К вопросу о сходимости метода условного градиента в распределенных задачах оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лоб ачевского, 2010, № 2 (1), с. 124-130

УДК 517.988, 517.977.56

К ВОПРОСУ О СХОДИМОСТИ МЕТОДА УСЛОВНОГО ГРАДИЕНТА В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

© 2010 г. А.В. Черное

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского chavnn@mail.ru

Поступила в редакцию 19.10.2009

Для задачи оптимизации нелинейного управляемого функционально-операторного уравнения в банаховом идеальном пространстве формулируется теорема о достаточных условиях сходимости метода условного градиента. Применение излагаемой теории иллюстрируется на примере управляемой задачи Г урса - Дарбу.

Ключевые слова: нелинейное управляемое функционально-операторное уравнение, задачи оптимизации, метод условного градиента.

Введение

Пусть n, m, L, s e N - заданные числа,

П с Rn - измеримое (здесь и далее в смысле Лебега) ограниченное множество, X,Z,U - банаховы идеальные пространства1 (БИП) измеримых на П функций, D с Us - выпуклое множество,

A : Zm ^ XL - заданный линейный ограниченный оператор (ЛОО). Рассмотрим управляемое функционально-операторное уравнение x(t) = ö(t) + A[f (., x(.), u(.) )](t),

t еП, x e XL, (1)

где u e D - управление, 0 e XL, f: П x RL x x Rs ^ Rm - заданная функция, такая, что:

Fi) для всех y е XL, u е D суперпозиция

f (., у(.), u(.)) принадлежит Zm .

Уравнение (1) можно получить, например, из функционально-операторного уравнения

z (t) = f (t >A[ z ](t X u(t)),

t e П , z e Zm, (2)

изучаемого в [1-5] (в случае лебеговых пространств). Для этого достаточно подействовать на (2) оператором A и произвести замену A[ z ] = x. При этом уравнения (1) и (2) будут эквивалентны при условии единственности решения того и другого уравнения. Как свидетельствуют многочисленные примеры из [2, 3], к уравнению (2), в свою очередь, с помощью метода обращения главной части может быть сведен довольно широкий класс управляемых начально-краевых задач (НКЗ). Как видно из следующего примера, в некоторых случаях пе-

рейти от управляемой НКЗ к уравнению (1) можно и непосредственно.

А именно, рассмотрим управляемую задачу Гурса - Дарбу:

'х^(г) = /(г,х(г),ы(г)), г = (*!,г2)еП = [0,Тх]х[0,Т2]; ^ х(г1,0) = г1 е[0,т1]; х(0,г2) = ®2(г2Х г2 е [0,Т2]; (3)

«1(0)= ^2(0).

Будем считать, что функции «1 и Й2 абсолютно-непрерывны, а функция / удовлетворяет условию F1) при I = 1, т = 1, X = Lq (П), Z = = Lp (П), 1 < р < q < +да , и = Lr (П),

г е [1, да). Решение задачи (3) будем понимать в смысле п.в. и искать его среди функций из Lq (П), имеющих смешанную производную

класса Lp (П). В таком случае, обращая дифференциальный оператор этой задачи, приводим ее к виду:

х(гь ¿2) = «1^) + «2^2) -“1(0) +

¿1 г2

+ |^ |/& Х(^),ыф)

0 0

Полученное уравнение равносильно следующему:

х(г) = ы(г)+А[/(., х, ы)](г), г е П, х е Lq (П), (4) где м>(гъ¿2) = ю^) + «2^2)-«1(0), ^^(П), А : Lp (П) ^ Lq (П) - оператор, определяемый формулой:

г1 г2

А[ г ](?!, ¿2) = / й^11 г(^1, ^2 )й^2.

0 0

Уравнение (4) имеет вид (1) и удовлетворяет всем предположениям, которые мы приняли относительно уравнения (1). В данном примере оператор А возникает как разрешающий оператор НКЗ, обращающий главную часть дифференциального уравнения. Его свойства отражают характер зависимости решения соответствующего линейного дифференциального уравнения от правой части при нулевых начальнокраевых условиях.

