О сходимости метода простой итерации для решения нелинейных функционально-операторных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевс кого, 2011, № 4 (1), с. 149-155

УДК 517.988

О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

© 2011 г. А.В. Чернов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

chavnn@mail. rn

Портупола в редакцою 27.12.2010

Предлагаются простые достаточные условия разрешимости нелинейных функционально-операторных уравнений в банаховом идеальном пространстве. Доказывается, что при упомянутых условиях сходится некоторая модификация метода простой итерации для решения уравнений указанного типа. В качестве приложений получены условия разрешимости смешанной задачи для нелинейного волнового уравнения, а также смешанной задачи для нелинейного нестационарного уравнения переноса.

Ключевые рлова: нелинейное функционально

метод простой итерации.

Введение

Пусть n, m, i е N - заданные числа, Пс Rn - измеримое (здесь и далее в смысле Лебега) ограниченное множество, X,Z,U - бачаховы одеальчые прортрачртва1 (БИП) измеримых на П функций, A : Zm ^ Xi - заданный лочейчый ограчочеччый оператор (ЛОО). Рассмотрим нелинейное функционально-операторное уравнение

x(t) = 0(t) + A[f (., x(.))](t), t еП, x е Xi ,(0.1) где 0 е Xi, f : П x Ri ^ Rm - заданная функция, такая, что:

F j) для всех у е Xi суперпозиция f (., у(.))

Zm

.

Уравнение (0.1) интересно тем, что к нему естественным образом (путем обращения главной части дифференциального уравнения) сводятся многие чачальчо-краевые задачо (НКЗ) математической физики. См., в частности, [1-4], а также примеры в § 3.

1. Формулировка основного результата

Далее все векторные неравенства понимаются покомпонентно. Модуль вектора понимается как максимум из модулей компонент. В этом параграфе мы формулируем теорему о глобальной разрешимости уравнения (0.1). Ее доказательство (см. ниже § 2) основано на идее доказательства теоремы 7.2.3 из [5], касающейся интегрального уравнения Вольтерра простейшего вида в пространстве непрерывных функций одной переменной со значениями в банаховом

-операторное уравнение, условия разрешимости,

пространстве. Описание итерационного метода решения уравнения (0.1) см. ниже в замечании 2.1. Далее будем считать выполненными следующие условия:

S1) Существуют БИП 2х и числа Кх >0 и ах > 0, такие, что для всех х е X , у е 2х имеем: ух е 2, и справедливо неравенство:

||ух|| < Кх -||у||ах -||х|| .

1к \\г х \У\\1Х II Их

F 2) Функция f (^ у) непрерывно дифферен-

и тл1

цируема по переменной у е К и вместе с производной f'y (^ у) измерима по t е П и непре-

ТУ &

рывна по у е К .

F з) Для всех х е х' суперпозиция f; (., х(.)) е .

A1) Для ЛОО А существует положительный ЛОО (мажоранта) В : 2 ^ х, такой, что | А[г] |< В[| г |] для всех г е 2™, причем для всякого у е 2х, у > 0, и оператора В(у) : х ^ х, определяемого формулой В( у) [ х] = В[ ух], спектральный радиус р(В( у)) < 1.

G1) Существуют у е 2 , ф е х, такие, что В[ у |] < ф, ^(., х(.))| < у Ух е х'': |х - 0| < ф.

Тогда справедливо следующее утверждение. Теорема 1.1. При сделанных предположениях уравнение (0.1) имеет, и притом единственное, решение х е х1, и, более того, это решение удовлетворяет оценке: |х - 0| < ф. Доказательство теоремы 1.1 см. в § 2.

Замечание 1.1. Пользуясь неравенством Гельдера нетрудно показать, что если, например, 2 = Ьр (П), X = (П), q > р > 1, то ус-

ловие S1) выполнено при 2Х = Ьст (П),

Кх = ах =1, где — + — = — (при q = р, соот-

q ст р

ветственно, ст = да). Мы ссылаемся на это обстоятельство в приведенных ниже примерах. Однако выполнение условия S1) не является свойством одних только лебеговых пространств. В частности, его выполнение можно установить и в более общей ситуации пространств Орлича, см. [6, § IV.3].

