Об аналоге обобщенного неравенства Гельдера в пространствах Орлича Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 6 (1), с. 157-161

УДК 517.988+517.977.8

ОБ АНАЛОГЕ ОБОБЩЕННОГО НЕРАВЕНСТВА ГЕЛЬДЕРА В ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА

© 2013 г. А.В. Чернов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского Лаупп@таП. т

Пкотупила в редакцию 04.07.2013

Доказывается оценка нормы произведения функций в пространстве Орлича, востребованная при исследовании различных вопросов теории оптимизации распределенных систем.

Клю1евые олква: пространство Орлича, обобщенное неравенство Гельдера.

Введение

(1)

Пусть п, т, е, s е N - заданные числа, Пс Rп - измеримое (в смысле Лебега) ограниченное множество, X, Z, и - некоторые банахквы идеальные пркотранотва (БИП) функций, измеримых на множестве П ; X с Z, и с Z; D с и* - выпуклое множество, А : Zm ^ Xе -заданный линейный кгрантенный кператкр (ЛОО). Как показывают примеры [1, 2, 3], управляемые на1альнк-краевые задаш (НКЗ), связанные с полулинейными эволюционными уравнениями достаточно широкого класса, допускают представление в виде следующего функционально-операторного уравнения:

) + А[ / (., х(.), ы(Ш),

t еП, х е X1.

Здесь и е й - управление, ее Xе - заданный элемент, ,у,и):Пх Р х Р* ^ Рт - заданная функция, непрерывно дифференцируемая по переменным у е Ре, и е Р*, и вместе с производными измеримая по t е П, и непрерывная по {у;и} е Ре х Р*, и такая, что:

F) для всех у е Xе, и е и* суперпозиция /(., у, и) принадлежит пространству Zm .

В каждом из упомянутых выше примеров в качестве пространств X, Z выступали лебеговы пространства. При этом теория в [2, 3] развивалась для банаховых идеальных пространств в предположении, что выполняется следующее условие.

S) Существуют БИП ZX и числа Кх >0 и ах > 0, такие, что для всех х е X, у е Zх имеем ух е Z, и справедливо неравенство:

|Мг - Кх

11ж'

Выбор лебеговых пространств был обусловлен следующими обстоятельствами.

Во-первых, для лебеговых пространств условие S) выполняется. А именно, пользуясь неравенством Гельдера, нетрудно показать, что если, например, г = Lp (П), X = Lq (П), д >

> р > 1, то условие S) выполнено при Zх =

= Lст (П), Кх = ах = 1, где 1/д +1/ст = 1/р (при

д = р , соответственно, ст = да ). В связи с этим

следующее неравенство мы будем именовать кбкбщенным неравенотвкм Гельдера:

/ \1/р / \1/д/ \1/ст

I Г |х^)у^)|Pdt - I Г |х^)|qdt I Г |у^)| dt

1.П ^ 1_П МП у

В частности, при р = 1 данное неравенство обращается в обычное неравенство Гельдера (для интегралов). Здесь сразу следует оговориться, что существуют и другие обобщения неравенства Гельдера, см., например, [4, § 6.9], но их мы не имеем в виду. Таким образом, в соответствии с принятой нами терминологией, свойство S) (если оно выполняется для данных БИП) можно понимать как аналог обобщенного неравенства Гельдера.

Во-вторых, в случае, когда для решения НКЗ, связанной с линейным аналогом исследуемого уравнения в частных производных, установлено некоторое энергетическое неравенство (а оно, как правило, записывается через нормы соболевских пространств), подходящая теорема вложения Соболева как раз и позволяет свести НКЗ для полулинейного эволюционного уравнения к уравнению (1) в лебеговом пространстве.

В связи с указанными двумя обстоятельствами отметим следующее.

Теоремы вложения Соболева предполагают соблюдение некоторых соотношений между параметрами гладкости и суммируемости и определенными геометрическими свойствами

а

А

области Пс Rп. Первоначально это было условие звездности (или условие конуса), см. [5]. Позднее доказывались различные обобщения, см. обзор в [6]. Вместе с тем, возможны ситуации, когда геометрическая структура области П не позволяет установить вложение пространства Соболева в какое бы то ни было лебегово пространство, а вложение в пространство Орлича может быть установлено, см., например, [7, 8]. Здесь вполне закономерно возникает вопрос: выполняется ли условие S) для пространств Орлича?