При численной оптимизации сосредоточенных и распределенных управляемых систем удобно понимать целевой функционал задачи оптимизации как функционал, зависящий только от управления. Для управляемых НКЗ, допускающих описание в форме (1), речь здесь идет о представлении критерия оптимальности в виде

J [ы ] = F [ хы, ы ], (5)

где ы е D - управление, а хЫ е X ^ - отвечающее ему решение уравнения (1), F: X^ х х D ^ R - дифференцируемый (в том или ином смысле) функционал. Удобство такого представления связано с тем, что в противном случае приходится рассматривать целевой функционал как функционал F[х, ы] на множестве пар (х, ы ), связанных соотношением (условием связи) (1). В результате в множество ограничений задачи оптимизации включается весьма нетривиальное (для учета и исследования) ограничение (1). Кроме того, представление (5) дает нам возможность для оптимизации уравнения (1) применить алгоритм метода условного градиента [6, §XV.4] для общей задачи минимизации в банаховом пространстве и при обосновании сходимости этого метода использовать некоторые общие идеи [6, §XV.4]. Тем не менее отметим одно отличие. Распространенным требованием при доказательстве сходимости метода условного градиента в общей задаче минимизации в банаховом пространстве является липшицевость градиента целевого функционала (см., например, [6, 7]; в [7, §VШ.4] соответствующие абстрактные результаты в качестве иллюстрации применяются к задаче минимизации квадратичного функционала, заданного на решениях управляемой задачи Коши, связанной с обыкновенным линейным дифференциальным уравнением). Мы изначально рассматриваем более конкретную задачу минимизации функ-

ционала вида (5) и вместо указанного требования предполагаем существование единственного решения уравнения (1) для всех ы е D и равномерную поточечную ограниченность этого решения. Достаточные условия, гарантирующие выполнение этих предположений, можно найти в [8]. Кроме того, нам требуется также равномерная поточечная оценка приращения решения уравнения (1) через приращение управления. Условия, при которых такая оценка имеет место, формулируются в данной статье. Дадим некоторые пояснения касательно наших предположений.

Представление (5) само по себе приводит к необходимости рассмотрения проблемы сохранения разрешимости уравнения (1) при варьировании управления. В частности, дифференцируемость функционала J[ы ] в точке Ы0 е D предполагает, что он определен в некоторой окрестности этой точки, следовательно, имеет место сохранение разрешимости уравнения (1), а стало быть, сохранение глобальной разрешимости соответствующей НКЗ, при варьировании управления Ы0 в пределах этой окрестности.

О том что эта проблема не является надуманной (сохранение глобальной разрешимости распределенных систем может не иметь места даже при малых вариациях управления), свидетельствуют, в частности, примеры из [2, 3]. Достаточные условия сохранения глобальной разрешимости управляемых начально-краевых задач при малых (в определенном смысле) вариациях управления можно найти, например, в [1-5, 9,

10]. Вместе с тем использование некоторых градиентных методов для минимизации функционала (5) на множестве D, в частности градиентного метода с дроблением шага и метода условного градиента, предполагает, что соответствующее уравнение (1) обладает свойством разрешимости тотально, то есть на всем множестве D допустимых управлений. Иными словами, речь идет о тотальном сохранении разрешимости (ТСР) указанного уравнения. Кроме того, представление функционала в виде (5) возможно лишь тогда, когда уравнение (1) не просто разрешимо для соответствующих управлений, а однозначно разрешимо.

В следующих далее двух параграфах приводятся точные формулировки основных результатов, вкратце обозначенных выше. Теорема о сходимости метода условного градиента формулируется в §1. Теорема о равномерной оценке приращения решения формулируется в § 2. Применение доказанных абстрактных результатов иллюстрируется на примере управляемой

задачи Гурса - Дарбу. Совершенно аналогичным образом можно рассмотреть и многие другие, достаточно содержательные примеры (в частности, при соответствующих условиях -примеры из статьи [2]).

1. Формулировка основного результата

В данном параграфе будем считать выполненными следующие предположения.

Н]) Для каждого ы е D уравнение (1) име-

VI

ет, и притом единственное, решение хЫ е X .

Н2) Существуют ы* е и, х* е X такие,

что | ы(г) |< Ы* (гX 1 хы (г) |< х*(г) ^ы е D.

Н3) Существует положительный ЛОО

В* : и ^ X такой, что для всех управлений

Ы0,Ы1 е D

х0, х1 е Xе уравнения (1) справедлива оценка:

I Ах |< В*[| Аы/(хе) |], где Ах = х1 - х0, Аы/(х0) = /(.,х0(.),Ы1(.)) -

- /(., х0(.),Ы0(.)).

Будем предполагать также, что рассматриваемые пространства удовлетворяют условиям:

51) Существуют БИП Zx и числа Kx > 0

и аX > 0 такие, что для всех х е X, у е Zx

имеем: ух е Z , и справедливо неравенство

Цу4 < ^ -IIу £ -II ^.