Замечание 1.2. Достаточные условия равенства нулю спектрального радиуса ЛОО, действующих в БИП (см. предположение А1)), можно найти в [7].

2. Доказательство основного результата

Далее для векторов а,Ъ є Rt, а < Ъ (векторное неравенство понимаем покомпонентно), будем использовать обозначение: [а; Ъ] =

= [аі; Ьі] х... х [а;Ь ].

Прежде всего, сформулируем одно вспомогательное утверждение.

Лемма 2.1. Пусть Б(П) - пространство измеримых почти всех конечных функций на П, І є N, а(.), Ъ(.) є Б£ (П)- измеримые на П І -вектор-функции, а(}) < Ъ(V) для почти всех t єП, а функция Ф(і, у): Пх Я ^ Я измерима по V єП и непрерывна по у є Я. Тогда функция ) - тах Ф(t, у) измерима на П,

ує[а(< );Ъ(<)]

и существует 0(.) є М[а; Ъ] - {у є Б£ (П): y(t) є [а(^;Ъ(t)]}, такая, что Ф^,0(t)) = ф(t) для почти всех / є П.

Доказательство леммы 2.1 следует, например, непосредственно из [8, предложение Д1.2, с. 326, и теорема Д1.4, с. 327].

Доказательство теоремы 1.1.

1. Определим множество М = {х є Б1 (П):

| х - 0 |< ф}. Покажем, что оператор F: Xе ^ Xе, определяемый формулой F[x] = 0 + А[ / (., х(.))], не выводит из множества М. Выберем произвольно х є М и, пользуясь условиями A1) и G 1), оценим | F[х] - 0 |=| А[/(.,х)] |< В[| /(.,х) |] < В[у] < ф.

Таким образом, F : М ^ М.

2. Покажем, что существует т є N : степень ¥т является сжимающим оператором на множестве М. Обозначим г, =тах{| /у(.,х(.))|,

х є М}. Согласно лемме 2.1, найдется х* є Б1 (П), такое, что | х* - 0 |< ф (то есть х є М ), г* =1 ¡у(.,х,(.))|. Тогда в силу условия F3) г, є 2Х . В таком случае, согласно условию A1), для оператора В* : X ^ X, определяемого формулой В*[х] = В[г*х], имеем: р(В*) < 1,

следовательно, Нт ^ В,* <1, и ряд ^ В,к схо-

к к=0

дится. Поэтому ||в,к|| ^ 0 при к ^ да . Стало

быть, существует т е N : ||вк|| = а< 1. Выберем произвольно х, у е М и оценим модуль I Fm [х] - Fm [у] |=| А[Г(.,Fm-1[х]) - /(.,Fm-1[y])] |< < В[^(.,Fm-1[х]) - f (.,Fm-1[у])|]. Пользуясь условиями F 2), F 3) и леммой Адамара, получаем:

I а™ F[х, у] Н Fm [х] - Fm [у] |<

< В

< В

1

I¡'у (., Fm-1[ у] + 0Am-1F [х, у ], и)Ат-^[ х, у]с®

0

11 /;(.,Fm-1[у] + 0Ат-1 ^х,у],и) | d0 | Ат-1^х,у] |

< В*[| Am-1 F[x, у] |] - В*[| Fm-1[х] - Fm-1 [у] |]. Повторяя эту оценку необходимое количество раз, имеем: | Гт [х] - Гт [у] |<

< ВТ[| х - у |]. Таким образом, |рт[х] - ¥т[у]|| <

< ||в*п || • ||х - у|| = а • ||х - у||, а < 1. Согласно принципу сжимающих отображений (см., например, [5, теорема 7.2.2, с. 432]), существует единственная неподвижная точка оператора F на множестве М. Единственность неподвижной точки на всем пространстве Xі может быть доказана аналогично теореме 2.1 из [3]. Теорема доказана.

Замечание 2.1. Как видно из доказательства теоремы 1.1, решение уравнения (0.1) можно получить как предел последовательности

хк+і= ¥т [хк ] хо є M, где ^х] = 0 + ДЛ-x)],

а число т є N таково, что

||вг|| < 1, В*[х] = В[г*х], г* = тах{| ¡у(.,х(.))|, х є М}.

