CC BY
33
МАТЕМАТИКА
УДК 517.988, 517.977.56
О ТОТАЛЬНОМ СОХРАНЕНИИ ГЛОБАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
© 2009 г. А.В. Черное
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского chavnn@mail.ru
Поступила в редакцию 24.02.2009
Для нелинейного управляемого функционально-операторного уравнения в банаховом идеальном пространстве доказана теорема о достаточных условиях глобальной разрешимости для всех управлений из конусного отрезка в смысле полуупорядоченности по конусу неотрицательных вектор-функций при условии глобальной разрешимости уравнения на концах отрезка и монотонности правой части. Приводятся примеры сведения управляемых начально-краевых задач к изучаемому уравнению.
Ключевые слова: тотальное сохранение глобальной разрешимости, функционально-операторное уравнение, монотонность, теорема единственности.
Введение
Пусть п, т, I, s е N - заданные числа,
П с Rп - измеримое (здесь и далее в смысле Лебега) ограниченное множество, X, Z, и - банаховы идеальные пространства1 (БИП) измеримых на П функций, D с и5 - выпуклое
Л ^7 т . \г £ ^ ~ ~
множество, А: / ^ X - заданный линеиныи
ограниченный оператор (ЛОО). Далее для вектор-функции х е X£, являющейся образом вектор-функции х е Zm при отображении, осуществляемом оператором А , будем в зависимости от ситуации использовать равносильные обозначения: х = ]; х(0 = ](У), ^ е П ;
х(.) = ] (.); х = А^(.)]. Рассмотрим управ-
ляемое функционально-операторное уравнение
х(0 = 0(0 + А[/(., х(.), и(.))](0, t еП , (0.1)
где и е D - управление, 0е Xе,
/: Их R1 х R* ^ Rт - заданная функция, такая, что:
F1) для всех у е X*, и е D суперпозиция /(.,у(.),и(.))е 2”.
К уравнению (0.1) с помощью метода обращения главной части дифференциального уравнения может быть сведен довольно широкий класс управляемых начально-краевых задач (НКЗ). Для пояснения сказанного рассмотрим следующий пример, ставший уже классическим для теории оптимизации распределенных систем, а именно управляемую задачу Гурса - Дар-бу:
х'щ0) = /(Ах0XХ0XХ2(tXи(t)). t = (*1.t2)е П =[0,Т1]х[0,т2];
х(^,0) = ©(^), гх е [0, Т1];
Х(°, Ґ2) = ©2(0> t2 е [0, Т2];
©1(0) =©2(0)-
(0.2)
Будем считать, что функции (01 и 0)2 абсолютно-непрерывны и имеют производные из класса Lq, д е [1, го) , а функция / удовлетворяет условию F1) при £ = 3, т = 1, X = Ьд(П), Z = (П), и = Ьг (П), г е [1,го]. Решение
задачи (0.2) будем понимать в смысле п.в. и искать его среди функций из (П), имеющих частные производные первого порядка и смешанную производную в классе (П). Тогда
можно понимать его как решение уравнения х^1,г2) = «1(^1) + ®2 V2 ) - «1 (0) +
+ }d4l} / (4, х(4), х'2 (4), х'2 (4), и (4)Щ2.
0 0
Делая замену у = (х, х^ , х^), получаем, что это уравнение равносильно следующему:
у(г) = 6(г) + АУ (•, У, и)\г),
г еП, у е X£ = Ь\ (П), (0 3)
где
в(г1, г2) = («1(г1) + «2(г2)-ю1(0),ю1' (Х),^ (г2)), 6е X£, А = ( Д, А2, Аз): Дд (П) ^ Ь\ (П),
г1 г2
А1 [ А (г1, г2) = } d4 } г (4, 42 )d42 ,
0 0 г2
А2 [ г 2) = } z(tl,4)d4,
0
г1
Аз[ г ](?1, г2) = } г(4, г2^4.
