т- А-1 в том, что теперь не для любой рациональной дроби г(г) индексы последовательности будут устойчивыми. Например, функция
г(г) = в круге |г |< К., Л > 1, имеет Л = 4 полюса. Легко проверить, что при т- Л-2 после-
г —1
довательность имеет устойчивые индексы только при п = 4к, 4к +1. Устойчивость же ин-
дексов является необходимым условием применимости нашего метода. Поэтому прежде всего выясним условия устойчивости.
Теорема 1. Последовательность , ассоциированная с аппроксимацией Паде типа
(и, А-2), имеет устойчивые индексы п,п + \ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел vn+л_l, уп+л отлично от нуля. Если при выполнении этого условия определить многочлен
ук,2 (2) = Чук-10) - V*-! ук (г) формальной степени А-2, то существенные многочлены <2х(г), 02(г) последовательности г"_+/“32 находятся следующим образом: Я\{г) = Уп+л>2(2) 11
>„+/ЫОХ при уп+л_х ф0, бг О) = ■ К+л+1 ОХ при у„+я * 0,
. К+л(2)> при
Тестовое число а0 для пары многочленов У„+Лд (2) ■ К+л- .] (г) совпадает с (у„+л_х )2, для па-
Ры К+Л,2<»> Уп+Л+1<» “С {уп+л)2’адля К+Л,2^’ К+л(2) ~с \+Л-1\+Л'
Доказательство теоремы приведено в [9].
Учитывая формулу (3) для Ук(г), легко теперь получить явное выражение для многочленов
я-\( }
7=11»=1
гл~^\ (4)
Ук+т+1 Ук+т
. Очевидно, что Ук 2(г) = 0 тогда и только тогда, когда Ук = ук_х = 0.
3. Асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций Наде при ух > 1
Мы начнем с изучения предельного поведения знаменателей аппроксимаций Паде для рациональной части г (г) мероморфной функции а(г). Затем применение подготовительной теоремы 7.1 из [8] позволит получить асимптотику и в мероморфном случае.
Для получения асимптотического поведения знаменателя Уп+Х2(г) аппроксимации Паде типа (и, Я-2) требуется асимптотика определителей Акт, которые выражаются через коэффициент Vк . Этот коэффициент, очевидно, удовлетворяет разностному уравнению (2). По теореме о структуре общего решения линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами имеем
в окрестности полюса г = г} (см. [8]).
Пусть р.=\гх |=...=|г^ \>\гм+х \>...>\гс |. Упорядочим полюсы гх,...,гм так, чтобы для их кратностей выполнялись неравенства ^ ^ . Пусть 5] =... = л„ >5^+1 =... = 5П+И2 >....
Полюсы гх,...,2^ будем называть доминирующими полюсами первого уровня на окружности \г\=р, 2п+1,...,^1+(/2 - второго и т.д.
Случай к, = 1 является устойчивым, он разобран в работе [9]. Отметим, что предельное поведение знаменателей аппроксимаций Паде при ух = 1 зависит от соотношения между кратностями ^1 , 52 и от арифметической природы доминирующих полюсов второго уровня.
Пусть V, > 1, г = ре'п'Ь\] = . В этом случае асимптотическое поведение знаменателей
аппроксимаций Паде л-ид_2(2) ПРИ и —»00 определяется в основном арифметической природой доминирующих полюсов первого уровня. Так же, как в работе [8], введем группу Р,, являющую-
Структура монотетической группы Р, и способ ее явного построения по матрице линейных
к=1
Тогда из формулы (5) следует, что для коэффициентов ук+т справедлива следующая асимптотика
(5)
Здесь р}(к) = С;° +С^к + ...+су V7 1 - многочлен от к степени не выше $ -1 и старший
£ __']
коэффициент С} \= су находится по формуле:
ся замыканием циклической подгруппы
тора Ф'1.
зависимостей между аргументами ©19...,0^ описаны в [8]. Пусть г = [тх,...,ту^ - произвольная точка группы ^ и Лг - соответствующая ей последовательность номеров, т.е.
Обозначим
Ук+т =/^-К« + 0(1)], к-*00, ке АТ.
Отсюда легко получить асимптотику определителей Ак т:
А к,т=Р2кк2*-2[5тЛ(т) +(6)
где £ 2(г) =
ЗД ^.(г)
5^,(7) 5и(г)-
^/и,2(г)-0 дая любого от тогда и только тогда, когда £0(г) = 5_,(г) = 0 . Точку геР, будем
называть в этом случае точкой вырождения второго порядка. Если точка т не является точкой вырождения второго порядка, то для всех достаточно больших п таких, что п + Л е Ат, среди чисел уп+а(т),уп+а_1(г) есть отличные от нуля. Поэтому, по теореме 1 для такой последовательности номеров п будет выполняться условие устойчивости индексов и многочлен Уп+Я2(г) является знаменателем аппроксимации Паде типа (и, Л - 2) для г(г).