По сути это - метод простой итерации для приближенного решения уравнения (0.1).

3. Примеры щую условию: 1[х,f(.,х),ш,ф] = 0 для всех

А) Смешанная задача для волнового ф е 02(П).

уравнения2: Справедливо следующее утверждение (см.

L[x](t) = х" (I) - с2х". (t) = f (t, х(1)), [9, теорема 3 2 5, с. 150]).

11 22 (3.1) Лемма 3.1. Для любых функций 2 е ¿2(П),

I е П = (0,71]х (0,?;), ,.

[х(0,|2) = И,(|2), х;(0,|2) = ш2(|2), ше*2(0,72)X 4<0Л) сУществУе>-< еОшс^-

<1 е (07 ), (3.2) ное обобщенное решение х е *2 (П) задачи

х2(1 0)=2х(| 7 ) = 0 I е (0 7 ] (3.3), (3.2). Для этого решения справедливо

15 15 2 51 1 " энергетическое неравенство:

По поводу используемых далее функцио- ||х|| < к ■ {Iш|| +1 |2|| }

0 1 „ 1,1 0 II 11*2 (П) ~ Ч 1Ц(0,72)хг,2(0,72) II 1^2(П)>'

нальных пространств *2^2 ,О2 см^ напри- Поскольку Кег 1[.,ф] - линейное множество

мер, [9, глава I, §4] (только вместо обозначений о

о о для любого фе О2(П), то из леммы 3.1

[9] О,01 мы используем соответственно более /О оч /о

у J и,и1 : следует, что всякое решение задачи (3.3), (3.2)

современные и общепринятые ^2,^2 ). представляется в виде: х = ©[ш] + А[^, где

о 1 о 1 о 1,1

Будем предполагать, что ш 1(.) е 2 (0,72) и ® : * 2(0,72) х ¿2(0,72) ^ * 2 (П),

ш2( ) е ¿2 (0,72), а функция .[(.) удовлетворяет А : ¿2 (П) ^ *2 (П)

условиям Fl)-Fз) при ' = m =1, х = (П), - ЛОО. А именно, 0[ш] - это решение задачи

q е (2,6), 2 = 72(П). Что касается выбора (3.3), (3.2) при г = 0, А[ 2] - решение задачи

пространства 2х, см. замечание 1.1. (3 3), (3 2) при ш = 0. С°°тветственн°, исходная

х задача становится эквивалентной операторному

Решение задачи (3.1), (3.2) будем понимать в м ^ * 3

уравнению:

указанном далее обобщенном смысле. Чтобы 1,1

дать строгое определение и обосновать его х = 0 + А[f (.,х)], х е *2 (П), (3.5)

корректность, рассмотрим, прежде всего, для где 0 = 0[ш] (начальные данные ш считаем

2 е ¿2(П) вспомогательное уравнение: фиксированными). Кроме того, принятое нами

7[х](1 ) = 2(1), I е П, (3.3) понятие обобщенного решения задачи (3.1),

(3.2) оказывается корректным, поскольку наклав совокупности с начально-краевыми услови-

у 11 у дываемые нами условия на правую часть урав-

ями (3.2). Для х е *2 (П), 2 е ¿2(П), нения согласованы со свойствами операторов

о 1 о

ше * 2(0,72) х 72(0,72), фе О 2 (П) положим:

7

‘2

1[х, г, ю, ф] = |ю2(^)ф(0, t2)dt2 +

2 2 2 2

0

А и 0, вытекающими из леммы 3.1. Заметим, о 1,1 1

что * 2 (П) с *2 (П). В силу теоремы вложения С.Л. Соболева пространство *2(П) ограниченно вложено в 7К (П) при любом 1 < к <

+ ]"{х'1 ф\ -с2х'2ф'2 + 2ф}^1, <qn = 2(п +1) (п > 1). в нашем случае п = 2,

п п -1

12[х,ш] = lim ||х(Дх,.)-ш1(.^7,1, слеДовательно, qn =6. Таким в силу

выбора q имеем ограниченное вложение:

*2(П) с (П), и уравнение (3.5) эквивалент-

но уравнению

¿£+,11 V ,•/ ^/|1і2(0,г2)

1[ х, г, ю, ф] = {11[ х, г, ю, ф], 12[х, ю]}.