0
Уравнение (0.3) имеет вид (0.1) и удовлетворяет всем предположениям. Из этого примера видно, что для их проверки достаточно установить лишь некоторые свойства оператора А - разрешающего оператора НКЗ, обращающего главную часть дифференциального уравнения (или системы уравнений), отражающие по сути дела характер зависимости решения соответствующего линейного дифференциального уравнения от правой части при нулевых начальнокраевых условиях.
Отметим, что уравнение (0.1) в указанном далее смысле родственно (точнее говоря, двойственно) функционально-операторному уравнению вида [1-5]:
г(г) = f (г, А[ г ](?), и(г) ), г еПс Rп, (0.4) где А: Гтр (П) ^ (П) - ЛОО, /: Пх R£ х Rs ^Rm
- заданная функция, и е Дк (П) - управляющая
функция. Уравнение (0.4) с помощью очевидной замены у = А [г ] сводится к уравнению
(0.1). И наоборот, уравнение (0.1) в случае 6 = 0 (к этому случаю его можно привести заменой у — 6 = У) с помощью замены г = /(.,у,и) сводится к уравнению (0.4). Таким образом, при условии единственности решения задачи, которые записываются в виде уравнения (0.4), могут быть записаны и в виде (0.1), и наоборот. Это обстоятельство важно иметь в виду, поскольку в [1-5] приводятся многочисленные примеры сведения распределенных систем к уравнению (0.4). Нам далее оказывается более удобным использовать уравнение (0.1).
Сформулируем проблему тотального сохранения глобальной разрешимости уравнения (0.1). Проблема сохранения глобальной разрешимости возникает в различных разделах теории оптимизации: в численных методах, в теории управляемости и теории дифференциальных игр, в частности при исследовании множества достижимости, определении множества стратегий игроков и т.д. Рассмотрим, например, следующую ситуацию, типичную для численной оптимизации сосредоточенных и распределенных управляемых систем. Здесь одним из основных подходов является использование градиентных методов спуска. При этом целевой функционал задачи оптимизации во многих случаях удается привести к виду
J [и] = F[ хи, и], (0.5)
удобному для исследования, где и е D - управ-
Л/Г £
ление, а хи е X - отвечающее ему решение уравнения (0.1), F[х, и] - дифференцируемый (в том или ином смысле) функционал F : X£ х D ^ R . Удобство представления функционала задачи в виде (0.5) связано с тем, что в противном случае приходится рассматривать целевой функционал как функционал F[х, и ] на множестве пар (х, и) , связанных
соотношением (условием связи) (0.1). В результате в множество ограничений задачи оптимизации включается весьма нетривиальное (для учета и исследования) ограничение (0.1). Дифференцируемость функционала /[и] в точке
и0 е D предполагает, что он определен в некоторой окрестности этой точки. Таким образом, возникает проблема сохранения разрешимости уравнения (0.1) при варьировании управления и0 (или, по другой терминологии, проблема
устойчивости существования глобальных решений (УСГР); глобальность понимается по множеству П изменения независимых переменных). О том, что эта проблема не является надуманной (сохранение глобальной разрешимости распределенных систем может не иметь места даже при малых вариациях управления), свидетельствуют, в частности, примеры из [1, 2]. Теория достаточных условий УСГР при малости отклонения управления и от и0 в смысле
некоторой полуметрики для уравнений (0.4) в лебеговых пространствах и операторных уравнений 2-го рода общего вида в пространстве Ь”ГО (П) , Пс Rп, была построена в [1-5]. В статье [6] схема [1-5] получения условий УСГР была распространена на случай операторных уравнений 2-го рода общего вида в банаховом пространстве. Конструктивность сформулированных в [6] общих теорем УСГР была проиллюстрирована там на примере задачи Коши для гиперболического уравнения первого порядка при варьировании старшего коэффициента. Их доказательство можно найти в [7]. Однако в некоторых случаях, например при использовании градиентного метода с дроблением шага, необходимо, чтобы соответствующее уравнение (0.1) обладало свойством глобальной разрешимости тотально, то есть на всем множестве D допустимых управлений. Таким образом, возникает проблема тотального сохранения глобальной разрешимости (ТСГР) указанного уравнения. Отметим, что представление функционала в виде (0.5) возможно лишь в том случае, когда решение уравнения (0.1) не только существует, но и обладает свойством единственности. Поэтому в данной статье изучается также проблема единственности решения уравнения (0.1). Кроме того, при исследовании уравнения (0.1) полезной является возможность равномерной поточечной оценки семейства решений {хи : и е Б} этого уравнения. В применении к численным методам оптимизации такая оценка востребована, например, при оценивании остаточного члена в формуле приращения функционала, и соответственно, при обосновании сходимости метода. Очевидно, что подобного сорта оценка будет полезной при исследовании множества достижимости, а следовательно, в теории управляемости и теории дифференциальных игр, и т.д.