Если же г - точка вырождения второго порядка, то изучение сходимости последовательности 2(г), п + Л е Ат, требует отдельного рассмотрения.
К счастью, как показывает следующее предложение, такие точки встречаются не слишком часто.
Предложение 1. Все точки группы ^ не могут быть точками вырождения второго порядка.
При V] = 2 точек вырождения второго порядка нет.
Пусть ух > 3. Если в группе ^ существуют точки вырождения второго порядка, то для всех /,у = 1,...,1'1 выполняются неравенства
2|С,| <£|С4|, 2|С,||г,-г,|*£|С„||24-г,|. (7)
к=\ к~\
Доказательство. Пусть г = (г,,...,гГ]) - произвольная точка группы ^ . По предложению 6.1
из работы [8] среди чисел 30(т),5х(т),...,Б^_х есть не равные нулю. Пусть 8$(т)* 0 и г = р~б{тхг^ . Очевидно, что т е¥х и 5,0(г)-5,(5(т)^0. Поэтому точка т не является
точкой вырождения второго порядка.
Если ух = 2, то по этому же предложению среди чисел 5_](г),5'0(т) всегда есть ненулевые, т.е. в этом случае в группе ^ точек вырождения второго порядка нет.
Если в группе ^ существует точка вырождения второго порядка т = \тх,...,т^}, то из условия «Уо(г):=(?!*) +...+ Сухту =0 сразу следует первая серия неравенств(7). Аналогичным образом, исключив из системы уравнений
Схтх + ... + = О
[Схтхгхх + ... + Суту^ = О
переменную Сгг(, получим неравенство, входящее во вторую серию условий (7).
Таким образом, случай ух =2 является устойчивым, а при ух > 3 нарушение хотя бы одного из неравенств (7) также влечет устойчивость.
Докажем аналог предложения 6.1 из [8].
Предложение 2. Пусть ух>\ и точка г е ^ не является точкой вырождения второго порядка.
Тогда в последовательности
Я0>2(г),-А_2>2(г)
и в последовательности
5'_212(г),...,5_П)2(г) (9)
есть отличные от нуля числа.
Доказательство. Это утверждение легко проверяется, если среди чисел ^(г), ^(г) есть одно равное нулю. Требует доказательства лишь случай, когда оба числа ^(г), Я_х{т) отличны от нуля.
Предположим, что ^ (т) - • ■ •= -2,2 (г) = 0 • Из этих равенств следует, что найдется число
Л такое, что
ЗД = Я^.Сг), 5] (г) = Л2&.,(г),..., ^(г) = Л^_,(г).
Рассматривая эти равенства как систему уравнений относительно СХ,...,СУ] , мы получаем равенство нулю определителя
*4 ^ 1 1 .. , г Чг ^2 ^ 2\-Л2 • •• - II 1 Я 1 • ■ 1 - <
2$ -Л* ’ Лу‘ ■ • <;
(Напомним, что все числа С} отличны от нуля.) Значит, Л должно совпадать с одним из чисел ги...,2у . Если, например, А = гх, то мы получаем аналогичную систему уравнений относительно С2,...,СЛ , из которой следует, что Л должно совпадать с одним из чисел г2,...,гУ1. Однако это невозможно. Противоречие показывает, что среди чисел 5,02(г),...,5,п_22(г) есть отличные от нуля.
Аналогично доказывается часть предложения, относящаяся к последовательности Это предложение по аналогии с работой [8] позволяет ввести понятие плюс (минус)-дефекта
ТОЧКИ Г е Г] .
Определение 3.1. Пусть ге^ не является точкой вырождения второго порядка. Если ‘-*0,2 ф 0 и 3-2,2 (г) ^ 0, то точку т е Р, будем называть невырожденной точкой. В этом случае положим
ё+(т)-= О, 3_(Т) = 0.
Пусть ^(г) = 0. Целое положительное число 5+(г) будем называть плюс-дефектом точки ге^, если
^0,2(г) = ••• = ^+(г)-1,2(г) = ^3+(т),2(г) * 0
Пусть 5'_22(т) = 0. Целое положительное число 3_(т) будем называть минус-дефектом точки г е Р,, если
3-2,2(г) = — = ^-Л.(г)-1,2(г) = 3-д_(т)-2,2(Т) * ®
Существование чисел д±(т) таких, что 0 < д±(т) <ух - 2, гарантирует предложение 2.