Следуя [9], обобщенным решением задачи

(3.3), ^ (3.2) для заданн^іх г є Ь2(П), х = 0 + А[¡(.,х)], х є Ьч (П), (3.6)

ює у2(0,Т2) х Ь2(0,Т2) назовем функцию причем норма ||А[г]|| <М •||А[г]|| . и

°',' ^ П П х є у2 (П), удовлетворяющую условию: согласно лемме 3.1 норма А[г]1 . <

II IIу 2 (П)

I[x,г,ю,ф] = 0 для всех ф є О2(П). (3.4) < К •] |г||^ для всех г є Ь2(П). Поэтому мож-

Обобщенным решением задачи (3.1), (3.2) но рассматривать оператор А как ЛОО для заданного ює у^2(0,Т2) х Ь2(0, Т2) будем Ь2(П) ^ Lq(П). Уравнение (36) является урав-

„ 1,1 нением вида (0.1) при указанном выборе прост-

называть функцию х є у 2 (П), удовлетворяю- ранств.

Условия Fl)—F3) выполняются согласно нашим предположениям относительно правой части дифференциального уравнения. Остается проверить выполнение условия A1) и обеспечить выполнение условия G1). Воспользуемся результатами [7].

Определение. Пусть £ = £(П) - ст -алгебра всех измеримых по Лебегу подмножеств множества П, Рн - оператор умножения на характеристическую функцию3 % н множества Н є £. Тогда систему В (О) = {Н є £:

РНОРН = РНО} будем называть системой

вольтерровых множеств ЛОО О : 2т ^ Xе. При этом для числа 8 >0 подсистему Т = {0 = Н0 с Н1 с ... с Нк = П} с В (О) будем называть вольтерровой 8 -цепочкой ЛОО О, если \\РкОРк\\ < 8 для всех к = Ні \Ні-1,

і = 1, к.

Лемма 3.2. Пусть Е - БИП, О : Е ^ Е -

некоторый ЛОО, обладающий для любого 8 > 0 вольтерровой 8 -цепочкой. Тогда спектральный радиус р(О) = 0.

Для всех тє [0,Т1] положим Пт ={t єП : t1 є [0, т]}. Так как везде выше можно было взять П = Пт для любого т є [0,Т1], а всякое глобальное решение в сужении на Пт является также и Пт -локальным решением, то из леммы 3.1 очевидным образом получаем следующее утверждение.

Лемма 3.3. Если г |П =0, а х - решение

задачи (3.3), (3.2) при ю = 0, то х |П = 0.

Непосредственно из леммы 3.3 получаем, что для Н = Пт и оператора РН умножения на характеристическую функцию % Н множества Н имеем РНАРП\Н = 0. Тогда

РНА = РНА(РН + РП\Н ) =

= РНАРН + РНАРП\Н = РНАРН ,

то есть Н = Пт є В (А) для всех т є [0,^]. Выберем произвольно число у > 0 , а также т ', т " є (0;Т ] так, чтобы 0 < т " - т' < у. Рассмотрим множество к = Пт" \ Пт". Оценим норму РкАРк| . Из проведенных выше построе-

II Ь2 ^Lq

ний видно, что разрешающий оператор А может рассматриваться как ЛОО А : Ь2 (П) ^ ЬК (П) для любого к є (ь, qn ]. Поэтому для произвольного г є Ь2 (П), г < 1,

имеем: у = А[%кг] є ЬК(П), следовательно,

| у |Ь є Ьа (П), где а = к / q >1, и таким образом,

< ІІАІІ

\у\ь = А[%кг] ь <

II 11ЬК N "Ьк

< I |А||

= V

По неравенству Гельдера получаем:

где р-1 +а-1 =1.

|1РкАРк [г]||Ь = 11% *у|1Ь <і%

Отсюда

||Р*АР*|1 Ь <v1/q(mes к)1/(ьР) <

II |1Ь2

< v1/q (у)1/( ьР) (Т2)