В данной статье для уравнения (0.1) исследуются фактически три проблемы: 1) тотальное сохранение глобальной разрешимости; 2) равномерная поточечная оценка семейства реше-
ний; 3) единственность решения. Проблема 3) решается здесь достаточно универсально (в том плане, что мы не требуем для ее решения каких-то специальных свойств функции / типа монотонности, выпуклости и т.п.). Проблемы 1) и 2) в общей постановке гораздо более нетривиальны и требуют более дифференцированного подхода. Исследование этих двух проблем естественно начать с наиболее простой (сравнительно) ситуации, но небезынтересной для приложений, в которой множество D задается как конусный отрезок [и, и] (в смысле полуупорядоченности по конусу неотрицательных вектор-функций), а правая часть уравнения (0.1) является монотонной. В таком случае естественно ожидать некоторых гарантий сохранения глобальной разрешимости
уравнения (0.1) тотально для всех и е [и, и] при условии, например, что решение уравнения (0.1)
существует при и = и и и = и . В данной статье такие гарантии устанавливаются. При этом доказывается также и поточечная оценка решений:
х(г) < хи (г) < х(г), г еП, и е[и, и], то есть
теорема сравнения для уравнения (0.1). Важной особенностью наших результатов является также то, что оценка решения строится на заранее заданном множестве П с Rп, одном и том же для всех и е D . В следующих далее двух параграфах приводятся точные формулировки основных результатов, вкратце обозначенных выше. Теорема о ТСГР и равномерной оценке формулируется и доказывается в §1. Теорема единственности формулируется в §2 и доказывается в §3.
1. Тотальное сохранение глобальной разрешимости и равномерная оценка
Далее все векторные неравенства понимаются покомпонентно. Будем предполагать, что множества допустимых управлений и допустимых начальных управлений имеют вид
Б = {;еи5 :и <и<и}, © = 6еXе :6<6<6?},
причем управляющим парам р = (6, и) и р = (6, и) отвечают решения х = х и х = х
уравнения (0.1) такие, что х < х. Кроме того, потребуем выполнения следующих условий монотонности:
F 2) функция /(г, у, и) не убывает по
( у, и ) е R£ х R5;
А 1) А[ г0] < А[г] при всех г, г0 е Zm : г0 < г.
Теорема 1.1. Каждому управляющему набору ре0хD отвечает по крайней мере одно
решение xv е XL уравнения (0.1), удовлетворяющее оценке: x < xv < X.
Для доказательства теоремы 1. 1 мы воспользуемся некоторыми сведениями из теории решеток (см., например, [8]). Напомним [8], что решеткой называется частично упорядоченное множество L такое, что Vx, у е L существуют
inf {x,у} и sup {x, у} в L . Решетка L называется полной, если для любого ее подмножества X существуют inf X, sup X в L . Если P, Q - некоторые упорядоченные множества, то оператор g : P ^ Q называется изотонным, если из x < у следует g[x] < g[ У ].