Теперь мы можем исследовать асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций Паде предпоследней промежуточной строки для мероморфной функции а(г) = Ь(г) + г(г),
= = (2~2\У1 2еУе ■
Теорема 2. Пусть ух > 1, г - произвольная точка группы ^, не являющаяся точкой вырождения второго порядка, Лт - соответствующая ей последовательность номеров и 3± - плюс (минус)-дефект точки г.
Тогда для всех достаточно больших иеЛг - Л знаменатель Qn л_2 (г) аппроксимации Паде
типа («Д-2) для мероморфной функции а(г) можно (Л -3+(т)-2) -нормировать и для после-
дователъности нормированных многочленов <2П л_2 (г) существует предел
£^-2(2) = **2(*>*)> пеАТ-Л.
П-> СО
Здесь Щ(г,т) - многочлен степени А-5+(т)-2 с единичным старшим коэффициентом, имеющий г - 0 нулем кратности д_(т) и вычисляющийся по формуле:
]¥2{г,т) = -±-02{г,т)^-, (10)
б. ,2 А(г)
7=1 г=У+1 2'г7
А ■ ■ (г) =-^--------, Д(г) = (*-*)-(*-*„).
у (г-г,Хг-г^ 1 п
Если в группе Р, нет точек вырождения второго порядка, то многочленами Ш2 (г, г) исчерпываются все возможные пределы сходящихся подпоследовательностей каким-либо образом нормированных б„я-г(г)-
Доказательство. Схема доказательства этой теоремы такая же, как теоремы 2.2 из [8]. Асимптотика(6) вместе с явной формулой(4) для Ук>2(г) позволяет явно найти \тк^Ук2(г),
к е АТ, а следовательно и предел знаменателя б„д-2(г) = 2 (г) аппроксимации Паде для ра-
циональной дроби г(г). Применение подготовительной теоремы 7.1 из [8] закончит доказательство.
Прежде всего покажем возможность (Л -д+-2) -нормировки многочлена Ук 2(г). Поскольку А к 5+ = Р2кк'‘1~'1[3^о + °(1)] ^ 0 при достаточно больших к, к е Аг, то
А а 1 3, г(^)
А*л ^+>2(т)
при к —> оо, к е Лг. Из формулы (4) и определения плюс-дефекта точки г следует, что коэффициент 2 многочлена Ук>2(г) при гя~3+~2 представляется в виде сси,л-д+-2-^к,8+Ркл-8+-2’
где Рк1-а+-2 ■ Это и означает, что секЯ_3+_2 Ф 0 при достаточно больших к, к еЛт. После
(А-д+ -2) -нормировки многочлена У/с2(г), учитывая (11), получаем
Ит *6А(.
*->0° 7=1 *=1 ^+,2(г)
Обозначим этот многочлен через Щ (г, т). Легко проверить, что его степень совпадает с Л-5+- 2, старший коэффициент равен 1 и он имеет корень х = 0 кратности 8_ .
Используя формулу для Бт 2 (г) можно показать, что
Отсюда уже легко следует формула (10). Таким образом, в рациональном случае теорема доказана.
Для перехода к мероморфному случаю необходимо проверить условия 1) - 4) подготовительной теоремы 7.1 из [8].
Условия 1) - 3) проверяются легко. Проверим выполнимость условия 4). Предположим вначале, что для точки т выполняется условие 80(т) Ф 0. Тогда уп+л Ф 0 для всех достаточно больших п, п + А<=Ат, и по теореме 2.1 в качестве второго существенного многочлена последовательности г"*™+1 можно взять (Э2(г) = Уп+л+1(г). По теореме 6.1 из [8] многочлен К+л(*) Допус-
кает (А -1) -нормировку и нормированный многочлен -1— У„+Л(г) имеет предел Щ(г,т) при
^п+А
п -> со, п + Ае Аг. Из рекуррентного соотношения (1) тогда следует, что многочлен V +л+, (г)
Уп+Л
также имеет предел при п -> со, п + Л е Лг , совпадающий с (г, т) - £>(г).
Теперь легко можно проверить, что условие равномерной ограниченности ^||02(2)И ПРИ
П + АеАт действительно выполняется. Тестовое ЧИСЛО <т0 для пары У^+Л2+^2>(г)у К+Л-г! (г) по
г+ Нп+Х,Л-ё+-2 • ^шдашоьишиииишдш! к„+д , <лп+А^+
следует, что величина
11&00Н.
