О задаче рассеяния для пучков дифференциальных операторов на простейшем некомпактном геометрическом графе с циклом Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Szasz 0. Generalization of S.Bernstein's polinomials to the infinite interval // J. Res. Nat. Bur. Standards, Sect. B. 1950. Vol. 45. P. 239-245.

3. Коровкин П. П. Линейные операторы и теория приближений. М, : Наука, 1959. 212 е.

4. Xiehua Sun. On the simultaneous approximation of funetions and their derivatives bv the Szasz-Mirakvan operator // J. of Approximation Theorv. 1988. Vol. 55, iss. 3. Deeember. P. 279-288.

5. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минек : Наука и техника, 1987. 688 е.

6. Рыжик И. Л/.. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М, ; Л. : ГИТТЛ, 1951.

УДК 517.984

М. Ю. Игнатьев

О ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ПРОСТЕЙШЕМ НЕКОМПАКТНОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ С ЦИКЛОМ

В работе рассматривается пучок дифференциальных операторов, заданный на простейшем некомпактном графе с циклом. Получена теорема единственности решения обратной задачи восстановления коэффициентов пучка на луче по заданным данным рассеяния.

Пусть G - геометрический граф с вершиной vi и ребра ми ro, ri, где ro - луч с начал ом в vi, ri - цик л [v1, v1] длин ы Т. Будем считать, что ребро r0 параметризовано параметром x0 £ [0, го), а r1 - параметром x1 £ [0,Т]. Функцню y на графе G будем трактовать как пару функций (yo(xo),yi(xi)) [1-3].

На каждом из rj,j = 0,1, рассмотрим дифференциальное уравнение

yj + (p2 + ippj (xj) + qj (xj ))yj = ^ (1)

где qj,pj £ L(rj), (1 + xo) qo(xo), (1 + xo)po(xo) £ L(0, го). vi

yo(0) = yi(0) = yi(T), yi (T) = yo (0) + y! (0). (2)

Обозначим через Cj (xj ,p) Sj (xj, p) решения уравнений (1) с начальными условиями типа косинуса и синуса соответственно, через eo(xo,p)

ro

eo(xo, р) = exp(±(ipxo - Qo(xo))(1 + o(1)), p £ ܱ, xo ^ го,

где

xj

(xj) = 1 J Pj (t)dt 0

Определим решение типа Вейля ^(ж,р) = (^0(ж0,р),р)) как решение уравнения (1) при j = 0,1 соответственно, р g q± := {±Imр > > 0}, удовлетворяющее условиям склейки (2), нормированное асимптотикой:

^о(жо, р) = ехр(т(грж - Qo(xo))(1 + o(1)), р g жо ^ то.

Теорема 1. ^0(ж0, р) голоморфна в u(Z u {0})7 где Z не более чем счетное множество, совпадающее с множеством нулей функции

Д(р) = (Д1(р)в0 (0, р) + Si(T, р)е0(0, р))е0(0, р),

где Д1(р) := 2 _ С1(Т,р) _ S1 (Т,р).

По построению функция Д(р) при всех веществе иных р имеет предельные значения

Д±(р) := lim Д(р ± ге).

Условие G0. При всех вещественных р Д±(р) = 0.

При выполнении условия G для всех вещественных р = 0 существуют предельные значения ^±(ж0, р) := lim ^0(ж0, р ± ге).

При р g R, р = 0, справедливы разложения

(ж0, р) = е^(ж0, р) + 5±(р)е±(ж0, р).

Коэффициенты з±(р), р g R \ {0}, будем называть коэффициентами, отражения.

Условие G^ Все нули Д(р) простые.

Теорема 2. При, выполнении условии, G0, G1 для любого р0 g Z стгра-ведливо представление

Resp=p0 ^0(ж0,р) = а(р0)б0(ж0 ,р0),

где а(р0) - некоторые константы.

Константы а(р0),р0 g Z, являются аналогами весовых чисел в классической теории рассеяния.

Набор J = {й±(р),р g R \ {0}; Z; а(р0),р0 g Z} назовём данными рассеяния.

Наряду с уравнениями (1) с коэффициентамир^(•),^ = 0,1, рассмотрим уравнения того же вида с коэффициентами р^-(•),,?' = 0,1, при тех же условиях склейки (2). Соответствующие данные рассеяния обозначим 3 .

Теорема 3. При выполнении условий С0,С\ из 3 = 3 следует, ро(хо) = ро(жо); 7о(хо) = ^о(жо) для п.в. жо € (0, то). Таким образом,, при, выполнении условий данные рассеяния однозначно определя-

ют коэффициенты уравнения (1) на луче.

Работа выполнена при, финансовой поддержке Минобрнауки, РФ (проект № 1.Ц36.20ЦК) и РФФИ (проекты № 16-01-00015, № 15-0104864).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В. А. Обратная задача для пучков дифференциальных операторов // Мат. еб. 2000. Т. 191, № 10. С. 137-160.

2. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М, : Физматлит, 2007.

3. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев : Наук, думка, 1977.

УДК 517.95, 517.984

В. В. Корнев, А. П. Хромов

ОБ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим неоднородное волновое уравнение:

= - ^(ж)и(Ж' *) + /(ж, *), (ж, *) € Я = [0,1] x [0, Т] (1)

при условиях

и(0,£) = и(М) = 0, (2)

и(ж,0) = ^(ж), и£(ж,0) = 0. (3)

Считаем, что д(ж), ^>(ж), ](ж,£) - комплекспозпачные функции, причем #(ж) € Ь[0,1], ^(ж) € Ь2[0,1]. В работе [1] получен следующий результат: Теорема 1. Если /(ж, £) € Ь2(Я)7 то рлс? формального решения, задачи (1) - (3) по методу Фурье сходится почти всюду в Я к обобщенном,у решению этой задачи.