Теорема А. Тарского (см., например, [8, теорема V.3.11]). Пусть L - полная решетка, а g : L ^ L - изотонный оператор. Тогда существует x„ е L: x„ = g[x„ ].
Лемма 1.1 ([9, теорема I.6.17]). Пусть N -непустое и ограниченное (сверху и снизу) подмножество в множестве S(П) всех измеримых на П функций. Тогда существуют x0 = inf N, x1= sup N е S(П).
Доказательство теоремы 1.1. Рассмотрим
Л/’t
пространство X и его непустое подмножество
N(x, x) = {x е X1 : x < x < x}= N1 х ... х N, где
Nk = {x е X : xk < x < xk }, k = 1, L . Согласно [8, §V.1] прямое произведение полных решеток снова является полной решеткой. При этом непосредственно из леммы 1.1 получаем, что каждое из множеств Nk , к = 1, L , а следовательно, и множество N = N(x, x) является полной решеткой. Пользуясь условиями A j) и F 2), находим, что V ф = (в, и ) е 0 х D оператор Fv : E ^ E, определяемый формулой
F,[у] = 9 + А[/(•,У(-),иО)], У е E
является изотонным. Покажем, что Ff: N ^ N. Возьмем любое x е N и, пользуясь условиями A j) и F 2), оценим F^ [x] <9 + + А/(., .£(.),U(.))]= x. Аналогично, F^[x] > x .
Стало быть, FДх] є N. Остается воспользоваться теоремой А. Тарского. Теорема доказана.
2. Теорема единственности
Далее нам понадобятся следующие понятия из теории УСГР (см. [1-6]).
Определение. Пусть Е = Е(П) - а-алгебра всех измеримых по Лебегу подмножеств множества П, Рн - оператор умножения на характеристическую функцию2 хн множества Н є Е. Систему В(А) = {Н є Е: РНАРН = РНА} будем называть системой вольтерровских множеств ЛОО А : 2т ^ X1. При этом для числа 5 > 0 подсистему 3={0=Н0 сН1 с... сНк = П} сВ(А) будем называть
1) вольтерровской 5 -цепочкой ЛОО А,
если ||РНАРН || <5 УН = Ні \ НІ1, і = 1, к;
2) вольтерровской 5 -малой по мере цепочкой ЛОО А , если mes(Hi \Ні 1) <5,
У і = 1, к .
Помимо условий, перечисленных во введении, и условия А1), будем предполагать, что
выполняются также следующие условия для уравнения (0.1):
S1) существуют БИП 2Х и числа Кх > 0 и аХ > 0 такие, что для всех х є X , у є 2Х имеем: ух є 2 и справедливо неравенство:
Их ^ КХ -IIу| £ -IIх11х ;
S 2) БИП 2Х является пространством с по-
„3
рядково непрерывной нормой ;
А 2) оператор А : 2т ^ Х1 обладает для
всех 5 > 0 вольтерровской 5 -малой по мере цепочкой множеств;
F 3) функция /(ґ, у, и ) непрерывно диффе-
~ г» I
ренцируема по переменной у є К и вместе с производной измерима по ґ є П и непрерывна
по ( у, и ) є К1 х К *;
F 4 ) для всех (у, и) є Х1 х и* суперпозиция
у(.),и(.))є іХт.
Замечание 2.1. Пользуясь неравенством Гельдера, нетрудно показать, что если, например, 2 = Lv (П), Х = Lq (П), q > р > 1, то
условил S1) выполнлно npu Zx — Lc (П), Д°казательств°. L Выберем произвольно
Кх —ах — 1, гдл 1/ q +1/ с — 1/ p (npu I — p, последовательность чисел {Yr } ^ +0 • По усло-соотвeтствeнно, с —да). вию Vr є N существует Yr 'малая по мере
вольтерровская цепочка множеств ЛОО A : Теорема 2.1 (единственности). Для любой T(r) — {н0r},...,H(kr]}с B(A), mes(h(r)) <уг,
у^авляющлй паphi p—(в,u)єX* xUs уpaвнe- ,r) (r) ,r) . ——
hi — -H і \ .н і—і, і — l, kr.