1/( ьР)

^+0

при у —— +0 . Выберем произвольно число у >0 и рассмотрим систему множеств

Ту ={н0,...,нк}, где Н1 = ПХ;, х0 =0, хк = 7l,

0 < х; - х;-1 < у, I = 1, к . Из проведенных выше рассуждений следует, что для любого 8 >0 найдется у = у(8) > 0, такое, что система Т у

будет вольтерровой 8 -цепочкой ЛОО А . Таким образом, ЛОО В = А обладает вольтерровой 8 -цепочкой для всякого 8 > 0 . Отсюда, в частности, следует, что для всякого 2, е 2х оператор В, : Lq (П) — Ь/] (П), определяемый формулой В,[2] = В[2,2], также обладает вольтерровой 8 -цепочкой для всякого 8 > 0 . Согласно лемме 3.2 это означает, что спектральный радиус р(В,) = 0. Для того, чтобы убедиться в выполнении условия A1), остается лишь доказать положительность оператора В = А.

Отметим, прежде всего, что поскольку А -ЛОО, а множество неотрицательных функций ¿+ (П) замкнуто в ¿2 (П), нам достаточно доказать, что А[2] > 0 для всех неотрицательных 2 из какого-либо всюду плотного подмножества в пространстве ¿2 (П), в частности, из

множества С 0° (П) всех бесконечно гладких финитных на П функций (см., например, [10, § 4.7]). С другой стороны, для гладких функций

2 е Сда (П) образ А[2] - это классическое решение задачи (3.3), (3.2) при ш =0, а оно, как известно, определяется формулой Даламбера4:

А[2](1 ) = 2- 12(ЭД,

АО)

где

Д(1) = £е К2 : ^ е [0,11],

12 - С(|1 -^1) 2 < 12 + С(|1 -^1)}

- попадающая в полосу [0,11] х К часть характеристического конуса волнового уравнения (3.3)

а

Ь

а

к

к

к

г

Ь

2

2^ к

Ь

Ь

с вершиной V, а г(^) - четное с периодом 2Т2 по переменной ^ 2 периодическое продолжение на всю полосу [0, Т1 ] х R функции г(^), заданной на множестве П . Отсюда понятно, что если г > 0, то и г > 0, а, стало быть, и А[ г] > 0 . Таким образом, для всех г є С0“ (П), г > 0, имеем А[г] > 0 . Как видно из доказательства теоремы ([10, §4.7]), всякая неотрицательная функция г є Ь2 (П) может быть представлена в виде предела последовательности неотрицательных функций {гк} с Сд (П). Но в таком случае

А[г] - А[гк ] Ь < А • г - г^

II |1Ь II II II 11Ь

причем А[2к ] > 0 . Поскольку из сходимости по норме в ¿2 следует сходимость по мере, а из сходимости по мере - существование подпоследовательности, сходящейся почти всюду, то отсюда ясно, что А[2] > 0 для всех 2 е ¿+ (П). Таким образом, условие A1) выполняется.

Обеспечим выполнение предположения G1). Возьмем некоторые функции у е ¿2 (П),

Ф е (П), у > 0 , такие, что А[у] < ф, и будем

считать дополнительно, что справедливо неравенство

I f (.,у(.))|<у Vy е (П): | у -0 |<ф.

Тем самым, условие G1) будет выполнено.

Таким образом, применима теорема 1.1 и метод решения, описанный в замечании 2.1.

Б) Смешанная задача для уравнения переноса.

Пусть П = [0;1]х [0;1]х [-1;1], / = {?1,/2,/3}. Рассмотрим смешанную задачу для нелинейного нестационарного уравнения переноса, возникающего в теории переноса нейтронов и теории переноса излучения (см., например, [11, 12], а также [13, 14]):

дх

дt1

дх

д^

Я

ветственно, Zх = (П). Здесь /1 - время, /2 -

пространственная переменная, /3 - скорость, х(/) - дифференциальная плотность потока частиц. В [13] при определенных условиях (в частности, при ограниченности функции g (/, у1, у2) и ее частных производных

