О тотальном сохранении глобальной разрешимости управляемых начально-краевых задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

spaces. Then measurable structure corresponds to the equipment of the space of usual solutions with algebra of sets. Below, the equipment variant used a semi-algebra of sets is considered. Some «partial» (in the sense of representation of AS) consructions used more general measurable structures are used also.

Key words: compactum; attraction set; semi-algebra; ultrafilter.

Ченцов Александр Георгиевич, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом управляемых систем, e-mail: [email protected].

УДК 517.957, 517.988, 517.977.56

О ТОТАЛЬНОМ СОХРАНЕНИИ ГЛОБАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

© А.В. Чернов

Ключевые слова: тотальное сохранение глобальной разрешимости; функционально-операторное уравнение; поточечная оценка решений.

Для широкого класса управляемых начально-краевых задач, связанных с нелинейными уравнениями в частных производных, формулируются достаточные условия тотального (по всем допустимым управлениям) сохранения глобальной разрешимости. Кратко описывается область применения указанных условий.

Пусть п,ш,£,в € N — заданные чиела, П С К” — измеримое (в смысле Лебега) ограниченное множество, X, 2, и — некоторые лебеговы пространства функций на множестве П с индексами суммируемости из отрезка [1;+го|; X С 2, и С 2; V С и3 — некоторое множество, А : Ят ~^Хе — заданный линейный ограниченный оператор (ЛОО). В [1] было предложено для изучения различных вопросов оптимизации управляемых распределенных систем использовать следующее функционально-операторное уравнение:

г(г) = /(г,А[г](г),п(г)), г € П, г €2т. (1)

Здесь и €'Р — управление, /(г, у, и) : П х Ке х К3 ^ Кт — заданная функция, измеримая по г € П и непрерывная по {у; и} € Ке х К3 и такая, ч то У у € Xе, и €Т> суперпозиция /[.,у(.),и(.)) € 2т. Как показывают многочисленные примеры [2, 3], к уравнению (1) сводятся распределенные управляемые системы достаточно широкого класса. Нам будет удобно вместо уравнения (1) использовать равносильное (при определенных условиях [4]) уравнение следующего вида:

х(г) = в (г) + А/ 0 ,х(.),и() (г), г € п, х €Хе, (2)

где в € Xе. К уравнению (2) от управляемой начально-краевой задачи можно перейти и непосредственно [4-6]. Представление (2) использовалось также в [7].

В [1-3, 5] (см. также краткий обзор [8]) была построена теория устойчивости существо-

и в,

/ А,

возмущению оператора. При этом речь шла о некоторых малых (в определенном смысле) возмущениях. Однако в некоторых случаях, например, при использовании метода условного градиента или градиентного метода с дроблением шага, необходимо, чтобы соответствующее уравнение (1) или (2) обладало свойством глобальной разрешимости тотально на всем множестве V [9]. Указанное свойство полезно и при исследовании дифференциальных игр, связанных с уравнениями в частных производных [10]. Таким образом, возникает проблема тотального сохранения глобальной разрешимости (ТСГР) указанных уравнений. Проблема ТСГР для уравнения вида (2) в банаховом идеальном пространстве была поставлена в [4]. Там же был доказан мажорантный признак ТСГР. Здесь мы сформулируем еще один признак ТСГР для уравнения (2).

Будем предполагать, что ЛОО А является монотонным: А[у] ^ А[г] Уу,г € 2т, у ^ г, и облада ет У 6 > 0 вольтерров ой £-цепочкой (см. [2-4]) .Относительно функции / и множества V допустимых управлений предполагаем, что существуют оценочные функции ф(г,х),‘ф(г,х) : П х Ке Кт, измеримые по г и непрерывные и неубывающие по х, и такие, что: ф(г,х) ^ /(г,х,и(г)^ ^ Ф(Н,х) для п.в. г € П и для всех х € Ке, и € V,

причем У у € Xе суперпозиц ии р(.,у(.)), ф(.,у(.)) € 2т. Кроме того, мы предполагаем, что У и €V, у* € X+ существует константа N [у* ,и] > 0 такая, что:

/ 0 .,у(.),и(.)Н - / 0 .,г(.),и(.)) ят < N [у*,и\\\у - г1Х уу,г €X^, \у^ N < у*.

