К исследованию зависимости решения управляемого функционально-операторного уравнения от сдвига управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1 (39)

УДК 517.957+517.988+517.977.56 © А. В. Чернов

К ИССЛЕДОВАНИЮ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЯ УПРАВЛЯЕМОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ОТ СДВИГА УПРАВЛЕНИЯ1

Формулируются достаточные условия равномерной (по всему множеству допустимых управлений) непрерывной зависимости решения управляемого функционально-операторного уравнения от сдвига управления вдоль вектора независимых переменных.

Ключевые слова: нелинейное функционально-операторное уравнение, лебеговы пространства, непрерывная зависимость решения, сдвиг управления, запаздывание управления.

Излагаемый здесь результат оказался необходим автору для дальнейшего исследования функционально-операторных игр, определенных в [1]. Фактически, в [1] речь идет о достаточно общей форме описания дифференциальных игр, связанных с распределенными управляемыми системами. Для сосредоточенных управляемых систем сдвиг управления означает запаздывание (или опережение) управляющего воздействия по времени. Для многих распределенных систем сдвиг управления на вектор в заданном направлении может иметь аналогичный смысл. Поэтому достаточные условия равномерной непрерывной зависимости решения управляемого уравнения от сдвига управления представляют также и самостоятельный интерес.

§ 1. Формулировка основного результата

Пусть п,ш,£,в € М, р € [1, то), д € [р, то] — заданные числа, П С К” - измеримое (здесь и далее по Лебегу) ограниченное множество; и = £те(П), 2 = £Р(П), X = Ьд(П); а, в € К5 таковы, что 0 € [ск; /3]; V = < и € 1А8 : щ(£) € [ск*; /?*] для п.в. £ € П, г = 1,5 > — множество

где и € V - управление; элемент в € X1 фиксирован; /(£,£,и): П х К1 х К5 ^ Кт - заданная функция, дифференцируемая по переменной £ € К1 и вместе с производной измеримая

ный оператор (ЛОО). Уравнение (1) является естественной формой описания для широкого класса управляемых НКЗ, связанных с нелинейными дифференциальными уравнениями (см., в частности, [1-4]). Относительно функции / предполагаем выполненным следующее.

Условие 1. Для любых х Є X1, и Є и5 имеем: / (.,х,и) Є Ят, / (.,х,и) Є .

Далее норму вектор-функции мы везде понимаем как норму ее модуля, а модуль - как сумму модулей ее компонент. Будем использовать обозначения: £(П) - ст-алгебра всех измеримых по Лебегу подмножеств множества П; хь - характеристическая функция множества Н Є £(П); Рь - оператор умножения на хь; §(П) - пространство всех функций, измеримых и п.в. конечных на множестве П. В дальнейшем для функции г Є §(П) и ее продолжения нулем Ж на все

пространство М”, а также для К Є Х(П) мы не будем различать выражения Хн? и Хь%-

Пусть т Є К”; Бт : §(П) ^ §(П) - оператор сдвига, который каждой функции г Є §(П) ставит в соответствие функцию Бт[г], которая получается в два этапа: 1) сначала продолжаем функцию г нулем на все пространство К”; 2) затем берем сужение функции г (і — т) на множество П. Для дальнейшего отметим, что Бти Є V при всех и Є “V.

хРабота поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проект НК-13П(9)).

Введение

допустимых управлений; 2х = (П), д 1 + а 1 = р 1. Рассмотрим управляемое функциона-

льно-операторное уравнение

(1)

по і Є П и непрерывная по {£; и} Є К1 х К5; А : Ят ^ Xі - заданный линейный ограничен

Пусть 9 С К”, 9 Э 0. Сделаем следующие предположения.

Условие 2. ЛОО А : 2т ^ X1 имеет положительную мажоранту В : 2 ^ X такую, что V у € 2х оператор Ву : X ^ X определяемый формулой Ву [х] = В [уж], х € X, квазинильпотентен, то есть спектральный радиус р(Ву) = 0.

Условие 3. Для любой функции р* € 2 + и семейства Ф[р*] всех р € 2т, для которых | р| ^ р*, имеем: вир А[£Т[р] — р] ^ 0 при |т| ^ +0, т € Э.

X1

Условие 4. Множество АФ[р*] предкомпактно в X1 Vр* € 2 +.

Условие 5. Имеем: /(., х(.), и(.)) ^ р(., |х|(.)) € 2 V х € X1, и € V, где функция

р(£, £) : П х К+ ^ К измерима по ^ € П, непрерывна и не убывает по £ € К+ и такова, что разрешимо мажорантное уравнение

х(*) = |в(£)| + В р(.,ж(.)) (£), £ € П, х €X +.

Замечание 1. Как следует, например, из [4-6], условие 2 часто выполняется в приложениях. Условия 3, 4 выполняются, например, для широкого класса интегральных операторов. Отметим, кроме того, что условие 4 вообще можно опустить, если правая часть уравнения представима в виде суммы /(£,£, г;) = /(£, £) + /(£,г>). Условие 5 обеспечивает однозначную глобальную разрешимость уравнения (1) для всех управлений и € V, см. [4].

Теорема 1. При сделанных предположениях lim sup

|т |—»0, т еЭ ugD

= 0.

X1

Список литературы

1. Чернов А.В. О вольтерровых функционально-операторных играх на заданном множестве // Матем. теория игр и ее приложения. 2011. Т. 3. Вып. 1. С. 91-117.

2. Сумин В.И., Чернов А.В. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений вольтерровых операторных уравнений // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2003. Т. 26. Вып.1. С. 39-49.

3. Чернов А.В. О поточечной оценке разности решений управляемого функционально-операторного уравнения в лебеговых пространствах // Матем. заметки. 2010. Т. 88. № 2. С. 288-302.

4. Чернов А.В. Об одном мажорантном признаке тотального сохранения глобальной разрешимости управляемого функционально-операторного уравнения // Изв. вузов. Математика. 2011. № 3. С. 95-107.

5. Сумин В.И., Чернов А.В. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 10. С. 1402-1411.

6. Сумин В.И., Чернов А.В. О некоторых признаках квазинильпотентности функциональных операторов // Изв. вузов. Математика. 2000. № 2. С. 77-80.

Поступила в редакцию 01.02.2012

A. V. Chernov

To investigation of dependence of solution to controlled functional operator equation on a shift of control

We formulate sufficient conditions of uniform (with respect to the set of admissible controls) continuous dependence of the solution to controlled functional operator equation on a shift of control along with a vector of independent variables. The shift of control may mean, in particular, some delay (or outstripping) of control by time.

Keywords: nonlinear functional operator equation, Lebesgue spaces, continuous dependence of solution, shift of control, delay of control.

Mathematical Subject Classifications: 35B30, 35B37, 47J35

Чернов Андрей Владимирович, доцент, кафедра математической физики, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 603950, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23. E-mail: [email protected]

Chernov Andrei Vladimirovich, Assistant Professor, Department of Mathematical Physics, Lobachevski State University of Nizhni Novgorod, pr. Gagarina, 23, Nizhni Novgorod, 603950, Russia

xST u xu