52) Существуют БИП Zu и числа Ки > 0

и аи > 0 такие, что для всех х е и, у е Zu

имеем: ух е Z , и справедливо неравенство

\\ух\\7 < ки -ЦУ

а

Ни'

Относительно функции / и ЛОО А предполагаем, что помимо условия F1), указанного выше, выполняются следующие условия.

F2) Функция /(г, у, ы) непрерывно дифференцируема по переменным у е R ^, ы е Rs и вместе с производными измерима по г е П и непрерывна по {у;ы} е Rе х Rs.

F3) Для всех {у, ы} е Xе х и* суперпозиции /у (., у(.),ы(.))е 7-тх^, /Ы (., у(.), ы(.)) е 7тх*.

А0) Для всякого у е 7

тх£

X

операторы

определяе-

и отвечающих им решений

А(у) : X1 ^ X1 и А[у] : 7т ^ 7т мые соответственно формулами:

А( у)[ х] = А[ ух], х е X1;

А[у][г] = уА[г], г е 7т, являются квазинильпотентными, то есть их спектральные радиусы р(А, )) = р(А[у]) = 0.

Замечание 2. Пользуясь неравенством Гельдера, нетрудно показать, что если, например, 7 = Lp (П), X = Lq (П), q > р > 1, то

условие S1) выполнено при 7x = La (П), Kx =

1 .111,

= аX = 1, где —I— = — (при q = р, соот-

q о р

ветственно, о = да). Мы ссылаемся на это обстоятельство в приведенном ниже примере. Однако выполнение условия S1) не является свойством одних только лебеговых пространств. В частности, его выполнение можно установить и в более общей ситуации пространств Орлича (обобщающих, как известно, лебеговы пространства). А именно, пусть

X=LMx, 7=Д

М7 - пространства Орлича

S3) БИП 7, 7X и 7и являются пространствами с порядково-непрерывной нормой.

Замечание 1. Напомним (см., например, [6, п. 4.3.2]), что БИП 7 = 7(П) называется БИП с порядково-непрерывной нормой, если из того, что последовательность {гп} с 7 для п.в. г е П монотонно стремится к нулю: гп (г) ^ 0, следует, что ||гп|| ^ 0. Так, например, 7 = Дда (П) не является пространством с порядково-непрерывной нормой, но вложено в любое Др (П), р е [1, да), каждое из которых по

теореме Лебега о сходимости является БИП с о-непрерывной нормой.

(см. [6, § IV. 3]), причем существует N-функция М „ (.) такая, что М7 (2М;^(.))= Mx (.).

*

Тогда функция MY (.) = М7 (2М^(.)) будет,

очевидно, N -функцией. Соответственно определено пространство Орлича У = Дм¥ . При

этом будет справедливо неравенство:

||ху|1 < 21 х||

II Л1Дм 11 11

М,

у , и тем самым, усло-

"Lмv

17 М У

вие S1) выполняется. Однако доказательство этого факта намного менее тривиально, чем для случая лебеговых пространств.

Замечание 3. Достаточные условия выполнения предположений А0) можно найти в [#,

11].

7

и

Далее в целях простоты изложения мы будем предполагать, что элемент 0 є X^ в уравнении (1) фиксирован, то есть не является управляющим. Это требование не является особо ограничительным, поскольку с помощью

замены х — 0 = х уравнение (1) сводится к уравнению вида (1)с 0 = 0 и управляющим набором и, расширенным добавлением всех компонент 0, при условии, что X = и . Последнее условие несущественно, поскольку вместо пространства и5 можно рассмотреть прямое произведение различных БИП, удовлетворяющих сходным условиям. Соответствующие изменения в условиях, формулировках и доказательствах весьма очевидны, но приводят к еще большему усложнению и без того достаточно громоздких выкладок. Исключительно по этой причине мы рассматриваем здесь указанный упрощенный случай. Соответственно, будем рассматривать целевой функционал вида J [и] = Ф[Д (., Хи , и)],

где Ф : Xт ^ R - некоторый линейный непрерывный функционал2, X - БИП, удовлетворяющее таким же условиям, как пространство

X с заменой Хх, Хи на Х х, Хи соответственно; функция F(^ х,и) удовлетворяет таким же условиям, как функция f ((, х,и) с заменой т

на т, X на X, Хх на Xх, Хи на Хи; хи є X ^ - решение уравнения (1), отвечающее управлению и .