теореме 1 совпадает с ■А'’п±я Рп+л,л-ё -г • Тогда из асимптотики для у„+л, Ап+Л 8 и условия р < 1
I ^п+Л,6+Рп+Х,Л-б+-2 I Уп+Л+1(0
К+д1
■О
при п —»оо, п + А е Л,, и, значит, равномерно по п ограничена. Аналогично проверяется условие 4), если 5'_1 (г) Ф 0.
Для завершения доказательства осталось применить подготовительную теорему 7.1 из [8].
При = 2 из теоремы легко следует сходимость всей последовательности знаменателей для данной строки.
Следствие 1. Пусть V, =2. Тогда для всех достаточно больших п знаменатель ()п л_2(2) аппроксимации Паде типа (и,А-2) для мероморфной функции а(г) можно (Л-2)-нормировать и для последовательности нормированных многочленов Qn л_2 (г) существует предел
Ит 6,0-2 О) = 7—----------г •
и-»® (г - - гг)
Таким образом, асимптотика знаменателей б„я-г(2)’ когда в группе нет точек вырождения
второго порядка, получена и в этом случае мы знаем все предельные точки полюсов аппроксимаций Паде. При наличии точек вырождения второго порядка мы можем найти лишь часть множества предельных точек полюсов, соответствующую невырожденным точкам г е .
Как и в работе [8] можно теперь исследовать равномерную сходимость подпоследовательностей аппроксимаций Паде яп л_г, что в свою очередь методом работы [12] позволяет найти множество, внутри которой предпоследняя промежуточная строка сходится равномерно.
Итак, для предпоследней промежуточной строки в устойчивом случае ответ на вопрос А.А. Гончара выглядит следующим образом: асимптотическое поведение аппроксимаций Паде а(г) полностью определяется рациональным возмущением г(г).
Работа выполнена при поддержке РФФИ-Урал, грант № 04-01-96006.
Литература
1. Гончар, А.А. О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций / А.А. Гончар // Матем. сборник. - 1975. - Т. 97, № 4 - С. 607-629.
2. Никишин, Е.М. Рациональные аппроксимации и ортогональность / Е.М. Никишин, В.Н. Сорокин. - М.: Наука, 1988. - 256 с.
3. Рахманов, Е.А. О сходимости аппроксимаций Паде мероморфных функций / Е.А. Рахманов // Матем. сборник. - 1977. - Т. 104, № 2. - С. 271-291.
4. Суетин, С.П. О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гипе-рэллиптических функций / С.П. Суетин // Матем. сборник. - 2000. - Т. 191, № 9. - С. 81-114.
5. Суетин, С.П. Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда / С.П. Суетин // Успехи матем. наук - 2002. - Т. 57. - Вып. 1. - С. 45-142.
Адуков В.М.
6. Суетин, С.П. Об асимптотических свойствах полюсов диагональных аппроксимаций Паде для некоторых обобщений марковских функций / С.П. Суетин // Матем. сборник. - 2002. - Т. 193, № 12.-С. 105-133.
7. Суетин, С.П. О динамике «блуждающих» нулей полиномов, ортогональных на нескольких отрезках / С.П. Суетин // Успехи матем. наук - 2002. - Т. 57. - Вып. 2. - С. 199-200.
8. Adukov, V.M. The uniform convergence of subsequences of the last intermediate row of the Pade table / V.M. Adukov // J. Approx. Theory - 2003. - V. 122. - P.160-207.
9. Адуков, B.M. Об асимптотическом поведении знаменателей аппроксимаций Паде для предпоследней промежуточной строки / В.М. Адуков // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2005. - Вып. 5. - № 2(42). - С. 3-9.
10. Бейкер, Дж. Аппроксимации Паде / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис. - М.: Наука, 1986. -502 с.
11. Sidi, A. Quantitative and constructive aspects of the generalized Koenig’s and de Montessus’s theorems for Pade approximants / A. Sidi // J. Comput. Appl. Math - 1990. - V. 29. - P. 257-291.
12. Adukov, V.M. On the set of uniform convergence for the last intermediate row of the Pade table / V.M. Adukov // East Journal on Approximations. - 2005. - Vol. 11, № 4. - P. 375-380.
13. Adukov, V.M. Generalized inversion of block Toeplitz matrices / V.M. Adukov // Linear Algebra Appl. - 1998. - V. 274. - P. 85-124.
Поступила в редакцию 7 февраля 2007 г.