ёУ (/,у1,У2), I =1,2, на ограниченных мно-

У1

жествах) была доказана разрешимость задачи

(3.7), (3.8) локально по времени, единственность решения, а также устойчивость решения по параметру. В [14] была рассмотрена проблема оптимизации управляемой задачи вида (3.7),

(3.8) и получены необходимые условия оптимальности. При этом в качестве основного метода исследования было использовано сведение задачи к функционально-операторному уравнению некоторого вида, отличного от уравнения (0.1). В данном пункте мы доказываем при определенных условиях глобальную разрешимость задачи (3.7), (3.8), а также обосновываем возможность применения итерационного метода решения. При этом для сведения задачи (3.7),

(3.8) к уравнению (0.1) мы используем некоторые моменты рассуждений из [14].

Следуя [14], будем понимать левую часть уравнения (3.7) как полную производную по времени /1 вдоль характеристики

"л = л(0:

2 12 1 13

І 3 = ?3,

(3.7)

х(0,/2,/3) = у0(/2,tз), г2 е [0;1], /3 е [-1;1];

х(/1,0,г3) = у1(г1,г3), г1 е [0;1], г3 е [0;1]; (3.8)

х(г„1,/3) = у2(г„/3), г, е [0;1], /3 е [-1;0],

где у 0, у1, у 2, К - ограниченные скалярные

функции, измеримые по совокупности переменных. Относительно функции ё (/, у1, у2) предполагаем, что выполнены условия F1)-F3) при т = 1, ¿ = 2, х = (П), Z = (П). Соот-

и искать решение в классе Ж(П) всех функций из пространства (П), абсолютно-непрерыв-

ных вдоль почти каждой характеристики л . Следуя [14], функцию х є Ж(П) назовем решением задачи (3.7), (3.8), если она удовлетворяет уравнению (3.7) почти всюду на почти каждой характеристике л , а также подчиняется начальному и граничным условиям (3.8).

Чтобы строго сформулировать то, как мы понимаем решение, рассмотрим в качестве вспомогательной задачу (3.8), связанную с уравнением

дх дх „

^Г + tз^—= г(), V є П. (3.9)

д^ дt2

Зафиксируем точку V є П и функцию х(V), рассматриваемую вдоль характеристики л^), обозначим х(^;V) = х(^, V2 + V3(^ - V1),V3).

Заметим (см. [14]), что характеристика л^)

(рассматриваемая до момента времени t1 = V1) пересекает границу множества П в одной из

трех ее частей: 1) t1 = 0; 2) V2 =0, V2 > 0; 3) V2 =1, V3 <0. Первую координату соответствующей точки пересечения обозначим Т (V). Понимая левую часть уравнения (3.9) как производную х(і) вдоль характеристики л(і), можем переписать задачу (3.9), (3.8) как задачу Коши

-^х(^;і) = г(^;і), tl є [Т(І);і 1], (3.10)

ш1

х(Т (V );t) = ю(і),

где

х(і) = ю (і) + А1 Полагая

1

А2 [2](/) = |к (5; /) А1 [2](/1, / 2, s)ds.

-1

Уравнение (3.13) является уравнением вида (0.1).

В качестве положительной мажоранты В : ¿да (П) — ¿да (П) оператора А можем взять оператор, определяемый формулой: В[ 2] =

= А1 [2] + В2 [ 2], где принято обозначение

(3.11)

^2 [г ](і ) = | К

([-1;1]хП)

1

| А1 [ г](t1, V 2, s)ds.

у0(і 2 - tзtl, Ґ3), еслиТ (і) = 0;

ю(і) = < ^(іі -t2/tз,iз), еслиТ(t)>0,tз >0;Р

У2(іі + (1-і2)/Із,із), еслиТ(і)>0,із <0.

ешение самой задачи (3.9), (3.8) будет

определяться как х(і ) = іс(і1 ; і ). При этом решение задачи (3.10), (3.11) очевидно:

_ _ І1 _

■х(і1;І ) = ю(і) + Г г(£; і )&,.

Т (і )

Таким образом, решение вспомогательной задачи (3.9), (3.8) мы понимаем как

І1

х(і) = ю(і) + Г г(^; і )сЕ, = ю(і) + А1[г](і),

Т (/)

где принято обозначение

ч

4^/) = [ 2(£, /2 + /3 (£, - /1),/3)^.