Теорема 1. При сделанных предположениях существует константа М >0, такая, что для любого выбора управлений и0), щ є D справедлива оценка:

| J(и1) — J(и0) |< М • ||и1 — и0||.

Теорема 2. При сделанных предположениях для любого выбора управлений и0), щ є D функционал J[и] имеет производную по вектору3 h = и1 — ио, определяемую формулой ¿н (ио) = ^[ / (., Хо, Uо)h] + Ф[ ¿и (., Хо, Uо)h],(6) где х = Хо є X - решение уравнения (1), отвечающее управлению и=ио, ^=ФЛоЛ(ЛЛо)^є є (Xm) , Л о : X ^ ^ Xm - оператор умножения на функцию /' (.,хо,ио); Ло : X1 ^ Xт - оператор умножения на функцию Fy(.,хо,ио);

да

R(АЛ0)= ^ (АЛо)к =(I - АЛ0)-1. Более того,

к=0

существует функция у(Х) ^ 0 при X ^ +0 такая, что для остатка в соответствующей формуле приращения

Jи + Хк) - J(и0) = /(и0) + \(и0,и1) (7) справедлива равномерная оценка:

I \ (и0 , и1)|^ Х-у(Х) для всех и0), и1 е D.

Замечание 4. Таким образом, существует д/

производная —(^) = / (^)по любому воз-дк

можному для множества В в точке и0 е В направлению к еи5, ||к|| = 1.

Теорема 3. Функционал ^е (Хт )* является единственным решением сопряженного уравнения

А А А ЛА

¥- А Л0^ = А Л0Ф.

Согласно теореме 2, для любых управлений и0, и1 е В существует производная функционала / по вектору к = и1 - и0 , то есть /н (и0), которая определяется формулой (6). Заметим, что выражение в правой части формулы (6)

имеет смысл для всех к е и5, и более того, функционал /г (и0): и5 ^ R, определяемый ею, является линейным и непрерывным: /г (и0) е (и5) , и справедливо равенство:

/н Ю = /г (%)[к] для всех к = и - и0, где и7 е В, 7 =0,1.

Если бы производная /к (^) существовала

для всех к е и5, то функционал /г (^) был бы производной функционала / по Гато в точке и0. Это обстоятельство служит оправданием принятого нами обозначения, хотя при сделанных нами предположениях функционал

/г (и0), вообще говоря, производной по Гато не является. Тем не менее установленное равенство позволяет организовать итерационную последовательность {ик} по методу условного градиента, а именно:

и0 е А ик+1 = ик + 8к(wk - икX (8)

где Wk е В выбирается из условия:

/г (ик )^к ] = шп /г (ик )[и], (9)

иеВ

а величина спуска sk находится из равенства:

J[uk+1]= min J[uk + MWk -uk)]. (10)

Xe[0;1]

Собственно говоря, именно здесь нам и требуется ТСР уравнения (1). При сделанных предположениях можно обосновать корректность формул (8)-(10). Кроме того, нетрудно понять, что вопрос о существовании минимума в формуле (9) в случае, когда множество D определяется как конусный отрезок:

D = {u е Us : u(t) < u(t) < U(t) п.в. t еП} =

= [u; u], u, u? eUs, решается достаточно просто.

Далее по аналогии с [6, п. XV.4.5, с. 603] точку u* е D будем называть стационарной точкой функционала J[u ] на множестве D, если

J г (u*)[u*] min J г (u* )[u].

ueD

Можно показать, что все точки локального минимума функционала J[u] на множестве D стационарны.

Теорема 4. Для последовательностей {uk} и {Wk}, определяемых формулами (8)-(10), справедливо соотношение:

\ Jr (uk)[wk - uk]|= -Jr (uk)[wk - uk ] ^ 0 при k ^ да.

Замечание 5. В силу теоремы 4 метод условного градиента (8)-(10) сходится, и в качестве критерия останова можно использовать

условие малости величины \ Jr (uk)[Wk - uk ]\.

Более того, если функция Jr (.): D ^ (Us )* непрерывна, то в силу теоремы 4 любая предельная точка последовательности (8) является стационарной точкой функционала J[u] на

множестве D. В случае выпуклости функционала J[u] нетрудно показать, что последовательность (8) является минимизирующей. Что касается достаточных условий выполнения этих дополнительных требований, то они должны быть предметом отдельного рассмотрения.