нил (0.1) можлт имлтъ нл боллл одного peшe- ^
Для любого h є Е(П) оценим норму:
||Ph4z)PJ — sup \XhA[Xhzx% <|4 sup \Uhz4zm ,
ния.
3. Доказательство теоремы единственности хех'М1 ^ ИИ
откуда по условию S1),
Приведем, прежде всего, несколько вспомогательных утверждений. Для векторов
а, Ь е R', а < Ь , будем использовать обозначе- 2- В соответствии с оценкой (31) рассмот-г , г г рим числовую последовательность Рг =
ние [а;Ь] = [а1;Ь1 ]х...х[а;Ь] -
PhA(z)Pj < m • L .\\A\\• Kx-IXh I z max • (3.1)
— max
и докажем, что она имеет
Zx
подпоследовательность P r, /+0 при j /да.
Лемма 3.1. Пусть S(П) - пространство
измеримых п.в. конечных функций на П, I е N,
г. ы Гт-!\ гг 7 Обозначим йг] индекс, на котором достигается
а, Ь е о (П) - измеримые на П I-вектор- 1 J г
функции, a (t)< b(t) для п.в. t єП, а функция
ф : П x Кl / К uзмepuмa по t є П и нлnpe-pывнa по y є К1. Тогда функция
максимум, и соответственно, Н[г] = . По по-
строению, те^[г]<уг —— +0. Отсюда понятно, что последовательность функций гг =
= X ъ\т] I г | —0 (по мере) на множестве П.
Рр) ує™^ )]Ф( t’y) Тогда по теореме Ф. Рисса [11, теорема VI. 5.3,
uзмepuмa на П, и с- 158] она имеет подпоследовательность
z / +0 п.в. на П, и по построению,
Зв є M [a;b] = {у є Sl (П): y (t) є [a(t);b(t)]}
такая, что
ф( г,6(г )) = ф(г) для п.в. г е П.
Доказательство леммы 3. 1 следует, например, непосредственно из [10, предложение
0 < гг <| г |. Тогда по лемме 3.2 норма
— +0 при j — да. Но это означает, что
Д = —+0 при j — да. (3.2)
Д. 1.2, с. 326 и теорема Д. 1.4, с. 327]. Исходя из 3. в силу (3.2) для любого 8 > 0 найдется теоремы Д.ф. Егорова, голугат следующее номер ]8е N такой, что
утверждение.
т •' • ||А|| • Кх ■ в < 8 для всех у > ]8.
Лемма 3.2. Пусть X = X(П) - БИП с по- Тогда в силу (3.1) ||РЙА(^Рй|| <8 для всех
рядково нтрргвнш нормой || . \^, {хк } с X, Ь = Н(г) \ Н,-), i = 1^, при у = . Стало
р е х , и для п.в. г е П хк(г) — 0 при к — да, быть, система ТГ8 является вольтерровской 8 -|хк (г)| < р(г). Тогда Цх^ — 0 при к — да. цепочкой оператора А(г}. Лемма доказана.
Лемма 3.34. Пусть ЛОО А : Zm — X' обла- Лемма 34' Пусть „ А: Zm — X' - монотон-л л ный ЛОО. Тогда он обладает положительной ма-
дает V у > 0 у -малой по мере вольтерровской
' жорантой В : / — X , определяемой формулой
цепочкой. Тогда Vz е Zl:xm оператор Аг):Xе —Xе., определяемый формулой А(г)[х] = А[гх], обладает
5
A ) : X X , L
tz) B[z] — ^ A(i)[ z • e], гдл e —{1,^,1} є Кm,
для каждого 5 > 0 волътeppовской 5 -цлпочкой. кой, что I A[z] I< B[I z I] для всex z є Zm .