В данной статье дается утвердительный ответ на этот вопрос. А именно, пусть X = LM ,

Z = LMz - пространства Орлича (см. [9], § IV.3), причем существует Л-функция M^(.), такая, что

M2 (2M^ (.)) = Mx (.). (2)

Тогда функция

My (.) = Mz (2M](.)) (3)

будет, очевидно, Л-функцией. Соответственно, определено пространство Орлича Y = LMy . Мы

доказываем, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. При сделанных предположениях и X = LM^ , Z = LMz условие S) выполняется с

zx = Y = Lmy , Kx = 2 и а x =1.

Необходимые сведения

Для удобства читателя напомним кратко определения Л-функции и пространства Орлича функций, измеримых на множестве П [9, IV.3].

Заданная на (-да, да) четная выпуклая

положительная при т Ф 0 непрерывная функция

M (т) называется Л-функцией, если

M (т) , M(t)

lim--------0, lim----------ьда.

т^0 Т т^+да Т

Для каждой Л -функции равенством M * (т) = sup (£г- M О

-да<^<да

определяется дополнительная Л-функция. Справедливы следующие свойства.

N1) Л-функция M (т) монотонно возрастает на [0,+да) и M (0) = 0.

N 2) Дополнительная Л-функция M (т) тоже является Л-функцией, причем M = = (M*)* = M .

N 3) Для любых х, Е е Ж имеет место неравенотвк Юнга | хЕ |-М(х) + М*(Е).

Пусть М (х) - заданная Л-функция.

Пркотранотвкм Орлта LM (П) называется совокупность всех функций х^), измеримых на множестве П , и таких, что найдется число X >0 (зависящее от х), для которого

Г*М(| х(() | /X)dt < да.

П

На пространстве Орлича вводятся следующие две эквивалентные нормы:

x = sup

LM

Jjx(t)y(t)jdt: Jm•(y(t))dt < 1І

1П П J

= inf <j^ >О: Jm (j x(t )j/^)dt < 11.

При этом для любого х є LM справедливы оценки

1 1

Ні < 2Х\ ьм, \\Х\ ьм <1\Х\Г . (4)

її иьм и и и и и і'Ьм

Как показано в [9, ГУ.3, теорема 7], пространство Орлича Lм (как с нормой III , так и с

II IIЬм

1

нормой ЦІ ьм ) является банаховым фундаментальным пространством (а следовательно, БИП) с условиями (В) и (С) (по терминологии

[9]).

Доказательство основного утверждения

Справедливость теоремы 1 вытекает из следующих трех лемм.

Лемма 1. При сделанных предположениях функция (3) является Л-функцией.

Доказательство. Согласно свойству N 2), функция м^(.) является Л-функцией. Тогда четность, непрерывность и положительность (всюду, кроме нуля) функции (3) очевидны. Исследуем предельные соотношения:

• Mr (х).,. Mz (2Mt(x)) M](х) -----------2lim -

lim

х^О X

х^о 2M - (х)

= О;

• MY (х).,. Mz (2M](х)) м;(х)_ -----------2lim

lim

х^+да х

2М-(х)

= +да.

Проверим, наконец, выпуклость функции (3). Для произвольных х, Ее 1Р и X е [0;1] оценим:

Му (Хх + (1 - Х)Е) = Ма (2Мх (Хх + (1 - Х)Е)).

В силу выпуклости Л-функции Мх (.) имеем

x

х

X

мх (Хх+(1 - Х)Е) - ХМх (х) + (1 - х)Мх (Е),

причем все значения здесь неотрицательны. Тогда, пользуясь свойством N1), а также выпуклостью Л-функции МА, можем оценить му (Хх+(1 -Х)Е) -- Ма (2ХМ*(х) + 2(1 - Х)М:(£)) -- ХМа (2Мх (х)) + (1 - Х)Ма (2Мх (Е)) =

= ХМу (х) + (1 -Х)Му (Е).

Лемма доказана.

Лемма 2. При сделанных предположениях имеем: ху е Ьм2 для всех х е Ьмх , у е Ьму . Доказательство. Выберем произвольно

х е Ьмг , у е Ьмг и г е Ь * , такое, что

sup

JI x(t)y(t)z(t) \dt:

JM*(|z(t )\)dt < l| < да,

JmZ(\z (t )\)dt

< 1.