2. Оценка приращения решения

Пусть Е = Е(П) - а -алгебра всех измеримых по Лебегу подмножеств множества П. Далее для всякого множества H е Е оператор умножения на характеристическую функцию

Xн будем обозначать Рн независимо от того, в каком именно БИП он действует.

Определение. Систему B(A) = {H е Е : PhAPh = PhA} будем, следуя [9], называть системой вольтерровых множеств ЛОО

A : Zm ^ Xl . При этом для числа 5 >0 подсистему

T = {0 = H0 с н1 с к с Hk = П} с B(A)

будем, следуя [3,5], называть

1) вольтерровой 5 -цепочкой ЛОО A, если \PhAPh\ < 5 для всех h = Hi \Hi-i, i = 1,k ;

2) вольтерровой 5 -малой по мере цепочкой множеств ЛОО A, если mes (h) < 5 для

всех h = H7 \ H7-i, i = 1, k .

В дополнение к уже перечисленным во введении условиям будем предполагать, кроме того, что выполняются уже упомянутое в § 1 условие S1), а также следующие условия:

S3) БИП Zx является пространством с порядково-непрерывной нормой.

F2 ) Функция f (t, y, u) дифференцируема по

ni

переменной y е R и вместе с производной fy (t, y, u) измерима по t еП и непрерывна по {y,u} е Rl х Rs.

F3 ) Для всех х е XL, u е Us суперпозиция

/у (., х(.), u(.)) е zmxL.

A1) Существует положительная мажоранта4

B : Z ^ X ЛОО A : Zm ^ Xl , обладающая для всех 5 > 0 вольтерровой 5 -малой по мере цепочкой множеств.

Тогда справедливо следующее утверждение:

Теорема 5. Пусть заданы функции х* е X +, u* е U + и множества Nx={x е XL :

| х |< х*}, Nи = {u е XL: | u |< u*}. Тогда найдется положительный ЛОО B* : U ^ X, определяемый ими и такой, что для всех управлений u0),ux е Nu и отвечающих им решений

Хо, Х1 е Nx уравнения (1), если такие существуют, справедлива оценка:

I Ах |< B*[| Auf (Хо)|], где Ах = Х1 - Хо,

А uf ( хо) = f (., хо(.), u1(.)) - f (., хо(.), uo(.)).

Замечание 6. В случае монотонности оператора А для выполнения условия А1) достаточно, чтобы ЛОО А обладал для всякого

5 >0 вольтерровой 5 -малой по мере цепочкой множеств. Это следует из того, что в качестве положительной мажоранты можно

I

взять операто: В[ г ] = ^А(і)[ г • е ], где

і= 1

е = {1,...,1} є Rm . При этом, как показано в [5], при выполнении условий S1) и 83) будет выполнено также и условие А0).

где

3. Пример

Вернемся к задаче (3), рассмотренной во введении. Как уже было показано, она может быть переформулирована в виде функционально-операторного уравнения (3). Будем считать далее, что г < q . Тогда в силу замечания 2 условия 81) - 83) выполняются. Условия F1) - F3) выполняются в силу исходных предположений относительно задачи (3). В качестве множества

D возьмем конусный отрезок: D = [и; и]. Очевидно, что оператор А положительный, а значит, и монотонный. Поэтому если дополнительно потребовать монотонности функции f(^у,и) по (у,и), можно воспользоваться достаточными условиями выполнения предположений Н1) - Н3) из [8].

Покажем, что оператор А обладает для всякого 5 >0 вольтерровой 5 -малой по мере цепочкой множеств. В соответствии с замечанием

6 из этого будет следовать, что выполнены условия § 2, а стало быть, по теореме 5, и предположение Н4).

Для всякого т є [0, Т], где Т = Т + Т2, множества вида Нт = { єП : ^ +12 < т} являют-

ся вольтерровыми множествами оператора А . Действительно, для п.в. t є Нт значения оператора А[ г ]^) зависят лишь от значений функции г(^) при ^є [0, ^] х [0, t2 ] с Нт. Таким образом, РН АРН = РН А , то есть Нтє В(А) wk ^) = *

т т

ті — ті_1 < с, является вольтерровой 5 -малой по мере цепочкой множеств оператора А при заданном (произвольно выбранном) 5 > 0 .

В качестве функционала рассмотрим

3 [и] = | F (t, хи ^), и^ ))dt,

П

где хи - решение задачи (3), отвечающее управлению и; F удовлетворяет условиям Fl) - F3) при замене Z и т на Z = Ь1 (П), т? = 1.

