Сходимость последовательности натуральных и дробных производных операторов Саса-Миракьяна Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

Е. В. Гудошникова

СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ И ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ОПЕРАТОРОВ САСА^МИРАКЬЯНА

Рассматриваются последовательности рх производных операторов Саса-Мпракьяна к р-й производной функции для р £ N и р £ [0; 1] и находится порядок приближения в терминах модуля непрерывности.

В теории линейных операторов хорошо известны операторы Сиси Миракьяна [1, 2]:

Mnf; x) = ¿ f (£) ^(x > 0). (1)

k=0 ^ ' '

Из теорем П. П. Коровкина [3] следует, что последовательность операторов Mn(f; x) сходится к f (x) для любой непрерывной функции f, причем

Mn(f; x) - f (x) | < (1 + x) w f; , (2)

где w(f; h) - модуль непрерывности функции f. Обозначим

Mnp)(f; x) = Mn(f; x) = ¿ f |k (xke-nx)(p)(p £ N,x > 0). (3)

k=0 ^ ' '

В работе [4] рассмотрен вопрос о сходимости последовательности

M(p\f; x) к f(p) для различных классов функций. Рассмотрим функции, p

чим Cp. Для дальнейшего нам понадобится оценка порядка сходимости операторов (3) не в той формулировке, которая приведена в указанной статье, а в терминах модуля непрерывности. Поэтому сформулируем следующую теорему.

Теорема 1. Для функции f £ Cp, р £ N, прux > 0 MÍP\f; x) —>■ ^ f (p)(x)7 причем

Mnp)(f; x) - f (p)(x)| < ^1 + x + P0 wf(p); (4)

где w(f; h) - модуль непрерывности функции, f.

Доказательство строится по следующей схеме. По индукции доказывается представление

00

МПР)(/; ж) =

к=0

Е

.¿=0

п

(пж)к _п

~кТе

Откуда, используя свойства к-х разделенных разностей (см., например, 4]) и свойства операторов Мп(/; ж), получим утверждение теоремы. Рассмотрим

Мп(/; ж) =

(жр

М-(/;ж) = Е /(к)| О (

к=0

жк е~пх

)

(5)

(а е (0; 1), ж > 0), где Оа(у) = (Оау)ж = (О+у)ж - левосторонняя дробная производная

Римапа-Лиувилля (см., например, [5]).

Теорема 2. Для функции f е С1 имеют, место представления

БаMn(f; ж) =

f (0)

+

+Е

к=0

f

'к + 1'

п

-'(V п

жаГ(1 - а) (пж)к+1Ф(к + 1, к + 2 - а, -пж)

Mn(f; ж) =

Г(к + 2 - а)Ж f(0) ,

(6)

жаГ(1 - а)

00

+

к=0

f

'к + 1'

п

-

\ п

^(к)(г) (-г )к к! жаГ(2 - а)

(7)

где Г(г) - гамма функция, Ф(а, 7, г) - вырожденная гипергеометрическая функция (см., например, [6] 3.383), ^(г) = Ф(1, 2 - а, г)7 г = -пж.

Доказательство. Для абсолютно непрерывной функции имеет место представление (см. [5]):

(Оа у)ж =

1

Г(1 - а)

у(0)

+

жа

у '(*)

(ж - ()'

(8)

откуда имеем

Оа АШ; ж) =

/ (0)

00

жаГ(1 - а)

+

к=0

f

к+1

п-

п \п

п

к+1

"•х £к е~пх

к! Г(1 - а) Л (ж -

(И.

х

Подставляя выражение для интеграла через функцию Ф (см. [6, 9.213] получим (6).

Так как (см. [6, 9.2131

—" у = -Ф(а + 1,7 + 1,г) ^ (г 7

(кФ(а,7, г) а(а + 1)...(а + к - 1)

Ф(а + к, 7 + к, г)

(кг 7(7 + 1)...(7 + к - 1)

и после несложных преобразований из (6) получим (7).

Следствия. Так как (Оа£к)ж = жк-а, то из (6),(7) ^

^ ОаМп(1; ж) =

ОаМп(^; ж) =

1

жаГ(1 - а)

= (Оа 1)ж,

ж

1—а

Г(2 - а)

= (Оаф,

2ж2-а 1 ж1 а

ОаМп(^2; ж) = -2ж-г + -г ^ (Оа1)ж.

(9)

(10) (11)

Г(3 - а) п Г(2 - а)

Равенства (9-11) аналогичны условиям теоремы Коровкина, но, как видно из теоремы 2, ОаМп^; ж) не являются положительными операторами поэтому теорема Коровкина не может быть применена для доказательства сходимости последовательности операторов (5).

Теорема 3. Для f е С\ 0 < а < 1, ОаМп^; ж) ^ (О^)ж, причем,

ОаМп^; ж) - (О^)ж < шlf';

1

1 \ ж1 а 1 + - ^-т +

ж

2а

и) Г(2 - а) Г(3 - а)

Доказательство. Из представления (8) и теоремы 1 находим:

ОаМп^; ж) - (О^)ж

<

|Мп(f; *) - f'(*)|

Г(1 - а) Л

(ж - £)(

<

<

Г (1 + I + 1/п) Г(1 - а) Уо (ж - ¿)а

Откуда, вычислив интеграл, получим требуемое.

а.

х

1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Миракъян Г. М. Аппроксимирование непрерывных функций е помощью полита

помов е-га Е ск,гажк // Докл. АН СССР. 1941. Т. 31. С. 201-205. к=0

2. Szasz 0. Generalization of S.Bernstein's polinomials to the infinite interval // J. Res. Nat. Bur. Standards, Sect. B. 1950. Vol. 45. P. 239-245.

3. Коровкин П. П. Линейные операторы и теория приближений. М, : Наука, 1959. 212 е.

4. Xiehua Sun. On the simultaneous approximation of funetions and their derivatives bv the Szasz-Mirakvan operator // J. of Approximation Theorv. 1988. Vol. 55, iss. 3. Deeember. P. 279-288.

5. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минек : Наука и техника, 1987. 688 е.

6. Рыжик И. Л/.. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М, ; Л. : ГИТТЛ, 1951.

УДК 517.984

М. Ю. Игнатьев

О ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ПРОСТЕЙШЕМ НЕКОМПАКТНОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ С ЦИКЛОМ

В работе рассматривается пучок дифференциальных операторов, заданный на простейшем некомпактном графе с циклом. Получена теорема единственности решения обратной задачи восстановления коэффициентов пучка на луче по заданным данным рассеяния.

Пусть G - геометрический граф с вершиной vi и ребра ми ro, ri5 где ro - луч с начал ом в vi, ri - цик л [v1,v1] длин ы Т. Будем считать, что ребро r0 параметризовано параметром xo £ [0, го), а r1 - параметром x1 £ [0,Т]. Фупкцию y па графе G будем трактовать как пару функций (yo(xo),yi(xi)) [1-3].

На каждом из rj, j = 0,1, рассмотрим дифференциальное уравнение

yj + (p2 + Wj (xj) + qj (xj ))yj = ^ (1)

где qj,Pj £ L(rj) (1 + xo) qo(xo), (1 + xo)po(xo) £ L(0, го). vi

yo(0) = yi(0) = yi(T), yi (T) = yo (0) + yi (0). (2)

Обозначим через Cj (xj, p) Sj (xj, p) решения уравнений (1) с начальными условиями типа косинуса и синуса соответственно, через eo(xo,p)

ro

eo(xo, p) = exp(±(ipxo - Qo(xo))(1 + o(1)), p £ xo ^ го,