І|fx(•,x0 + вAx,ul)| dв| Ax|
+
Доказательство очевидным образом следует из монотонности оператора А , а также оценки для | Ах |< В
каждого г е Zm : — | г |< — | г(,) |< г) <| г) |<| г |.
Лемма доказана.
Неп°средственн° из леммы 3.3 и статьи [12] По условиям леммы /(г,х0(г) + вАх(г),
получаем следующее утверждение.
+
B[ Auf (x0)|].
u1 (t))| < z* (t), где
Лемма З.5. Пт условиж ллммы 3.3 we^pc/Mb- , s і r,, 4
r J r z*(t) — maxIfx(t,x,v): xє КL, vє К4,
/Lxm
ныйpaдuус p(A-z)) — 0 для вслк z є Zx .
Замечание З.1. Пpeдnоложuм, удалось установить, что оnepaтоp A : Zm / XL имллт
| x |< x*(t), | v |< u*(t)}•
При этом по лемме 3. 1 функция z. (.) измерима
для всякого 5 > 0 вольтерровскую 5 -цепочку. и существуют измеримые функции х є £ (П),
Тогда, очевидно, и оператор Дг) будет обла- у є (П) такие, что | х(ґ) |< х* (ґ), |у(ґ )|<
дать указанным свойством, и утверждение <и*(ґ), г*(ґ) =| /Х(ґ,х(ґ),у(ґ))| на П. В силу
идеальности соответствующих пространств
ллммы 3.5 (а как видно из далънлйшлго, и тло-peмы лдинствлнности) останлтся mpa( вым и блз выполнлния условий S 2) и A 2) .
peмы лдинствлнности) останлтся ставлдли- vl тт4
г r x є X , v є U , и таким образом, согласно ус-
ловию F 4 ) г, є 2+х - конусу неотрицательных
тт т-ггп і ті тт т? ґ функций 2К . Обозначим L, : Х / Х - поло-
Лемма 3.6 [13, теорема 1.9.3]. Пусть Е — бана- ^ Х *
хово пространство, полуупорядоченное по конусу жительный ЛОО, определяемый формулой:
К с Е ; F : Е / Е — ЛОО, для которого конус А.[х] = в[г*- х]. По доказанному имеем:
К инвариантен, а спектральный радиус | Дх |< Д*[| Ах |] + В[| Ди/(х0) |].
р^) = 0. Тогда для всех х є К, г є К, удовлетворяющих неравенству х < F[х] + г, справедли-
ва оцлнка x < R(F)[z], гдл R(F) — ^ Fk .
k—0
Аналогично лемме 3.5, p(L,) = 0. Остается воспользоваться леммой 3.6. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2.1. Предположим, что управляющей паре р отвечают решения x1, x2 е XL уравнения (0.1). Обозначим Лемма 3/76. Пусть заданы функции x. е X+, Ax = x2 - xj, x, = max {|xj,| x21}, и, =| и |.
и, е U+ и множества NX = {у е X1 : |у| < x*}, Пользуясь леммой 3.7, получаем оценку:
( s | | ) | Ax |< 0. Теорема доказана.
