Научная статья на тему 'К исследованию зависимости решения управляемого функционально-операторного уравнения от сдвига управления'

К исследованию зависимости решения управляемого функционально-операторного уравнения от сдвига управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
54
21
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕЛИНЕЙНОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ / ЛЕБЕГОВЫ ПРОСТРАНСТВА / НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ / СДВИГ УПРАВЛЕНИЯ / ЗАПАЗДЫВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ / NONLINEAR FUNCTIONAL OPERATOR EQUATION / LEBESGUE SPACES / CONTINUOUS DEPENDENCE OF SOLUTION / SHIFT OF CONTROL / DELAY OF CONTROL

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Чернов Андрей Владимирович

Формулируются достаточные условия равномерной (по всему множеству допустимых управлений) непрерывной зависимости решения управляемого функционально-операторного уравнения от сдвига управления вдоль вектора независимых переменных.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

To investigation of dependence of solution to controlled functional operator equation on a shift of control

We formulate sufficient conditions of uniform (with respect to the set of admissible controls) continuous dependence of the solution to controlled functional operator equation on a shift of control along with a vector of independent variables. The shift of control may mean, in particular, some delay (or outstripping) of control by time.

Текст научной работы на тему «К исследованию зависимости решения управляемого функционально-операторного уравнения от сдвига управления»

Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1 (39)

УДК 517.957+517.988+517.977.56 © А. В. Чернов

К ИССЛЕДОВАНИЮ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЯ УПРАВЛЯЕМОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ОТ СДВИГА УПРАВЛЕНИЯ1

Формулируются достаточные условия равномерной (по всему множеству допустимых управлений) непрерывной зависимости решения управляемого функционально-операторного уравнения от сдвига управления вдоль вектора независимых переменных.

Ключевые слова: нелинейное функционально-операторное уравнение, лебеговы пространства, непрерывная зависимость решения, сдвиг управления, запаздывание управления.

Излагаемый здесь результат оказался необходим автору для дальнейшего исследования функционально-операторных игр, определенных в [1]. Фактически, в [1] речь идет о достаточно общей форме описания дифференциальных игр, связанных с распределенными управляемыми системами. Для сосредоточенных управляемых систем сдвиг управления означает запаздывание (или опережение) управляющего воздействия по времени. Для многих распределенных систем сдвиг управления на вектор в заданном направлении может иметь аналогичный смысл. Поэтому достаточные условия равномерной непрерывной зависимости решения управляемого уравнения от сдвига управления представляют также и самостоятельный интерес.

§ 1. Формулировка основного результата

Пусть п,ш,£,в € М, р € [1, то), д € [р, то] — заданные числа, П С К” - измеримое (здесь и далее по Лебегу) ограниченное множество; и = £те(П), 2 = £Р(П), X = Ьд(П); а, в € К5 таковы, что 0 € [ск; /3]; V = < и € 1А8 : щ(£) € [ск*; /?*] для п.в. £ € П, г = 1,5 > — множество

где и € V - управление; элемент в € X1 фиксирован; /(£,£,и): П х К1 х К5 ^ Кт - заданная функция, дифференцируемая по переменной £ € К1 и вместе с производной измеримая

ный оператор (ЛОО). Уравнение (1) является естественной формой описания для широкого класса управляемых НКЗ, связанных с нелинейными дифференциальными уравнениями (см., в частности, [1-4]). Относительно функции / предполагаем выполненным следующее.

Условие 1. Для любых х Є X1, и Є и5 имеем: / (.,х,и) Є Ят, / (.,х,и) Є .

Далее норму вектор-функции мы везде понимаем как норму ее модуля, а модуль - как сумму модулей ее компонент. Будем использовать обозначения: £(П) - ст-алгебра всех измеримых по Лебегу подмножеств множества П; хь - характеристическая функция множества Н Є £(П); Рь - оператор умножения на хь; §(П) - пространство всех функций, измеримых и п.в. конечных на множестве П. В дальнейшем для функции г Є §(П) и ее продолжения нулем Ж на все

пространство М”, а также для К Є Х(П) мы не будем различать выражения Хн? и Хь%-

Пусть т Є К”; Бт : §(П) ^ §(П) - оператор сдвига, который каждой функции г Є §(П) ставит в соответствие функцию Бт[г], которая получается в два этапа: 1) сначала продолжаем функцию г нулем на все пространство К”; 2) затем берем сужение функции г (і — т) на множество П. Для дальнейшего отметим, что Бти Є V при всех и Є “V.

