CC BY
16
1, реП,,х<0,
, т-г л Г -1, *реП0> , 0, х>0,
-1, реП,, х>0, 17 = < к,={
1 1, хреГЦиП,, [1, х<0,
О, ост. сл.,
/2
к2=и \peTlj},
Пк = {г : агё г е (п(5к - 3) /(6 - 2к), л(5к + 3) /(6 + 2к)]}, к-0,±1.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряжённых уравнений//ДАН СССР. 1951. Т. 77, № 1.С. 11 - 14.
2. Шкаликов. А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. № 9. С. 190 - 229.
3. Юрко В. А. О восстановлении пучков дифференциальных операторов на полуоси // Мат. заметки. 2000. Т. 67, вып.2. С. 316-319.
УДК 517.51
Е. В. Гудошникова
КОНСТРУКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ *
Рассмотрим линейные положительные операторы вида
к=0 уп\х)
определённые на [0,оо)и удовлетворяющие условиям:
1) ипк{х)> 0, у„(х)>0 для *>0 и у„(0) = 1;
00
2) !>„,*(*)•** =у„0); *=о
3) £«я,*(хМ-Х)4=^-;
к =0 vи(2x)
ипк(х) к
4) для с[п к (х) = —1—х выполняется соотношение
/ к-пх
Чп,к(х) = —г:г<1п,к(х)> Мх)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00060).
где ш(:с) - дважды дифференцируемая функция, не имеющая нулей на
(О,«).
Этим условиям удовлетворяют, например, операторы Саса-Миракьяна:
к=О К-
операторы Баскакова:
Ж*»-Ы\"'к , я +
к=0 V к /(1 + л-)" + ,с
операторы Каталана:
А=0 V К
пхк( \ + х)п + к
4=0 " V * ;(2к + п)(\ + 2х)п + 2к и другие.
Введём обозначения: для т 6 Л1 о запишем представление в двоичном формате:
т = т{ +т2 -2 + тъ ■ 2 2 +... + тг ■2Г~1, где тк е {0;1}; х = (х,,...,.хг); кп,т = АН)"' 1, где к] 6 я е /V;
У И И Я У
[тк)= +.....+ тгкг ,
Для функции /: Я, —> Л введём аналог модуля непрерывности как
ю(/,й) = _8ир яир |/(х + 5)~/(х)|,
где ¡2(А) = [0, Й, ] х [0, Й2 ] х • ■ • - х[0, А, ]. Рассмотрим операторы
4,(/;*) = £ '¿'(-и^Л*-.»)-^*^«),
¿=0 т=0
где
,_ч (1 х-1) к, , , У„(М)
р г(дс)=||----X.-' , г„(х) = у„( х И--2--.
Рп-кК ' г„(х,) ' у„(2|х|)
Подобная конструкция для операторов Саса-Миракьяна для г = 1 была введена в рассмотрение Грофом [1], аппроксимативные свойства этих операторов изучены в работе [2], для произвольного г в работах [3 - 5], где указывается порядок приближения операторами ¿я(/;х) непрерывных, дифференцируемых и дважды дифференцируемых функций, а также доказывается теорема, являющаяся аналогом теоремы Вороновской (см., напр., [6]).
В общем случае имеют место аналогичные результаты:
ТЕОРЕМА 1. Для непрерывной функции / :Rr —> R \L„(/-,x)-f(x)\<C(rMf-,h),
где h = от г.
Г
M*j)l ¡\w(x2)\ ¡\w(xr)\
, C(r) - константа, зависящая только
ТЕОРЕМА 2. Для дифференцируемой функции / :Rr —> R
\L„(f-,x)-f(x)\<
<2
"Ш* ]
И*/)1
п
\
31 и-(х,) I w'(xi) I w(x;)w"(Xj) I
C2r ' n ,=1
K.
dx:
где С - абсолютная константа, своя для каждого конкретного ядра оператора, А - то же, что и в теореме 1.
ТЕОРЕМА 3. Для дважды дифференцируемой функции / : Л,. —> Л
М/;*)-Д*) N
" /=i /=i
/
dxjdxi'
a2/
acf
14*/) I.
где С - абсолютная константа, своя для каждого конкретного ядра оператора, А — то же, что и в теореме 1. Если, кроме того, все вторые производные / равномерно непрерывны, то
Iim
Л—»оО
' xian(xt)
= 0,
где а„(дг) —> 1 при п
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. GrofJ. Fuggvenyapproximaco az egesz szameqyensen, sulyozott hatvanysorokkal // Mat. Lapok. 1977- 1981. Vol. 29, № 1 -3. P. 161 - 170.
2. Абдулофизов IJI., Виденский В. С. О приближении операторами типа Г'рофа // Докл. АН Тадж. ССР. 1988. Т. 31, № 7. С. 425 - 429
3. Гудошникова Е. В. Приближение непрерывных функций многих переменных. Саратов, 2001. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 03.10.2001, № 2083-В2001.
4. Гудошникова Е. В. Аппроксимативные свойства многомерных аналогов операторов Саса-Миракьяна. Саратов, 2001. 24 с. Деп. в ВИНИТИ 20.11.2001, № 2412-В2001.
5. Гудошникова Е. В. Приближение дифференцируемых функций многих переменных комбинациями многомерных аналогов операторов Саса-Миракьяна. Саратов, 2002. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 25.03.02, № 530-В2002.
6. Коровкин П. П. Линейные положительные операторы и теория приближений. М.: 1959.212 с.