Nv ={u еи : и < и*}. Тогда найдется положительный ЛОО B, : Z / X, определяемый 4. Пример
ими и такой, что для всех управлений
и0, и1 е Nv и отвечающих им решений Вернемся к задаче (0.2) и, соответственно,
x0, x1 є Nx уpaвнeнuя (0.1), лсли такил сущлст-вуют, сnpaвeдлuвa оцлнка:
уравнению (0.3). Будем предполагать дополнительно, что функция / (.) удовлетворяет усло-
| Дх |< В.[|Д„/(х0) |], где Дх = х,-х0, виям F 2-4 ) при 1 = 3 т =1 Х = -МПЬ
Д/Х) = / (., *,(•)■ и1(.)) -/(., хъ(.), И0(.)). 2 = ^(П >• и = ^(П)' Г є [1'Ю]. Что касает'
Таким образом, существует константа ся выбора пространств 2Х, 2и - см. замечание
L =11В^1 такая, что: ||Ах|| < L ЛД^./(х0^|. 2.1. Заметим, что условие S 2) здесь не выпол-
Доказательство. Пользуясь леммой Адама- няется, поскольку 2Х = Lа (П) = Lm (П) . Одра, рассмотрим приращение решения:
нако в данном примере можно воспользоваться Дх = в + А[/(.,х.,и1)]-в-А[/(.,х0,и0)] = тт о
и м ^ и 05 0^ замечанием 3.1. Покажем это. Заметим, во-
= ^/Х.?х1;и1)-/(.>x0,и1)]+ перв^іх, что условие А1) выполняется очевид-
+ А[/ (., Х0, и1) - / (., Х0, и1 )]= ным образом. Нетрудно понять, что для всякого
тє [0, Т ], где Т = Т + Т2, множества вида
Нт ={ґ єП: ґ1 + ґ2 < Т} являются вольтер-
В соответствии с леммой 3.4, оценим: ровскими множествами операторов Аі, по-
і
: A[І fx (- x0 + вAX, ul )йв • Ax] + A[Auf (x0)].
скольку значения Д [ z](f) зависят лишь от значений г(4) при 4 є Нт, і = 1,2,3. Таким образом, РН ДРН = РН Д., і = 1,2,3, следователь-
3
но, множество Нт є Р| Б(АІ) с В(Д) для всех
і=1
тє [0, Т ]. Выберем произвольно т,т є [0, Т ], т <т , и, положив h = Н ,, \ Н , и с = т —т ,
тт
оценим меру mes(h) < с2 + с. Таким образом, выбирая число с > 0 из условия с2 + с < 5 , получаем, что 3 = {Нт0,..., Нтк}, где
0 = т0 < т1 < ... < тк = Т , ті — ті—1 < с, является
вольтерровской 5-малой по мере цепочкой множеств оператора А при заданном (произвольно выбранном) 5 > 0, то есть условие А 2) выполняется. Более того, основываясь на этом факте и пользуясь неравенством Гельдера, а также используя конкретный вид оператора А , нетрудно установить, что он обладает для всякого 5 > 0 вольтерровской 5-цепочкой. Поэтому реализуется ситуация, описанная в замечании 3.1. Таким образом, с учетом этого замечания, все предположения относительно уравнения (0.3) как уравнения (0.1) выполняются, и можно пользоваться результатами, сформулированными в §§1, 2.
В случае когда конкретный вид разрешающего оператора неизвестен, полезным может оказаться использование предположения S 2). Для пояснения сказанного рассмотрим вариант задачи Гурса - Дарбу, в котором правая часть не содержит производных неизвестной функции. В этом случае можно взять в качестве пространства Z = Lp (П) при р < q , поскольку задача на этот раз сводится к уравнению (0.1) при в(ґ1, *2) = а1(ґ1) + ю2(ґ2) — ю1(0), вє X, І = 1,
А: (П)(П), А[z](tl,*2) = |d4lІz(4l,%2^2.
00
На этот раз ZX = Lс (П), где с < да (см. замечание 2.1), и предположение S 2) выполняется. При этом нам не важен вид разрешающего оператора, а важно только то, что он действует из Lp (П) в Lq (П) и является монотонным.
В заключение автор выражает искреннюю признательность профессорам В.И. Сумину и В.В. Чистякову за обсуждение материала статьи и ценные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 07-01-00495) и АЦВП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010)» Минобрнауки РФ (рег. № 2.1.1/3927).