Стало быть, можно пользоваться результатами, сформулированными в § 1. При этом, согласно формуле (6), градиент функционала принимает вид

3г (и к Р] = 3'к (Ч ) = ^к ^ )^ ^,

п

^ О = Щ О/у (; ч (•)> ч (•)) +

+ ¿V(•, Xk (•),ик(•)) е L, (П), 1 +1 = 1,

г Г Г

Xk - решение НКЗ, отвечающее управлению

Uk , Vk (•) е L , (П), 1 + Д- = 1, - единственное

V V q

решение сопряженного уравнения (см^ теорему 3; линейные непрерывные функционалы отождествляем с соответствующими функциями Рисса):

* ' * у(0 - А [(Лу (•, Xk,ик)) у](0 =

= А*[( ¿у (•, хк, ик ))*](*),

*

А : L ' (П) ^ L ' (П) оператор, сопряженный

V р

по отношению к оператору А, то есть ЛОО, определяемый формулой:

Т1 т2

А*[г](Г)= |^ |г(^,^2-

ч н

Тогда в соответствии с формулой (9) направление спуска Wk (•) определяется из условия:

для всех т є [0, T].

Выберем произвольно т , т є [0, T], т < т ,

и, положив h = H " \ H ' и с = т —т, оценим

т т

меру mes (h )< с2. Таким образом, выбирая число с >0 из условия с2 < Ô , получаем, что T = {H,0.Итк }, где 0 = то< т < к < т* = T,

u(t ),

U(t ),

Vu є [u(t);û(t)],

если G* (t )>0; если G* (t)<0; если G* (t ) = 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 07-01-00495) и аналитической целевой ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 годы)» Минобрнауки РФ (регистрационный номер 2.1.1/3927).

Примечания

1. Пусть S = S (П) - множество всех измеримых функций на множестве Ис Rn . Напомним, что банахово пространство E с S измеримых функций называется банаховым идеальным пространством, если из того, что y е E , х е S, |x(t)| < |y(t)| для п.в.

t е П, следует, что х е E, ||x||E < ||y||E .

2. Опять же в целях простоты изложения. В принципе, можно считать этот функционал всего лишь дифференцируемым по Фреше.

3. То есть Jh (u0)= lim—{J (u0 + Xh) - J (u0)}.

X^+0 X

То есть ЛОО B : Z + ^ X + такой, что | A[z] |< < B[| z |] для всех z е Zm .

Список литературы

1. Сумин В.И. // ДАН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1056-1059.

2. Сумин В.И. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т. 30. № 1. С. 3-21.

3. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления рас-

пределенными системами Часть I Н Новгород: ННГУ, 1992^ 110 с

4^ Сумин ВЖ // Изв^ вузов^ Математика^ 1995^ № 9^ С 67-77^

5^ Сумин ВЖ // Вестник Нижегородского университета им НЖ Лобачевского^ Сер^ Математическое моделирование и оптимальное управление^ 1998^ Вып 2 (19) С 138-151

6^ Канторович Л^, Акилов ГЛ^ Функциональный анализ^ М^: Наука, 1984^ 752 с

7^ Васильев ФЛ^ Методы оптимизации М^: Факториал Пресс, 2002^ 824 а

8^ Чернов АЛ // Вестник Нижегородского университета им ЛЛ Лобачевского^ 2009^ № 3^ С 130-137^

9^ Сумин В^Л, Чернов АЛ^ // Вестник Нижегородского университета им ЛЛ Лобачевского^ Сер^ Математическое моделирование и оптимальное управление^ 2003^ Вып 1 (26) С 39-49^

10^ Сумин В^Л, Чернов АЛ^ Вольтерровы операторные уравнения в банаховых пространствах: устойчивость существования глобальных решений ННГУ: К Новгород, 2000^ Деи в ВИНИТИ 25т 2000^ № 1198-В00^

11 Сумин В^Л, Чернов АЛ^ // Дифференц урав-нения^ 1998^ Т 34^ № 10^ С 1402-1411

ON CONDITIONAL GRADIENT METHOD CONVERGENCE IN DISTRIBUTED OPTIMIZATION PROBLEMS

A. V. Chernov

For an optimization problem of a nonlinear controlled function-operator equation in a Banach ideal space, a theorem is formulated on sufficient conditions for conditional gradient method convergence. The application of the theory presented is illustrated by the example of controlled Goursat - Darboux problem.

Keywords: nonlinear controlled function-operator equation, optimization problems, conditional gradient method.