Определим минорантное и мажорантное уравнения для уравнения (2):

х = в + А

^(.,х)

х € X ; х = в + А

,х

хе Xе.

(3)

Теорема 1. Пусть уравнения (3) имеют соответственно решения х, х € Xе, причем х ^ х. Тогда, для, каждого управления и €V существует единственное решение х — хи € Xе уравнения (2), и справедлива оценка: х ^ хи ^ х.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сумин В. И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1056-1059.

2. Сумин В.И. Об обосновании градиентных методов для распределенных задач оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т. 30. № 1. С. 3-21.

3. Сумин В. И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Н. Новгород: ННГУ, 1992. Ч. I.

4. Чернов А.В. Об одном мажорантном признаке тотального сохранения глобальной разрешимости управляемого функционально-операторного уравнения // Изв. вузов. Математика. 2011. № 3. С. 95-107.

5. Сумин В.И., Чернов А.В. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений вольтерровых операторных уравнений // Вестник Нижегородского университета им. 11.11. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 2003. Вып. 1 (26). С. 39-49.

6. Чернов А.В. О поточечной оценке разности решений управляемого функционально-операторного уравнения в лебеговых пространствах // Матем. заметки. 2010. Т. 88. № 2. С. 288-302.

7. Сумин В.И. О расширении оптимизационных задач, связанных с функциональными уравнениями в пространствах существенно ограниченных функций // Вестник Нижегородского университета. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н.Новгород. 1998. № 1. (18). С. 126-133.

8. Сумин В.И., Чернов А.В. Условия сохранения глобальной разрешимости вольтерровых операторных уравнений и их применение в теории распределенных управляемых систем // Вестник ТГУ. Серия: Естественные и гуманитарные науки. Тамбов. 2009. Т. 14. Вып. 4. С. 809-811.

9. Чернов А.В. К вопросу о сходимости метода условного градиента в распределенных задачах оптимизации // Вестник Нижегородского университета им. 11.11. Лобачевского. 2010. № 2 (1). С. 124-130.

10. Чернов А.В. О вольтерровых функционально-операторных играх // Мат. моделирование и краевые задачи: Труды VII Всероссийской науч. конф. с международным участием. Самара. 2010. Ч. 2. С. 289-291.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проект НК-13П(9)).

Chernov A.V. On total preservation of global solvability of controlled boundary value problems. For a wide class of controlled boundary value problems, associated with nonlinear partial differential equations, we formulate sufficient conditions of total (with respect to all admissible controls) preservation of global solvability. We outline some applications of these conditions.

Key words: total preservation of global solvability; functional operator equation; pointwise estimate of solutions.

Чернов Андрей Владимирович, Нижегородский государственный университет, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической физики, e-mail: [email protected].

УДК 517.929

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ИССЛЕДОВАНИИ АСИМПТОТИКИ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ © К. М. Чудинов

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение; дифференциальное неравенство; устойчивость.

Устанавливается связь методов исследования устойчивости и неосцилляции решений линейных дифференциальных уравнений с последействием и леммы о дифференциальном неравенстве, обобщающей известное свойство обыкновенных дифференциальных уравнений.

Элементами определяемых ниже пространств являются вещественнозначные скалярные функции: АС —пространство функций, локально абсолютно непрерывных на полуоси [0, +го); Ь —пространство функций, локально суммируемых на полуоси [0, +го) . Для х Є АС определим оператор Ь: АС ^ Ь равенством

(Ьх)(Ь) = Х(Ь)+ х(в) (13г(Ь,в),

Jо

где функция г удовлетворяет:

1) условиям, обеспечивающим существование единственного решения задачи Коши Ьх = /, х(0) = Хо [1, с. 26];

2) условию неубывания функции г по второму аргументу: г(і,в\) ^ г(Ь,в2) при «і ^ в2-

Одним из направлений развития теории функционально-дифференциальных уравнений является исследование дифференциальных неравенств, ведущее родословную от классической теоремы Чаплыгина [2, гл. 10]. Доказательства функционально-дифференциальных неравенств, как правило, строятся на установлении обратимости некоторого интегрального оператора. Мы рассмотрим возможности исследования асимптотики решений уравнения Ьх = / на основании следующего простого факта.