хРабота поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проект НК-13П(9)).

Введение

допустимых управлений; 2х = (П), д 1 + а 1 = р 1. Рассмотрим управляемое функциона-

льно-операторное уравнение

(1)

по і Є П и непрерывная по {£; и} Є К1 х К5; А : Ят ^ Xі - заданный линейный ограничен

Пусть 9 С К”, 9 Э 0. Сделаем следующие предположения.

Условие 2. ЛОО А : 2т ^ X1 имеет положительную мажоранту В : 2 ^ X такую, что V у € 2х оператор Ву : X ^ X определяемый формулой Ву [х] = В [уж], х € X, квазинильпотентен, то есть спектральный радиус р(Ву) = 0.

Условие 3. Для любой функции р* € 2 + и семейства Ф[р*] всех р € 2т, для которых | р| ^ р*, имеем: вир А[£Т[р] — р] ^ 0 при |т| ^ +0, т € Э.

X1

Условие 4. Множество АФ[р*] предкомпактно в X1 Vр* € 2 +.

Условие 5. Имеем: /(., х(.), и(.)) ^ р(., |х|(.)) € 2 V х € X1, и € V, где функция

р(£, £) : П х К+ ^ К измерима по ^ € П, непрерывна и не убывает по £ € К+ и такова, что разрешимо мажорантное уравнение

х(*) = |в(£)| + В р(.,ж(.)) (£), £ € П, х €X +.

Замечание 1. Как следует, например, из [4-6], условие 2 часто выполняется в приложениях. Условия 3, 4 выполняются, например, для широкого класса интегральных операторов. Отметим, кроме того, что условие 4 вообще можно опустить, если правая часть уравнения представима в виде суммы /(£,£, г;) = /(£, £) + /(£,г>). Условие 5 обеспечивает однозначную глобальную разрешимость уравнения (1) для всех управлений и € V, см. [4].

Теорема 1. При сделанных предположениях lim sup

|т |—»0, т еЭ ugD

= 0.

X1

Список литературы

1. Чернов А.В. О вольтерровых функционально-операторных играх на заданном множестве // Матем. теория игр и ее приложения. 2011. Т. 3. Вып. 1. С. 91-117.

2. Сумин В.И., Чернов А.В. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений вольтерровых операторных уравнений // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2003. Т. 26. Вып.1. С. 39-49.

3. Чернов А.В. О поточечной оценке разности решений управляемого функционально-операторного уравнения в лебеговых пространствах // Матем. заметки. 2010. Т. 88. № 2. С. 288-302.

4. Чернов А.В. Об одном мажорантном признаке тотального сохранения глобальной разрешимости управляемого функционально-операторного уравнения // Изв. вузов. Математика. 2011. № 3. С. 95-107.

5. Сумин В.И., Чернов А.В. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 10. С. 1402-1411.

6. Сумин В.И., Чернов А.В. О некоторых признаках квазинильпотентности функциональных операторов // Изв. вузов. Математика. 2000. № 2. С. 77-80.

Поступила в редакцию 01.02.2012

A. V. Chernov

To investigation of dependence of solution to controlled functional operator equation on a shift of control

We formulate sufficient conditions of uniform (with respect to the set of admissible controls) continuous dependence of the solution to controlled functional operator equation on a shift of control along with a vector of independent variables. The shift of control may mean, in particular, some delay (or outstripping) of control by time.

Keywords: nonlinear functional operator equation, Lebesgue spaces, continuous dependence of solution, shift of control, delay of control.

Mathematical Subject Classifications: 35B30, 35B37, 47J35

Чернов Андрей Владимирович, доцент, кафедра математической физики, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 603950, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23. E-mail: chavnn@mail.ru

Chernov Andrei Vladimirovich, Assistant Professor, Department of Mathematical Physics, Lobachevski State University of Nizhni Novgorod, pr. Gagarina, 23, Nizhni Novgorod, 603950, Russia

xST u xu

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.