Т (/)

Соответственно, решение исходной задачи

(3.7), (3.8) нам следует понимать как решение уравнения

ёx(■), |К0;0x(■,■,5У5) (г), (3.12) -1 J

/ е П.

У = { У^ У 2}, У1(/) = х(/X 1 У 2 (/) = |к (5; /) х(/1, / 2,5^5,

-1

получаем, что уравнение (3.12), в свою очередь, эквивалентно функционально-операторному уравнению

У(/) = 0(/) + А[ё(., у(.))](/), / е П, (313)

у е ¿да (П), (. )

где функция 0 = {01,02} е х2 и ЛОО А = {А1, А2}: ¿да (П) — ¿да (П) определены формулами

1

01(/) = ш(/), 0 2(/) = |к (5; /)ш(/1, /2, 5^5,

В [13, п. 6] уже показано, что р(В) = 0. Таким образом, предположение A1) выполняется.

Дальнейшие выводы аналогичны выводам п. А).

Работа выполнена при финансовой поддержке АЦВП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» Минобрнауки РФ (регистрационный номер 2.1.1/3927) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проект НК-13П(9)).

Примечания

1. Пусть £ = £(П) - множество всех измеримых функций на множестве П с Кп . Напомним, что банахово пространство Е с £ измеримых функций называется банаховым идеальным пространством,

если из того, что у е Е , х е £, |х(/)| < |у(/)| для почти всех / е П , следует, что х е Е , ||х|| < ||у||£ .

2. Данный пример носит, вообще говоря, иллюстративный характер. Однако применяемый способ рассуждений таков, что может быть распространен в основной своей части и на уравнения более общего вида. Уравнение указанного частного вида мы используем для простоты изложения, поскольку конкретный вид сужения разрешающего оператора А

Сда

позволяет здесь достаточно легко установить его положительность. Установление положительности разрешающего оператора или наличия у него положительной мажоранты в более общих случаях оказывается, соответственно, и более трудоемким.

3. Будем обозначать его одинаково независимо от того, в каком пространстве он действует.

4. На самом деле можно показать, что эта формула останется справедливой и в случае 2 е ¿2 (П) ,

и тогда положительность оператора А очевидна. Мы используем здесь более универсальный способ рассуждений, применимый и для уравнений более общего вида.

Список литературы

1. Сумин В.И. // ДАН СССР. 1991. Т. 320. № 2. С. 295-299.

2. Сумин В.И., Чернов А.В. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2003. Вып. 1 (26). С. 39-49.

3. Чернов А.В. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2009. № 3. С. 130-137.

4. Чернов А.В. // Матем. заметки. 2010. Т. 88. №

2. С. 288-302.

5. Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. М.: МАИ, 1996. 744 с.

6. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

7. Сумин В.И., Чернов А.В. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 10. С. 1402-1411.

8. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М. : Наука, 1988. 360 с.

9. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: ГИТТЛ, 1953. 280 с.

10. Федоров В.М. Курс функционального анализа. СПб.: Лань, 2005. 352 с.

11. Mulliken T.W. // J. Soc. Indust. Appl. Math. 1965. V. 13. № 2. P. 388-410.

12. Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1974. 494 с.

13. Морозов С.Ф., Сумин В.И. // Матем. заметки. 1977. Т. 21. № 5. С. 665-676.

14. Плотников В.И., Сумин В.И. // Сиб. матем. журн. 1981. Т. 22. № 6. С. 142-161.

ON CONVERGENCE OF FIXED POINT ITERATION METHOD FOR SOLVING NONLINEAR FUNCTIONAL OPERATOR EQUATIONS

A. V. Chernov

Simple sufficient conditions are proposed for solvability of nonlinear functional operator equations in a Banach ideal space. Under these conditions, a modification of the fixed point iteration method for solving the mentioned equations is in fact proved to converge. As applications, the sufficient conditions for solvability of a mixed problem for a nonlinear wave equation and a mixed problem for a nonlinear nonstationary transfer equation have been derived.

Keywords: nonlinear functional operator equation, solvability conditions, fixed point iteration method.