По определению пространств LM , LM найдутся числа Xx, X > 0, при которых

J

M,

f\x(t )\^

X.

f\y (t )0

V Xy J

dt < да.

dt < да, Jmy

П V '"x J П

Пользуясь свойствами N 3) и N j), оценим:

\x(t )\\y (t )\,

J \ x(t)y(t)z(t)\dt = XxXy J

П

\ x(t )W y(t )\ dt + JmZ(\ z(t )\) dt

<X x X y I jMz

x-y .л . \ z(t)\dt <

Xx Xy

fl „М, мЛ ^

<X x X y I JMz

J2MX 2 x

^\x(t )\ ^

v X x J

(

+ - 2Mx 2 x

\y(t )\

V Xy JJ

dt +1

<X X I - M

+ - M

2M..

V Xx JJ

VX y J

dt +

dt +1

J

Таким образом, в силу (2) и (3)

J \ x(t)y(t)z(t) \dt <

X„X„

M,

f\x^

2

Отсюда

dt + \M^ *

Jm

VX y J

dt + 2

< да.

следовательно, xy e LM^ . Лемма доказана.

Пример. Пусть q > p , X = Lq (П), Z =

= Lp (П). Нетрудно убедиться, что функции

Mx (т) =\ т \q, Mz (т) =\ т \p являются Л-функция-ми. Поэтому указанные пространства можно понимать как пространства Орлича X = LM ,

Z = LMz . Функция M— (Mx (т)) =\ т \q/p тоже является Л-функцией, поскольку q/p > 1. В таком

случае и функция Mx (т) = -1\ т \q/p , получаемая из

условия (2), тоже является Л-функцией. Дополнительная Л-функция при т >0

mx (т) = sup ГтЕ-1 Е \q/p] = sup f тЕ -1 Eq/p

EeR V 2 J E>0 V 2

Вычисляя производную и приравнивая ее к нулю, находим точку максимума:

т-JLE(q/p)-1 = 0 ^ E(q-p)/p = —т ^

2p q

^ E = Е(т) =

Соответственно

^2 p^ p/( q - p)

m :(т) = E(т)|т- 2 E(т)( q-p )/p 1 =

q - p

= C (p, qK

q/( q - p)

где

C (p, q) =

q - p

( 2 pV* q-p)

q

>0.

При произвольном х е Ж функция Мх (х) = = С(р, д)| х |д/(д-р). Таким образом,

Мг (х)= Мг (2М*(х)) =

= 2 рСр (р, д)|х|рд/(д-р)= С,( р, д)|х|ст, рд

где С1(р, д) > 0, ст =-----. Поэтому с точностью

д - р

до эквивалентной нормы можем считать, что

Y = Ьму = 4 (П).

M

z

Y

q

+

Лемма 3. При сделанных предположениях для любых х е ЬМ и у е ЬМ имеем оценку:

Ь \\У\\Ь

'Ьмх" "Ьм„

||ху|| - 21 х|

ЬмА ~Мх М у

Доказательство. Выберем произвольно

х е ЬМ , у е ЬМ и г е Ь _ , такое, что

Мх ’ У Му }4_ ’ ’

\м*(и (t )|)dt

< 1.

По определению пространства ЬМ^ найдется

число Хх > 0, при котором

г, Г | х(7) | ^

Мх --------- dt < да.

^ Х

П V х ]

Выберем произвольно ц > 0 и пользуясь выпуклостью Л-функции Мх, оценим:

Х х | х К Ц

м,

^х(t )р

Vх х + Цу

dt = м,

-0

х„

х х + М-;

м,

І х(ґ)|

Vх х у

х

Л

dt + -

Х х +Ц

|мх (0)dt,

м,

С\х« )\^

1х

П v у

х,

dt < 1.

м,

Г\У« )\^

‘-у

П V у

х

dt < 1.

Х1Х 2

К [ т1 V+|

ЧП V 1 У

х,

dt + му

п Vх2 у

dt + 2

откуда

Х1 = Х(1п). Аналогичным образом, найдется убы-

1

вающая последовательность ^ ||у| ьМг и

такая, что имеет место (6) при Х 2 = Х(2п). По доказанному,

{|х(7)у(7)г(7)|dt - 2Х1п)Х(2п). (8)

П

Переходя в (8) к пределу при п ^ да, получаем:

Г | х(7)у(7)г(7) |dt - 2||х|| Ьмх \\у\\ Ьму .