Примечания
1. Пусть ^ ^(П) - множество всех измеримых функций на множестве П С Rn . Напомним, что банахово пространство Е С 5 измеримых функций называется банаховым идеальным пространством, если из того, что у е Е , х е 5 , |х(?)| < |у({^ для
п.в. t е П, следует, что х е Е , ||х||Е < ||у||Е .
2. Такой оператор определен в любом БИП. Мы обозначаем его одинаково, независимо от того, в каком именно БИП он рассматривается.
3. Напомним (см., например, [9]), что БИП
Z = Z (П) называется БИП с порядково
непрерывной нормой, если из того, что
последовательность }с X для п.в. t еП
монотонно стремится к нулю: %п ^) N. 0 следует, что / 0. Так, например, X = Ьт(П) не является пространством с порядково непрерывной нормой, но вложено в любое Ьр (П), р е [1,»), каждое из
которых по теореме Лебега о сходимости является БИП с порядково непрерывной нормой.
4. Ценность леммы 3.3 состоит в следующем.
Во-первых, условие существования вольтерровской 5 -цепочки ЛОО является ключевым условием не только здесь, но и в теории УСГР, а также в
некоторых признаках квазинильпотентности
(равенства нулю спектрального радиуса) ЛОО, см., например, [12]. И во-вторых, непосредственная проверка этого условия на практике может оказаться или показаться затруднительной. В то же время наличие вольтерровской 5 -малой по мере цепочки разрешающего оператора НКЗ является обстоятельством довольно естественным в случае, когда НКЗ ставится для параболических и гиперболических уравнений (для иллюстрации сказанного см. пример в §4).
5. Модуль вектора понимаем как сумму модулей компонент.
6. Лемма 3.7 представляет самостоятельный интерес, поскольку позволяет строить равномерные поточечные оценки приращения решения управляемых НКЗ, представимых в виде уравнения (0.1), непосредственно через приращение управляющей функции, что имеет важное значение для приложений, в частности при доказательстве необходимых условий оптимальности, сходимости численных методов оптимизации, вычислении вариаций функционалов, в теории чувствительности решений и т.д. Действительно, предположим, что выполнены условия §1, или по крайней мере имеет место утверждение теоремы 1.1. Тогда в качестве х* и и* можно взять соответственно
х* = тах{ х |,| х |}, и* = тах{ и |,| и |} и пользуясь леммой 3.7, получить такую оценку.
Список литературы
1. Сумин В.И. // ДАН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1056-1059.
2. Сумин В.И. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т. 30. № 1. С. 3-21.
3. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть I. Н. Новгород: ННГУ, 1992. 110 с.
4. Сумин В.И. // Изв. вузов. Математика. 1995. № 9. С. 67-77.
5. Сумин В.И. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1998. Вып. 2 (19). С. 138-151.
6. Сумин В.И., Чернов А.В. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование и оптимальное
управление. 2003. Вып. 1 (26). С. 39-49.
7. Сумин В.И., Чернов А.В. Вольтерровы операторные уравнения в банаховых пространствах: устойчивость существования глобальных решений. ННГУ: Н.Новгород, 2000. Деп. в ВИНИТИ 25.04.00. № 1198-В00.
8. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. 568 с.
9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.
10. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. 360 с.
11. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, 1965. 304 с.
12. Сумин В.И., Чернов А.В. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 10. С. 1402-1411.
13. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.
ON TOTAL PRESERVATION OF GLOBAL SOLVABILITY OF FUNCTIONAL OPERATOR EQUATIONS
A. V. Chernov
For a nonlinear controlled functional operator equation in a Banach ideal space, a theorem has been proved on global solvability sufficient conditions for all controls from a conic segment in the sense of cone semiordering of nonnegative vector-functions provided that the equation is globally solvable at the segment endpoints and its right-hand side is monotonic. Some examples are given of the reduction of controlled initial-boundary-value problems to the functional operator equation under study.
Keywords: total preservation of global solvability, functional operator equation, monotonicity, uniqueness theorem.