П

Отсюда в соответствии с оценкой (4) заключаем, что

Г | х(7)у(7)г(7) |dt - 21 х\1 \\у\1 .

Л и иьм^ ||ьм„

П х у

В силу произвольности выбора г и определения нормы

dt <

ху

\ х(t)У^)^ :

|м* (\ )\)сЛ < 1І

где согласно свойству N1) Мх (0) = 0 . Поскольку число ц > 0 можно взять сколь угодно большим, то ясно, что найдется число Х1 = Хх + ц > 0 , при котором

У

(5)

Аналогично, найдется число х 2 > 0, при котором

(6)

Далее, повторяя практически дословно рассуждения из доказательства леммы 2, приходим к оценке

I \ х^)у()) \dt < 2^х2. (7)

окончательно получаем

||ху|| - 21 х||

11 "ЬМА 11 ''ЬМх "ЬМу

Лемма доказана.

Об аналоге неравенства Гельдера

Неравенство из формулировки теоремы 1 можно понимать как аналог обобщенного неравенства Гельдера. Далее для полноты изложения докажем аналог собственно неравенства Гельдера.

Теорема 2. Пусть М (.) - любая Л-функция.

Тогда для всех х е ЬМ , у е Ь _ справедлива

оценка:

Г| х(7)у(7)|dt <||х||ь \\у\1 <||х||ь ||у||ь . (9)

П и иЬм и иьм_ " "Ьм" %_

Доказательство. В случае у = 0 неравенство

(9) выполняется очевидным образом. Предполо-1

жим, что ||у|| ь _ ^ 0 . По определению нормы 1

.1 ь _ найдется убывающая последовательность

Оценка (7) справедлива для любых Х1 > 0 и Х2 > 0, удовлетворяющих условиям (5) и (6). Согласно определению нормы

И М =^ |х >0: |Мх ^

найдется убывающая последовательность 1

Х(1п) ^ х ьм и такая, что имеет место (5) при

Х п ^ у ь _ и такая, что

пи* I/ 7

м’

( ІХ0І ^

Vх п у

dt < 1.

Обозначим уп =| у | /Хп. Тогда по определению нормы

х = sup

имеем:

I \ х(Г)У^)\dt: |м*(\У^)\)dt

< 1

м

2

Г | х(7)у(7) ^ = ХпГ | х(7)уп(7) ^ - Хп\\х\1м.

ПП

Переходя в последнем неравенстве к пределу при п ^ да и учитывая оценку (4), получаем (9). Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках гос. задания на оказание услуг в 2012-2014 гг. подведомственными вузами (шифр заявки 1.1907.2011).

Спиоок литературы

1. Чернов А.В. О вольтерровых функциональнооператорных играх на заданном множестве // Матем. теория игр и ее приложения. 2011. Т. 3. Вып. 1. С. 91-117.

2. Чернов А.В. Об одном мажорантном признаке тотального сохранения глобальной разрешимости управляемого функционально-операторного уравнения // Изв. вузов. Математика. 2011. № 3. С. 95-107.

3. Чернов А.В. О сходимости метода условного градиента в распределенных задачах оптимизации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 9. С. 1616-1629.

4. Харди Г.Г., Литлвуд Дж.И., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 456 с.

5. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

6. Бесов О.В. Теорема вложения Соболева для области с нерегулярной границей // Мат. сборник. 2001. Т. 192. № 3. С. 3-26.

7. Похожаев С.И. О теореме вложения Соболева в случае р1 = п // Докл. науч.-техн. конф. МЭИ. Секц. Мат. М.: Изд-во МЭИ, 1965. С.158-170.

8. Трушин Б.В. Вложение пространства Соболева в пространства Орлича и ВМО со степенными весами // Труды матем. института им. В.А. Стеклова. 2003. Т. 243. С. 334-345.

9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

ON AN ANALOG OF GENERALIZED HOLDER INEQUALITY IN ORLICZ SPACES

A. V. Chernov

An estimate of the product norm of two functions in an Orlicz space is proved which is required to study a number of problems in the optimization theory for distributed systems.

Keywords: Orlicz space, generalized Holder inequality.